- il y a 27 minutes
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1qX52wedQNk5ZBLyT-i2JCExWNfU_aEU5/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k1Xp6ey8hTBPdkE0xGe
Que la Forge soit avec toi !..
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k1Xp6ey8hTBPdkE0xGe
Que la Forge soit avec toi !..
Catégorie
📚
ÉducationTranscription
00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 41, limite de fonction.
00:39Et on commence sans plus attendre par voir son utilité, et tu vas te rendre compte de l'importance de cette notion au fur et à mesure que tu feras moult exercices.
00:49C'est parti.
00:50Les limites permettent de déterminer si la fonction est convergente, c'est-à-dire que sa limite est finie, ou divergente, sa limite est infinie, sur son ensemble de définitions.
01:00Ou une portion de ce domaine.
01:02Ah oui, petite précision importante, il ne faudra déterminer les limites que pour les valeurs exclues du domaine de définition, c'est-à-dire celles équipées d'un crochet ouvert.
01:11D'où la nécessité impérative de savoir déterminer l'ensemble de définitions.
01:15Et si tu as des lacunes dans ce domaine, je te renvoie vers l'atelier MAN numéro 40, le lien est dans la description.
01:22Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
01:24Paragraphe suivant, les limites de référence que tu dois impérativement connaître par cœur de chez par cœur, et on va de la justesse de ton étude de fonctions.
01:34C'est parti.
01:34Pour amener un aspect ludique qui enchantera les plus réfractaires, je te propose de les rassembler sous forme d'un tableau dans lequel quatre zones seront étudiées.
01:42Les limites en moins l'infini, 0 moins, 0, inférieure à 0, 0 plus, 0, supérieure à 0, et plus l'infini, en fonction bien entendu du domaine de définition de la fonction, d'où la présence de ces cases noires en bas de tableau.
01:58Première ligne, x puissance 2k, c'est-à-dire les puissances paires de x.
02:03En moins l'infini, sa limite est plus l'infini.
02:06En 0 moins, sa limite est 0 plus.
02:09En 0 plus, sa limite est aussi 0 plus.
02:13En plus l'infini, sa limite est plus l'infini.
02:17Tout ceci est mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, vu qu'une puissance paire est supérieure ou égale à 0.
02:23Next.
02:25Seconde ligne, x puissance 2k plus 1, c'est-à-dire les puissances impaires de x.
02:31En moins l'infini, sa limite est moins l'infini.
02:34En 0 moins, sa limite est 0 moins.
02:36En 0 plus, sa limite est 0 plus.
02:41En plus l'infini, sa limite est plus l'infini.
02:44Tout ceci est mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, vu qu'une puissance impaire est négative si x est négatif, et positive si x est positif.
02:53Next.
02:54Troisième ligne, 1 sur, x puissance 2k, c'est-à-dire les puissances paires de fonctions inverses.
03:01En moins l'infini, sa limite est 0 plus.
03:04En 0 moins, sa limite est plus l'infini.
03:08En 0 plus, sa limite est aussi plus l'infini.
03:11En plus l'infini, sa limite est 0 plus.
03:14Tout ceci est mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, vu qu'une inverse de puissance paire est supérieure ou égale à 0, et qu'elle sera grande si x petit, et inversement.
03:25Je tiens à rappeler que x est grand si il tend vers plus ou moins l'infini, x sera petit si il s'approche de 0.
03:31Next.
03:32Quatrième ligne, 1 sur, x puissance, 2k plus 1, c'est-à-dire les puissances impaires de fonctions inverses.
03:40En moins l'infini, sa limite est 0 moins.
03:43En 0 moins, sa limite est moins l'infini.
03:46En 0 plus, sa limite est plus l'infini.
03:49En plus l'infini, sa limite est 0 plus.
03:52Tout ceci est mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, vu qu'une puissance impaire est négative si x négatif, est positive si x positif, et qu'elle sera grande si x petit, et inversement.
