- il y a 3 mois
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1mbgHo6CyjPjWOZgC23QocMsv54aBr3Lk/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k2sTTadDC2CzPoE39Ho
Que la Forge soit avec toi !..
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00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 42, étude de fonction.
00:39Et on commence sans plus attendre par voir son utilité,
00:43et tu vas devoir mettre le maximum de sérieux dans l'affaire pour ne pas planter tes années lissées.
00:48C'est parti !
00:49Une étude de fonction consiste à déterminer les éléments suivants.
00:53Le domaine de définition, la parité, la périodicité, les limites au bon du domaine de définition,
00:59le tableau de variation, les images des éventuels extrémums locaux, la convexité ou la concavité.
01:06Ces éléments sont très utiles pour déterminer, par exemple,
01:09un théorème des valeurs intermédiaires, abrégé en TVI,
01:12une équation de tangente, ou encore les équations des asymptotes éventuelles.
01:17Paragraphe suivant, l'ensemble de définitions,
01:20éléments indispensables dans l'étude de fonction, et sur lequel tu dois sans cesse te référer.
01:25Un conseil, à écrire en gros sur ta copie,
01:28et à surligner en jaune fluo.
01:30C'est parti !
01:32C'est le domaine sur lequel la fonction est définie, ou existe.
01:36Il est généralement donné en exercice mais parfois,
01:38tu vas devoir mettre tes neurones à contribution pour le déterminer.
01:42Comme j'ai déjà traité cette notion,
01:44toutes les informations nécessaires se trouvent dans l'atelier MANHTAG 040,
01:48intitulé, Domaine de définition.
01:51Le lien est en description.
01:52Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
01:55Paragraphe suivant, la parité d'une fonction.
01:58Qu'est-ce donc que cette bestiole ?
02:01Ce n'est pas comme la parité d'un nombre,
02:03même s'il existe des fonctions pairs et impairs,
02:05mais tu verras que c'est facile à comprendre.
02:08C'est parti !
02:09La parité permet de simplifier l'étude de fonctions
02:12en utilisant qu'une partie du domaine de définition.
02:15Voici quelques propriétés à connaître sur les fonctions pairs et impairs.
02:18Toute fonction constante est pair.
02:22Toute fonction pair et monotone sur son ensemble de définitions est constante.
02:27La seule fonction qui soit à la fois pair et impair est la fonction nu,
02:30d'équation Y égale à 0.
02:33La somme ou la différence de deux fonctions pair et pair.
02:36La somme ou la différence de deux fonctions impairs est impair.
02:39La parité suit, pour le produit ou le quotient,
02:43la règle des signes, entre guillemets,
02:45ce qui implique que tout produit ou quotient de deux fonctions pairs est une fonction pair,
02:49comme plus par plus qui donne plus,
02:51tout produit ou quotient de deux fonctions impairs est aussi une fonction pair,
02:55comme moins par moins qui donne plus,
02:57tout produit ou quotient d'une fonction pair par une fonction impairs est une fonction impaire,
03:01comme plus par moins qui donne moins.
03:03La dérivée d'une fonction paire dérivable est une fonction impaire.
03:07La dérivée d'une fonction impaire dérivable est une fonction paire.
03:12La composée de deux fonctions impaires est impaire.
03:15La composée J-ROM-F d'une fonction paire notée G, avec une fonction impaire notée F, est une fonction paire.
03:22La composée J-ROM-F d'une fonction quelconque notée G, avec une fonction paire notée F, est une fonction paire.
03:29Certes, c'est bien beau tout ça, mais comment déterminer la parité d'une fonction ?
03:34J'y viens, un peu de patience, jeune Padawan.
03:38Une fonction est paire si f de moins x est égale à f de x, ou que la courbe admet l'axe désordonné comme axe de symétrie.
03:45Un petit exemple pour illustrer le propos.
03:48Soit la fonction f de x égale à cosinus de x.
03:51f de moins x est égale à cosinus de moins x, qui par définition est égale à cosinus de x, soit f de x.
03:59De ce fait, la fonction est paire.
04:01Et c'est visible sur la courbe que j'affiche sur ton écran, l'axe désordonné est bien un axe de symétrie pour la sinusoïde.
04:09Et si elle n'est pas paire, elle est impaire ?
04:12Oui, et non.
04:13Tu vas comprendre.
04:15Une fonction est impaire si f de moins x est égale à moins f de x, ou que la courbe admet le centre du repère, noté O, comme centre de symétrie.
