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00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 40, domaine de définition.
00:39Et on commence sans plus attendre par voir son utilité, et tu vas vite te rendre compte que si ce domaine n'est pas fourni avec la fonction, c'est qu'il faudra le déterminer avant toute chose.
00:50C'est parti.
00:50Éléments indissociables de l'expression de la fonction, l'ensemble de définition, ou le domaine de définition, et l'ensemble pour lequel tous ses antécédents possèdent une image par la fonction F.
01:02Il est généralement donné avec la fonction, mais il faudra parfois utiliser tes méninges pour le déterminer, en sachant que la moindre erreur entraînera de lourdes conséquences sur l'étude de la fonction, en particulier sur la détermination des limites à ses bornes.
01:15De ce fait, sans lui, tu ne peux rien faire de juste.
01:18Paragraphe suivant, je vais te montrer les domaines de définition des fonctions de référence, qui vont servir de base pour la détermination de celui de chaque fonction abordée au lycée.
01:29C'est parti.
01:31Pour rendre l'expérience ludique et lisible, je vais aménager les notions sous forme de tableau comportant ces quatre colonnes, je ne peux pas faire plus simple.
01:39Première fonction de référence, les puissances, de la forme F de X égale à K fois, X puissance N, avec K en réé, et N en entier naturel.
01:49Aucune contrainte, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté des F, sera ensemble complet des réels, soit l'intervalle moins l'infini exclu, plus l'infini exclu.
01:59Next.
02:00Seconde fonction de référence, les inverses, de la forme F de X égale à K sur, X puissance N, avec K en réé, et N en entier naturel.
02:10La seule contrainte logique est que le dénominateur ne peut pas être nul, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté des F, sera R étoile, soit l'ensemble complet des réels privés du zéro, qui peut aussi s'écrire moins l'infini exclu, zéro exclu, union zéro exclu, plus l'infini exclu.
02:27Next.
02:29Troisième fonction de référence, les racines carrées, de la forme F de X égale à racine carrée de X.
02:35La seule contrainte, logique ici aussi, est que le radical, ou contenu de la racine, doit être positif ou nul, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté des F, sera R+, soit l'ensemble des réels positifs ou nuls, qui peut aussi s'écrire zéro inclus, plus l'infini exclu.
02:54Next.
02:55Je le répète, il est impérativement impératif que tu connaisses parfaitement les domaines de définition de ces fonctions, que tu utilises avec abondance depuis ton entrée au lycée.
03:05Je te propose maintenant d'aborder celles qui apparaissent en première et terminale, et qui deviennent de facto des fonctions de référence, donc les domaines de définition doivent être connus et reconnus par tout élève se destinant à une carrière scientifique.
03:17On commence par les fonctions trigonométriques, et il y en a trois.
03:22F de X égale à cosinus de X, le domaine de définition, noté des F, sera ensemble complet des réels.
03:29G de X égale à sinus de X, le domaine de définition, noté des G, sera ensemble complet des réels.
03:36H de X égale à tangente de X, le domaine de définition, noté des H, sera ensemble complet des réels privés de moins pi sur 2, modulo 2pi, et pi sur 2, modulo 2pi.
03:48La raison est très simple, sachant que tangente de X est égale à sinus de X divisé par cosinus de X, le dénominateur, cosinus de X, ne peut pas être nul.
03:58Or, le cosinus est nul pour les valeurs d'angle égale à moins pi sur 2, modulo 2pi, et pi sur 2, modulo 2pi, qu'il faut donc supprimer de l'ensemble des réels.
04:08Next.
04:10On poursuit avec les fonctions exponentielles, de la forme F de X égale à E de X.
04:14Le domaine de définition, noté des F, sera l'ensemble complet des réels.
04:20Next.
04:22On termine avec les fonctions logarithme néperien, de la forme F de X égale à ln de X.
04:27Une contrainte importante, l'argument, ou contenu du logarithme néperien, doit être strictement positif, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté des F, sera R plus étoile, soit l'ensemble des réels positifs privés du zéro, qui peut aussi s'écrire zéro exclu, plus l'infini exclu.
04:45Je le répète encore une fois, il est impérativement intératif que tu connaisses parfaitement les domaines de définition de ces fonctions, que tu vas utiliser avec abondance pendant tes deux dernières années de lycée.