04:05Je tiens de nouveau à rappeler que x est grand si il tend vers plus ou moins l'infini, x sera petit si il s'approche de 0.
04:12Next.
04:13Cinquième ligne, racine carrée de x.
04:15Défini sur 0 inclus, plus l'infini exclu, ceci explique les cases noires en moins l'infini, et 0 moins.
04:23En 0 plus, sa limite sera 0 plus.
04:27En plus l'infini, sa limite sera plus l'infini.
04:30Next.
04:32Sixième ligne, exponentielle de x.
04:35Défini sur moins l'infini exclu, plus l'infini exclu, étant défini en 0, son image est 1, ceci explique les cases noires en 0 moins, et 0 plus.
04:44En moins l'infini, sa limite sera 0 plus.
04:48En plus l'infini, sa limite sera plus l'infini.
04:52Next.
04:54Dernière ligne, ln de x.
04:56Défini sur 0 exclu, plus l'infini exclu, ceci explique les cases noires en moins l'infini, et 0 moins.
05:03En 0 plus, sa limite sera moins l'infini.
05:06En plus l'infini, sa limite sera plus l'infini.
05:09Je le répète, ces limites de référence doivent impérativement être sues par cœur de chez par cœur, il en va de la justesse de ton étude de fonction.
05:19Paragraphe suivant, je vais apporter quelques précisions sur l'infini, ce qui te permettra de comprendre ce qui doit suivre.
05:25C'est parti.
05:26Par définition, l'infini est un nombre très grand, tellement grand pour l'humain que sa valeur n'est pas connue avec précision, sans que ce soit gênant.
05:35Moins l'infini est un nombre très grand, et négatif.
05:39Plus l'infini est un nombre très grand, et positif.
05:43C'est contre-intuitif, mais les infinis ne sont pas égaux entre eux.
05:46Par exemple, plus l'infini peut être égal à 10 puissance 20, ou 10 puissance 60.
05:52Et tu sais que 10 puissance 20 n'est pas égal à 10 puissance 60.
05:57Moins l'infini peut être égal à moins 10 puissance 30, ou moins 10 puissance 80.
06:02Et tu sais que moins 10 puissance 30 n'est pas égal à moins 10 puissance 80.
06:06Cette particularité dans les infinis va induire des formes indéterminées lors du calcul des limites de certaines fonctions,
06:13et il faudra appliquer des outils particuliers pour lever cette indétermination.
06:17Paragraphe suivant, je vais de nouveau en profiter pour apporter quelques précisions sur le 0 moins et le 0 plus,
06:23ce qui te permettra aussi de comprendre ce qui va suivre.
06:27C'est parti.
06:28Par définition, le 0, plus ou moins, est un nombre très petit, tellement petit pour l'humain que sa valeur n'est pas connue avec précision.
06:36Sans que ce soit gênant.
06:380 moins est un nombre très petit, et négatif.
06:420 plus est un nombre très petit, et positif.
06:45C'est contre-intuitif mais les 0, plus ou moins, ne sont pas égaux entre eux.
06:50Par exemple, 0 plus peut être égal à 10 puissance moins 20, ou 10 puissance moins 60.
06:56Et tu sais que 10 puissance moins 20 n'est pas égal à 10 puissance moins 60.
07:000 moins peut être égal à moins 10 puissance moins 30, ou moins 10 puissance moins 80.
07:07Et tu sais que moins 10 puissance moins 30 n'est pas égal à moins 10 puissance moins 80.
07:12Comme pour l'infini, cette particularité dans les 0 plus et les 0 moins va induire des formes indéterminées lors du calcul des limites de certaines fonctions.
07:20Et il faudra appliquer des outils particuliers pour lever cette indétermination.
07:24Paragraphe suivant, comment calculer la limite d'une somme de fonctions ?
07:29Je te rappelle qu'une somme, c'est une addition, ou une soustraction.
