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Que la Forge soit avec toi...
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00:00:14Que la forge soit avec toi.
00:00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 41, limite de fonction.
00:00:39Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, dans lequel tu vas déterminer des limites simples, sans aucune embrouille pour le moment.
00:00:47C'est juste pour chauffer tes neurones à la bonne température pour supporter tout ce qui va suivre.
00:00:52C'est parti.
00:00:53Calculez les limites des fonctions suivantes, et précisez lorsque la courbe représentative de F, noté CF, admet une asymptote horizontale ou verticale.
00:01:03Pour éviter d'avoir une vidéo qui dure une éternité, déjà que, je ne vais corriger que celle que j'entoure.
00:01:10Mais de ton côté, rien ne t'empêche de faire le reste, à part peut-être le poil dans la main qui te sert de canne.
00:01:16Bref.
00:01:17Petit 2, F de X est égal à X au cube, moins 6X au carré, plus 1, en moins l'infini.
00:01:24La limite de X au cube, quand X tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:01:29Comme la limite de X au carré, quand X tend vers moins l'infini, est plus l'infini, celle de moins 6X au carré, quand X tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
00:01:38Et comme la limite de 1, quand X tend vers moins l'infini, est 1, logique, par somme, la limite de F de X, quand X tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
00:01:49Donc, pas d'asymptote ici.
00:01:52Next.
00:01:52Petit 4, F de X est égal à moins racine carré de X, plus 1 sur X, en plus l'infini.
00:01:59La limite de moins racine carré de X, quand X tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
00:02:05La limite de 1 sur X, quand X tend vers plus l'infini, est 0+, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0+.
00:02:13Par somme, la limite de F de X, quand X tend vers plus l'infini, sera moins l'infini.
00:02:19Donc, pas d'asymptote ici.
00:02:22Next.
00:02:24Petit 7, F de X est égal à 4 moins 2X, au carré, en plus l'infini.
00:02:30La limite de moins 2X, quand X tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
00:02:35La limite de 4, quand X tend vers plus l'infini, est 4, logique.
00:02:40Par somme, la limite de 4 moins 2X, quand X tend vers plus l'infini, sera moins l'infini.
00:02:46De ce fait, le carré d'une expression représentant la multiplication de l'expression par elle-même, par produit, la limite de F de X, quand X tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
00:02:58Donc, pas d'asymptote ici.
00:03:01Next.
00:03:02Petit 9, F de X est égal à X au carré, moins 3X, plus 1, en 2.
00:03:08La limite de X au carré, quand X tend vers 2, est 4.
00:03:11La limite de moins 3X plus 1, quand X tend vers 2, est moins 5.
00:03:17Par somme, la limite de F de X, quand X tend vers 2, est moins 1.
00:03:22Donc, pas d'asymptote ici.
00:03:25Next.
00:03:26Petit 11 et petit 12, F de X est égal à 2X moins 3, sur, X moins 1, en 1, par valeur inférieure et supérieure.
00:03:35On commence par les valeurs inférieures.
00:03:37La limite de 2X moins 3, quand X tend vers 1, X strictement inférieur à 1, est moins 1.
00:03:44La limite de X moins 1, quand X tend vers 1, X strictement inférieur à 1, est 0 moins.
00:03:50Par quotient, la limite de F de X, quand X tend vers 1, X strictement inférieur à 1, est plus l'infini.
00:03:57En effet, divisé par 0 moins, c'est multiplié par moins infini, et il ne faut pas oublier la règle des signes.
00:04:05Par les valeurs supérieures maintenant.
00:04:07La limite de 2X moins 3, quand X tend vers 1, X strictement supérieur à 1, est moins 1.
00:04:13La limite de X moins 1, quand X tend vers 1, X strictement supérieur à 1, est 0 plus.
00:04:19Par quotient, la limite de F de X, quand X tend vers 1, X strictement supérieur à 1, est moins l'infini.
00:04:27En effet, divisé par 0 plus, c'est multiplié par plus l'infini, et il ne faut pas oublier la règle des signes.
00:04:34Et là, youpi, la droite d'équation X égale à 1 est asymptote verticale à la courbe.
00:04:40Next.
00:04:41Petit 13 et petit 14, F de X est égal à 5 sur, 4 moins X au carré, en moins 2, par valeur inférieure et supérieure.
00:04:50Attention.
00:04:52Avant de foncer tête baissée dans les calculs, comme le dénominateur est du second degré, et qu'il s'annule en moins 2,
00:04:57il va falloir déterminer quand est-ce qu'il devient 0 plus, ou 0 moins.
00:05:014 moins X au carré peut s'écrire, 2 au carré, moins X au carré, qui se factorise en, 2 moins X, facteur de, 2 plus X, grâce aux identités remarquables.
