- il y a 3 mois
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Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k2MPoOSzPpj4uJE39PO
Que la Forge soit avec toi...
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00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 42, étude de fonction.
00:39Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, avec lequel ton cerveau va atteindre sa température optimale d'utilisation.
00:47C'est parti.
00:48Étude de F2X, égale à exponentielle de 1-X, sur, X², plus X, plus 1.
00:56Petit a, donnez le domaine de définition de F.
01:00Par définition, le numérateur existe sur l'ensemble complet des réels.
01:05Par contre, le dénominateur ne peut pas être égal à 0, et comme il est du second degré,
01:10utilisation du discriminant delta pour déterminer les racines qu'il annule.
01:14A égale à 1, B et C aussi, delta égale à B au carré moins 4AC, ce qui donne moins 3.
01:20Delta négatif, donc le dénominateur ne s'annule jamais, vu qu'il sera du signe de A.
01:25Par conséquent, le domaine de définition de la fonction, noté des F, sera ensemble complet des réels.
01:32Next.
01:34Petit b, calculez la dérivée de F.
01:36F est du type U sur V, donc, F' sera égal à U'V, moins UV', sur V carré.
01:44U de X égale à exponentielle de 1-X, donc U' de X est égal à moins exponentielle de 1-X.
01:51V de X égale à X au carré, plus X, plus 1, donc V' de X est égal à 2X plus 1.
01:59Remplacement des variables U et V par leurs expressions, factorisation par moins exponentielle de 1-X,
02:05pour obtenir F' de X égale à moins exponentielle de 1-X, facteur de X au carré, plus 3X, plus 2, sur X au carré, plus X, plus 1, au carré.
02:17Un conseil très important, travaille toujours avec une dérivée la plus factorisée possible, tu verras que ça te facilite grandement le travail.
02:25Next.
02:27Petit c, étudier le signe de F'.
02:29J'affiche cette dérivée, et il faut toujours commencer par les évidences, ça permet de gagner du temps.
02:35Quel que soit X appartenant à Df, X au carré, plus X, plus 1, au carré, strictement positif, et par définition, moins exponentielle de, 1-X, strictement négatif.
02:48Il faut déterminer le signe de, X au carré, plus 3X, plus 2.
02:53Fonction du second degré, donc utilisation du discriminant delta.
02:57A égale à 1, B à 3, C à 2, delta égale à B au carré, moins 4AC, ce qui donne 1.
03:04Delta positif, donc deux solutions réelles et distinctes, je ne vais pas détailler la procédure, tu es censé la maîtriser parfaitement, qui sont X1 égale à moins 2, et X2 égale à moins 1.
03:15Petit tableau de signes ne contenant que les termes du numérateur, celui du dénominateur étant toujours strictement positif, il est sans effet sur le signe de l'expression.
03:25Comme par définition, moins exponentielle de, 1-X, strictement négatif, des moins sur toute la ligne.
03:32Pour la ligne suivante, du signe E à l'extérieur des racines donc, plus ici, et moins là.
03:38Règle des signes dans la dernière ligne donc, moins, plus, moins.
03:42Next.
03:43Petit d, calculer les limites de f en plus l'infini, et en moins l'infini.
03:49En utilisant l'expression donnée par l'énoncé, que ce soit en plus l'infini ou en moins l'infini, tu auras systématiquement une forme indéterminée.
03:57Par conséquent, il faut modifier l'écriture de la fonction.
04:01Au lieu d'utiliser la technique de la factorisation, j'ai opté pour une autre méthode.
04:06Réécriture du numérateur en, E de 1, sur E de x, simplification de la fraction pour la ramener à deux étages,
04:13factorisation par x au carré au dédominateur, et f de x sera égal à E sur, x au carré E de x, facteur de, 1, plus 1 sur x, plus 1 sur x au carré.
04:24Quel que soit qu'à un réel non-nul, la limite de, k, sur x puissance n, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est nulle.
04:32Donc, la limite de, 1, plus 1 sur x, plus 1 sur x au carré, quand x tend vers plus ou moins l'infini, sera 1.
04:40Par définition, atelier MAN numéro 39, lien en description.
04:45Catalogue de vidéo, onglet Mandelbrot, la limite de, x au carré E de x, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
04:52Donc, par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0+.
04:58En effet, diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0+, ne pas oublier la règle des signes.
05:06Par définition, la limite de, x au carré E de x, quand x tend vers moins l'infini, est 0+.
05:12Donc, par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
05:19En effet, diviser par 0+, c'est multiplier par plus l'infini, ne pas oublier la règle des signes.
05:26Next.
05:28Petit e, établir le tableau de variation de f.
05:31Tu reprends le tableau de signes, la dérivée de la question petit c, tu rajoutes en dessous la ligne des variations de f, dans laquelle tu vas mettre des fèches.