07:33Et garde en tête tout ce que je viens de te raconter sur les plus ou moins l'infini et les 0, plus ou moins, tu vas en avoir besoin.
07:40C'est parti !
07:42Commençons par les additions, et il te faut rester logique.
07:45Comme on additionne les fonctions, ça implique que la limite de la somme de deux fonctions, noté FIG, sera la somme de leurs limites respectives, ce que tu vois d'entrer dans la seconde colonne.
07:56Je te rappelle que dans ce cas-ci, L et L' sont des réels, ça implique explicitement qu'elles sont toutes les deux différentes de plus ou moins infinies.
08:04Dans les 3e et 4e colonnes, ajouter l'infini, un nombre très grand, à une limite réelle oblige une limite infinie, de même relativité que l'infini ajouté.
08:13Dans les 5e et 6e colonnes, ajouter l'infini à l'infini, les deux de même signe, oblige aussi une limite infinie, soit négative, soit positive.
08:23Dans la dernière colonne, tu auras forcément une forme indéterminée, car comme je te l'ai indiqué il y a quelques instants, c'est contre-intuitif mais les infinis ne sont pas égaux entre eux.
08:33Dans ce cas-ci, tu pourrais aussi bien obtenir une limite égale à moins l'infini, 0, ou plus l'infini.
08:40Et comme rien n'est sûr, c'est donc obligatoirement indéterminé.
08:44Passons aux soustractions, il te faut rester logique.
08:47Comme on soustrait les fonctions, ça implique que la limite de la soustraction de deux fonctions, notée f et g, sera la différence de leurs limites respectives, ce que tu vois d'entrer dans la seconde colonne.
08:57Je te rappelle que dans ce cas-ci, L et L' sont des réels, ça implique explicitement qu'elles sont toutes les deux différentes de plus ou moins l'infini.
09:07Dans les troisième et quatrième colonnes, soustraire l'infini, un nombre très grand, a une limite réelle oblige une limite infinie, deux signes opposés à l'infini retranchés.
09:15Dans la dernière colonne, soustraire moins l'infini à plus l'infini, grâce à la règle des signes, c'est comme additionner plus l'infini à plus l'infini, ce qui donne plus l'infini.
09:25Dans les cinquièmes et sixièmes colonnes, tu auras forcément une forme indéterminée, car comme je te l'ai indiqué il y a quelques instants, c'est contre-intuitif mais les infinis ne sont pas égaux entre eux.
09:37Dans ces cas-ci, tu pourrais aussi bien obtenir une limite égale à moins l'infini, zéro, ou plus l'infini.
09:43Et comme rien n'est sûr, c'est donc obligatoirement indéterminé.
09:47Paragraphe suivant, comment calculer la limite d'un produit de fonction ?
09:51Je te rappelle qu'un produit, c'est une multiplication, ou une division.
09:56Et garde en tête tout ce que je t'ai raconté sur les plus ou moins infinis et les zéros, plus ou moins, tu vas en avoir besoin.
10:03C'est parti !
10:04Commençons par les multiplications, et il te faut rester logique, et bien entendu connaître la règle des signes.
10:10Comme on multiplie les fonctions, ça implique que la limite du produit de deux fonctions, noté f et g, sera la multiplication de leurs limites respectives, ce que tu vois d'entrer dans la seconde colonne.
10:21Je te rappelle que dans ce cas précis, L et L' sont des réels non nus, ça implique explicitement qu'elles sont toutes les deux différentes de zéro, et de plus ou moins l'infini.
10:31Troisième colonne, multiplier un réel par zéro entraîne une limite nulle, le signe sur le zéro provenant de la règle des signes.
10:38Quatrième et cinquième colonne, grand L réel strictement positif multipliant l'infini, donne une limite infinie du même signe que le multiplicateur infini, règle des signes.
