- il y a 2 semaines
Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/1JdKJ4YYPPtr9L5YOk0vN1pKUWX9TXcLj?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k5N3MoRQF2qhnYEpRU4
Que la Forge soit avec toi...
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k5N3MoRQF2qhnYEpRU4
Que la Forge soit avec toi...
Catégorie
📚
ÉducationTranscription
00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 47, équation différentielle d'ordre 1.
00:40Et on commence en plus à tendre par l'exercice numéro 1, avec lequel ton cerveau va s'échauffer tout en douceur.
00:47C'est parti.
00:48Résoudre l'équation différentielle proposée.
00:51Il y en a 8, on va toutes les faire, ça te permettra de maîtriser la procédure de résolution, que je vais te rappeler.
00:57L'écriture de ton équation différentielle doit être de la forme Y prime égale à Y plus B, avec A et B des réels.
01:05Cette écriture a sa forme de résolution.
01:08Une solution sera Y de X, égale à K fois exponentielle de A fois X, moins, B sur A, avec K1 réel.
01:16La solution se déterminera si tu disposes de Y de X0, égale à Y0.
01:21Elle sera Y de X, égale à Y0 fois exponentielle de A fois X, moins, B sur A.
01:29Maintenant que tu as les formules en tête, on peut aborder la première équation différentielle.
01:34Petit 1, Y prime égale à 3Y.
01:37L'équation est écrite sous sa forme de résolution, donc A égale à 3, B à 0.
01:42De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de 3 fois X, moins 0 sur 3, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de 3X.
01:54Et c'est tout.
01:55Simple, n'est-il pas.
01:57Alors, on continue.
01:59Next.
02:01Petit 2, Y prime plus 2Y égale à 0.
02:04Passage en forme de résolution, donc Y prime égale à moins 2Y.
02:09A égale à moins 2, B à 0.
02:12De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, moins 2 fois X, moins 0 sur moins 2, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins 2X.
02:23Et c'est tout.
02:25Toujours aussi simple, n'est-il pas.
02:28Alors, on continue.
02:30Next.
02:30Petit 3, Y égale à moins 5Y prime, avec F2, moins 2, égale à 1.
02:37Attention, il faut avoir un scanner à la place de l'œil pour ne pas tomber dans le piège.
02:42Y prime est à droite du signe égal, entouré en rouge, il est donc nécessaire de modifier l'écriture dans sa forme de résolution.
02:50Y prime est égal à moins 1 cinquième de Y, donc Y prime égale à moins 0,2Y.
02:56A égale à moins 0,2, B à 0.
02:59De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, moins 0,2 fois X, moins 0 sur moins 0,2, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins 0,2X.
03:13Mais ce n'est pas encore fini.
03:15F de moins 2 va permettre de déterminer la valeur numérique de K.
03:18Tu poses F de moins 2, égale à 1, simplification, réduction, et K égale à exponentielle de moins 0,4.
03:27Remplacement dans l'expression de Y de X, qui devient F de X, égale à exponentielle de moins 0,4, fois exponentielle de moins 0,2X, qui peut se réduire en exponentielle de, moins 0,2X, moins 0,4.
03:40En effet, tu sais que exponentielle de A, fois exponentielle de B, est égale à exponentielle de, A plus B.
03:49Tu vois, rien de bien compliqué.
03:51Next.
03:53Petit 4, Y plus 2Y prime égale à 0, avec F prime de moins 2 égale à 1 demi.
03:58Attention, il faut de nouveau avoir un scanner à la place de l'œil pour ne pas tomber dans le piège.
04:05Y prime n'est pas tout seul à gauche de signes égales, entouré en rouge, il est donc nécessaire de modifier l'écriture dans sa forme de résolution.
04:13Y prime est égale à moins 1 demi de Y, donc Y prime égale à moins 0,5Y.
04:19A égale à moins 0,5, B à 0.
04:22De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, moins 0,5 fois X, moins 0 sur moins 0,5, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins 0,5X.
04:36Mais ce n'est pas encore fini.
04:38F prime de moins 2 va permettre de déterminer la valeur numérique de K.
04:41Tu sais que Y de X est égale à K fois exponentielle de moins 0,5X, donc Y prime de X égale à moins 0,5 fois K fois exponentielle de moins 0,5X.
04:53Y prime devient F prime, et tu calcules l'image de moins 2, simplification, réduction, et K égale à moins exponentielle de moins 1.