05:39Décroissante ici, car f' négative, croissante ici, car f' positive, puis de nouveau décroissante.
05:48Dans le tableau, tu indiques la limite en moins l'infini, puis celle en plus l'infini, et il faut calculer les extrémums locaux, f de moins 2, égale à E de 3, sur 3, inscrit dans le tableau, et f de moins 1, égale à E de 2, lui aussi inscrit dans le tableau.
06:04Et c'est tout.
06:05En bonus, sa représentation graphique réalisée avec GeoGebra.
06:09Qui valide les données du tableau de variation, affichée en haut à droite de ton écran.
06:14Mais la vidéo surpose s'il te faut un peu de temps pour vérifier que tout concorde.
06:19Exercice numéro 2, dans lequel je vais te faire sortir des sentiers battus et te forcer à travailler avec une fonction trop peu utilisée au lycée,
06:27qui peut faire peur aux premiers abords, mais qui ne va poser aucune difficulté de résolution.
06:32C'est parti.
06:33Soit la fonction f, définie sur l'ensemble complet des réels, par f de x égale à x puissance 4.
06:40Petit 1, démontrez que quels que soient les réels grand x et grand y, on a, grand x puissance 4, moins, grand y puissance 4, égale à, grand x moins grand y, facteur de, grand x plus grand y, facteur de, grand x au carré plus grand y au carré.
06:56Tout un programme focalise ton attention sur les deux premiers termes de la forme factorisée, de la forme, a moins b, facteur de, a plus b, une identité remarquable qui se développe en, a carré moins b carré.
07:09Donc, grand x moins grand y, facteur de, grand x plus grand y, sera égale à, grand x au carré moins grand y au carré.
07:19Maintenant, si tu l'accoles au dernier terme, tu auras, grand x au carré moins grand y au carré, facteur de, grand x au carré plus grand y au carré.
07:27Et là aussi, c'est de la forme, a moins b, facteur de, a plus b, une identité remarquable qui se développe en, a carré moins b carré, ce qui va donner, grand x au carré, au carré, moins, grand y au carré, au carré, qui se simplifie en, grand x puissance 4, moins, grand y puissance 4.
07:47CQFD
07:48Next.
07:50Petit 2, démontrez que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 0 inclus, plus l'infini exclu.
07:58Fastiche fastache fastoche, signe de la dérivée.
08:01f de x est égal à x puissance 4 donc, f prime de x sera égal à 4 x au cube.
08:07Pour tout x appartenant à l'intervalle 0 inclus, plus l'infini exclu, 4 x au cube supérieur ou égal à 0 donc, la dérivée est positive ou nulle, ce qui entraîne que la fonction sera croissante.
08:20Seulement, il faut démontrer qu'elle est strictement croissante, et si on s'en tient au chiffre, ce n'est pas le cas.
08:25Pour que la fonction soit strictement croissante, ça implique que sa dérivée doit être strictement positive.
08:32Or, cette dernière s'annule en 0.
08:35Donc, que penser ?
08:37Une erreur dénoncée, ou l'entité qui l'a rédigée est une intelligence artificielle première génération ?
08:42Next.
08:44Petit 3, étudier la parité de f.
08:47En déduire le sens de variation sur l'intervalle moins infini exclu, 0 inclus.
08:53Calcul de f de moins x, qui va donner, moins x, puissance 4, égal à x puissance 4, donc f de x.
09:00Par conséquent, la fonction épaire, la courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
09:06Sachant que sur l'intervalle 0 inclus, plus l'infini exclu, la fonction est croissante,
09:12et du fait de la parité de la fonction qui entraîne un axe de symétrie,
09:15la variation sur moins infini exclu, 0 inclus sera inversée, donc f décroissante.
09:20Et ça se vérifie avec la représentation graphique tracée sur GeoGebra,
09:25sur laquelle tu peux constater que la fonction, puissance 4, est une parabole,
09:30comme celle de x au carré, avec une courbure un peu plus écrasée à l'origine.
09:35C'est tout.
09:36Pas de quoi en faire un drame.
09:38Exercice numéro 3, dans lequel tu vas avoir la joie de travailler avec une fonction trigonométrique.
09:44Mais sois rassuré, j'ai été gentil, ce n'est pas un monstre mathématique qui va te dévorer les neurones.
09:49C'est parti.
09:52Soit la fonction h définie sur l'ensemble complet des réels,
09:55par h de x égale à sinus de 2x, plus cosinus de x fois sinus de x.
10:01Petit 1, calculer h de moins x.
10:04Facile, il faut remplacer tous les x de l'expression par moins x,
10:08ce qui va donner sinus de moins 2x, plus cosinus de moins x, facteur de sinus de moins x.