10:49Sixième et septième colonne, grand L réel strictement négatif multipliant l'infini, donne une limite infinie du signe opposé au multiplicateur l'infini, règle des signes.
10:58Huitième, neuvième, et dixième colonne, multiplier l'infini par l'infini donne l'infini, la règle des signes donnant la relativité de la limite infinie.
11:08Dernière colonne, du fait des particularités de l'infini et du zéro, tu auras une forme indéterminée.
11:14En effet, dans ce cas-ci, il est impossible de déterminer avec certitude si la limite est infinie, ou nulle.
11:21Passons aux divisions, il te faut rester logique.
11:23Bien entendu, connaître la règle des signes est aussi primordial.
11:28Comme on divise les fonctions, ça implique que la limite du quotient de deux fonctions, noté f et g, sera la division de leurs limites respectives, ce que tu vois d'entrer dans la seconde colonne.
11:39Je te rappelle que dans ce cas précis, grand L et grand L' sont des réels non nubes, ça implique explicitement qu'elles sont toutes les deux différentes de zéro, et de plus ou moins l'infini.
11:48Avant de continuer dans le tableau, il est très important que tu aies ça en tête, et tu vas gagner un temps fou.
11:55Diviser par plus l'infini, c'est comme multiplier par zéro plus.
11:59Diviser par moins l'infini, c'est comme multiplier par zéro moins.
12:03Diviser par zéro plus, c'est comme multiplier par plus l'infini.
12:08Diviser par zéro moins, c'est comme multiplier par moins l'infini.
12:11Logique, diviser par un nombre très grand donne un résultat très petit, et diviser par un nombre très petit donne un résultat très grand.
12:19Troisième et quatrième colonnes, diviser une limite réelle strictement positive par zéro plus ou moins entraîne une limite infinie, le signe de la limite provenant de la règle dictée en bas de page.
12:30Cinquième et sixième colonnes, diviser une limite réelle strictement négative par zéro plus ou moins entraîne une limite infinie, le signe de la limite provenant de la règle des signes.
12:39Septième et huitième colonne, diviser une limite réelle strictement positive par plus ou moins infini entraîne une limite nu, le signe de la limite provenant de la règle des signes.
12:49Neuvième et dixième colonne, diviser une limite réelle strictement négative par plus ou moins infini entraîne une limite nu, le signe de la limite provenant de la règle des signes.
12:59Dernière colonne, comme diviser par zéro, plus ou moins, est équivalent à multiplier par plus ou moins infini, diviser l'infini par zéro entraînera une limite infinie, la règle des signes donnant la relativité de cette limite infinie.
13:13Onzième et douzième colonne, du fait des particularités de l'infini et du zéro, tu auras une forme indéterminée.
13:19En effet, dans ce cas-ci, il est impossible de déterminer avec certitude si la limite est infinie, ou nulle, ou autre.
13:26Bon, pas d'inquiétude à avoir, je vais revenir sur ces formes indéterminées que je vais rassembler sur une seule diapositive.
13:34Il n'empêche, si tu restes mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, tu ne devrais avoir aucun mal à déterminer les limites de fonction.
13:42Paragraphe suivant, l'effort vint déterminer.
13:45On a vu le pourquoi et le comment, je dois maintenant te montrer combien il y en a véritablement, et quoi faire pour se dépatouiller avec elle.
13:53C'est parti !
13:54Contrairement à ce que tu penses, il n'y a pas tant de formes indéterminées que ça, puisqu'il n'y en a que 4.
14:00Les voici.
14:02L'infini sur l'infini.
14:04Zéro fois l'infini.
14:06L'infini moins l'infini.
14:08Zéro sur zéro.
14:10Pour supprimer cette indétermination, plusieurs techniques sont possibles.
14:13La factorisation, le changement de variable, le théorème des gendarmes, et les limites par comparaison.
14:214 formes indéterminées, 4 techniques que je vais aborder maintenant, et qui vont te permettre de transformer une incertitude en certitude.
