00:00Binomische Formeln können zum Umformen von Produkten verwendet werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man binomische Formeln anwendet.
00:12Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:17Bei der ersten binomischen Formel haben wir Klammer a plus b hoch 2, wobei a und b für beliebige, algebraische Ausdrücke stehen.
00:26Ausgeschrieben bedeutet das, dass wir die Klammer a plus b mit der gleichen Klammer multiplizieren.
00:34Nach dem Distributivgesetz werden alle Summanden in der ersten Klammer mit jedem Summanden in der zweiten Klammer multipliziert.
00:43Also haben wir a mal a, das gibt a hoch 2, a mal b, das gibt a b, dann b mal a, das gibt auch a b, und b mal b, gibt b hoch 2.
00:54a b, plus a b, kann zu 2 a b zusammengefasst werden, also erhalten wir, dass Klammer a, plus b, hoch 2, gleich viel ist, wie a hoch 2, plus 2 a b, plus b hoch 2.
01:10Machen wir dazu eine geometrische Veranschaulichung.
01:14Dieses Quadrat hat eine Kantenlänge von a, also ist die Fläche a hoch 2.
01:18Wenn wir die Kantenlänge um b vergrößern, also auf die neue Kantenlänge von a, plus b, sehen wir, dass noch etwas Fläche dazukommen muss.
01:30Oben, und rechts, setzen wir ein a, mal b, an, also 2 a b.
01:36Dann fehlt oben rechts noch ein Quadrat mit der Kantenlänge b, also b hoch 2.
01:41Also beträgt die gesamte Fläche a hoch 2, plus 2 a b, plus b hoch 2.
01:48Machen wir weiter mit der zweiten binomischen Formel.
01:53Diesmal haben wir Klammer a, minus b, hoch 2.
01:57Auch hier haben wir ausgeschrieben zweimal die Klammer a, minus b, die wir miteinander multiplizieren.
02:03a, mal a, das gibt a hoch 2, a, mal minus b, das gibt minus a b, dann minus b, mal a, das gibt auch minus a b, und minus b, mal minus b, gibt b hoch 2.
02:17Minus a b, minus a b, kann zu minus 2 a b zusammengefasst werden, also erhalten wir, dass Klammer a, minus b, hoch 2, gleich viel ist, wie a hoch 2, minus 2 a b, plus b hoch 2.
02:34Machen wir auch dazu eine geometrische Veranschaulichung.
02:37Wir nehmen wieder ein Quadrat mit Kantenlänge a, und verkürzen die Kanten um b, sodass die neue Kantenlänge a, minus b, beträgt.
02:48Oben, und rechts, schneiden wir ein Stück der Größe a, mal b, ab.
02:54Das Quadrat oben rechts, also b hoch 2, wurde zweimal abgeschnitten, also muss es wieder einmal addiert werden.
03:01Also beträgt die gesamte Fläche a hoch 2, minus 2 a b, plus b hoch 2.
03:08Und das gleiche noch mit der dritten binomischen Formel.
03:13Da haben wir Klammer a, plus b, mal Klammer a, minus b.
03:18Auch hier multiplizieren wir die Klammern miteinander.
03:21a, mal a, das gibt a hoch 2, a, mal minus b, das gibt minus a b, dann b, mal a, das gibt plus a b, und b, mal minus b, gibt minus b hoch 2.
03:35Minus a b, plus a b, wird 0, also erhalten wir, dass Klammer a, plus b, mal Klammer a, minus b, gleich viel ist, wie a hoch 2, minus b hoch 2.
03:47Auch hier beginnen wir für die geometrische Interpretation mit dem Quadrat mit der Kantenlänge a.
03:54Wir verlängern die eine Kante um b, und verkürzen die andere um b, so, dass wir a, plus b, mal a, minus b, erhalten.
04:04Oben schneiden wir a, mal b, ab, und setzen es auf der rechten Seite an.
04:10Das Quadrat oben rechts ist zu viel, also muss es wieder subtrahiert werden.
04:14Also beträgt die gesamte Fläche a hoch 2, minus b hoch 2.
04:22Kommen wir nun zu ein paar Beispielaufgaben.
04:26Bei diesem Beispiel schauen wir uns zuerst an, wie man dieses Binom berechnen würde, ohne die Eigenschaften der binomischen Formeln zu kennen.
04:33Eine Klammer in Quadrat bedeutet, dass wir die Klammer, mal die gleiche Klammer multiplizieren.
04:42Wir multiplizieren jeden Summanden aus der ersten Klammer, mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer.
04:47Also haben wir 2a, mal 2a, das gibt 4a hoch 2, 2a, mal 3b, das gibt 6ab, dann 3b, mal 2a, das gibt auch 6ab, und 3b, mal 3b, gibt 9b hoch 2.
05:036ab, plus 6ab, kann zu 12ab zusammengefasst werden, also erhalten wir, 4a hoch 2, plus 12ab, plus 9b hoch 2.
05:16Mit den binomischen Formeln können wir das in einem Schritt machen.
05:21Das Plus in der Klammer verrät uns, dass es sich um eine erste binomische Formel handelt.
05:27Dabei entsprechen die 2a, dem a, und die 3b, dem b.
05:31Somit ist a hoch 2, in der binomischen Formel, 2a, mal 2a, also 4a hoch 2, in der Aufgabenstellung.
05:422ab, ist dann 2, mal 2a, mal 3b, also 12ab, und b hoch 2, ist 3b, mal 3b, also 9b hoch 2.
05:53Auch bei diesem Beispiel wird jeder Summand aus der ersten Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer multipliziert.
06:01Also haben wir 4x, mal 4x, das gibt 16x hoch 2, 4x, mal minus 5y, das gibt minus 20xy, dann 5y, mal 4x, das gibt plus 20xy,
06:16und plus 5y, mal minus 5y, mal minus 5y, gibt minus 25y hoch 2.
06:23Minus 20xy, plus 20xy, wird 0, also erhalten wir 16x hoch 2, minus 25y hoch 2.
06:35Auch hier können wir das mit den binomischen Formeln in einem Schritt machen.
06:38Das Plus in der ersten Klammer, und das Minus in der zweiten Klammer verrät uns, dass es sich um eine dritte binomische Formel handelt.
06:49Dabei entsprechen die 4x, dem a, und die 5y, dem b.
06:53Also ist a hoch 2, in der binomischen Formel, 4x, mal 4x, also 16x hoch 2.
07:02Und b hoch 2, ist 5y, mal 5y, also 25y hoch 2.
07:10Bei diesem Beispiel versuchen wir es direkt.
07:13Wir haben in der Klammer ein Plus, also handelt es sich um eine erste binomische Formel.
07:21Dabei entsprechen die 3x, dem a, und y, dem b.
07:26Somit ist a hoch 2, in der binomischen Formel, 3x, mal 3x, also 9x hoch 2.
07:322ab, ist dann 2, mal 3x, mal y, also 6xy, und b hoch 2, ist y, mal y, also y hoch 2.
07:46Auch beim letzten Beispiel versuchen wir es direkt.
07:50Wir haben in der Klammer ein Minus, also handelt es sich um eine zweite binomische Formel.
07:57Dabei entsprechen die 2a, dem a, und 4b, dem b.
08:00Also ist a hoch 2, in der binomischen Formel, 2a, mal 2a, also 4a hoch 2.
08:092ab, ist dann 2, mal 2a, mal 4b, also 16ab, und b hoch 2, ist 4b, mal 4b, also 16b hoch 2.
08:21Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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