10:14Bon, il va falloir transformer tout ça, et on va utiliser ce petit cercle trigonométrique,
10:19que tu peux retrouver dans l'atelier MAN numéro 33.
10:23Le lien est dans la description.
10:24Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
10:28On peut lire que le cosinus de moins x est égal à cosinus de x,
10:31et que le sinus de moins x est égal à moins sinus de x.
10:34Donc, h de moins x sera égal à moins sinus de 2x, plus cosinus de x, facteur de moins sinus de x.
10:41Tu simplifies l'écriture, tu mets le moins en facteur, et tu auras h de moins x égale à moins h de x.
10:49Next.
10:50Petit 2, déduisant la parité de la fonction h.
10:54Sachant que h de moins x est égal à moins h de x, la fonction est impaire,
10:58sa courbe admet le point O, le centre du repère, comme centre de symétrie.
11:03Next.
11:05Petit 3, calculer h de x plus pi.
11:08Fastiche fastache fastoche, tu remplaces chaque x dans l'expression par, x plus pi,
11:14ce qui va donner sinus de, 2, facteur de, x plus pi, plus cosinus de, x plus pi, facteur de sinus de, x plus pi.
11:23Bon, il va falloir transformer tout ça, et on va de nouveau utiliser ce petit cercle trigonométrique,
11:28que tu peux toujours retrouver dans l'atelier MAN numéro 33.
11:32Le lien est dans la description.
11:34Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
11:36On peut lire que le cosinus de, x plus pi, est égal à moins cosinus de, x,
11:41et que le sinus de, x plus pi, est égal à moins sinus de, x.
11:46Tu sais aussi que sinus de, 2x plus 2pi, est égal à sinus de, 2x donc, h de, x plus pi,
11:53sera égal à sinus de, 2x, plus cosinus de, x, facteur de sinus de, x, soit h de, x.
12:00Next.
12:00Petit 4, déduisant la périodicité de la fonction h.
12:05Sachant que, h de, x plus pi, est égal à, h de, x alors, la fonction est pi périodique,
12:11ce qui entraîne que son étude peut se faire, par exemple, sur le domaine de définition,
12:16noté dh, égal à l'intervalle 0 inclus, pi inclus.
12:19Ce n'est pas demandé mais je t'affiche la représentation graphique de la fonction réalisée à l'aide de GeoGebra.
12:26Tu peux facilement constater le fait qu'elle soit impair, le centre au et centre de symétrie,
12:31et sa pi périodicité, le motif qui se répète est compris en R0 et pi.
12:36Exercice numéro 4, dans lequel on quitte la trigonométrie pour se plonger dans les fonctions polynômes de degré 3.
12:42C'est parti.
12:44On considère la fonction f de x égale à x au cube, moins 3x, plus 1,
12:49défini sur l'ensemble complet des réels, et cf sa courbe représentative dans un repère.
12:55Petit 1, déterminer une équation de la tangente, noté grand T, à cf au point d'abscisse 1 demi.
13:01Ok.
13:03De la fonction, tu détermines sa dérivée, puis tu calcules le nombre dérivé en 1 demi,
13:07égale à moins 9 quarts, puis l'image de 1 demi par la fonction f, égale à moins 3 huitièmes.
13:14L'équation de la tangente sera égale à f prime de a, facteur de x moins a, plus f de a,
13:19donc y égale à f prime de 1 demi, facteur de, x moins 1 demi, plus f de 1 demi,
13:26remplacement par les valeurs numériques, et y égale à moins 9 quarts de x, plus 3 quarts.
13:31Next.
13:33Petit 2, déterminer les réels a, b, et c,
13:36tels que f de x moins, moins 9 quarts de x, plus 3 quarts, égale à, x plus 1, facteur de,
13:43ax au carré, plus bx, plus c, pour tout réel x.
13:48Dans l'expression donnée, tu remplaces f de x de la partie gauche par, x au cube, moins 3x, plus 1,
13:54puis tu mets tout sur le même dénominateur, réduction, puis séparation des thèmes pour obtenir,
14:00x au cube, moins 3 quarts de x, plus 1 quarts.
14:03Ensuite, tu couples ça avec la partie droite de l'expression donnée, que tu développes, double distributivité,
14:10tu rassembles ce qui se ressemble pour avoir, x au cube, moins 3 quarts de x, plus 1 quarts,
14:16égale à, ax au cube, plus x au carré facteur de, a plus b, plus x facteur de, b plus c, plus c.
14:23La résolution se fera par identification, donc x au cube égale à ax au cube,
14:280 égale à x au carré facteur de, a plus b, pas de x au carré dans la fonction,
14:33moins 3 quarts de x égale à x facteur de, b plus c, et un quart égal à c.
