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Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k53LTjmuFUc2ZtDXNWY
Que la Forge soit avec toi...
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00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 40, domaine de définition.
00:39Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, dans lequel tu vas échauffer ton cerveau en déterminant des domaines de définition de fonctions simples.
00:48C'est parti.
00:49Dans chaque cas, déterminez l'ensemble de définition de la fonction F.
00:54On va avancer de la gauche vers la droite, et de haut en bas.
00:57F de X égale à 1 sur 2X, plus 3.
01:022X au dénominateur, donc il doit être différent de 0, ce qui entre l'X non nul.
01:07De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins infini exclu, 0 exclu, union 0 exclu, plus l'infini exclu.
01:18Next.
01:19F de X égale à 2 sur X plus 1.
01:21X plus 1, au dénominateur, donc il doit être différent de 0, ce qui entre l'X différent de moins 1.
01:29De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins infini exclu, moins 1 exclu, union moins 1 exclu, plus l'infini exclu.
01:39Next.
01:40F de X égale à 1 sur X au carré plus 5.
02:03X au carré plus 5, au dénominateur, donc il doit être différent de 0.
02:10Sachant que X au carré est supérieur ou égal à 0 pour tous les réels, alors X au carré plus 5, supérieur ou égal à 5, strictement positif.
02:18De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins infini exclu, plus l'infini exclu.
02:27Next.
02:28F de X égale à racine carré de 2x plus 1.
02:32Le radical dans la racine, 2x plus 1, doit être positif ou nul, donc X supérieur ou égal à moins 1 demi.
02:39De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins 1 demi inclus, plus l'infini exclu.
02:47Next.
02:47F de X égale à, X plus 2, sur, X moins 3.
02:53Le numérateur est une fonction affine, donc définie sur l'ensemble complet des réels.
02:58Le dénominateur ne pouvant pas être nul, X moins 3, doit être différent de 0, donc X différent de 3.
03:05De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins infini exclu, 3 exclu, union 3 exclu, plus l'infini exclu.
03:16Next.
03:16F de X égale à 1 sur racine carré de 2x plus 1.
03:21Le dénominateur ne pouvant pas être nul, le radical dans la racine devra être forcément strictement positif, donc X strictement supérieur à moins 1 demi.
03:30De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
03:38Next.
03:39F de X égale à, X moins 3, sur, X plus 2.
03:44Le numérateur est une fonction affine, donc définie sur l'ensemble complet des réels.
03:50Le dénominateur ne pouvant pas être nul, X plus 2, doit être différent de 0, donc X différent de moins 2.
03:56De ce fait, le domaine de définition, noté d'F, sera intervalle moins infini exclu, moins 2 exclu, union moins 2 exclu, plus l'infini exclu.
04:07Tout simple, il suffit d'appliquer les contraintes de chaque type de fonction, et tout ira bien.
04:12Exercice numéro 2, dans lequel je vais corser un peu les fonctions pour lesquelles tu vas devoir trouver leur domaine de définition.
04:20C'est parti.
04:21Donnez le domaine de définition des fonctions suivantes.
04:25Que 4 fonctions, 7, mais je présume que tu dois penser que je suis fou pour te donner ces bestioles immondes ?
04:31Possible.
04:32Comme il faudra de l'espace pour la rédaction, je fais le vide et n'affiche que la fonction traitée.
04:38Première fonction, noté F de X, de type U moins V.
04:42Pour trouver son domaine de définition, il suffit de déterminer celui de chaque fonction qui la constitue, et de faire l'intersection de leur intervalle.
04:50Pour la fonction U, le radical sous la racine doit être positif ou nul, tu poses, X plus 2, supérieur ou égal à 0, donc X supérieur ou égal à moins 2, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté d'U, sera moins 2 inclus, plus l'infini exclu.
05:06Pour la fonction V, le radical sous la racine doit être positif ou nul, tu poses, X moins 1, supérieur ou égal à 0, donc X supérieur ou égal à 1, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté d'U, sera inclus, plus l'infini exclu.
05:22Df étant égal à du interdv, il sera égal à 1 inclus, plus l'infini exclu.
05:29Next.
05:30Seconde fonction, noté G2X, de type U sur racine carrée de, V fois W.
05:36Pour la fonction U, au numérateur, du second degré, son domaine de définition, noté d'U, est par définition d'ensemble complet des réels, soit moins infini exclu, plus l'infini exclu.
05:47Pour le dénominateur, il ne doit pas être nul.
05:51Mais comme c'est une racine carrée, ça implique nécessairement que son contenu doit être strictement positif.