05:01Remplacement dans l'expression de Y de X, qui devient F de X, égale à moins exponentielle de moins 1, fois exponentielle de moins 0,5X, qui peut se réduire en moins exponentielle de, moins 0,5X moins 1.
05:16En effet, tu sais que exponentielle de A, fois exponentielle de B, est égale à exponentielle de, A plus B.
05:23Tu vois, ça reste tout de même relativement simple.
05:27Next.
05:28Petit 5, Y prime égale à 2Y plus 1.
05:32L'équation est écrite sous sa forme de résolution, donc A égale à 2, B à 1.
05:37De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, 2 fois X, moins 1 sur 2, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de 2X, moins 1,5.
05:48Toujours aussi simple.
05:50Next.
05:52Petit 6, Y plus 3Y prime égale à 2.
05:56Attention, il faut une nouvelle fois avoir un scanner à la place de l'œil pour ne pas tomber dans le piège.
06:01Y prime n'est pas tout seul à gauche du signe égal.
06:04Entouré en rouge, il est donc nécessaire de modifier l'écriture dans sa forme de résolution.
06:09Y prime est égale à, moins Y plus 2, sur 3, ce qui se transforme en moins 1 tiers de Y, plus 2 tiers.
06:16A égale à moins 1 tiers, B à 2 tiers.
06:21De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, moins 1 tiers fois X, moins 2 tiers sur moins 1 tiers, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins 1 tiers de X, plus 2.
06:33Pas plus compliqué que le précédent.
06:36Next.
06:36Petit 7, 2Y, plus 3Y prime, moins 1, égale à 0.
06:43Attention, il faut de nouveau avoir un scanner à la place de l'œil pour ne pas tomber dans le piège.
06:48Y prime n'est pas tout seul à gauche de signe égal.
06:51Entouré en rouge, il est donc nécessaire de modifier l'écriture dans sa forme de résolution.
06:55Y prime est égale à, moins 2Y plus 1, sur 3, ce qui se transforme en moins 2 tiers de Y, plus 1 tiers.
07:04A égale à moins 2 tiers, B à 1 tiers.
07:07De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, moins 2 tiers fois X, moins 1 tiers sur moins 2 tiers, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins 2 tiers de X, plus 1 demi.
07:21C'est devenu une routine pour toi.
07:23Next.
07:23Petit 8, 2Y prime égale à Y moins 1.
07:28Une réécriture est nécessaire pour obtenir Y prime égale à, Y moins 1, sur 2, qui se transforme en 1 demi de Y, moins 1 demi.
07:37A égale à 1 demi, B à moins 1 demi.
07:40De ce fait, Y de X égale à K fois exponentielle de, 1 demi fois X, moins moins 1 demi sur 1 demi, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de 1 demi de X, plus 1.
07:51Tu as vu, rien de bien compliqué quand tu appliques les formules sans te prendre le chou, mais avec méthode et minutie.
07:59Exercice numéro 2, avec lequel tu vas mettre un neurone dans un énoncé en adéquation avec le niveau demandé et attendu pour le baccalauréat.
08:06C'est parti.
08:09On considère l'équation, notez grand E, Y prime plus Y égale à 3.
08:14Petit a, déterminez une solution évidente de cette équation.
08:18Traduction, sans calcul alambiqué, juste avec un peu de déduction et tes connaissances sur les dérivés.
08:24Et, quelle est la fonction simple solution de cette équation différentielle ?
08:28Réfléchissons ensemble.
08:30Tu fais la somme d'une fonction ou de sa dérivée, et tu obtiens une constante réelle.
08:35Deux possibilités, soit la fonction est constante, soit c'est sa dérivée.
08:40Mais tu sais que seule la fonction peut être constante, car sa dérivée devient nulle.
08:44Donc Y de X égale à 3, ce qui implique que Y prime de X est nul.
08:50Je te propose d'appeler cette solution Y de X, E pour évidente.
08:55Next.
08:56Petit b, résoudre sur l'ensemble complet des réelles l'équation Y prime plus Y égale à 0.
09:02Une réécriture est nécessaire pour obtenir Y pris égal à moins Y.
09:07A égale à moins 1, B à 0.
09:09De ce fait, Y H de X égale à K fois exponentielle de, moins 1 fois X, moins 0 sur moins 1, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins X.
09:21Next.
