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Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/1Yo4zsMtkwd3ANJm7qST7B8uxiBNuSZKJ?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k2JP1TvbUWwrEREbHWK
Que la Forge soit avec toi...
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00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge l'NAN numéro 43, continuité de fonction.
00:39Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, avec lequel ton cerveau va atteindre sa température optimale d'utilisation.
00:47C'est parti.
00:49Soit F la fonction numérique définie par F de X égale à X au carré moins 1, pour X inférieur ou égal à 2, et A, 5 moins X, pour X strictement supérieur à 2.
01:00F est-elle continue sur son ensemble de définitions ?
01:03Traduction, la fonction est-elle continue au point d'abscisse 2 ?
01:07Ok.
01:08Première chose à faire pour mettre un peu de clarté, c'est nommer chaque portion de fonction.
01:14La première sera G de X, la seconde H de X.
01:18Sachant que le point d'abscisse 2 est inclus dans le domaine de G, mais pas dans celui de H, il faudra déterminer G de 2, puis calculer la limite de H quand X tend vers 2.
01:27G de 2 égale à 2 au carré moins 1, soit 3.
01:31La limite de H de X, quand X tend vers 2, X strictement supérieur à 2, est 3.
01:37Comme la limite de H en 2 est égale à G de 2, tu peux en déduire que F est continue en 2, donc continue sur son domaine de définition.
01:45Notez des F.
01:47Graphiquement, voilà ce que ça donne.
01:48Certes, il y a un changement brusque de direction à l'endroit indiqué par la flèche bleue, mais aucun trou béant dans la représentation graphique.
01:57Par contre, en zoomant au maximum sur le graphique au niveau de la cassure, voilà ce que j'ai obtenu.
02:03J'ai utilisé la version en ligne de GeoGebra, mais quelle est donc cette diablerie ?
02:07Normalement, les deux portions devraient se rejoindre proprement à l'endroit pointé par la flèche bleue, il n'en est rien.
02:14Si quelqu'un ou quelqu'une a une explication, je suis preneur.
02:18Next.
02:20Exercice numéro 2, dans lequel je vais compliquer un peu les règles du jeu pour le pimenter un peu, sinon il perd tout son intérêt pédagogique.
02:27C'est parti.
02:28On considère la fonction f, définie sur l'ensemble complet des réels, par f de x égale à x moins racine carré de 1 plus x au carré.
02:38Question 1, déterminer les limites de f en moins infini, et en plus l'infini.
02:43En moins l'infini, en utilisant l'expression donnée dans l'énoncé, la limite n'est pas indéterminée.
02:48Tu sais que la limite de x au carré, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini, donc celle de 1 plus x au carré, toujours en moins l'infini, sera plus l'infini.
02:59Par conséquent, la limite de moins racine carré de 1 plus x au carré, bien entendu en moins l'infini, sera moins l'infini.
03:06Par somme, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
03:12Par contre, en plus l'infini, forme indéterminée, l'infini moins l'infini.
03:17De ce fait, il va falloir factoriser.
03:20Première étape, factorisation par x au carré dans la racine carré, que tu sors de cette racine, et deviens x,
03:27puis factorisation par x, et tu auras f de x égale à x, facteur de, 1 moins racine carré de, 1 sur x au carré, plus 1.
03:36Problème, la limite de cette expression est indéterminée, 0 fois l'infini.
03:40Pas de panique, tu as d'autres cordes à ton arc, et il va falloir utiliser l'expression conjuguée, technique que je t'ai montrée dans la forge NAN numéro 41, le lien est dans la description.
03:51Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
03:53Multiplication et division simultanée de la fonction par son expression conjuguée, identité remarquable au numérateur, a moins b, facteur de a plus b, se factorisant en, a carré moins b carré.
04:06Le carré neutralise la racine, réduction, et f de x est égal à moins 1 sur, x plus racine carré de, 1 plus x au carré.
04:13J'entrevois la possibilité de factoriser le dénominateur, je m'engouffre donc dans la brèche dans l'espoir que ça me facilitera la tâche par la suite.
04:23Ce dénominateur est noté petit d de x, factorisation par x au carré dans la racine carré, que tu sors de cette racine, et qui devient x, puis factorisation par x, et tu auras petit d de x égale à x, facteur de, 1 plus racine carré de, 1 sur x au carré, plus 1.
04:40De ce fait, f de x devient moins 1, sur x, facteur de, 1 plus racine carré de, 1 sur x au carré, plus 1.