05:58Donc, il va falloir établir le tableau de signes que voici.
06:02Une ligne pour, X au carré moins 5, une autre pour, moins X au carré, plus 5X, moins 4, la dernière pour le radical de la racine au dénominateur.
06:11Je te fais grâce de la procédure pour déterminer les racines car tu maîtrises normalement, et du moins je l'espère, la résolution des inéquations d'ordre 2.
06:20Les 0 sur les barres verticaires, les doubles barres en dernière ligne, car les racines annulent le produit, et donc le dénominateur, ce qui est interdit.
06:29Puis remplissable de la seconde ligne avec les signes, idem pour la ligne suivante, et règle des signes pour déterminer celui de la dernière ligne, de la gauche vers la droite, moins, plus, moins, plus, moins.
06:41Le domaine de définition de la fonction, noté des G, est l'intervalle d'intersection des trois fonctions qui la composent, avec un dénominateur strictement positif, ce qui donne moins racine carrée de 5 exclue.
06:521 exclue, union racine carrée de 5 exclue, 4 exclue.
06:57Next.
06:58Troisième fonction, noté H de X, de type U sur V.
07:02Pour la fonction U, au numérateur, du quatrième degré, son domaine de définition, noté des U, est par définition l'ensemble complet des réels, soit moins infini exclue, plus l'infini exclue.
07:14Pour le dénominateur, il ne doit pas être nul.
07:17Donc, il faut résoudre, X au carré moins 2, différent de 0, et par identité remarquable, le domaine de définition, noté des V, sera égal à moins infini exclue, moins racine carrée de 2 exclue, union moins racine carrée de 2 exclue, racine carrée de 2 exclue, union racine carrée de 2 exclue, plus l'infini exclue.
07:37Le domaine de définition de la fonction H, noté des H, sera intersection de du et dv, soit moins infini exclue, moins racine carrée de 2 exclue, union moins racine carrée de 2 exclue, racine carrée de 2 exclue, union racine carrée de 2 exclue, plus l'infini exclue.
07:56Next.
07:57Dernière fonction, noté K de X, de type, racine carrée de U, sur, racine carrée de V.
08:04Commençons par le dénominateur, plus simple.
08:06Il ne doit pas s'annuler, mais comme c'est une racine carrée, ceci implique que son radical doit être strictement positif, donc X strictement supérieur à 2.
08:16Le domaine de définition, noté des V, sera 2 exclue, plus l'infini exclue.
08:22Pour le numérateur, le radical de la racine doit être positif ou nul.
08:27Pour trouver les racines et faire le tableau de signes, il suffit de poser X égale à X au carré.
08:32De ce fait, tu auras eu de grand X égale à 2 grand X au carré, moins 3 grand X, plus 1.
08:39A l'aide du discriminant delta, il y a deux solutions, la première notée grand X 1, égale à 1 demi, la seconde notée grand X 2, égale à 1.
08:47Mais comme grand X égale à X au carré, X égale à racine carrée de grand X, donc, la première paire de racines, notée X 1, et l'ensemble contenant, moins racine carrée de 2, sur 2, et, racine carrée de 2, sur 2, la seconde paire de racines, notée X 2, et l'ensemble contenant moins 1, et 1.
09:06La fonction U de X pourra par définition se factoriser ainsi.
09:12Plus de place, on change de page.
09:15Tableau de signes standards, avec une ligne par terme, puis une ligne pour la fonction complète.
09:19Les racines sont ordonnées en première ligne, les zéros sur les barres verticales, et au bon endroit, puis remplissage des signes dans la ligne 2, puis dans la ligne 3, ensuite dans la ligne 4, et enfin dans la ligne 5.
09:33Remplissage des signes dans la dernière ligne grâce à l'empilement des signes des lignes du dessus, ce qui donne de gauche à droite, plus, moins, plus, moins, et plus.
09:42Effacement des lignes 2 à 4 du tableau pour gagner un peu de place, et le domaine de définition du numérateur, dont le radical U doit être positif ou nul, noté DU, sera moins l'infini exclu, moins 1 inclus, union, moins racine carrée de 2, sur 2, inclus, racine carrée de 2, sur 2, inclus, union inclus, plus l'infini exclu.
10:04Je rappelle que le domaine de définition du dénominateur, noté DV, est 2 exclu, plus l'infini exclu.
10:10Sachant que le domaine de définition de la fonction K, noté DK, est l'intersection de DU et DV, DK sera donc égal à 2 exclu, plus l'infini exclu.