14:39Par calcul, a égale à 1, b a moins 1, c a un quart.
14:42Par conséquent, f de x moins, moins 9 quarts de x, plus 3 quarts, égale à, x plus 1, facteur de, x au carré, moins x, plus 1 quart.
14:54Next.
14:55Petit 3, à l'aide des questions précédentes, étudiez les positions relatives de cf et de grand T.
15:01Reprenons l'expression déterminée dans la question précédente, dont il va falloir déterminer son signe.
15:06x plus 1 supérieur ou égal à 0, soit x supérieur ou égal à moins 1.
15:12Pour, x au carré, moins x, plus 1 quart, c'est la forme développée de, x moins 1 demi, au carré.
15:19Si tu ne la vois pas, il te suffira de faire le discriminant delta.
15:24a égale à 1, b a moins 1, c a un quart, delta égale à b au carré moins 4 à c, soit 0.
15:29delta nul, une racine double est réelle, notée x0, égale à moins b sur 2a, ce qui donne bien 1 demi.
15:38Je te rappelle que sa forme factorisée est à, facteur de, x moins x0, au carré, soit, x moins 1 demi, au carré.
15:46Tableau de signes standards d'une fonction, la dernière ligne renseignant de la position de cf par rapport à grand T.
15:52Signe dans la ligne du x plus 1, puis dans celle du, x moins 1 demi, au carré, toujours positif, sauf en 1 demi, où il s'annule.
16:01Règle des signes pour déterminer celui de l'avant-dernière ligne, moins, plus, plus, ce qui implique que la position de cf par rapport à grand T sera dessous en r moins infini et moins 1, dessus en r moins 1 et 1 demi, puis dessus au-delà de 1 demi.
16:16Au point d'abscisse moins 1 et 1 demi, la courbe et la droite seront séquentes.
16:20Pour t'en rendre compte, voici un graphique contenant la courbe cf, en rouge, et la tangente grand T, en bleu, la lecture graphique confirme les informations rassemblées dans le tableau précédent, que je remets sur ton écran.
16:33Je te conseille de faire pause si tu as besoin de temps pour vérifier et contrôler la qualité de mon travail.
16:40Exercice numéro 5, avec lequel on revient sur les fonctions trigonométriques, et tu te doutes bien que j'ai choisi un énoncé qui ne fait pas dans la dentelle.
16:48C'est parti.
16:48On considère la fonction f, définie sur l'intervalle 0 inclus, 2pi inclus, par f de x égale à 2 cosinus carré de x, moins 2 cosinus de x, moins 1.
17:00Partie grand A, étude de la fonction f, et ça tombe bien, c'est le sujet principal de ce TD.
17:06Petit 1 a, montrez que la dérivée de cosinus carré de x est moins 2 sinus de x cosinus de x.
17:12Par définition, la dérivée d'une fonction de type, u carré, est 2u prime fois u.
17:18Tu poses u de x égale à cosinus de x, ce qui implique que u prime de x sera égale à moins sinus de x.
17:25Soit g de x égale à cosinus carré de x, donc g prime de x sera égale à 2 fois, moins sinus de x, fois cosinus de x, que tu peux réarranger en moins 2 sinus de x cosinus de x, ce qui valide ce qu'il fallait montrer.
17:40Next.
17:41Petit 1 b, déterminez la dérivée f prime de la fonction f.
17:46On va avoir besoin de ce qui a été montré dans la question précédente, que je remets ici.
17:51f de x est égale à 2 cosinus carré de x, moins 2 cosinus de x, moins 1.
17:56Donc f prime de x sera égale à 2, facteur 2, moins 2 sinus de x cosinus de x, moins 2 facteur 2, moins sinus de x, réduction.
18:06Et f prime de x sera égale à moins 4 sinus de x cosinus de x, plus 2 sinus de x.
18:13Next.
18:14Petit 2a, vérifiez que f prime de x est égale à 2 sinus de x, facteur 2, 1, moins 2 cosinus de x.
18:21Grâce à la question précédente, tu sais que f prime de x est égale à moins 4 sinus de x cosinus de x, plus 2 sinus de x.
18:30Si tu factorises par 2 sinus de x, tu auras 2 sinus de x, facteur 2, moins 2 cosinus de x, plus 1, qui peut se transformer en 2 sinus de x, facteur 2, 1, moins 2 cosinus de x.
18:45CQFVV, acronyme de, ce qu'il fallait véritablement vérifier.
18:50Next.
18:51Petit 2b, étudiez le signe de f prime, et on déduit le tableau de variation de la fonction f.
18:58Je te rappelle qu'on est sur l'intervalle 0 inclus, 2 pi inclus, et je remets sur l'écran la dérivée.