00:05:13Ensuite, il faut établir le tableau de signes de ce dénominateur, que voici, et focalise ton attention sur la dernière ligne.
00:05:20Ici, c'est en moins 2 par valeur inférieure, et on aura un 0 moins.
00:05:25Là, c'est en moins 2 par valeur supérieure, et on aura un 0 plus.
00:05:29Avec tout ça, tu vas pouvoir faire du bon boulot.
00:05:33On commence par les valeurs inférieures.
00:05:36La limite de 5, quand X tend vers moins 2, X strictement inférieur à moins 2, est 5.
00:05:42La limite de 4 moins X au carré, quand X tend vers moins 2, X strictement inférieur à moins 2, est 0 moins, grâce au tableau précédent.
00:05:50Par quotient, la limite de f de X, quand X tend vers moins 2, X strictement inférieur à moins 2, est moins infini.
00:05:57En effet, divisé par 0 moins, c'est multiplié par moins infini, et il ne faut pas oublier la règle des signes.
00:06:05Par les valeurs supérieures maintenant.
00:06:08La limite de 5, quand X tend vers moins 2, X strictement supérieur à moins 2, est 5.
00:06:14La limite de 4 moins X au carré, quand X tend vers moins 2, X strictement supérieur à moins 2, est 0 plus, grâce au tableau précédent.
00:06:22Par quotient, la limite de f de X, quand X tend vers moins 2, X strictement supérieur à moins 2, est plus l'infini.
00:06:31En effet, divisé par 0 plus, c'est multiplié par plus l'infini, et il ne faut pas oublier la règle des signes.
00:06:38Et là, youpi, la droite d'équation X égale à moins 2 est asymptote vertical à la courbe.
00:06:43Bon, échauffement terminé, on va attaquer les choses sérieuses, et j'espère que tu as les neurones bien accrochés, tellement le voyage va être chaotique.
00:06:52Exercice numéro 2, dans lequel tu vas déterminer des limites de produits de fonction.
00:06:58Rien de bien compliqué, mais tu vas devoir être appliqué.
00:07:01C'est parti !
00:07:03Déterminez les limites suivantes.
00:07:05Que des limites quand X tend vers plus l'infini, celle de f, puis celle de g, celle de f sur g, et pour finir, celle de f fois g.
00:07:14Il y a trois binômes de fonction, pas le temps de niaiser, on commence par le premier.
00:07:19Petit 1, f de X est égal à 1 sur X, g de X est égal à 3 sur X.
00:07:24Par définition, la limite de f de X, quand X tend vers plus l'infini, est 0+.
00:07:30En effet, je rappelle que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0+.
00:07:36Toujours par définition, la limite de g de X, quand X tend vers plus l'infini, est 0+.
00:07:42En effet, je rappelle une nouvelle fois que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0+.
00:07:48Je pose q de X égale à f de X, sur g de X, et après calcul, q de X est égal à 1 tiers.
00:07:56La limite de q de X, quand X tend vers plus l'infini, est donc 1 tiers.
00:08:02Je pose p de X égale à f de X, fois g de X, et après calcul, p de X est égal à 3 sur X au carré.
00:08:09Par définition, la limite de p de X, quand X tend vers plus l'infini, est 0+.
00:08:14En effet, je rappelle de nouveau que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0+.
00:08:20Quand tu regardes chaque limite, tu te rends compte qu'elles indiquent toute une asymptote horizontale au voisinage de l'infini,
00:08:27y égale à 0 pour f, g, et p, y égale à 1 tiers pour q.
00:08:33Next.
00:08:34Petit 2, f de X égale à X au carré, g de X est égal à 1 sur X.
00:08:39Par définition, la limite de f de X, quand X tend vers plus l'infini, est plus l'infini, plus l'infini au carré est égal à plus l'infini.
00:08:49Toujours par définition, la limite de g de X, quand X tend vers plus l'infini, est 0+.
00:08:54En effet, je rappelle une nouvelle fois que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0+.
00:09:01Je pose q de X égale à f de X, sur g de X, et après calcul, q de X est égal à X au cube.
00:09:09La limite de q de X, quand X tend vers plus l'infini, est donc plus l'infini, plus l'infini au cube est égal à plus l'infini.
00:09:17Je pose p de X égale à f de X, fois g de X, et après calcul, p de X est égal à X.
00:09:24Par définition, la limite de p de X, quand X tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
00:09:29Quand tu regardes chaque limite, tu te rends compte qu'une seule indique une asymptote horizontale au voisinage de l'infini, y égale à 0 pour g.
00:09:38Next.
00:09:40Petit 3, f de X égale à X sur 1 plus X, g de X est égal à X sur 1 moins X.
00:09:47Si tu te précipites, tu vas constater que les limites de ces fonctions en plus l'infini sont des formes indéterminées, l'infini sur l'infini.