09:23Petit c, en déduit les solutions sur l'ensemble complet des réelles de l'équation E.
09:28Fastiche fastache fastoche.
09:30Tu as la solution particulière, notée Y E, la solution homogène, notée Y H.
09:36Une solution, notée Y de X, sera la somme des solutions particulières et homogènes.
09:43Par conséquent, Y de X égale à 3, plus K exponentielle de moins X, avec K réel.
09:49Pas trop fourbu par tant d'efforts intellectuels.
09:53Exercice numéro 3, dans lequel je rajoute un niveau de difficulté dans l'énoncé.
09:58C'est parti.
09:58On se propose de résoudre, dans l'ensemble complet des réels, l'équation différentielle, notée grand E, Y prime plus Y égale exponentielle de moins X.
10:09Question 1, petit a, résoudre dans R l'équation Y prime plus Y égale à 0.
10:15Une réécriture est nécessaire pour obtenir Y pris égale à moins Y.
10:19A égale à moins 1, B à 0.
10:23De ce fait, Y H de X égale à K fois exponentielle de, moins 1 fois X, moins 0 sur moins 1, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de moins X.
10:34Next.
10:35Petit b, montré que la fonction G, définie sur les réels par G de X égale à X fois exponentielle de moins X, est une solution particulière de grand E.
10:44Si G est solution de grand E, c'est qu'elle valide l'équation.
10:48De ce fait, il va falloir déterminer sa dérivée.
10:52G est de la forme U fois V, donc G prime sera égale à U prime V, plus UV prime.
10:57U de X égale à X, donc U prime de X égale à 1.
11:02V de X égale à exponentielle de moins X, donc V prime de X égale à moins exponentielle de moins X.
11:08Par calcul, G prime de X sera égale à 1 moins X, exponentielle de moins X.
11:14Tu poses G prime de X plus G de X, tu les remplaces par leurs expressions, calculs, et le résultat est exponentielle de moins X.
11:23L'équation grand E est validée, donc j'ai bien une solution particulière.
11:28Next.
11:29Petit c, en déduit la solution générale de grand E.
11:32Par définition, une solution, notée Y de X, sera à somme des solutions particulières et homogènes, que tu as déterminées précédemment.
11:42Par conséquent, Y de X égale à Y H de X, plus U de X, remplacement par leurs expressions, réduction, et Y de X égale à X plus K, exponentielle de moins X.
11:55Next.
11:55Question 2, déterminer la solution particulière de grand E, prenant la valeur 3 en X égale à 0.
12:02Y de X égale à A, X plus K, exponentielle de moins X.
12:08Calcul de Y de 0, ce qui donne K égale à 3.
12:10Donc Y de X égale à A, X plus 3, exponentielle de moins X.
12:17Tu suis toujours, ou tu es prostré en boule sur ta chaise ?
12:20Exercice numéro 4, qui reprend quasiment les mêmes questions que celles du précédent, mais avec quelques subtilités qui le rendent un peu plus ardue.
12:28C'est parti.
12:30Une comparaison à un modèle d'écoulement, amène à considérer que la vitesse d'écoulement, notée nu 0, d'un liquide dans un tube cylindrique est solution de l'équation différentielle suivante.
12:394 nu prime, plus nu, égale à 3 exponentielle de, X sur 2, moins 1, avec la condition initiale nu 0, égale à 0.
12:49Question 1, résoudre l'équation différentielle notée 4 nu prime, plus nu, égale à 0.
12:55Une réécriture est nécessaire pour obtenir nu pris égale à moins 1 quart de nu.
13:00A égale à moins 1 quart, B à 0.
13:02De ce fait, nu H de X, solution homogène, est égale à k fois exponentielle de, moins 1 quart fois X, moins 0 sur moins 1 quart, avec k réel, ce qui se réduit en k fois exponentielle de, moins 1 quart de X.
13:16Next.
13:17Question 2, déterminer les constantes A et B, pour que la fonction U, définie sur l'ensemble complet des réels, par U de X égale à A exponentielle de, X sur 2, plus B, soit une solution particulière de l'équation E.
13:32La procédure est simple.
13:35Tu pars de U de X, et tu détermines sa dérivée, égale à un demi-fois grand A exponentielle de, X sur 2.
13:42Puis tu les injectes toutes les deux dans l'équation différentielle.