19:04La détermination de son signe se fait de manière classique, même si tu dois prendre des dispositions particulières à cause de la présence des fonctions trigonométriques.
19:13Sinus de x supérieur ou égal à 0 si x appartient à l'intervalle 0 inclus, pi inclus.
19:18Un moins 2 cosinus de x supérieur ou égal à 0, soit cosinus de x inférieur ou égal à 1 demi, donc x compris sur l'intervalle pi sur 3 inclus, 5 pi sur 3 inclus.
19:29Je rassemble les informations nécessaires pour le bon remplissage du tableau de variation de la fonction.
19:35Pour le signe du sinus de x, plus ici, moins là.
19:40Pour celui de, un moins 2 cosinus de x, plus entre les racines, moins en dehors.
19:46Pour le signe de la dérivée, règle des signes à partir des deux lignes du dessus, soit moins, plus, moins, plus.
19:52La fonction est donc décroissante, puis croissante, de nouveau décroissante, et enfin croissante.
19:59Il suffit ensuite de déterminer les images par la fonction f, celle de 0, moins 1, de pi sur 3, moins 1,5, de pi, 3, de 5 pi sur 3, moins 1,5, et de 2 pi, moins 1.
20:12Bien entendu, ces calculs sont à faire avec le stylo et le cerveau, si besoin avec un cercle trigo, mais en aucun cas avec une calculatrice ou tout autre procédé électronique.
20:23Petit bonus possible grâce à GeoGebra.
20:25Voici un graphique contenant la courbe, et la lecture graphique confirme les informations rassemblées dans le tableau précédent, que je remets sur ton écran.
20:33Je te conseille de faire pause si tu as besoin de temps pour vérifier et contrôler la qualité de mon travail.
20:39Next.
20:40Partie grand B, représentation graphique, il y a fort à parier qu'on te demande la parité et la périodicité, entre autres.
20:48Petit 1, montrez que f est de pi périodique.
20:52Qu'en déduit-on pour la courbe de f ?
20:54Qu'est-ce que je disais ?
20:56Il faut déterminer f de, x plus de pi.
20:59Tu reprends l'expression de la fonction f, tu remplaces chaque x par, x plus de pi, que tu mets bien entre parenthèses.
21:06Par définition, cosinus de, x plus de pi, est égal à cosinus de x, donc cosinus carré de, x plus de pi, sera égal à cosinus carré de x, ce qui entraîne que f de, x plus de pi, sera égal à 2 cosinus carré de x, moins 2 cosinus de x, moins 1, égal à f de x.
21:26Par conséquent, la fonction est bien de pi périodique, donc on peut indiquer que le domaine de définition de la fonction, noté des f, est bien intervalle donné dans l'énoncé, soit 0 inclus, 2 pi inclus.
21:39Next.
21:40Petit 2, montrez que la fonction est pair.
21:43Qu'en déduit-on pour la courbe de f ?
21:46Calcul de f de moins x, donc tu remplaces chaque x dans l'expression par moins x.
21:51Par définition, cosinus de moins x est égal à cosinus de x, donc cosinus carré de moins x sera égal à cosinus carré de x, ce qui entraîne que f de moins x sera égal à 2 cosinus carré de x, moins 2 cosinus de x, moins 1, égal à f de x.
22:07Par conséquent, la fonction est bien pair, on peut indiquer que l'axe des ordonnés est un axe de symétrie pour la courbe.
22:15Petit 3a, déterminer les abscisses des points d'intersection de CF avec l'axe E x sur l'intervalle moins pi inclus, pi inclus.
22:23Traduction, trouver les abscisses qui annulent la fonction.
22:27Seulement, avec un cosinus, ça va être ardu.
22:30Donc changement de variable en posant grand x égal à cosinus de x, donc grand x au carré égal à cosinus carré de x.
22:38La fonction se transforme en f de grand x, égal à 2 grand x au carré, moins 2 grand x, moins 1, égal à 0.
22:45Pour trouver les racines, utilisation du discriminant delta.
22:49A égale à 2, B à moins 2, C à moins 1, delta est égal à B au carré moins 4 à C, ce qui donne 12.
22:55Delta positif, donc deux solutions réelles et distinctes, la première notée grand x1, égale à 1 moins racine carré de 3, sur 2, la seconde, notée grand x2, égale à 1 plus racine carré de 3, sur 2.
23:11Seulement, si grand x est égal à cosinus de x, ça implique que x est égal à l'arc cosinus de grand x.
23:18La contrainte de l'arc cosinus, c'est que son contenu soit compris en r moins 1, et 1.
23:23C'est le cas pour grand x1, mais pas pour grand x2, strictement supérieur à 1, donc cette valeur sera éliminée.
23:29Par définition, tu sais que deux angles opposés ont le même cosinus.