04:49La limite de, 1 sur x au carré, quand x tend vers plus l'infini, est nu, ce qui entraîne que la limite de racine carré de, 1 sur x au carré, plus 1, toujours en plus l'infini, sera 1, donc, celle de 1 plus racine carré de, 1 sur x au carré, plus 1, bien entendu en plus l'infini, sera égale à 2.
05:07Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera 0 moins.
05:14Je rappelle que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
05:21Next.
05:23Question 2, justifier que f est dérivable sur l'ensemble complet des réels, et calculer f prime de x pour tout réel x.
05:29Pour fluidifier ma démonstration, je pose que f de x est égale à y de x, moins r de x.
05:37Quel que soit x réel, y est dérivable car c'est une fonction polynôme de degré 1, ou fonction affine.
05:44Quel que soit x réel, 1 plus x au carré est dérivable, car fonction du second degré.
05:49Sachant qu'elle est de plus toujours strictement positive, dès lors jamais nulle, racine carré de 1 plus x au carré, sera dérivable, donc r aussi.
05:59f étant composée de fonctions dérivables sur l'ensemble complet des réels, elle est par définition dérivable sur cet ensemble.
06:06Pour la dériver, je vais reprendre la même expression.
06:08Next.
06:36Next.
06:36question 3 quel est le sens de variation de f sur l'ensemble complet des réels pour ce faire la
06:43dérivée sera nécessaire je l'affiche sur l'écran problème comment déterminer le signe de cette
06:49bestiole tout mettre sur le même dénominateur risque fort de compliquer les choses et pour
06:54éviter de te perdre dans des calculs chronophages et inutiles je dois te montrer une technique qui
06:59pourrait te sauver la vie en devoir surveiller l'objectif est de comparer la fraction avec 1
07:04et déterminer le signe de l'expression regarde et écoute bien quel que soit x réel x au carré est
07:12strictement inférieur à x au carré plus un racine carré de x au carré sera strictement inférieur à
07:18racine carré de x au carré plus un donc x strictement inférieur à racine carré de x au carré plus un
07:24division par racine carré de x au carré plus un des deux côtés la fraction passe à droite et tu
07:31constates que la dérivée est strictement positive ce qui indique que la fonction sera strictement
07:36croissante j'adore quand un plan se déroule sans accroc en bonus voici la représentation graphique de
07:43la fonction qui permet de voir comment la courbe se comporte dans un plan délimité par un repère
07:48orthodormé une image au milieu de tous ces nombres et ces mots ça soulage ton pauvre petit cerveau qui
07:54tourne aux réseaux sociaux exercice numéro 3 dans lequel tu vas devoir déterminer la dérivabilité et la
08:00continuité de deux fonctions d'ésotériques c'est parti voici l'énoncé et pas le temps de niaiser on
08:07commence sans tarder par la première question soit f la fonction définie sur l'ensemble complet des réels
08:13par f de x égale à x au carré moins 1 6 strictement négatif et x moins 1 6 supérieur ou égal à 0 la
08:22fonction est fait elle continue sur air est-elle dérivable sur air étude de la continuité première
08:30chose à faire pour mettre un peu de clarté renommer chaque portion de fonction la première sera g2 x la
08:36seconde h de x sachant que le point d'abstice 0 est inclus dans le domaine de h mais pas dans celui de
08:43g il faudra déterminer h de 0 puis calculer la limite de g quand x tend vers 0 la limite de g de
08:50x quand x tend vers 0 x strictement inférieur à 0 et moins 1 h de 0 est égal à moins 1 comme la limite
08:58de g en 0 est égal à h de 0 tu peux en déduire que f est continue en 0 donc continue sur l'ensemble
09:04complet des réels étude de la dérivabilité par définition la fonction g fonction polynôme de
09:12degré 2 est dérivable sur air d'où forcément dérivable sur l'intervalle moins l'infini exclu
09:170 x que intervalle inclus dans air toujours par définition la fonction h fonction affine est
09:24dérivable sur air d'où forcément dérivable sur l'intervalle 0 inclus plus l'infini exclu
09:30intervalle inclus dans air par conséquent f étant composé de fonctions dérivable elle est de ce
09:36fait dérivable sur l'ensemble complet des réels next question 2 soit f la fonction définie sur
09:43l'ensemble complet des réels par f de x égale à x au carré moins x moins 2 sur x moins 2 si x différent de
09:512 est égal à 3 6 x égal à 2 étudier la continuité de f sur r tu vas poser g de x égal à x au carré
10:00moins x moins 2 sur x moins 2 aussi égal à petit n de x sur petit d de x en utilisant cette expression
10:08la limite de g de x quand x tend vers 2 est une forme indéterminée 0 sur 0 il faut modifier l'écriture