13:46Tu auras alors 4 fois un demi-fois grand A exponentielle de, X sur 2, plus grand A exponentielle de, X sur 2, plus grand B, égale à 3 exponentielle de, X sur 2, moins 1.
13:57Tu rassembles ce qui se ressemble, puis par identification, tu obtiendras grand A égale à 1, et grand B égale à, moins 1.
14:05Par conséquent, U de X égale à exponentielle de, X sur 2, moins 1.
14:10Next.
14:12Question 3, résoudre l'équation grand E sur l'ensemble complet des réels.
14:17Par définition, une solution, notée nu de X, sera égale à nu H de X, plus U de X.
14:22De ce fait, nu de X égale à K exponentielle de, moins 1, quart de X, plus exponentielle de, X sur 2, moins 1.
14:31Next.
14:33Question 4, déterminer la solution particulière vérifiant nu de 0 égale à 0.
14:38Simple, il suffit de calculer nu de 0, égale à K exponentielle de, moins 1, quart fois 0, plus exponentielle de, 0 sur 2, moins 1, ce qui implique que K est nul.
14:48Donc nu de X égale à exponentielle de, X sur 2, moins 1.
14:53Plus tu feras d'exercices, plus tu trouveras simple la résolution des équations différentielles d'ordre 1.
14:59Exercice numéro 5, dans lequel tu vas avoir la joie de retrouver la trigonométrie, pour ton plus grand bonheur.
15:06C'est parti.
15:07On considère l'équation différentielle suivante, notée grand E.
15:113X prime, moins 2X, égale à moins 20 cosinus de 2T, où l'inconnu X est une fonction de la variable réalité, définie et dérivable sur l'ensemble complet des réels, et nu X prime est la fonction dérivée de X.
15:25Comme j'ai besoin d'espace pour rédiger, je fais place nette.
15:29Question 1, petit a, résoudre l'équation différentielle, notée E0, 3X prime, moins 2X égale à 0.
15:36Une réécriture est nécessaire pour obtenir X prime égale à 2 tiers de X.
15:42A égale à 2 tiers, B à 0.
15:45De ce fait, XH de T, solution homogène, est égale à K fois exponentielle de, 2 tiers fois T, moins 0 sur 2 tiers, avec K réel, ce qui se réduit en K fois exponentielle de 2 tiers de T.
15:58Next.
15:58Petit b, déterminez une solution particulière de grand E, sous la forme X de T égale à grand A cosinus de 2T, plus grand B sinus de 2T.
16:08Traduction, il faut déterminer les réels grand A et grand B en utilisant la première équation différentielle.
16:14Tu poses X de T égale à grand A cosinus de 2T, plus grand B sinus de 2T, puis tu dérives.
16:19X prime de T égale à moins 2 grand A sinus de 2T, plus 2 grand B cosinus de 2T.
16:26Je rappelle que la dérivée de cosinus de U est, moins U prime sinus de U, et celle de sinus de U est, U prime cosinus de U.
16:33Direction l'équation différentielle, dans laquelle tu remplaces X et X prime par leurs expressions, factorisation, pour obtenir, moins 2 grand A plus 6 grand B, cosinus de 2T, plus, moins 6 grand A moins 2 grand B, sinus de 2T, égale à moins 20 cosinus de 2T.
16:50Tu auras le système d'équation suivant, moins 2 grand A plus 6 grand B égale à moins 20, moins 6 grand A moins 2 grand B égale à 0.
16:59La résolution donnera grand A égale à 1, grand B égale à moins 3.
17:03Par conséquent, X de T sera égale à cosinus de 2T, moins 3 sinus de 2T.
17:09Next.
17:10Petit c, résoudre l'équation grand E.
17:13Tu disposes des solutions homogènes et particulières, il suffira de faire leur somme pour avoir une solution.
17:19Noter F de T, égale à K exponentielle de, 2 tiers de T, plus cosinus de 2T, moins 3 sinus de 2T.
17:27Next.
17:28Question 2, déterminer la solution particulière F de grand E, vérifiant la condition initiale F de 0 nul.
17:35Procédure simple, tu pars de F de T, affiché sur l'écran, et tu calcules l'image de 0 par cette fonction.
17:42Tu isoles la constante K, égale à moins 1.
17:45Donc F de T est égale à moins exponentielle de, 2 tiers de T.
17:49Plus cosinus de 2T, moins 3 sinus de 2T.
