00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 43, continuité de fonction.
00:40Et on commence sans plus attendre par voir son utilité,
00:42et tu vas comprendre son importance capitale en sciences, donc à travailler ex sérieux.
00:48C'est parti !
00:49Les applications de la continuité jouent un rôle central dans diverses disciplines telles que les mathématiques,
00:54l'ingénierie, ou encore la physique,
00:56en garantissant que les fonctions se comportent de manière prévisible, sans changement brusque.
01:02Ce principe est essentiel à la minimisation des erreurs dans les modèles informatiques,
01:06au bon fonctionnement des circuits électroniques,
01:08ou à l'étude de la dynamique des fluides,
01:10où il garantit l'écoulement régulier des fluides, en aéronautique notamment.
01:15Saisir le concept de continuité permet de mieux comprendre le monde qui nous entoure,
01:19ce qui en fait un outil fondamental pour la résolution de problèmes de nombreux domaines scientifiques.
01:23Dans les exercices donnés au lycée, et en études supérieures en sciences,
01:28le but est de déterminer si la fonction est continue sur un intervalle,
01:32ou sur quel intervalle la fonction est continue.
01:35Attention !
01:36Une fonction peut être continue sur un intervalle,
01:39mais non continue sur un autre, elle sera dite discontinue.
01:42Paragraphe suivant, comment déterminer si la fonction est continue, ou pas d'ailleurs ?
01:47Parce que le savoir est d'une grande nécessité.
01:50C'est parti !
01:51Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle si tu peux la tracer sans lever le crayon.
01:57La courbe de gauche fait partie de cette catégorie, contrairement à celle de droite,
02:02au milieu de laquelle il y a un trou béant dans le tracé, montrant sa discontinuité.
02:06Bon, avec la courbe dans un repère, c'est assez visible, à moins d'avoir quelques problèmes oculaires.
02:13Mais sans la représentation graphique, comment faire ?
02:16Sois rassuré, je vais te montrer.
02:18Paragraphe suivant, on va commencer par la continuité en un point,
02:22et je vais te montrer deux méthodes que tu pourras appliquer.
02:26C'est parti !
02:27Première technique, via la limite.
02:29Pour tout nombre réel, a, appartenant à un intervalle i, la fonction sera continue au point d'abscisse a,
02:36si et seulement si la limite de f de x, quand x tend vers a, x strictement inférieur à a,
02:42est égale à f de a, aussi égale à la limite de f de x, quand x tend vers a, x strictement supérieur à a.
02:48Petit exemple pour mettre une image sur des mots.
02:52Soit f de x, égale à racine carrée de x.
02:56f de 0 est égale à 0.
02:59La limite de f de x, quand x tend vers 0, x strictement supérieur à 0, est égale à 0.
03:06Ceci indique que la limite de la fonction en 0 est égale à l'image de 0 par la fonction.
03:10Donc, racine carrée de x est continue en 0.
03:13J'anticipe la question que tu vas sûrement te poser, pourquoi ne pas avoir fait la limite de la fonction en 0, mais par valeur inférieure ?
03:22A cause du domaine de définition, mon enfant, puisque celui de la racine carrée est 0 inclus, plus l'infini exclu.
03:29Donc limite seulement par valeur supérieure.
03:32Next.
03:34Seconde technique, via le nombre dérivé.
03:36Pour tout nombre réel, a, appartenant à un intervalle i, la fonction sera continue au point d'abscisse a, si et seulement si le nombre dérivé de la fonction existe en a.
03:47Je te rappelle que pour déterminer le nombre dérivé, il faut que la limite du taux d'accroissement, quand h tend vers 0, soit réelle, ce qui donnera valeur du nombre dérivé.
03:56Attention, je tiens à souligner que ça ne fonctionne pas pour toutes les fonctions.
04:00Je reprends la précédente, f de x est égale à racine carrée de x.
04:06Sa dérivée est 1 sur 2 racine carrée de x.
04:09Je t'ai montré précédemment que la fonction racine carrée était continue en 0, vérifions-le avec cette technique.
04:16En prenant a égale à 0, en faisant la limite du taux d'accroissement, tu auras la limite de, 1 sur racine carrée de h, quand h tend vers 0, qui va donner une limite infinie, par conséquent non réelle.
04:27Aucun nombre dérivé en 0, donc non continue en 0, le contraire de ce qui a été démontré avec la méthode des limites.
04:35Donc prudence si tu l'utilises.
04:37C'est bien beau la continuité en un point, mais tu ne vas pas tester la continuité d'une fonction en chacun de ces points, il y en a une infinité, ça va te prendre une éternité, voire même 2.