10:16de la fonction et la factorisation a l'air d'être la procédure à suivre le numérateur et du second
10:23degré donc utilisation du discriminant delta a est égal à 1 b a moins 1 c a moins 2 delta est égal à
10:30b au carré moins 4 ac ce qui donne 9 delta positif donc deux solutions réelles et distinctes la première
10:37notée x 1 égale à moins 1 la seconde notée x 2 égale à 2 la factorisation ayant pour formula facteur
10:45de x moins x un facteur de x moins x 2 petit n de x s'écrira un facteur de x plus un facteur de x
10:53moins 2 réécriture du numérateur de la fonction g réduction et g de x sera égal à x plus 1 la limite
11:01de g de x quand x tend vers 2 et tant égal à 3 aussi égal à f de 2 ceci implique que la fonction
11:08est continue en deux donc continue sur l'ensemble complet des réels et c'est tout exercice numéro 4
11:15dans lequel tu vas devoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires l'énoncé est très court ça te
11:21permettra de comprendre pourquoi et comment utiliser ce tvi c'est parti soit j'ai la fonction définie sur
11:28l'ensemble complet des réels par g de x égale à x au cube moins 1200 x moins 100 question 1 étudier le
11:35sens de variation de g plus limite et dresser son tableau de variation ok le plus logique est de
11:43commencer par les limites en moins l'infini puis en plus l'infini en effet elles seront mises dans le
11:49tableau de variation directement après l'étude du signe de la dérivée seulement faire ses limites sur
11:54l'expression données conduit à une forme indéterminée l'infini moins l'infini il va falloir la factoriser
12:00je sais qu'au lycée on apprend à factoriser par le monôme de plus haut degré ici x au cube mais j'ai
12:07pour habitude de sortir des sentiers battus et d'innover montrant ainsi que je ne me mets pas en mode automatique
12:12comme une intelligence artificielle de première génération avec ses algorithmes basiques je te
12:18conseille de faire pareil et tu verras qu'à long terme mettre ce genre de flamboyance dans tes écrits
12:23ça paye donc factorisation par x réduction ce qui donne g2 x égale à x facteur de x au carré moins 1200
12:32moins 100 sur x comme tu sais que la limite de 100 sur x quand x tend vers plus ou moins infini est nul ça
12:39implique que la limite de moins 1200 moins 100 sur x quand x tend vers plus ou moins infini est moins
12:451200 par calcul la limite de g2 x quand x tend vers moins infini sera moins infini et la limite de g2 x
12:53quand x tend vers plus l'infini sera plus l'infini bien une bonne chose de fait on passe aux variations tu
13:01reprends l'expression donnée dans l'énoncé dérivation puis factorisation par trois seulement tu remarques
13:08que 400 c 20 au carré donc identité remarquable a carré moins b carré qui se factorisant a moins b
13:15facteur de a plus b état délivré devient égale à 3 facteur de x moins 20 facteur de x plus 20 avec le
13:23discriminant delta ça fonctionne aussi mais c'est plus long et moins flamboyant tableau standard de variation de
13:30fonction dans lequel j'ai néanmoins supprimer une ligne en accouplant le 3 nombre strictement positif
13:35avec le x moins 20 ce qui ne change pas le signe de la ligne attention si tu avais eu moins 3 à la
13:42place donc un nombre négatif il aurait été plus prudent d'isoler ce moins 3 dans une ligne distincte
13:47maintenant remplissage du tableau pour trois facteurs de x moins 20 moins ici plus là pour x plus 20 moins ici
13:58plus là pour la ligne de la dérivée règle des signes à partir des deux lignes du dessus donc plus
14:04moins plus dernière ligne celle des variations de la fonction qui sera croissante dérivée positive
14:11puis décroissante dérivée négative et enfin croissante les limites trouvées précédemment sont inscrits
14:18dans le tableau puis calcul de g2 moins 20 égale à 15900 et de g2 20 égale à moins 16100 bien entendu pour
14:26améliorer ta capacité de calcul aura des pâquerettes tu optes pour l'utilisation de ton cerveau ou de ton
14:32stylo pas de ta calculatrice que tu peux utiliser uniquement pour vérifier ton résultat next question
14:402 démontrer que l'équation g2 x égale à 0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle 20 inclus 40
14:46inclus donner un encadrement de alpha à 10 puissance moins un prêt quand tu utilises le théorème des valeurs
14:53intermédiaires le tableau de variation est indispensable c'est pour ça que je l'affiche
14:57sur l'écran la zone dans laquelle il va falloir travailler celle ci que j'entoure en rouge on a