14:29Paragraphe suivant, la factorisation, technique la plus simple, mais redoutablement efficace pour te sortir de ces sables mouvants.
14:36C'est parti !
14:38Le but de la manœuvre est de réécrire la somme en produit pour faire sauter l'indétermination.
14:44Je vais te montrer avec deux exemples simples.
14:47Le premier est un trinôme du second degré, noté f2x, égare à 3x², plus 2x, plus 1.
14:54Son domaine de définition, noté df, est l'ensemble complet des réels.
14:59Commençons par la limite en moins l'infini.
15:02Celle de 3x² est plus l'infini, et celle de 2x plus 1, est moins l'infini.
15:08Et ça, dans le millimille, par somme, ou par tout atis, c'est une forme indéterminée.
15:14Donc, factorisation par x², le monôme de plus haut degré, ce qui va donner ça, qui peut se réarranger en x², facteur de 3, plus 2 sur x, plus 1 sur x².
15:25Il suffit désormais de faire la limite des deux termes.
15:29La limite de x², quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
15:34La limite de 2 sur x, quand x tend vers moins l'infini, est 0, divisé par moins l'infini, c'est multiplié par 0 moins.
15:41La limite de 1 sur x², quand x tend vers moins l'infini, est 0, divisé par moins l'infini au carré, soit plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
15:52Par somme, la limite de 3, plus 2 sur x, plus 1 sur x², sera 3, donc par produit, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera plus l'infini.
16:03Pour la limite de cette fonction en plus l'infini, je te laisse faire et tu mettras ton résultat en commentaire.
16:11Le second exemple est une fonction quotient, noté f de x, égale à, moins 5x², plus 7x, moins 9, divisé par, 2x plus 3, aussi égal à grand N de x, le numérateur, sur grand D de x, le dénominateur.
16:26Le domaine de définition, noté d'f, est l'ensemble des réels privés de moins 3 demi.
16:32On va se focaliser sur la limite en plus l'infini.
16:36La limite de moins 5x², quand x tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
16:41La limite de 7x moins 9, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
16:46Et ça, pour sur Arthur, par somme, ou par Bélenos, c'est une forme indéterminée pour le numérateur.
16:52Pour le dénominateur, aucun souci, sa limite, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
17:00Dans ce cas-ci, il est coutume de factoriser le numérateur et le dénominateur par le monôme de degrés communs, ici x, ce qui va donner ceci, se réécrivant en, moins 5x, plus 7, moins 9 sur x, divisé par, 2, plus 3 sur x, noté petit N de x, sur petit D de x.
17:18La limite de moins 5x, quand x tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
17:23La limite de 7, moins 9 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 7, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
17:33Par somme, la limite du numérateur, quand x tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
17:38La limite de, 2, plus 3 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 2, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
17:48La limite du dénominateur, quand x tend vers plus l'infini, est 2.
17:53Par quotient des limites du numérateur et du dénominateur, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera moins l'infini.
18:01Et c'est tout.
18:03Paragraphe suivant, le changement de variable.
18:05Beaucoup de mes élèves me disent que c'est du hors-programme au lycée, mais quand je leur montre que c'est à la fois simple et efficace, ça ne rechigne plus à l'utiliser, surtout que ça les sort très souvent de la grasse mêlasse.
18:17C'est parti.
18:19Le changement de variable permet d'utiliser une définition admise, donc aucun besoin de justification, pour déterminer la limite d'une fonction parfois ésotérique.
18:29Exemple, soit f de x égale à e2, racine carrée de x, divisé par racine carrée de x.
18:35Son domaine de définition, noté df, sera 0 exclu, plus l'infini exclu.
18:41On va se focaliser sur la limite en plus l'infini.
18:44Une exponentielle, des racines carrées, et une fonction fraction, le combo gagnant pour donner des migraines au cerveau abreuvé aux réseaux sociaux.
