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Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://youtu.be/LgrPiM06zlg
Que la Forge soit avec toi !..
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00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 46, intégrale d'une fonction.
00:39Et on commence sans plus attendre par voir sa définition, et tu vas t'apercevoir qu'elle n'est pas très compliquée.
00:46C'est parti.
00:47L'intégrale de f de x dx, entre a et b, est égale à grand f de b moins grand f de a, aussi égale à grand f de x entre les bornes a et b.
00:57Concrètement, cette intégrale représente une surface, celle située entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x égale à a, et x égale à b.
01:07Il y en aura deux types, comme je vais te le montrer avec ce graphique.
01:11Toute surface au-dessus de l'axe des abscisses sera positive, comme la a2, ici à droite.
01:17Toute surface en dessous de l'axe des abscisses sera négative, comme la a1, là à gauche.
01:21Ceci explique pourquoi intégrale de moins 4 à 5 de f de x dx, que j'entoure en vert, est égale à a2 moins 1, puisque par convention, une aire doit toujours être positive.
01:33Paragraphe suivant, il y a du vocabulaire technique qu'il est de mon droit de t'enseigner et que tu as le devoir d'apprendre pour parfaire ta culture générale scientifique.
01:42C'est parti.
01:44Voici l'écriture d'une intégrale.
01:46f est l'intégrante, et ce sigle est l'intégrateur.
01:48L'intégrateur est un s allongé, qui désigne une somme.
01:54Le grand mathématicien Leibniz, né en 1646, et mort en 1716, s'est servi de l'initial du mot latin, summa, lequel était le plus souvent écrit de cette forme.
02:04La première lettre rappelant l'intégrateur.
02:07Paragraphe suivant, pourquoi l'intégrant, la fonction f de x, doit toujours être suivie d'un dx ?
02:13C'est ce que je vais te montrer sur le champ.
02:16C'est parti.
02:17Ce dx est la plus petite longueur que tu puisses imaginer suivant l'axe x.
02:22Comme tu le sais, une intégrale est une surface.
02:26Cette expression mathématique se traduit par, somme de f de x dx, entre a et b, signifie tout simplement que pour toute x entre a et b, on prend autour de x une toute petite longueur dx, que l'on multiplie par la valeur de la fonction f au point x.
02:40On a donc la surface d'un tout petit rectangle, de hauteur f de x, et de largeur dx.
02:46Si on additionne tous les rectangles entre a et b, on aura la surface sous la courbe.
02:50Voici deux graphiques de la même fonction.
02:54L'air sous la courbe sera encadré par minoration, en rouge, et par majoration, en vert.
02:59Si dx diminue, la limite de a v, r verte, moins a r, r rouge, quand dx tend vers 0, sera nul.
03:08Ce qui fait que tu auras la valeur exacte de la surface, donc celle de l'intégrale.
03:13Paragraphe suivant, dans lequel tu vas découvrir l'unité d'air, utilisée quand les axes du repère ont des unités non définies en longueur, ou que tu as une courbe sur un quadrillage.
03:22C'est parti !
03:25Premier exemple, tu dois estimer l'air sous une courbe, comme celle affichée sur ton écran, soit en en donnant la valeur entière la plus proche, soit en l'encadrant par deux entiers consécutifs.
03:35Pour commencer, tu dois partir sur le principe qu'un carreau du quadrillage est une unité d'air.
03:41Ça implique qu'il va falloir compter les carreaux.
03:44Il faut débuter par les entiers.
03:461, 2, 3, 4, et 5.
03:49Ensuite, tu dois essayer de fabriquer des carreaux entiers en additionnant ensemble des bouts de carreaux, comme celui-ci, celui-là, et ce petit bout qui forme le sixième carreau, et celui-ci, celui-là, et ce minuscule espace qui font le septième carreau.
04:04Par conséquent, la surface est environ égale à cette unité d'air, où elle est comprise entre 6 et 7 Ua.
04:10Second exemple, changement de graphique, qui fait apparaître une unité d'air rectangulaire.
04:15Il est parfois demandé de déterminer cette surface dans une unité plus usuelle, comme des centimètres carrés, ou des mètres carrés.
04:23Il suffira de faire une conversion très simple en calculant l'air, en centimètres carrés, ou en mètres carrés, de ce rectangle bleu qui représente l'unité d'air.
04:32Par exemple, l'énoncé indique qu'une unité horizontale mesure un centimètre, une unité verticale 0,5 centimètre.
04:38L'air unitaire, noté grand AU, sera égale à une fois 0,5, longueur fois largeur, soit 0,5 centimètre carré.
04:47Un produit en croix, appelé aussi règle de 3, permettra de faire la conversion.