15:04g2 20 moins 16100 valeur négative mais pages et de 40 aucun problème tu la calcul toujours avec ton
15:12stylo ou ton cerveau la calculatrice permettant de vérifier le résultat qui sera de 15900 une valeur
15:18positive grâce au tableau de variation tu peux affirmer que sur l'intervalle 20 inclus 40 inclus
15:24petit 1 g continue car dérivable petit 2 g est strictement croissante petit 3 comme g de 20 est
15:32négative et g de 40 positive tu peux écrire que g de 20 inférieur ou égal à 0 inférieur ou égal à g
15:39de 40 ce qui peut se résumer en 0 appartient à l'intervalle image par la fonction g par conséquent
15:45d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une valeur unique alpha appartenant à
15:50l'intervalle 20 inclus 40 inclus tel que g de alpha est égal à 0 maintenant il faut donner un
15:57encadrement de alpha à 10 puissance moins un prêt toi tu vas te servir du mode solver ou équation de
16:03ta calculatrice que tu dois savoir utiliser les yeux fermés j'opte pour géo gébra tout aussi efficace
16:09c'est le point d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses appartenant à l'intervalle 20
16:14inclus 40 inclus grâce à l'abscisse de ce point c tu peux en déduire qu'alpha sera comprise entre
16:2034,6 et 34,7 pas plus compliqué exercice numéro 5 dans lequel tu vas retrouver ensemble quelques
16:29notions importantes de l'étude d'une fonction bref ça commence à sentir le roussi c'est parti on cherche
16:37le nombre de solutions de l'équation grand e x puissance 4 plus 3 x au cube plus x au carré
16:43plus 1 égal à 0 soit la fonction f définie sur l'ensemble complet des réels par f de x égal à
16:51x puissance 4 plus 3 x au cube plus x au carré plus 1 question 1 justifier la continuité de la
16:58fonction f sur r par définition les fonctions polynômes de degré n n anti naturel sont toutes
17:05dérivables et continue sur l'ensemble complet des réels f étant la somme de fonctions polynômes de
17:11degré n elle est dérivables donc continue sur r point next question 2 petit à calculer f prime
17:20de x puis montrer que f prime de x est égal à x facteur de x plus 2 facteur de 4x plus 1 bien de
17:30de l'expression de la fonction tu détermine simplement sa dérivée qui ne ressemble pas à
17:34celle que tu dois trouver néanmoins tu remarques que tu peux factoriser par x ce qui donne f prime
17:40de x égale à x facteur de 4x au carré plus neuf x plus 2 l'expression entre parenthèses étant une
17:48fonction du second degré il est possible de la factoriser en utilisant le discriminant delta a égale à 4
17:55b à 9 c à 2 delta est égal à b au carré moins 4 ac ce qui donne 49 delta positif donc deux solutions
18:03réelles et distinctes qui sont x 1 égale à moins 2 et x 2 égale à moins un quart je te rappelle que la
18:10factorisation d'une fonction du second degré avec delta positif est à facteur de x moins x 1 facteur de x
18:16moins x 2 la délivée peut donc s'écrire x facteur de 4 facteur de x plus 2 facteur de x plus 1 car le
18:264 est envoyé sur le second terme entre parenthèses et f prime de x sera bien égal à x facteur de x plus
18:322 facteur de 4x plus 1 next petit b calculez les limites de la fonction f en plus ou moins l'infini
18:41utiliser l'expression donné dans l'énoncé conduit à une forme indéterminée l'infini moins l'infini il
18:47va donc falloir la factoriser par le monôme de plus haut degré x puissance 4 ce qui va donner x
18:53puissance 4 facteur de 1 plus 3 sur x plus 1 sur x au carré plus 1 sur x puissance 4 quel que soit
19:01carré elle non nul la limite de k sur x puissance n quand x tend vers plus ou moins infini est nul donc
19:08la limite de 1 plus 3 sur x plus 1 sur x au carré plus 1 sur x puissance 4 quand x tend vers plus ou
19:15moins l'infini sera sachant que la limite de x puissance 4 quand x tend vers plus ou moins
19:21l'infini et plus l'infini ça implique par produit que la limite de f de x quand x tend vers plus ou moins
19:27l'infini sera aussi plus l'infini next petit c dresser le tableau de variation de la fonction f tu
19:36sais que cette dérivée est égale à x facteur de x plus 2 facteur de 4x plus 1 le tableau de
19:43variation qui en découle va donc être verticalement imposant je te fais grâce de la procédure
19:48complète tu es censé maîtriser cette notion depuis la seconde sinon je te conseille d'aller
19:54consulter le catalogue de vidéo pour trouver ton bonheur le lien est en description ligne du x moins ici plus la
20:01ligne du x plus 2 moins ici plus la ligne du 4x plus 1 moins ici plus la pour la ligne de la dérivée
20:11règle des signes avec les trois lignes du dessus ce qui donne moins plus moins plus donc la fonction