18:52Je vais te montrer comment te dépatouiller de ça.
18:55Tu poses grand x égale à racine carrée de x, donc la fonction se transforme en f de grand x égale à e de grand x, divisé par grand x.
19:05Maintenant, par définition, la limite de racine carrée de x, quand x tend vers plus l'infini, est celle de grand x, quand x tend vers plus l'infini, égale à plus l'infini.
19:16Donc si x tend vers plus l'infini, grand x aussi.
19:19De ce fait, on peut en déduire que la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est égale à la limite de f de grand x, quand grand x tend vers plus l'infini.
19:29Par définition, tu sais que la limite de, e de grand x, sur grand x, quand grand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini, voire l'atelier MN numéro 39, lien dans la description.
19:42Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
19:45Donc, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est aussi plus l'infini.
19:51Deux choses sont importantes ici.
19:53La première, connaître parfaitement ses limites de référence pour voir comment bidouiller pour transformer la fonction.
20:00La seconde, il faut bien établir la relation entre la limite de x, et celle de la variable généralement notée grand x.
20:07Dans mon exemple, quand x tend vers plus l'infini, grand x aussi.
20:12Mais parfois, grand x tend vers autre chose, comme moins infini, zéro plus, ou un réel, et il faut en tenir compte pour établir la limite de la fonction.
20:20Il y a des exemples pédagogiques dans le TD, son lien est dans la description.
20:26Paragraphe suivant, le théorème des gendarmes, déjà abordé dans les limites de suite, qu'on applique aussi sur les fonctions.
20:33C'est parti.
20:35Également appelé théorème de l'étau, théorème d'encadrement, ou encore théorème du sandwich,
20:40il est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont leur limite, égale, est connue ou facilement calculable.
20:48Quel que soit x appartenant à un intervalle noté i, si f de x est encadré par deux fonctions,
20:54noté g de x et h de x, et que la limite de g de x, quand x tend vers plus ou moins infini, est égale à un réel grand L,
21:02aussi égale à la limite de h de x quand x tend vers plus ou moins infini,
21:06alors la limite de f de x, quand x tend vers plus ou moins infini, sera grand L.
21:11Généralement, il y a trois fonctions qui se prêtent bien au théorème des gendarmes,
21:16le cosinus, le sinus, et la puissance de moins 1.
21:20En effet, quel que soit x réel, ces fonctions sont comprises entre moins 1 et 1.
21:25Je vais te montrer avec un exemple, ce sera plus limpide.
21:29Soit la fonction f de x, égale à, 2x plus sinus de x, divisé par, x moins 1.
21:35Son domaine de définition, noté df, est l'ensemble des réels privés de 1.
21:41Encadrement de la fonction.
21:43Sinus de x est compris entre moins 1 et 1, addition de 2x dans chaque thème,
21:48division par, x moins 1, et la fonction f de x est comprise entre,
21:522x moins 1, sur, x moins 1, et, 2x plus 1, sur, x moins 1.
21:59Détermination de la limite en plus l'infini de la fonction gauche.
22:02Suspicion d'une forme indéterminée, donc par mesure préventive,
22:07factorisation par x au numérateur et au dénominateur,
22:10simplification pour obtenir, 2, moins 1 sur x, sur, 1, moins 1 sur x.
22:16La limite du numérateur, quand x tend vers plus l'infini, est 2.
22:21Celle du dénominateur, toujours quand x tend vers plus l'infini, est 1.
22:25Par quotient, la limite de la fonction gauche, quand x tend vers plus l'infini, sera 2.
22:30Détermination de la limite en plus l'infini de la fonction droite.
22:36Suspicion d'une forme indéterminée, donc par mesure préventive,
22:39factorisation par x au numérateur et au dénominateur,
22:43simplification pour obtenir, 2, plus 1 sur x, sur, 1, moins 1 sur x.
22:49La limite du numérateur, quand x tend vers plus l'infini, est 2.