10:217. Les fonctions choisies avaient l'air d'un cadeau bien empoisonné, mais en appliquant à la lettre et au sens strict les contraintes de chaque type de fonction,
10:29et à l'aide d'outils de résolution simples normalement maîtrisés à la perfection, il est facile de déterminer un domaine de définition.
10:35Exercice numéro 3, dans lequel les fonctions vont gagner en complexité et en nombre pour se rapprocher du niveau terminal.
10:43C'est parti !
10:45Voilà l'énoncé, pas le temps de niaiser, va falloir te sortir les doigts du fondement et te mettre à bosser sur le champ.
10:51Et comme l'espace manque pour la rédaction, nettoyage de l'écran et affichage de la question traité uniquement.
10:57Petit a, calculez les domaines de définition des fonctions suivantes.
11:02Ah, je viens de voir une faute d'accord dans cette phrase, sauras-tu la retrouver ?
11:07Revenons à nos fonctions.
11:09F1 de x est égal à ln de x-4.
11:13Par définition, la fonction ln existe si et seulement si son argument, le contenu, est strictement positif.
11:19Donc, x-4, strictement supérieur à 0, ce qui entraîne que x strictement supérieur à 4.
11:27Le domaine de définition, noté d'F1, sera 4 exclu, plus l'infini exclu.
11:33Next.
11:34F2 de x est égal à racine carrée de 2x plus 1.
11:39Par définition, la fonction racine carrée existe si et seulement si son radical, le contenu, est positif ou nul.
11:45Donc, 2x plus 1, supérieur ou égal à 0, ce qui entraîne que x supérieur ou égal à moins 1 demi.
11:53Le domaine de définition, noté d'F2, sera moins 1 demi inclus, plus l'infini exclu.
12:00Next.
12:01F3 de x est égal à x², plus x, moins 4, sur 3x moins 4.
12:08Numérateur du second degré, donc défini sur l'ensemble des réels, mais le dénominateur ne peut pas être nul.
12:14De ce fait, 3x moins 4, différent de 0, donc x différent de 4 tiers.
12:20Le domaine de définition, noté d'F3, sera moins infini exclu, 4 tiers exclu, union 4 tiers exclu, plus l'infini exclu.
12:30Next.
12:31Petit b, déterminer le domaine de définition, mais pas le signe, des fonctions suivantes.
12:36G1 de x est égal à x², plus 3x, moins 4.
12:42Fonction du second degré, donc par définition, elle est définie sur l'ensemble complet des réels.
12:48De ce fait, le domaine de définition, noté d'G1, sera moins l'infini exclu, plus l'infini exclu.
12:55Next.
12:55G2 de x est égal à x plus 1, sur x moins 1.
13:01Le numérateur est une fonction affine, donc définie sur l'ensemble complet des réels.
13:06Le dénominateur ne peut pas s'annuler donc, x moins 1, différent de 0, soit x différent d'or.
13:12De ce fait, le domaine de définition, noté d'G2, sera moins l'infini exclu, 1 exclu, union 1 exclu, plus l'infini exclu.
13:22Next.
13:23G3 de x est égal à sinus de x.
13:27Par définition, la fonction sinus est définie sur l'ensemble complet des réels.
13:31De ce fait, le domaine de définition, noté d'G3, sera moins l'infini exclu, plus l'infini exclu.
13:39Next.
13:39Petit c, déterminez les domaines de définition des fonctions suivantes.
13:45En analysant les trois fonctions, on remarque qu'elles ont le même contenu, la fonction x², plus 3x, moins 4, que je nomme u2x.
13:54En h1, elle est dans une racine, en h2, dans un relène, et en h3, en dénominateur.
14:01En déterminant le signe et les racines de cette fonction, il sera facile de déterminer les domaines de définition.
14:06Comme u est une fonction du second degré, utilisation du discriminant delta pour établir ce tableau de signe, les racines, les zéros sur les barres verticales, signe de à l'extérieur des racines, dont plus ici, et moins là.
14:19Tu as tout ce qu'il te faut pour déterminer les domaines de définition.
14:24H1 de x est égal à racine carrée de u de x.
14:28Le radical de la racine devant être positif ou nu, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté d'H1, sera moins l'infini exclu, un inclus, union 4 inclus, plus l'infini exclu.
14:40Next.
14:42H2 de x est égal à ln de u de x.
14:46L'argument du logarithme n'est pas rien devant être strictement positif, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté d'H2, sera moins l'infini exclu, un inclus, union 4 inclus, plus l'infini exclu.
15:00Next.
15:00H3 de x est égal à 1 sur u de x.