23:35De ce fait, les solutions seront x1, égale à moins arc cosinus de, 1 moins racine carré de 3, sur 2, et x2 égale à arc cosinus de, 1 moins racine carré de 3, sur 2.
23:47Certes, ce ne sont pas des valeurs que tu attendais, mais elles sont exactes et tu dois les afficher ainsi.
23:53Petit 3b, en déduire toutes les abscisses des points où CF recoupe aux x.
23:57Ok.
23:58On reprend les solutions précédentes, que je vais devoir approcher en valeur décimale.
24:04x1 environ égale à moins 1,945 radians, ce qui donne moins 0,6193 pi, et donc x2 environ égale à 1,945 radians, ce qui donne 0,6193 pi.
24:17Sachant que la fonction est de pi périodique, alors les solutions seront moins 0,6193 pi, modulo de pi, 0,6193 pi, modulo de pi.
24:29Se trimballer les solutions en arc cosinus ici est trop lourd.
24:33Next.
24:33Petit 4b, tracez CF dans un repère orthonormal O, I, J, d'unité 1 cm.
24:41Bon, Femme de le faire à la main, je peux le permettre, mais toi non, j'ai préféré utiliser Géogébra.
24:47Par lecture graphique, tu constates la pariquée de la fonction, la symétrie axiale par les ordonnées, ainsi que sa périodicité de 2 pi.
24:56Mais surpose si tu as besoin de temps pour relever ces informations.
24:59Exercice numéro 6, dans lequel j'ai décidé de te faire sortir de ta zone de confort en étudiant une fonction que tu ne vois que trop rarement au lycée.
25:08Pas sûr que tu apprécies, mais je m'en moque.
25:12C'est parti.
25:13On rappelle que la fonction tangente est définie par tangente de x égale à sinus de x, sur cosinus de x.
25:20Petit 1, résoudre dans l'ensemble complet des réels, l'équation cosinus de x égale à 0.
25:25Le plus simple est d'utiliser un cercle trigonométrique, et je vais reprendre celui-là.
25:31Pour que le cosinus s'annule, ça veut dire que x, et moins x par la même occasion, se retrouvent sur l'axe désordonné.
25:38Donc, les angles associés seront moins pi sur 2, modulo de pi, et pi sur 2, modulo de pi.
25:45Dans ce cas précis, compte tenu que les deux angles se font face, donc espacés d'un angle pi,
25:50il est possible d'écrire que pour que le cosinus soit nu, x doit prendre pour valeur pi sur 2, modulo pi.
25:57Next.
25:58Petit 2, en déduire l'ensemble de définition de la fonction tangente.
26:03Reprenons.
26:04Le cosinus s'annule pour x égale à pi sur 2, modulo pi.
26:08Si tu poses f de x égale à tangente de x, le cosinus, au dénominateur, ne doit pas s'annuler.
26:15Par conséquent, le domaine de définition, noté d'f, sera ensemble complet des réels privés de pi sur 2, modulo pi.
26:23Next.
26:24Petit 3, démontrez que pour tout x différent de pi sur 2, plus qu'à pi, car anti-relatif,
26:30la dérivée de tangente de x est égale à 1 sur cosinus carré de x, aussi égale à 1 plus tangente carré de x.
26:38Beau programme.
26:39f de x est égale à tangente de x, aussi égale à sinus de x, sur cosinus de x.
26:46Par définition, f étant du type u sur v, alors f' sera égale à u' v moins uv' sur v carré.
26:54u de x égale à sinus de x, donc u' de x égale à cosinus de x.
26:58v de x égale à cosinus de x, donc v' de x égale à moins sinus de x.
27:05f' de x sera égale à cosinus carré de x, plus sinus carré de x, sur cosinus carré de x.
27:13Par définition, tu sais que cosinus carré de x, plus sinus carré de x, égale à 1.
27:19De ce fait, modification de l'écriture du numérateur, et f' de x égale à 1 sur cosinus carré de x.
27:25Pour trouver l'autre écriture, il suffit de partir de l'expression encadrée en rouge, de reporter le dénominateur sur chaque terme du numérateur, simplification.
27:35Et f' de x est bien égale à 1 plus tangente carré de x.
27:39Ne pas oublier que si tangente de x est égale à sinus de x sur cosinus de x, ça entraîne que, sinus carré de x sur cosinus carré de x, est bien égale à tangente carré de x.
27:50Next.
27:53Petit 4. Montrez que la fonction tangente est pi périodique.
27:57En déduire qu'il suffit d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle moins pi sur 2 exclu, pi sur 2 exclu.
28:03Première chose à faire, calculer f de x plus pi, ce qui va donner tangente de x plus pi, soit sinus de x plus pi, sur cosinus de x plus pi.