20:18sera décroissante ensuite croissante puis décroissante et enfin croissante la limite en moins l'infini
20:25puis celle en plus l'infini l'image de moins 2 celle de moins un quart et celle de 0 bien entendu
20:31comme toujours utilisation de ton cerveau ou le ton stylo pour les déterminer la calculatrice ne
20:37servant qu'à confirmer le résultat next question 3 donner et justifier le nombre de solutions de
20:44l'équation grant e le tableau de variation est demandé c'est lui qui va te permettre de répondre à la
20:50question le principe est simple tu suis les flèches de gauche à droite et si un changement de signe s'opère
20:57entre les deux bouts c'est que ça s'annule la première flèche qui passe de plus l'infini à moins
21:023 1 0 dessus second flèche qui passe de moins 3 à 261 sur 256 1 0 dessus troisième flèche de 261 sur
21:13256 à 1 ça reste positif donc pas de 0 dernière flèche de 1 plus l'infini ça reste positif d'où pas
21:22de zéro en conclusion la fonction s'annule en deux points le premier d'apsis x1 compris sur l'intervalle
21:28moins l'infini exclut moins deux inclus le second d'apsis x2 comprise entre moins deux et moins un quart
21:34ce n'est pas demandé mais voici la représentation graphique de la fonction sur laquelle j'ai affiché les
21:40valeurs approchées des deux solutions via géogebra et elle valide ce qui a été prévu analytiquement
21:45donc du bon travail exercice numéro 6 un mastodonte parmi les colosses le genre que tu vas retrouver en
21:53devoir surveiller ou au baccalauréat et qui va faire transpirer tes neurones car il est en deux parties et
21:59utilise une fonction auxiliaire c'est parti soit la fonction f définie sur l'ensemble complet des réels
22:06par f de x égale à 2 x moins 5 facteur de 1 moins exponentielle de moins x partie grand a soit la
22:15fonction g définie sur l'ensemble complet des réels par g de x égale à 2 exponentielle 2 x plus 2 x moins
22:227 question 1 déterminer les limites de g en plus ou moins infinie en utilisant l'expression donnée dans
22:29l'énoncé aucune forme indéterminée donc cool par contre il va falloir soigner la rédaction en moins
22:37infinie la limite de 2 exponentielle de x est nulle celle de 2 x moins 7 et moins l'infini donc par
22:43ça la limite de g de x quand x tend vers moins infinie sera moins l'infini en plus l'infini la limite de 2
22:51exponentielle 2 x est plus l'infini celle de 2 x moins 7 et plus l'infini donc par ça la limite de g de x quand
22:58quand x tend vers plus l'infini sera plus l'infini next question 2 montrer que la fonction g est
23:05croissante sur l'ensemble complet des réels expression de g détermination de sa dérivée
23:11factorisation et g prime de x égale à 2 facteur de exponentielle de x plus 1 pour tout x réel
23:19exponentielle de x est strictement positive donc exponentielle de x plus 1 strictement supérieur à
23:261 strictement supérieur à 0 ce qui entraîne une dérivée strictement positive et par conséquent
23:31une fonction strictement croissante next question 3 petit a justifié que l'équation g de x égale à
23:390 admet une unique solution noté alpha dans r récapituons les informations dont on dispose une
23:47limite en moins infinie négative une limite en plus l'infini positive et une fonction est strictement
23:52croissante sachant que cette fonction g est dérivable sur l'ensemble complet des réels car
23:58sommes de fonctions dérivables sur air d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe
24:03une valeur unique alpha réel tel que j'ai de alpha nul oui pour information c'est inversé avec le point
24:10d'exclamation à coller se traduit par il existe une unique valeur attention certains et certaines professeurs
24:17ne l'acceptent pas en devoir surveiller et pas sûr que ce soit admis au bac donc prudence dans son
24:23utilisation next petit b montrer que alpha appartient à l'intervalle 0 inclus inclus puis déterminer une
24:31valeur approchée de alpha à 10 puissance moins 3 près à l'aide de l'algorithme de dichotomie ok
24:37l'intervalle sur lequel alpha étant donné il faut déterminer les images de ces bornes
24:42g20 est égal à moins 5 négatif et g21 est égal à 2 au moins 5 positif en résumé g20 inférieur ou
24:52égal à 0 inférieur ou égal à g21 mais comme g2 alpha est nul réécriture en g20 inférieur ou égal à
25:00g2 alpha inférieur ou égal à g2 la fonction g étant strictement croissante l'ordre des antécédents sera
25:07le même que celui des images donc alpha est bien compris entre 0 et 1 ensuite tu prends ta calculatrice
25:14pour trouver la valeur d'affa via son mode solver ou équation je suis passé par un petit site qui