04:24Un petit exemple pour illustrer le propos.
04:27Soit la fonction f de x égale à x au cube moins x.
04:31f de moins x sera égale à moins x au cube moins moins x, ce qui donne moins x au cube plus x.
04:39Possibilité de mettre en facteur le signe moins, ce qui donne moins x au cube moins x, soit moins f de x.
04:45De ce fait, la fonction est impaire.
04:47Il s'est visible sur le graphique que j'affiche sur ton écran, le point où est bien un centre de symétrie pour la courbe.
04:55Je rappelle que pour avoir la symétrie centrale, il suffit de prendre un point de la courbe,
05:00de tracer une droite passant par le centre de symétrie et de reporter la même distance de l'autre côté,
05:05comme schématisé en vert sur le graphique.
05:07Néanmoins, si f de moins x est différent de f de x, ou f de moins x différent de moins f de x,
05:13si la courbe n'admet aucun axe de symétrie, ni aucun centre de symétrie, la fonction sera ni paire, ni impaire.
05:21Un petit exemple ésotérique s'affiche sur ton écran, et tu peux constater qu'elle coche tous les critères.
05:26Paragraphe suivant, la périodicité, qui va surtout concerner les fonctions trigonométriques,
05:32et comme elles sont au programme de terminale en 2025,
05:36et que ça risque fort de disparaître dans les années à venir,
05:38autant que je te glisse un mot là-dessus tant que c'est autorisé.
05:42C'est parti !
05:43Une fonction est kpi périodique, avec k1 réel, si f de x plus kpi, est égal à f de x.
05:51La périodicité d'une fonction permet de n'étudier les variations que sur une portion de l'intervalle de définition.
05:56Ce qui facilite grandement le travail.
05:59Soit la fonction f de x, égale à cosinus de x.
06:03Son domaine de définition est l'ensemble complet des réels, mais ça, tu le savais.
06:08En calculant f de x plus 2pi, tu auras cosinus de x plus 2pi,
06:13par définition égale à cosinus de x, donc f de x.
06:17La fonction est donc 2pi périodique.
06:20Au lieu de faire l'étude de la fonction sur son domaine de définition complet,
06:24l'ensemble des réels, on peut le faire sur un intervalle restreint, d'écart de pi,
06:29comme les intervalles 0, 2pi, moins pi, pi, ou pi, 3pi, par exemple.
06:36Paragraphe suivant, les limites de fonction, qui sont étroitement liées au domaine de définition,
06:41et qui sont à chaque fois demandées en devoir surveiller.
06:44C'est parti !
06:45Paragraphe suivant, le tableau de variation, qui synthétise à lui seul toute l'étude de fonction en regroupant certains éléments indispensables,
07:13comme les extrémums locaux, les limites, mais surtout, le domaine de définition.
07:19C'est parti !
07:21Pour déterminer les variations de la fonction sur son domaine de définition,
07:24il suffit de déterminer le signe de sa dérivée.
07:28Comme j'ai déjà traité cette notion,
07:30toutes les informations nécessaires se trouvent dans l'atelier MANHTAG 032,
07:34intitulé « Fonction dérivée ».
07:36Le lien est en description.
07:38Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
07:40Paragraphe suivant, la position relative de deux courbes,
07:44de plus en plus rare dans les énoncés,
07:46mais d'une importance capitale en terminale lors de calculs d'intégrale.
07:50C'est parti !
07:52Pour déterminer la position relative de deux courbes,
07:55il suffira de déterminer le signe de leur différence.
07:58Si F de X moins G de X est strictement positif,
08:01alors F de X strictement supérieur à G de X,
08:05ce qui entraîne que CF sera au-dessus de CG.
08:07Si F de X moins G de X est strictement négatif,
08:11alors F de X strictement inférieur à G de X,
08:15ce qui entraîne que CF sera au-dessous de CG.
08:18Petite illustration avec deux courbes,
08:20CF en rouge, CG en bleu.
08:23Sur l'intervalle moins l'infini, moins 1,
08:25comme CF est au-dessus de CG, F supérieur à G.
08:28Puis sur l'intervalle moins 1, 1, CF au-dessous de CG,
08:32donc F inférieur à G.
08:34Et ça s'inverse sur l'intervalle 1, 3,
08:36pour une nouvelle fois s'inverser sur l'intervalle 3,
08:39plus l'infini.
08:41Pas plus compliqué.
08:42Paragraphe suivant, la convexité et la concavité.