15:04Le dénominateur ne devant pas être nul, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté d'H3, sera moins l'infini exclu, un inclus, union 1 inclus, 4 inclus, union 4 inclus, plus l'infini exclu.
15:19Next.
15:20Nouveau triplet de fonctions.
15:23En les analysant, on remarque qu'elles ont le même contenu, la fonction, x plus 1, sur, x moins 1, que je nomme u de x.
15:31En H4, elle est dans une racine, en H5, dans un ln, et en H6, en dénominateur.
15:38En déterminant le signe et les racines de cette fonction, il sera facile de déterminer les domaines de définition.
15:44Comme u est une fonction quotient de deux fonctions affines, utilisation des inéquations du premier degré pour établir ce tableau de signes, les racines, les zéros sur les barres verticales des lignes de x plus 1, et x moins 1, puis dans la dernière ligne, un zéro ici et une double barre là, valeur interdite.
16:01Remplissage des signes dans la ligne 2, puis dans la ligne 3, et règle des signes pour déterminer celui de la ligne de la fonction u, plus, moins, plus.
16:12Tu as tout ce qu'il te faut pour déterminer les domaines de définition.
16:16H4 de x est égal à racine carrée de u de x.
16:19Le radical de la racine devant être positif ou nu, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté dh4, sera moins l'infini exclu, moins un inclus, union un exclu, plus l'infini exclu.
16:33Je rappelle que la double barre en dernière ligne indique que la valeur est interdite, donc toujours exclue du domaine de définition.
16:40Next.
16:41H5 de x est égal à ln de u de x.
16:44L'argument du logarithme n'est pas rien devant être strictement positif, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté dh5, sera moins l'infini exclu, moins un exclu, union un exclu, plus l'infini exclu.
16:59Next.
17:00H6 de x est égal à 1 sur u de x.
17:04Le dénominateur ne devant pas être nul, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté dh6, sera moins l'infini exclu, moins un exclu, union moins un exclu.
17:14Un exclu, union un exclu, plus l'infini exclu.
17:19Néanmoins, tu sais que diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
17:24De ce fait, la fonction h6 peut s'écrire, x moins un, sur, x plus un.
17:29Numérateur affine, donc défini sur l'ensemble complet des réels.
17:33Et dénominateur non nu, donc x différent de moins un, ce qui entraîne que le domaine de définition, noté dh6 prime, sera moins l'infini exclu, moins un exclu, union moins un exclu, plus l'infini exclu.
17:47Problème, dh6 et dh6 prime ne sont pas égaux.
17:51Donc lequel est juste ?
17:54Dis-moi ce que tu en penses en commentaire, et expose tes arguments.
17:58Dernier triplet de fonctions.
18:00En les analysant, on remarque qu'elles ont le même contenu, la fonction, sinus de x, que je nomme u de x.
18:06En h7, elle est dans une racine, en h8, dans un ln, et en h9, en dénominateur.
18:14En déterminant le signe et les racines de cette fonction, il sera facile de déterminer les domaines de définition.
18:20Comme sinus est une fonction trigonométrique, je vais étudier son signe avec ce tableau sur l'intervalle standard, c'est-à-dire 0, 2π.
18:28Par définition, le sinus s'annule en π, d'où la barre verticale avec le 0.
18:32Mais le sinus s'annule aussi en 0, et en 2π, et il est judicieux d'en faire la remarque en ajoutant ces barres verticales avec un 0.
18:41Toujours par définition, mais tu peux aussi t'en assurer en dessinant un cercle trigonométrique avec le compas.
18:47Sinus est positif en R0 et π, négatif en Rπ et 2π.
18:51Tu as tout ce qu'il te faut pour déterminer les domaines de définition.
18:56h7 de x est égal à racine carré de u de x.
18:59Le radical de la racine devant être positif ou nu, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté d'h7, sera 0 modulo de π inclus, π modulo de π inclus.
19:11Next.
19:12h8 de x est égal à ln de u de x.
19:16L'argument du logarithme néperien devant être strictement positif, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté d'h8, sera 0 modulo de π exclus, π modulo de π exclus.
19:27Next.
19:29h9 de x est égal à 1 sur u de x.
19:33Le dénominateur ne devant pas être nul, après lecture du tableau, le domaine de définition, noté dh9, sera ensemble des réels privés des valeurs 0 modulo de π, et π modulo de π.
19:44h7, les fonctions choisies avaient l'air d'être une purge neuronale, mais en appliquant à la lettre et au sens strict les contraintes de chaque type de fonction, et à l'aide d'outils de résolution simples normalement maîtrisés à la perfection, il est facile de déterminer un domaine de définition.