25:19s'appelle des codes dans lequel il ya une pléthore d'outils que je te conseille d'aller découvrir et de
25:24consulter qui m'indique une solution égale à 0 940 1005 arrondi à 10 puissance moins 3 alpha sera égale à
25:320 940 next question 4 en déduire le signe de g2 x suivant les valeurs de x le tableau de variation de
25:42la fonction permettra d'illustrer le raisonnement à avoir pour ne jamais te tromper sur cette question
25:46qui est récurrente quand tu utilises une fonction auxiliaire en l'occurrence g2 x en notre cas voici
25:53le tableau complet variation et limite tu sais que la fonction s'annule en alpha donc affichage de cette
26:00valeur alpha et via cette indication je montre l'annulation de la fonction aced abscisse maintenant
26:06tableau de signe la fonction g et pour le remplir il suffit de savoir lire les informations cachées
26:11dans celui du dessus en moins l'infini et alpha la fonction part de moins infini pour s'annuler en
26:17alpha donc elle sera négative sur cet intervalle entre alpha et plus l'infini la fonction part de zéro
26:24pour aller en plus l'infini donc elle sera positive sur cet intervalle aussi simple que ça next partie
26:32grand b question 1 déterminer les limites de f en plus ou moins infini en utilisant l'expression
26:39donnée dans l'énoncé aucune forme indéterminée donc cool par contre il va falloir soigner la rédaction
26:46comme toujours en moins l'infini la limite de 2x moins 5 est moins infini celle de 1-2
26:52exponentielle de moins tix aussi par produit la limite de f 2 x quand x tend vers moins l'infini
26:58sera plus l'infini en plus l'infini la limite de 2 x moins 5 est plus l'infini celle de 1-1
27:05exponentielle de moins x lại par produit la limite de f 2 i whose cantan vers plus l'infini sera plus
27:12l'infini. Bien entendu, connaître les limites de l'exponentiel est impératif, et je te renvoie
27:18vers les ateliers MAN numéro 39 et 41, leur lien est dans la description. Catalogue de vidéos,
27:24onglet Mandelbrot. Next. Question 2, déterminer f' de x, et montrer que f' de x est égal à g de x
27:33fois exponentielle de moins x. Comme certains et certaines d'entre vous ont autant de mémoire que
27:38Dory, je remets l'expression de g sur l'écran, ça pourra aider. La fonction f est du type u fois v,
27:45donc sa dérivée sera égale à u prime v, plus u v prime. u de x égale à 2 x moins 5, donc u prime
27:52de x égale à 2. v de x égale à un moins exponentielle de moins x, donc v prime de x égale à exponentielle
27:59de moins x. Remplacement des variables uiv par leurs expressions, développement, réduction,
28:06et f' de x égale à 2 moins 7 exponentielle de moins x, plus 2 x exponentielle de moins x. Bon,
28:13on a la dérivée, mais il faut l'exprimer en fonction de g. Factorisation par exponentielle de
28:19moins x, réduction, et comme par magie, on arrive bien à montrer que f' de x est égal à g de x fois
28:25exponentielle de moins x. Next. Question 3, déterminer le signe de f' de x sur l'ensemble complet des réels,
28:34puis dresser le tableau de variation de f sur r. Reprenons la dérivée, égale à g de x fois
28:40exponentielle de moins x. Pour toute x réelle, exponentielle de moins x est strictement positive,
28:46ce qui implique que f' sera du signe de g. Et ça tombe bien, son signe a été déterminé dans la
28:52question 4 de la partie A, dont voici le tableau, que j'ai complété avec une ligne pour le signe de f' et
28:59une autre pour les variations de f. F' du signe de g, donc moins ici, et plus là, ce qui implique
29:05fonction décroissante, puis croissante. Limite en moins l'infini, puis celle en plus l'infini,
29:11et f de alpha en minimum. Attention, comme la valeur de alpha n'est pas connue avec exactitude,
29:17il est déconseillé d'afficher une valeur approchée de son image par la fonction. Car dans un tableau de
29:22variation, les valeurs numériques doivent être exactes, sauf si l'énoncé autorise les valeurs
29:27approchées. A 10 puissance moins 3 par exemple. Ce n'est pas le cas ici. Next. Question 4,
29:35démontrer que f de alpha est égal à 2 alpha moins 5, au carré, sur 2 alpha moins 7, puis déduire f de
29:43alpha à 10 puissance moins 3 près. Ok. Cette question est de moins en moins présente dans les devoirs
29:49surveiller. Mais il y a quelques professeurs sur Avignon qui la proposent toujours à leurs élèves,
29:54et comme je présume que c'est la même chose dans beaucoup d'établissements français et étrangers,
29:58je vais te montrer la procédure pour y répondre correctement. En premier, exprimer f de alpha.