22:53Celle du dénominateur, toujours quand x tend vers plus l'infini, est 1.
22:58Par quotient, la limite de la fonction droite, quand x tend vers plus l'infini, sera 2.
23:05Récapitulons.
23:06Fonction encadrée, la limite de celle de gauche, quand x tend vers plus l'infini, est 2,
23:11tout comme la limite de celle de droite.
23:13De ce fait, d'après le théorème des gendarmes, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est 2.
23:21La rédaction ici est vraiment importante, ne pas la négliger.
23:25Et vu que tu y es, fait la limite de la même fonction, mais quand x tend vers moins l'infini.
23:31Au boulot.
23:32Paragraphe suivant, limite par comparaison, surtout utilisé quand x tend vers plus ou moins l'infini au lycée.
23:37C'est parti.
23:40Cette technique est très intéressante pour calculer une limite d'une fonction compliquée,
23:44en la comparant à des fonctions plus simples dont on connaît la limite.
23:48Elle est scindée en deux processus.
23:51Le premier, par minoration.
23:53Quel que soit x appartenant à un intervalle noté i, soit deux fonctions, notées f et g,
23:58telles que g de x inférieur ou égal à f de x.
24:01Si la limite de j de x, quand x tend vers une valeur alpha réelle, est plus l'infini,
24:07alors par minoration, la limite de f de x, quand x tend vers cette main valeur alpha réelle,
24:13sera aussi plus l'infini.
24:15En effet, tout ce qui est supérieur à plus l'infini sera forcément égal à plus l'infini.
24:21Le second, par majoration.
24:23Quel que soit x appartenant à un intervalle noté i, soit deux fonctions, notées f et g,
24:28telles que f de x inférieur ou égal à g de x.
24:32Si la limite de g de x, quand x tend vers une valeur alpha réelle, est moins l'infini,
24:37alors par majoration, la limite de f de x, quand x tend vers cette main valeur alpha réelle,
24:43sera aussi moins l'infini.
24:45En effet, tout ce qui est inférieur à moins l'infini sera forcément égal à moins l'infini.
24:50Généralement au lycée, alpha prendra pour valeur moins l'infini, ou plus l'infini.
24:55Et si je te montrerai un exemple pour illustrer le propos.
24:58Mais en voilà une idée qu'elle est bonne, n'est-elle pas.
25:02Soit une fonction f de x, égale à 9x, divisé par, 9 plus cos x, définie sur l'ensemble complet des réels.
25:10Le but est de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, notées des f, soit plus l'infini, et moins l'infini.
25:16On l'a vu dans le paragraphe précédent, le cosinus est compris entre moins 1 et 1.
25:22Addition de 9 dans chaque terre, réduction, inversion, ce qui inverse aussi les signes, retournement et multiplication par 9x,
25:30et tu auras f de x comprise entre deux fonctions simples, à gauche, 9x sur 10, à droite, 9x sur 8.
25:37Comme on cherche la limite en plus l'infini, il faut se focaliser sur la fonction gauche.
25:43La limite de 9x sur 10, quand x tend vers plus l'infini, et plus l'infini donc, par minoration,
25:49la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera aussi plus l'infini.
25:54Il ne faut jamais oublier que tout ce qui est supérieur à plus l'infini sera forcément égal à plus l'infini.
26:01On s'occupe désormais de la limite en moins infini, et je remets la procédure complète pour qu'elle s'imprègne bien dans le cerveau.
26:08Comme je te l'ai montré il y a quelques instants, le cosinus est compris en moins 1 et 1.
26:13Addition de 9 dans chaque terre, réduction, inversion, ce qui inverse aussi les signes, retournement et multiplication par 9x,
26:21et tu auras f de x comprise entre deux fonctions simples, à gauche, 9x sur 10, à droite, 9x sur 8.
26:29Comme on cherche la limite en moins l'infini, il faut se focaliser sur la fonction droite.