17:52Même avec la présence de cosinus et de sinus, rien d'insurmontable, encore faut-il connaître par cœur leurs dérivés,
17:59et si ce n'est pas le cas, il va falloir sérieusement t'y mettre.
18:03Exercice numéro 6, qui va clore cette vidéo, et je me devais de terminer en beauté avec un problème radioactif.
18:10C'est parti !
18:11Le but du problème est l'étude de la désintégration d'un corps radioactif, le thorium-227, qui donne du radium-223, lequel se désintègre à son tour en donnant du radon-219.
18:22A l'instant T égale à 0, on isole N0 atome de thorium.
18:27On note R de T le nombre d'atomes de radium à instant T, pour T réel positif.
18:33A l'instant T égale à 0, il n'y a aucun atome de radium.
18:36On admet que la fonction R de T est la solution, sur l'ensemble des réels positifs, de l'équation différentielle,
18:43notée E, Y' plus 0,062Y, égale à 0,038 fois N0, exponentielle de moins 0,038T, qui vérifie la condition initiale R de 0 nul.
18:56Question 1, petit a, montrez que la fonction Y1, définie sur l'ensemble des réels positifs,
19:03par Y1 de T égale à 19 douzième fois N0 exponentielle de moins 0,038T, est une solution de grand E.
19:11Bigre, pas assez d'espace pour la rédaction, j'élimine les informations non indispensables.
19:17Y1 de T est donnée, calcul de sa dérivée, égale à moins 0,038 fois 19 douzième fois N0 exponentielle de moins 0,038T.
19:27Pour rappel, la dérivée de exponentielle de U est U' exponentielle de U.
19:32Maintenant, il faut vérifier que Y1' de T, plus 0,062Y1 de T, donne le même résultat que grand E.
19:41Fonctions et dérivées sont remplacées par leurs expressions, factorisations, réductions,
19:45et le résultat est 0,038 fois N0 exponentielle de moins 0,038T, exactement ce qui est attendu.
19:53Donc Y1 est bien une solution de grand E.
19:57Next.
19:59Petit b, déterminer dans l'ensemble des réels positifs la solution générale, noté Y0, de l'équation sans second membre, noté grand E0, associé à l'équation grand E.
20:09Traduction, il faut poser Y0' de T, plus 0,062Y0 de T, égale à 0.
20:18Une réécriture est nécessaire pour obtenir Y0' de T égale à moins 0,062Y0 de T.
20:24A égale à moins 0,062B à 0.
20:29De ce fait, Y0 de T est égale à K fois exponentielle de moins 0,062 fois T, moins 0 sur moins 0,062, avec K réel, ce qui se réduit au K fois exponentielle de moins 0,062T.
20:44Next.
20:46Petit c, en déduit la solution générale, noté Y, de grand E.
20:50Tu disposes des solutions homogènes et particulières, il suffira de faire leur somme pour avoir une solution, noté Y de T, égale à 19 douzième fois N0 exponentielle de moins 0,038T, plus K exponentielle de moins 0,062T.
21:06Next.
21:08Petit d, déterminer alors la fonction grand R.
21:11Tu reprends l'expression de Y de T de la question précédente, que tu renommes grand R de T.
21:16Calcul de grand R de 0, égale à 0, donné au début dans les 11 C, dans le but d'isoler la constante K, égale à moins 19 douzième fois N0, que tu remplaces dans l'expression de grand R de T.
21:28Factorisation, réduction, et grand R de T sera égale à 19 douzième fois N0, facteur 2, exponentielle de moins 0,038T, moins exponentielle de moins 0,062T.
21:41Comme tu as pu le constater tout au long des exercices, si tu appliques les formules convenablement, que tu connais toutes tes dérivées sur le bout des doigts, et surtout que tu es à l'aise avec le calcul mental ou posé, en avançant dans les questions avec méthode et minutie, plus tu feras d'exercices, moins d'emmerdes tu auras.
21:59Donc au boulot.
22:00La forge est désormais terminée.
22:03Des questions.
22:04Un complément d'informations.
22:07Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
22:08D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
22:16A toi de forger maintenant.
22:18Prochaine vidéo sur l'encleum.
22:20Que la forge soit avec toi.
22:23Stay tuned.
22:24Tchuss.
22:25Sous-titrage Société Radio-Canada
22:46Sous-titrage Société Radio-Canada
22:47Sous-titrage Société Radio-Canada