30:04Problème, ça ne ressemble pas à l'expression que tu dois montrer. La seule chose de sûre,
30:10c'est que g de alpha est nul, donc 2 exponentielle de alpha, plus 2 alpha, moins 7, égale à 0. Entre
30:18l'expression calculée de f de alpha, et celle donnée dans l'énoncé, l'exponentielle a disparu.
30:23Par conséquent, on va l'isoler à partir de l'expression de g de alpha.
30:282 exponentielle de alpha égale à moins 2 alpha plus 7, division par 2, donc exponentielle de alpha
30:35égale à moins 2 alpha plus 7, sur 2. Sachant que exponentielle de moins alpha est égale à 1 sur
30:41exponentielle de alpha, ça implique que exponentielle de moins alpha est égale à 2 sur moins 2 alpha plus 7.
30:47Remplacement de exponentielle de moins alpha par sa nouvelle expression dans f de alpha,
30:52réécriture de la fraction et modification du moins en plus, le terme en parenthèse est ramené
30:58sur le même dénominateur, réduction, et au miracle, f de alpha est égale à 2 alpha moins 5 au carré,
31:05sur 2 alpha moins 7. Je te rappelle que la valeur approchée de alpha est 0,940, que tu remplaces dans
31:13l'expression. Calcule soit avec le stylo pour les plus téméraires, soit avec la calculatrice pour les
31:18plus fainéasses, et le résultat sera 0,054 à 10 puissance moins 3 près. Et c'est tout.
31:25Bref, si on te demande de calculer f de alpha, tu l'exprimes en remplaçant les x par alpha. Tu pars
31:31toujours de l'équation qui annule la fonction auxiliaire, souvent noté g, ou phi, tu isoles la partie qui a
31:37disparu dans f de alpha. Et après, ce n'est qu'une question de calcul que tu n'as pas intérêt à foirer,
31:42surtout que la calculatrice est inutile, et inutilisable ici. C'est pour cette raison que je
31:48t'incite fortement à faire chaque calcul mentalement, avec ton cerveau, ou à le poser, avec ton stylo.
31:53C'est pour ton bien. Exercice numéro 7, le dernier de la série, dans lequel je vais te montrer comment
32:00raisonner sur une question parfois posée en devoir surveiller, et sur laquelle mes élèves se retrouvent
32:05démunis avant que je leur montre comment réagir. C'est parti. On considère la fonction définie sur
32:12l'ensemble complet des réels par f de x égale à x au cube, moins 2x au carré, plus 1. Question 1,
32:18étudier les variations de f. Je te propose de commencer par les limites en moins l'infini,
32:24puis en plus l'infini, les bornes du domaine de définition. Seulement, en utilisant l'expression
32:30donnée, tu auras une forme indéterminée, l'infini moins l'infini. La factorisation
32:35est la méthode la plus adaptée, mais je vais factoriser par x au carré, au lieu de x au cube,
32:40le monôme de plus haut degré. Parce que je n'aime pas faire comme tout le monde,
32:44ça permet de simplifier la procédure, et surtout, ça met de la singularité dans une copie.