04:53Une unité d'air est équivalente à 0,5 centimètre carré.
04:57L'air sous la courbe est donné sur le graphique, 18 Ua, qui correspondront à grand AF.
05:02Par calcul, grand AF sera égale à 18 fois 0,5, soit 9 centimètres carrés.
05:09Pas plus compliqué.
05:11Paragraphe suivant, la relation de Schall, vue dans les vecteurs, que tu retrouves dans les intégrales.
05:17Le monde est petit, n'est-il pas ?
05:19C'est parti.
05:21Soit F une fonction continue sur l'intervalle A inclus, C inclus, et B appartenant à cet intervalle, dont la représentation graphique est la suivante.
05:29La relation de Schall indique que l'intégrale de F2XDX, entre A et B, plus l'intégrale de F2XDX, entre B et C, est égale à l'intégrale de F2XDX, entre A et C.
05:42Logique.
05:43La première intégrale représente l'air turquoise sous la courbe, la seconde est l'air bleu foncé à coller à droite, la dernière représente la somme de ces deux airs collées l'une à l'autre.
05:52Paragraphe suivant, la linéarité de l'intégrale, qui te donne des formules pour modifier l'écriture d'une intégrale, et en simplifier son calcul.
06:02C'est parti.
06:03Soit F et G, deux fonctions continues sur l'intervalle A inclus, B inclus.
06:08L'intégrale de F2X plus G2XDX, entre A et B, est égale à l'intégrale de F2XDX, entre A et B, plus l'intégrale de G2XDX, entre A et B.
06:21Traduction.
06:22L'intégrale d'une somme de fonctions sur un intervalle donné, est la somme des intégrales de chaque fonction sur ce mal intervalle.
06:29Next.
06:29Quel que soit lambda réel, l'intégrale de, lambda fois F2X, DX, entre A et B, est égale à lambda fois l'intégrale de F2XDX, entre A et B.
06:41Traduction.
06:42Tout coefficient réel qui factorise une fonction peut être sorti de l'intégrale pour la multiplier.
06:47Next.
06:48Enfin, l'intégrale de F2XDX, entre A et B, est égale à moins l'intégrale de F2XDX, entre B et A.
06:56Traduction.
06:58Une inversion des bornes de l'intégrale A implique une inversion de sa relativité.
07:03Paragraphe suivant, relation de comparaison, qui permet d'utiliser les intégrales dans des inéquations.
07:09C'est parti.
07:10Soit F et G, deux fonctions continues sur l'intervalle A inclus, B inclus, tel que G supérieur ou égal à F, comme illustré sur le graphe que je t'affiche à l'écran.
07:19Par conséquent, l'intégrale de G2XDX, entre A et B, sera supérieure ou égale à l'intégrale de F2XDX, entre A et B.
07:30Ça tombe sous le sens.
07:32F est la courbe rouge, G la bleue.
07:34Entre A et B, Cg est au-dessus de Cf, donc l'est supérieur ou égal à F.
07:39Par lecture graphique, il est évident que la surface bleue, qui correspond à l'intégrale de G entre A et B, est plus grande que celle hachurée en rouge, correspondant à l'intégrale de F entre A et B.
07:51Simple, n'est-il pas.
07:53Paragraphe suivant, comment déterminer la surface contenue entre deux courbes ?
07:58C'est parti.
07:58On te demande de déterminer la surface jaune comprise en Rcf, en bleu, et Cg, en rouge.
08:05Cette aire est égale à celle sous Cf, moins celle sous Cg, soit l'intégrale de F2XDX, entre A et B, moins l'intégrale de G2XDX, entre A et B, qui peut se simplifier, grâce à la linéarité vue il y a quelques instants, en intégrale de F2X-G2XDX, entre A et B.
08:23Bref, pour déterminer l'air entre deux courbes, tu fais l'intégrale de la différence de deux fonctions, celle du dessus moins celle du dessous.
08:32Paragraphe suivant, la valeur moyenne d'une intégrale.
08:36Elle se résume en une seule formule.
08:39C'est parti.
08:40Notez mu, elle est égale à 1 sur B-A, fois l'intégrale de F2XDX, entre A et B.
08:46Elle représente la hauteur d'un rectangle de base, B-A, de même R, en rose, que celle sous la courbe, hachurée en bleu.
08:55Cette notion n'a aucune utilité en mathématiques au lycée, à part pour te faire calculer sa valeur avec la formule.
09:02Par contre, en physique, et surtout en électricité, elle permet de déterminer la valeur efficace, qui est la racine carrée de la valeur moyenne au carré de la fonction F.
09:10Paragraphe suivant, l'intégration par partie, que tu vas devoir apprendre à maîtriser parfaitement donc, reste concentrée.
