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Mathematik - EducaNova
  • vor 2 Monaten
Quadratische Funktionen: Graphen zeichnen und Nullstellen bestimmen
Quadratische Funktionen zeichnen, Nullstellen, Diskriminante
Lerne den Graphen einer quadratischen Funktion zu zeichnen, die Symmetrieachse und den Scheitelpunkt zu bestimmen und die Nullstellen zu berechnen.

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Transkript
00:00Quadratische Funktionen haben die Form ax² plus bx plus c.
00:06In diesem Video schauen wir uns an, wie der Funktionsgraf einer quadratischen Funktion aussieht und welche markanten Punkte sie hat.
00:17Wir haben hier eine quadratische Funktion, deren Graphen wir zeichnen wollen.
00:22Dazu brauchen wir eine Wertetabelle, also Kombinationen von x- und y-Werten, die auf dem Graphen liegen.
00:31Dabei können wir für x beliebige Werte selber wählen.
00:36Als erstes nehmen wir für x den Wert minus 2.
00:40Wir setzen diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und erhalten für y den Wert minus 7.
00:47Wenn wir minus 1 einsetzen, gibt es minus 3,5.
00:53Weiter setzen wir für x noch die Werte von 0 bis 6 ein.
00:58Drückt jetzt auf Pause und rechnet selber die dazugehörigen y-Werte aus, bevor ihr weiterschaut.
01:06Vergleicht nun die Werte mit eurer Lösung.
01:09Als nächstes brauchen wir ein Koordinatensystem.
01:12Achtet dabei darauf, dass die x-Achse mindestens den Bereich von minus 2 bis 6 und die y-Achse
01:20von minus 7 bis 1 abdeckt.
01:24Zeichnet jetzt die Punkte selber ein, bevor ihr die Lösung anschaut.
01:29Verbinden wir nun die Punkte.
01:32Achtet darauf, dass die Linie keine Knicke aufweist.
01:35Wenn es etwas genauer sein soll, könnt ihr noch ein paar Zwischenpunkte berechnen.
01:42Schauen wir uns nun an, welche Eigenschaften und markante Punkte dieser Graph hat.
01:47Der Funktionsgraf hat eine vertikale Symmetrieachse.
01:52Der Schnittpunkt des Funktionsgrafen mit der Symmetrieachse ist auch gerade der höchste Punkt.
02:00Dies ist der Scheitelpunkt und wird mit s bezeichnet.
02:04Mit der x-Achse hat dieser Funktionsgraf zwei Schnittpunkte.
02:09Das sind die Nullstellen.
02:10Diese werden mit n1 und n2 bezeichnet.
02:15Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird mit s, y bezeichnet.
02:21Machen wir uns dazu eine Übersicht.
02:25s ist der Scheitelpunkt.
02:28Die Koordinaten werden mit xs und ys bezeichnet.
02:33Die Parabel besitzt eine vertikale Symmetrieachse.
02:37n1 und n2 sind die Nullstellen.
02:41Es gilt, wie bei den linearen Funktionen, dass y gleich 0 ist.
02:47Bei s y gilt, dass x gleich 0 ist.
02:52Als nächstes wollen wir die Nullstellen dieser Funktion noch etwas genauer bestimmen.
02:58Nullstellen sind die Punkte auf dem Funktionsgrafen, die als y-Koordinaten den Wert 0 haben.
03:05Für die Berechnung können wir also die Funktion gleich 0 setzen.
03:10Wir erhalten nun eine quadratische Gleichung, die wir nach bekanntem Schema lösen können.
03:17Dazu normieren wir die Gleichung, indem wir die Gleichung durch minus 0,5 teilen.
03:22Wir erhalten x² minus 4x plus 2 gleich 0.
03:29Dieser Schritt ist optional, aber so haben wir nur ganze Zahlen als Koeffizienten.
03:34Löst nun diese Gleichung selbstständig, bevor ihr die Lösung anschaut.
03:39Setzen wir die Werte für a, b und c in die quadratische Auflösungsformel ein.
03:46a ist dabei 1, b ist minus 4 und c ist 2.
03:51Rechnen wir den Radikanten aus, das gibt 8.
03:56Durch partielles Wurzelziehen können wir die Wurzel aus 8 verkleinern.
04:028 ist 2 mal 4 und die Wurzel aus 4 ist 2, also gibt das 2 mal Wurzel 2.
04:10Jetzt können wir im Zähler eine 2 ausklammern.
04:13Dann kürzen wir eine 2 und erhalten 2 plus minus Wurzel 2.
04:19Wenn wir die Werte ausrechnen, erhalten wir mit dem Minus etwa 0,6 und mit dem Plus etwa 3,4.
04:28Dies sind nun die x-Koordinaten der Nullstellen.
04:32Die Nullstellen selbst erhalten wir, wenn wir die erhaltenen x-Koordinaten mit 0 als y-Koordinate kombinieren.
04:40Also ist N1 0,6 zu 0 und N2 3,4 zu 0.
04:49Machen wir noch eine Überlegung zu der Anzahl Nullstellen.
04:53Von den quadratischen Gleichungen wissen wir, dass nicht jede Gleichung zwei Lösungen hat.
04:59So wie bei den quadratischen Gleichungen die Anzahl der Lösungen von der Diskriminante abhängt,
05:05hängt auch bei quadratischen Funktionen die Anzahl der Nullstellen von der Diskriminante ab.
05:11Ist die Diskriminante positiv, haben wir zwei Nullstellen.
05:15Ist die Diskriminante 0, haben wir eine Nullstelle.
05:18Und ist die Diskriminante negativ, haben wir keine Nullstellen.
05:22Mit diesem Video geht es weiter.
05:25Und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
05:28Bis zum nächsten Mal.
05:30Bis zum nächsten Mal.
05:30Bis zum nächsten Mal.
05:31Untertitelung des ZDF, 2020
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