32:49f de x devient égal à x au carré, facteur de, x, moins 2, plus 1 sur x au carré. La limite de 1 sur x au carré,
32:58quand x tend vers plus ou moins l'infini, est nulle, et celle de x au carré, toujours en plus ou moins l'infini,
33:03et plus l'infini. Sachant que la limite de x moins 2, en moins l'infini, est moins l'infini,
33:10donc par calcul, celle de f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera aussi moins l'infini. Sachant
33:17ensuite que la limite de x moins 2, en plus l'infini, et plus l'infini, par calcul, celle de f de x,
33:23donc quand x tend vers plus l'infini, sera aussi plus l'infini. Et c'est fini pour les limites. On termine
33:30avec les variations. Qui dit variation dit signe de la dérivée, alors, détermination de cette
33:36dérivée. La fonction, sa dérivée, factorisation pour la rendre plus simple à utiliser, et f' de
33:43x égale à x, facteur de 3x-4. Tu aurais tout aussi bien pu utiliser le discriminant delta,
33:50mais c'est tellement banal que ça en devient ennuyant. Il faut savoir sortir des sentiers
33:54battus pour mettre un peu de fantaisie dans ce monde numérique souvent insipide. Tableau de
33:59variations standards que tu dois éditer ici. Pour la ligne de x, moins ici, plus là. Pour la ligne de
34:063x-4, moins ici, plus là. Le signe de la dérivée sera l'application de la règle des signes des deux
34:13lignes du dessus, donc plus, moins, plus. Par conséquent, la fonction sera croissante,
34:19puis décroissante, et enfin croissante. Limite en moins l'infini, puis celle en plus l'infini,
34:25l'image de 0 par la fonction, et celle de 4 tiers. Bien entendu, comme toujours,
34:31utilisation de ton cerveau ou le ton stylo pour les déterminer, la calculatrice ne servant qu'à
34:36confirmer le résultat. Next. Question 2, déterminer le nombre de solutions de l'équation f de x égale à
34:44k, selon les valeurs de k. C'est cette question qui fait flancher le calme relatif des élèves,
34:49et pour pallier à ce léger désagrément, sois concentré sur ce que je vais te montrer. Première
34:55chose à faire, à voir le tableau de variation sous les yeux, c'est cet outil qui va te permettre
34:59de répondre correctement. Tu repères les éventuels extremums locaux, dans notre cas,
35:04le minimum ici, en rouge, et le maximum là, en vert. Tu vas tracer un trait horizontal, en rouge ici,
35:12au niveau du minimum, et un autre, envers là, au niveau du maximum. Ces deux droites représentent en gros
35:18l'altitude des extremums locaux. Maintenant, imagine que tu as une autre droite horizontale,
35:23par exemple de couleur bleue, que je ne vais pas représenter à l'écran, mais je compte sur ton
35:28imagination pour la visualiser. Cette droite est mobile, et peut se déplacer verticalement. On va
35:35traiter chaque zone ainsi délimitée, au nombre de 5 dans notre cas, ce nombre peut varier en fonction de
35:40la forme de la représentation graphique. Première zone, pas strictement inférieure au minimum, ici
35:46moins 5 sur 27, cette droite bleue est en dessous de la rouge. Par conséquent, elle ne va toucher la
35:52courbe au qu'un seul point, donc une solution. Seconde zone, cas égal au minimum, ici moins 5 sur 27,
35:59cette droite bleue est confondue avec la rouge. Par conséquent, elle va toucher la courbe en deux
36:05points, donc deux solutions. Troisième zone, a strictement compris en relais extremum, ici en
36:11moins 5 sur 27 et 1, cette droite bleue est en dessous de la rouge et la verte. Par conséquent,
36:17elle va toucher la courbe en trois points, donc trois solutions. Quatrième zone, cas égal au maximum,
36:23ici 1, cette droite bleue est confondue avec la verte. Par conséquent, elle va toucher la courbe en deux
36:29points, donc deux solutions. Pour finir, cinquième zone, cas strictement supérieur au maximum, ici 1,
36:36cette droite bleue est au-dessus de la verte. Par conséquent, elle ne va toucher la courbe au
36:41qu'un seul point, donc une solution. Pour te montrer ce qu'il se passe dans un repère orthonormé,
36:47j'ai bidouillé un truc sur GeoGebra, que j'ai filmé, et tu vas voir ce que ça donne. La vitesse
36:53est réduite, mais tu peux t'amuser à la réduire encore plus si besoin pour comprendre le nombre de
36:57solutions en fonction de la zone dans laquelle se trouve la droite horizontale d'équation Y égale à
37:02la ta. Une fois que tu auras appréhendé tout ça, il te suffira d'appliquer la même procédure pour
37:08n'importe quelle autre fonction, et le tour sera joué. Avec une petite musique relaxante,
37:13le visionnage sera moins ennuyeux.
37:32La forge est désormais terminée. Des questions ? Un complément d'information ? Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
37:38D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
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38:08A toi de forger maintenant. Prochaine vidéo sur l'encleum. Que la forge soit avec toi. Stay tuned.
38:16Tchuss !
38:30Sous-titres par Jérémy Diaz
38:44Sous-titres par Jérémy Diaz
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