04:47C'est pour ça que dans le paragraphe suivant, je vais traiter la continuité sur un intervalle, et tu vas encore avoir droit à deux méthodes que tu pourras appliquer.
04:56C'est parti !
04:58Première technique, un point d'un intervalle.
05:01Une fonction continue en tout point d'un intervalle sera continue sur tout l'intervalle.
05:05En gros, si quel que soit, a, appartenant à un intervalle i, la limite de f de x, quand x tend vers a, est égale à f de a, alors, la fonction est continue sur i.
05:17La courbe de gauche reflète exactement cette formule, vu que la limite en 2, par valeur inférieure, à gauche, ou par valeur supérieure, à droite, est bien égale à l'image de 2 par la fonction, ce qui est visiblement absent de la représentation graphique de droite.
05:31Seconde technique, la dérivabilité.
05:35Toute fonction dérivable sur un intervalle i, sera continue sur cet intervalle.
05:40Je remets la formule qui permet de déterminer le nombre dérivé via la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
05:46Attention, l'inverse est faux.
05:49Une fonction continue sur un intervalle i, n'est pas forcément dérivable.
05:52Revenons sur la fonction, racine carrée de x, qui est continue sur l'intervalle 0 inclut, plus l'infini exclut, mais qui n'est dérivable que sur l'intervalle 0 exclut, plus l'infini exclut.
06:05En effet, sa dérivée est, 1 sur 2 racines carrées de x, et tu ne peux pas diviser par 0.
06:11Paragraphe suivant, quid des fonctions composées ? Quoi faire pour déterminer leur continuité ?
06:17C'est parti !
06:18Une fonction sera continue sur un intervalle i, si et seulement si les fonctions qui la composent sont-elles aussi dérivables ou continue sur le même intervalle.
06:27Il faudra faire pour cela des intersections d'intervalle, et prendre celui qui sera commun à toutes les fonctions.
06:32Pour plus de renseignements sur ces fonctions composées, consulte l'atelier NAN numéro 21, intitulé « Fonctions composées », le lien est dans la description.
06:42Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
06:44Paragraphe suivant, c'est l'outil qui représente à lui seul la continuité d'une fonction, que tu vas utiliser quasiment à chaque exercice une fois que tu l'auras écrit noir sur blanc dans ton cours.
06:55Je veux bien entendu parler du théorème des valeurs intermédiaires.
06:59C'est parti !
07:00Abrégé en TVI, il se résume en trois étapes.
07:04Petit 1, la fonction F est continue car dérivable sur l'intervalle i, a inclus, b inclus.
07:09Bien entendu, pour affirmer ça, tu auras au préalable fait une étude de fonctions, et tracé le tableau de variations complets, avec limites et extrémums locaux.
07:19Petit 2, la fonction est strictement monotone, croissante ou décroissante, que tu pourras affirmer toujours grâce au tableau de variations.
07:27Le mot strictement est très important, il indique que la valeur, notée alpha, qui est solution de l'équation, sera unique.
07:34Petit 3, tu vas montrer que l'image, par la fonction, d'une borne de l'intervalle est inférieure ou supérieure à la valeur k, l'autre étant supérieure ou inférieure à cette valeur k, ce qui entraîne que k appartient à l'intervalle image.
07:48D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur unique alpha, appartenant à i, telle que f de alpha est égale à k.
07:56Pour trouver une valeur approchée de alpha, il faut utiliser la calculatrice.
08:02Le solver, ou équation, voire menu de ta machine, permet d'avoir en quelques courtes manipulations une valeur approchée de alpha, qu'il te suffira d'arrondir ou d'encadrer en fonction de la demande dans l'énoncé.
08:13C'est bien plus rapide que la technique des profs qui consiste à utiliser le tableur, et de te perdre au milieu de ses lignes et ses colonnes pour trouver ce que tu cherches.
08:22Par exemple, pour la new work, tu sélectionnes l'icône, solver, ensuite, équation, puis, ajouter une équation, enfin, vide, surtout si ta fonction est assez ésotérique.
08:33Tu saisis l'équation, tu renseignes l'intervalle sur lequel tu fais ton TVI, tu cliques sur « Résoudre l'équation » en bas de l'écran, et la solution s'affiche.
08:43Par exemple, si on te demande un arrondi à 10 puissance moins 3, tu vas écrire alpha égale à moins 0,567.
08:51Si on te demande de l'encadrer à 10 puissance moins 2, tu écriras que alpha est comprise entre moins 0,57 et moins 0,56.
09:00L'atelier est désormais terminé.
09:02Tu as des questions ?
09:04Tu veux un complément d'information ?
09:07Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
09:09Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
09:16Le tutoriel de travaux dirigé intitulé « ForgeM a un hashtag 043, continuité de fonction » est accessible, le lien est en description.
09:25Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
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