28:13Pour simplifier le sinus et le cosinus, ce petit cercle trigot va être fort appréciable.
28:20Par lecture graphique, le sinus de x plus pi est égal à moins sinus de x, le cosinus de x plus pi, à moins cosinus de x.
28:30Remplacement, réduction, et f de x plus pi est égal à sinus de x sur cosinus de x, soit f de x.
28:37La fonction est effectivement pi périodique, ça veut dire qu'elle peut être étudiée sur un intervalle d'abscisse de dimension pi.
28:45Le domaine de définition étant l'ensemble complet des réels privés de pi sur 2, modulo pi, ça implique que tu peux commencer ton étude à partir de moins pi sur 2.
28:54Tu rajoutes ton écart de longueur pi, ce qui t'amène à pi sur 2.
28:57Par conséquent, l'intervalle, noté grand i, peut être l'intervalle moins pi sur 2 exclu, pi sur 2 exclu.
29:05CQFDD, acronyme de ce qu'il fallait définitivement déduire.
29:10Next.
29:11Petit 5, étudier la parité de la fonction tangente.
29:15En déduire qu'il suffit d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle 0 inclus, pi sur 2 exclu.
29:20Bon, calcul de f de moins x, ce qui va donner sinus de moins x, sur cosinus de moins x.
29:28Pour simplifier le sinus et le cosinus, ce petit cercle trigot va de nouveau être fort appréciable.
29:34Par lecture graphique, le sinus de moins x est égal à moins sinus de x, le cosinus de moins x à cosinus de x.
29:42Remplacement, réduction, et f de moins x est égal à moins sinus de x, sur cosinus de x, soit moins f de x.
29:48La fonction est donc impair, ce qui entraîne le point O, centre du repère, et le centre de symétrie de la courbe.
29:56Ça implique que tu peux couper l'intervalle en deux, et comme grand i trouvé dans la question précédente est l'intervalle moins pi sur 2 exclu, pi sur 2 exclu.
30:05L'intervalle grand J sera donc 0 inclus, pi sur 2 exclu.
30:09Nickel-chrome-vanadium.
30:11Petit 6, étudier la fonction tangente sur l'intervalle 0 inclus, pi sur 2 exclu.
30:16Signe la dérivée, limite, tableau de variation, etc.
30:21Ok.
30:23Affichage de la dérivée, j'ai opté pour l'expression avec le cosinus.
30:27Pour tout x sur l'intervalle 0 inclus, pi sur 2 exclu, le cosinus est strictement supérieur à 0, donc la dérivée sera strictement positive.
30:36Pour le signe de la dérivée, c'est fait, on passe à la limite en pi sur 2.
30:41Pour ça, il faut utiliser l'écriture fractionnaire.
30:45La limite de sinus de x, quand x tend vers pi sur 2, x strictement inférieur à pi sur 2, d'où le moins en exposant, est 1.
30:52La limite de cosinus de x, quand x tend vers pi sur 2, x strictement inférieur à pi sur 2, d'où le moins en exposant, est 0+.
31:01Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers pi sur 2, x strictement inférieur à pi sur 2, est plus l'infini.
31:10Je rappelle que diviser par 0+, c'est multiplier par plus l'infini, ne pas oublier la règle des signes.
31:18Avec tout ça, le remplissage du tableau de variation est possible.
31:22Délivée strictement positive sur l'intervalle, donc plus ici, ce qui entraîne que la fonction sera strictement croissante.
31:29f de 0 est égal à 0, limite en pi sur 2 égale à plus l'infini.
31:34Tu peux donc en déduire que la droite d'équation x égale à pi sur 2 est une asymptote verticale à la courbe.
31:40Next.
31:42Petit 7, tracez la courbe représentative de tangente dans un repère orthonormal O, I, J.
31:48On tracera la courbe sur l'intervalle moins 3pi sur 2 exclu, 3pi sur 2 exclu.
31:54Voilà ce que ça donne.
31:55En rouge, la fonction tangente, en bleu, les droites d'équation x égale à moins 3pi sur 2, à gauche, et x égale à 3pi sur 2, à droite.
32:05Par lecture graphique, tu constates le caractère impair de la fonction, le centre de symétrie au centre du repère, ainsi que sa périodicité de pi.
32:15Mais surpose si tu as besoin de temps pour relever ces informations.
32:18Exercice numéro 7, le dernier de la série, dans lequel je te propose de revenir sur des fonctions usuelles au lycée, les fonctions exponentielles.
32:27C'est parti.
32:28Etude de la fonction f de x égale à, exponentielle de x, moins 1, sur, exponentielle de x, plus 1.
32:37Petit 1, montrez que f est défini et continu sur l'ensemble complet des réels.