19:59Exercice numéro 4, le dernier de la série, dans lequel je me suis amusé à fabriquer des fonctions quelque peu ésotériques pour te montrer que rien n'est difficile quand on maîtrise son sujet.
20:10C'est parti !
20:11Déterminer le domaine de définition de chaque fonction
20:14Comme tu peux le constater, j'ai été assez inventif, mais tu vas voir qu'avec un minimum d'intelligence, tout va bien se passer.
20:22Et comme d'habitude, table rase et affichage seulement de la fonction traitée.
20:26Première fonction, f de x égale à e2, 1 sur racine carré de x.
20:32La présence du 1 sur racine carré de x, en exposant indique que non seulement x doit être positif, mais qu'il ne peut pas être nu vu que la racine est au dénominateur.
20:42Par conséquent, le domaine de définition, noté df, sera 0 exclu, plus l'infini exclu.
20:49Next.
20:49Seconde fonction, g de x égale à 5x plus 6, sur, moins 1 plus e2, x au carré, moins 2x, moins 3.
20:59Le numérateur est une fonction affine, donc définie sur l'ensemble complet des réels.
21:04Le dénominateur ne peut pas être nul, ça implique que, e2, x au carré, moins 2x, moins 3, différent de 1, donc, e2, x au carré, moins 2x, moins 3, différent de e2, 0.
21:17Et par définition, x au carré, moins 2x, moins 3, différent de 0.
21:23En utilisant le discriminant delta, les deux racines seront moins 1, et 3, qu'il faudra éliminer car elles annulent la fonction au dénominateur.
21:31Par conséquent, le domaine de définition, noté dg, sera moins l'infini exclu, moins 1 exclu, union moins 1 exclu, 3 exclu, union 3 exclu, plus l'infini exclu.
21:43Next.
21:43Troisième fonction, h de x égale à ln 2, moins 1, plus e2, x au carré, plus 10x, plus 9.
21:52Par définition, l'argument du logarithme néperien doit être strictement positif, donc e2, x au carré, plus 10x, plus 9, strictement supérieur à 1, soit e2, x au carré, plus 10x, plus 9, strictement supérieur à e2, 0.
22:08Ce qui entraîne par définition que, x au carré, plus 10x, plus 9, strictement supérieur à 0.
22:15A l'aide du discriminant delta, tu fais ce tableau de signes.
22:19Les racines, les barres verticales avec un 0, signe de a à l'extérieur des racines, donc plus ici, et moins là.
22:25Comme par définition, l'argument du logarithme néperien doit être strictement positif, le domaine de définition, noté dh, sera moins l'infini exclu, moins 9 exclu, union moins 1 exclu, plus l'infini exclu.
22:40Next.
22:41Quatrième fonction, i2x égale à ln2, x au carré.
22:46Par définition, l'argument du logarithme néperien doit être strictement positif, ça entraîne que x au carré strictement positif, donc x non nul.
22:55Le domaine de définition, noté dh, sera moins l'infini exclu, 0 exclu, union 0 exclu, plus l'infini exclu.
23:04Next.
23:05Cinquième fonction, j2x égale à cosinus de ln2, x moins 2.
23:10Par définition, l'argument du logarithme néperien doit être strictement positif, ça entraîne que, x moins 2, strictement positif, donc x strictement supérieur à 2.
23:21Le domaine de définition, noté dj, sera 2 exclu, plus l'infini exclu.
23:27Next.
23:29Dernière fonction, k2x égale à sinus de ln2, racine carré de x, moins 4.
23:34Par définition, l'argument du logarithme néperien doit être strictement positif, ça entraîne que, racine carré de x, moins 4, strictement positif, donc racine carré de x strictement supérieur à 4, soit x strictement supérieur à 16.
23:51Le domaine de définition, noté dk, sera 16 exclu, plus l'infini exclu.
23:55Je le confesse, les fonctions sorties de mon intelligence mathématique avaient l'air d'être une soupe indigeste, mais en appliquant à la lettre et au sens strict les contraintes de chaque type de fonction,
24:06et à l'aide d'outils de résolution simples normalement maîtrisés à perfection, il est facile de déterminer un domaine de définition.
24:13La forge est désormais terminée.
24:15Des questions ?
24:17Un complément d'informations ?
24:20Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
24:22D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
24:29A toi de forger maintenant !
24:31Prochaine vidéo sur l'encleum.
24:33Que la forge soit avec toi !
24:36Stay tuned !
24:37Tchuss !
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