09:19Grand merci.
09:20C'est parti.
09:22Parfois abrégée en IPP, c'est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonction en d'autres intégrales.
09:29Elle est aussi utilisée pour déterminer et primitif de certaines fonctions difficiles, ou impossibles à intégrer directement, comme tu le verras en études supérieures scientifiques.
09:38La formule est la suivante.
09:40I, égale à l'intégrale de, U' de X fois V de X, D X, entre A et B, est égale à, U de X fois V de X, compris entre A et B, moins l'intégrale de, U de X fois V' de X, D X, entre A et B.
09:55Il est important de bien choisir U' et V, de telle sorte que le produit, U fois V', de l'intégrale de fin soit le plus simple possible.
10:04Je vais te montrer avec un exemple.
10:06Soit l'intégrale, noté I, à résoudre avec une IPP, égale à l'intégrale de, 2X fois cosinus de X, D X, compris en R0 et pi sur 2.
10:17Je vais arbitrairement choisir mon U' et mon V.
10:20U' de X égale à 2X, donc U de X, la primitive, égale à X au carré.
10:26V de X égale à cosinus de X, donc V' de X égale à moins sinus de X.
10:31Dans ce cas-ci, U fois V', de X égale à moins X au carré fois sinus de X, bien plus abscond que le terme dans l'intégrale I.
10:40Comme c'est trop complexe, on permute.
10:43U' de X égale à cosinus de X, donc U de X, la primitive, égale à sinus de X.
10:50V de X égale à 2X, donc V' de X égale à 2.
10:54Dans ce cas-là, U fois V' de X égale à 2 sinus de X, plus simple que le terme dans l'intégrale I.
11:01Il suffit ensuite d'appliquer la formule, et tu auras la valeur numérique de I.
11:06Paragraphe suivant, je rajoute un niveau de difficulté avec la double intégration par partie, la bête noire de toutes les terminales.
11:14Je vais te montrer comment opérer.
11:16C'est parti.
11:18C'est simple à comprendre.
11:20Tu reprends la formule de l'IPP simple.
11:22I égale à l'intégrale de U' de X fois V' de X, dX, entre A et B, est égale à U' de X fois V' de X, compris entre A et B, moins l'intégrale de U' de X fois V' de X, dX, entre A et B.
11:38Seulement, dans l'intégrale de fin, impossible d'utiliser les formules simples pour calculer sa valeur, ce qui implique de faire une autre IPP sur elle.
11:45Tu la nommes J, égale à l'intégrale de U' de X fois NU' de X, dX, entre A et B, qui sera égale à U' de X fois NU' de X, compris entre A et B, moins l'intégrale de U' de X fois NU' de X, dX, entre A et B.
12:01Une fois que tu as la valeur numérique de J, tu reprends l'expression de l'intégrale I, et tu remplaces l'intégrale de fin par cette valeur numérique, que je te conseille de mettre systématiquement entre parenthèses.
12:13Pas de panique, il y a un exemple de simple et double intégration par partie dans le TD, le lien est dans la description.
12:20Dernier paragraphe, quelles sont les utilités des intégrales en science ?
12:24Je vais te donner trois exemples parmi tant d'autres.
12:28C'est parti !
12:29L'intégration se fait de la droite vers la gauche, sens dans lequel je vais lire ce tableau.
12:34En mécanique générale, l'accélération s'intègre en vitesse, qui s'intègre en position.
12:40Si tu prends l'option physique chimie en terminale, tu auras la chance et le bonheur de l'étudier en profondeur pour le baccalauréat.
12:47Toujours en mécanique générale, une accélération angulaire s'intègre en vitesse angulaire, qui s'intègre en angle.
12:52Enfin, en électricité, une variation de courant s'intègre en intensité, qui s'intègre en charge électrique.
13:00Pour ne pas être responsable de cauchemars durant tes nuits, je me suis abstenu d'afficher les formules correspondantes.
13:06Mais Internet est vaste, et si ta curiosité est aussi grande que ta témérité, ton voyage dans les méandres des savoirs mathématiques sera une aventure très mouvementée et riche en apprentissage.
13:16L'atelier est désormais terminé.
13:19Tu as des questions ?
13:20Tu veux un complément d'information ?
13:23Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
13:26Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
13:32Le tutoriel de travaux dirigé intitulé FORGE MANHTAG 046, intégrale d'une fonction, est accessible, le lien est en description.
13:41Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
13:44A tout de suite.
13:47Tchuss !
13:48Sous-titres par LaVacheSquid.
13:50Sous-titres par LaVacheSquid.
13:51Sous-titres par LaVacheSquid.
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