26:34La limite de 9x sur 8, quand x tend vers moins l'infini, et moins l'infini donc, par majoration,
26:40la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera aussi moins l'infini.
26:44Il ne faut surtout pas oublier que tout ce qui est inférieur à moins l'infini sera forcément égal à moins l'infini.
26:52Dernier paragraphe, les asymptotes, interprétation graphique des limites de fonction,
26:57qu'on te demande très souvent de déterminer, et de tracer dans un repère orthodormé.
27:01C'est parti !
27:03Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini,
27:08la distance de la courbe à droite tend vers zéro.
27:11Il existe trois types d'asymptotes.
27:13L'horizontale, d'équation y égale à k
27:17La verticale, d'équation x égale à k
27:20L'oblique, hors programme au lycée, mais ça ne mange pas de pain de te la donner pour que tu l'apprèves.
27:26D'équation y égale à mx plus p
27:28Dans les exercices, la détermination des asymptotes se fera en te demandant des conséquences,
27:34ou interprétations graphiques, suite à des calculs de limites.
27:37Comme par exemple dans cet exercice, dans le cadre rouge, dans lequel on te demande de calculer des limites dans la question 3, et de faire une déduction en question 4.
27:48Ou encore dans cet autre exercice, toujours dans le cadre rouge, dans lequel tu as des limites à déterminer en question 2A, pour interpréter graphiquement les résultats précédents en question 2B.
27:57Mais comment les reconnaître ?
28:00Je vais te montrer.
28:02Si la limite de f de x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est égale à grand L, avec grand L un réel différent de plus ou moins l'infini,
28:10alors la droite d'équation y égale à grand L est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de plus ou moins l'infini.
28:17Et d'un point de vue graphique, c'est comme ça que ça s'affiche, une droite horizontale.
28:21Logique pour une asymptote horizontale.
28:24Ici, il n'y en a qu'une seule, mais elles peuvent être plusieurs.
28:28Suivante.
28:30Si la limite de f de x, quand x tend vers grand L, est égale à plus ou moins l'infini, avec grand L un réel différent de plus ou moins l'infini,
28:38alors la droite d'équation x égale à grand L est asymptote verticale à la courbe.
28:43Et d'un point de vue graphique, c'est comme ça que ça s'affiche, une droite verticale.
28:47Logique pour une asymptote verticale.
28:49Ici, il y en a deux mais elles peuvent être plus nombreuses.
28:54Suivante.
28:55Si la limite de f de x moins y, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est égale à zéro,
29:01alors la droite d'équation y, égale à mx plus p, est asymptote oblique à la courbe au voisinage de plus ou moins l'infini.
29:09Et d'un point de vue graphique, c'est comme ça que ça s'affiche, une droite oblique, logique pour une asymptote oblique.
29:14Ici, il n'y en a qu'une seule, mais elles peuvent être plusieurs, croissantes comme décroissantes.
29:21Pour terminer, les asymptotes sont, au lycée, des droites qui permettent d'encadrer la courbe et de connaître son évolution sur son domaine de définition.
29:30Elles sont donc importantes lors d'une étude de fonction, et elles doivent systématiquement être déterminées, même si ce n'est pas clairement énoncé.
29:37L'atelier est désormais terminé.
29:40Tu as des questions ?
29:42Tu veux un complément d'informations ?
29:44Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
29:47Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
29:53Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeMANHTAC 041, limite de fonction, est accessible, le lien est en description.
30:02Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
30:05A tout de suite.
30:08Tchuss !
30:08Sous-titrage Société Radio-Canada
30:10Sous-titrage Société Radio-Canada
30:11Sous-titrage Société Radio-Canada
Recommandations
9:42
|
À suivre
26:53
21:44
16:53
36:46
19:38
10:53
13:00
14:01
12:47
14:45
9:25
6:28
16:16
21:07
7:59
30:11
38:14
23:06
24:58
18:08
32:37