08:46Pourquoi, comment, et surtout pour quelle utilité ?
08:50C'est ce que tu vas apprendre tout de suite donc, c'est parti !
08:53Fonction convexe
08:55Une fonction F, définie, dérivable, donc continue,
08:59sur un intervalle noté I,
09:01et convexe sur ici sa représentation graphique
09:03est entièrement située au-dessus de chacune de ces tangentes.
09:07Ça, c'est la définition de terminale que tu dois apprendre,
09:11mais il en existe une autre,
09:12celle où la courbe sera en dessous de ces séquentes,
09:15c'est-à-dire les segments qui relient deux points distincts
09:17et quelconques de la courbe,
09:18comme tu peux le voir sur la petite illustration en bas de page.
09:21Fonction concave
09:23Une fonction F, définie, dérivable, donc continue,
09:28sur un intervalle noté I,
09:30et concave sur ici sa représentation graphique
09:32est entièrement située en dessous de chacune de ces tangentes.
09:36Ça, c'est la définition de terminale que tu dois apprendre,
09:39mais il en existe une autre,
09:40celle où la courbe sera au-dessus de ces séquentes,
09:43c'est-à-dire les segments qui relient deux points distincts
09:45et quelconques de la courbe,
09:47comme tu peux le voir sur la petite illustration en bas de page.
09:50Mais d'un point de vue analytique,
09:52comment déterminer si la fonction est concave ou convexe ?
09:56Voici un petit tableau pour organiser les notions essentielles
09:59afin de ne jamais te tromper.
10:01Première notion,
10:02le signe de la dérivée seconde,
10:04la dérivée de la dérivée,
10:05qui sera notée F seconde,
10:07et pas F prime prime comme je l'entends trop souvent.
10:10Si elle est positive, fonction convexe,
10:12si elle est négative, fonction concave.
10:14Seconde notion,
10:17les variations de la fonction dérivée,
10:19notez F prime.
10:20Si elle est croissante, fonction convexe,
10:23si elle est décroissante, fonction concave.
10:26C'est logique,
10:27tu sais que le signe de la dérivée indique la variation de la fonction.
10:31Si positive, fonction croissante,
10:33si négative, fonction décroissante.
10:36Or, la dérivée seconde est la dérivée de la fonction dérivée,
10:39donc si F seconde positive,
10:41F prime croissante,
10:43et si F seconde négative,
10:44F prime décroissante.
10:46Troisième notion,
10:47les variations du coefficient directeur de la tangente à la courbe.
10:52Si croissant, fonction convexe,
10:54si décroissant, fonction concave.
10:56C'est logique,
10:57je te rappelle que le coefficient directeur de la tangente
11:00est le nombre dérivé,
11:01donc directement relié à la variation de la fonction dérivée.
11:05Dernière notion,
11:06la forme graphique.
11:08Pour la convexe,
11:09tu auras une courbe décroissante-croissante,
11:11pour la concave,
11:12une courbe croissante-décroissante.
11:15Mais tu peux aussi avoir une portion de ces courbes donc,
11:17mémorise-les bien pour ne jamais te tromper.
11:20Dernière information que je dois te livrer,
11:23le point d'inflexion,
11:24le point où s'opère un changement convex concave,
11:26ou concave-convexe,
11:28d'une courbe définie sur son intervalle.
11:30Ce point,
11:31noté généralement grand I,
11:32aura pour coordonnées XI,
11:34YI,
11:35avec F seconde de XI égale à 0,
11:37et YI égale à F de XI.
11:40Pour terminer,
11:41je t'affiche ce tableau qui permet de rassembler le signe de la dérivée seconde,
11:45les variations de la fonction dérivée,
11:47et la convexité-concavité de la fonction,
11:49ainsi que son point d'inflexion.
11:52À faire de même sur la copie en devoir surveiller si l'occasion se présente,
11:55et elle se présentera.
11:57Je peux te l'assurer.
11:57L'atelier est désormais terminé.
12:01Tu as des questions ?
12:03Tu veux un complément d'informations ?
12:05Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
12:08Le cours complet en PDF,
12:10librement téléchargeable,
12:11est disponible dans la description de cette vidéo.
12:14Le tutoriel de travaux dirigé intitulé
12:16FORGEMANHTAG 042,
12:18études de fonctions,
12:20est accessible,
12:21le lien est en description.
12:22Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
12:27A tout de suite.
12:28Tchuss !
12:29Sous-titrage Société Radio-Canada
12:36Sous-titrage Société Radio-Canada
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