32:42Pour tout x réel, l'exponentielle est strictement positive, donc le dénominateur est différent de 0.
32:48Comme il n'y a aucune valeur interdite, et que le numérateur est continu sur R, la fonction l'est aussi.
32:54Next.
32:55Petit 2, montrez que f est impair pour réduire son domaine d'études à R+.
33:00Pour ce faire, calcul de f de moins x, modification de l'écriture de, exponentielle de moins x, tout mettre sur le même dénominateur, réduction.
33:10Les exponentielles passent devant, factorisation au numérateur par le signe moins, et f de moins x égale à moins f de x.
33:17Certes, c'est aller un peu vite, mais n'oublie pas que tu peux ralentir la vitesse de la vidéo si besoin, ne pas hésiter à utiliser cette fonctionnalité.
33:26f de moins x égale à moins f de x, donc fonction impaire, ce qui implique que O, le centre du repère, et le centre de symétrie de la représentation graphique.
33:35Par conséquent, il est possible de limiter le domaine d'études sur R+.
33:40Next.
33:42Petit 3, étudier la limite de f en plus l'infini.
33:46En déduire celle en moins l'infini.
33:48Au passage, est-ce qu'il n'aurait pas été plus simple de calculer d'abord la limite en moins l'infini, et d'en déduire celle en plus l'infini ?
33:56En utilisant l'expression donnée par l'énoncé, en plus l'infini, tu auras une forme indéterminée, l'infini sur l'infini.
34:03Par conséquent, il faut modifier l'écriture de la fonction.
34:06Factorisation par exponentiel de x, simplification d'écriture, et f de x est égale à, un moins exponentiel de moins x, sur, un plus exponentiel de moins x.
34:18Par définition, la limite de, exponentiel de moins x, quand x tend vers plus l'infini, est nulle.
34:25Par conséquent, la limite de f de ict, quand x tend vers plus l'infini, est 1.
34:31Il faut en déduire la limite en moins l'infini.
34:33Fonction impaire, donc centre de symétrie au point O, le centre du repère, ce qui entraîne que la limite de la fonction en moins l'infini devrait être moins 1.
34:43Vérification
34:43On reprend l'expression de la fonction donnée dans l'énoncé.
34:48Par définition, la limite de, exponentiel de x, quand x tend vers moins l'infini, est nulle.
34:54Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins 1, ce qui valide la déduction.
35:01En effet, ça aurait été plus simple de commencer par déterminer la limite en moins l'infini, puis d'en déduire celle en plus l'infini.
35:08Ça aurait évité de modifier l'écriture de la fonction en la factorisant par, exponentiel de x.
35:14Next.
35:16Petit 4, calculer f' et étudier son signe.
35:20f est du type u sur v, donc, f' sera égal à, u' v moins u v prime, sur v carré.
35:26Tu poses u de x égale à, exponentiel de x, moins 1, donc u prime de x est égal à, exponentiel de x.
35:34Tu poses v de x égale à, exponentiel de x, plus 1, donc v prime de x est égal à, exponentiel de x.
35:42Remplacement des variables u i v par leurs expressions, réduction pour obtenir f' de x égale à, 2 exponentiel de x, sur, exponentiel de x, plus 1, au carré.
35:53Pour tout x de r plus, 2 exponentiel de x strictement positif, et, exponentiel de x, plus 1, au carré strictement positif, ce qui entraîne que la dérivée sera et aussi strictement positive.
36:07Petit 5, dresser le tableau de variation de f, et tracer sa courbe représentative.
36:13Pour le tableau de variation, fait dans le classique.
36:16Déliver strictement positive, donc plus, ce qui implique une fonction strictement croissante.
36:21La limite en moins l'infini, c'est l'en plus l'infini, et c'est fini.
36:26Enfin, pas vraiment.
36:29Tu peux déduire de ce tableau que la droite d'équation y égale à moins 1 est asymptote horizontale à la courbe ou voisinage de moins l'infini.
36:36Tout comme la droite d'équation y égale à 1 est asymptote horizontale à la courbe ou voisinage de plus l'infini.
36:42D'un point de vue graphique, ça donne ça.
36:44Par lecture graphique, tu constates le caractère impair de la fonction, le centre de symétrie à l'origine du repère, ainsi que ces deux asymptotes horizontales, que je n'ai pas tracés pour ne pas alourdir le graphe.
36:57Mais surpose si tu as besoin de temps pour relever ces informations.
37:00La forge est désormais terminée.
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37:08Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
37:10D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
37:17A toi de forger maintenant.
37:19Prochaine vidéo sur l'encleum.
37:22Que la forge soit avec toi.
37:24Stay tuned.
37:24Tchuss.
37:26Sous-titrage Société Radio-Canada
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