04:57Paragraphe suivant, comment déterminer le domaine de définition d'une fonction somme, produit, ou quotient ?
05:03Je vais te montrer.
05:05C'est parti.
05:06L'intervalle de la fonction sera intersection des contraintes, et donc des intervalles de définition, de chaque fonction qui la compose.
05:14Et tu vas avoir besoin des domaines de définition des fonctions de référence vues il y a quelques instants.
05:20Quelques parangons te permettront de comprendre en peu de temps.
05:23Premier exemple avec F de X égale à X au carré, plus 5X, plus 4.
05:29X au carré est une puissance de degré 2, donc définie sur R.
05:335X est une puissance de degré 1, donc définie sur R.
05:374 est une puissance de degré 0, donc définie sur R.
05:42Par conséquent, le domaine de définition de la fonction, noté des F, sera ensemble complet des réels.
05:48Next.
05:50Dernier exemple, avec F de X égale à X, plus racine carré de X, plus 1 sur X.
05:56X est une puissance de degré 1, donc définie sur R.
06:00Racine carré de X est une racine carré, donc définie sur 0 inclus, plus l'infini exclu.
06:071 sur X est une fonction inverse, donc définie sur moins l'infini exclu, 0 exclu, union 0 exclu, plus l'infini exclu.
06:15Par conséquent, le domaine de définition de la fonction, noté des F, sera intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu, qui représente l'intersection des trois intervalles.
06:26Simple, n'est-ce pas ?
06:28On va compliquer un peu le schmilblick en passant au paragraphe suivant, dans lequel je vais te montrer comment déterminer le domaine de définition de fonctions composées.
06:37C'est parti !
06:39L'intervalle de la fonction sera intersection des contraintes, et donc des intervalles de définition, de chaque fonction.
06:45Et tu vas avoir besoin ici aussi des domaines de définition des fonctions de référence vu qu'il y a quelques instants.
06:51Quelques parangons te permettront de comprendre en peu de temps.
06:55Premier exemple, F de X égale à racine carrée de X au carré, plus 5X, plus 4.
07:02Dans une racine carrée, le radical doit être positif ou nul.
07:06Comme ce radical est une fonction du second degré, utilisation du discriminant delta pour déterminer son signe.
07:13Je te fais grâce des calculs, que tu dois maîtriser parfaitement, et je passe directement au tableau de signe.
07:18Remplissage de la ligne des X, les zéros sur les barres verticales, signe de A à l'extérieur des racines, donc plus à gauche de la racine gauche et à droite de la racine droite, moins la.
07:29Et d'après ce tableau de signe, le domaine de définition, noté des F, sera intervalle moins infini exclu, moins 4 inclus, union moins 1 inclus, plus l'infini exclu.
07:40Next.
07:41Dernier exemple, avec F de X égale à E de 1 sur X au carré, plus 10X, plus 9.
07:49L'exponentiel est défini sur R, mais l'exposant est une fonction inverse, dont le dénominateur est une fonction du second degré, qui ne doit pas s'annuler.
07:58Utilisation du discriminant delta pour trouver ses racines.
08:01Une fois de plus, je te fais grâce des calculs, que tu dois maîtriser parfaitement, et je passe directement aux solutions.
08:08La première, noté X1, est égale à moins 9, la seconde, noté X2, est égale à moins 1.
08:16Ces racines annulent la fonction du second degré, donc elles doivent être éliminées.
08:20Le domaine de définition, noté des F, sera l'ensemble complet des réels privés de moins 9 et moins 1, qui peut s'écrire moins infini exclu, moins 9 exclu, union moins 9 exclu, moins 1 exclu, union moins 1 exclu, plus l'infini exclu.
08:35Pour déterminer avec aisance ces domaines de définition, la seule technique fiable et efficace est de faire une foultitude d'exercices, et tu sais où les trouver dans la fauche du quantum.
08:46Au boulot !
08:47L'atelier est désormais terminé.
08:49Tu as des questions ?
08:51Tu veux un complément d'informations ?
08:54Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
08:56Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
09:02Le tutoriel de travaux dirigé intitulé FORGEMA NHTAG 040, domaine de définition, est accessible, le lien est en description.
09:11Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
09:15A tout de suite.
09:17Tchuss !
09:18A tout de suite.
09:42– Sous-titrage FR 2021