00:09:54De ce fait, afin d'éviter de faire remarquer au correcteur ou à la correctrice que tu t'es fourvoyé dans une impasse avant de rebrousser chemin, ce qui n'est pas une attitude professionnelle, une réécriture de chaque fonction est nécessaire.
00:10:07Pour f de X, factorisation par X au numérateur et au dénominateur, simplification, pour obtenir un sur, un sur X, plus 1.
00:10:15On a vu en petit temps que la limite de 1 sur X en plus l'infini était nulle par définition, donc la limite de f de X, quand X tend vers plus l'infini, sera 1.
00:10:26Pour g de X, factorisation par X au numérateur et au dénominateur, simplification, pour obtenir un sur, un sur X, moins 1.
00:10:34On a vu en petit temps que la limite de 1 sur X en plus l'infini était nulle par définition, donc la limite de g de X, quand X tend vers plus l'infini, sera moins 1.
00:10:44Encore une asymptote horizontale pour chaque fonction ici au voisinage de plus l'infini, Y égale à 1 pour f, et Y égale à moins 1 pour g.
00:10:53Je pose q de X est égal à f de X, sur g de X, ce qui donne, un moins X, sur, un plus X.
00:11:01Si tu ne prends pas le temps de la réflexion, tu vas t'apercevoir que la limite est une forme indéterminée, l'infini sur l'infini.
00:11:07Donc réécriture de la fonction en factorisant au numérateur et au dénominateur par X, simplification, et q de X sera égal à, un sur X, moins 1, sur, un sur X, plus 1.
00:11:20On a vu en petit temps que la limite de un sur X en plus l'infini était nulle par définition.
00:11:25La limite du numérateur sera moins 1, celle du dénominateur sera 1, donc par quotient.
00:11:30La limite de q de X, quand X tend vers plus l'infini, sera moins 1.
00:11:34La droite d'équation Y égale à moins 1 est asymptote horizontale à q de X au voisinage de plus l'infini.
00:11:42Je pose p de X égale à f de X, fois g de X, et après calcul, p de X est égal à X au carré sur, un plus X, facteur de un moins X, ce qui se réduit en X au carré sur, un moins X au carré.
00:11:56Factorisation par X au carré au numérateur et au dénominateur, simplification, et p de X sera égal à un sur, un sur X au carré, moins 1.
00:12:04Un conseil important et judicieux, toujours faire en sorte d'avoir la forme la plus factorisée de la fonction pour ne pas tomber sur une forme indéterminée.
00:12:13La limite du numérateur sera 1, celle du dénominateur sera moins 1, donc par quotient.
00:12:18La limite de p de X, quand X tend vers plus l'infini, sera moins 1.
00:12:23La droite d'équation Y égale à moins 1 est asymptote horizontale à p de X au voisinage de plus l'infini.
00:12:28Exercice numéro 3, dans lequel tu vas devoir faire des limites de fonctions à des abscisses réelles, c'est-à-dire ni en moins l'infini, ni en plus l'infini.
00:12:38C'est parti !
00:12:40Étudier la limite, à droite et à gauche de A, pour chacune des fonctions suivantes.
00:12:45Présenter ainsi, s'assant une limite de dénominateur qui tend vers 0.
00:12:49Voyons voir.
00:12:50Si tu remplaces X par un demi au dénominateur, tu as bien 0.
00:13:01Dans ce cas-ci, un tableau de signes du dénominateur, et seulement de ce dénominateur, s'impose pour savoir quand est-ce qu'il devient 0+, ou 0-.
00:13:11Voici ce tableau.
00:13:12Par calcul, la limite de X occupe, quand X tend vers 1 demi, par valeur inférieure et supérieure, d'où le plus ou moins en exposant sur le 1 demi, et 1 huitième.
00:13:23Par calcul toujours, la limite de 1-2X, quand X tend vers 1 demi, X strictement inférieur à 1 demi, et 0+.
00:13:31En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le plus sont entourés ensemble.
00:13:38Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1 demi, X strictement inférieur à 1 demi, et plus l'infini.
00:13:46Je rappelle que diviser par 0+, c'est multiplier par plus l'infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:13:53Par calcul encore, la limite de 1-2X, quand X tend vers 1 demi, X strictement supérieur à 1 demi, et 0-.
00:14:01En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le moins sont entourés ensemble.
00:14:07Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1 demi, X strictement supérieur à 1 demi, et moins l'infini.
00:14:15Je rappelle que diviser par 0-, c'est multiplier par moins l'infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:14:22Petit aparté, la limite indique que la droite d'équation X égale à 1 demi est une asymptote verticale à la courbe.
00:14:29C'est cadeau.
00:14:29Next.
00:14:32Petit 2, f de X est égal à 1 sur, X moins 1, avec A égal à 1.
00:14:37Si tu remplaces X par 1 au dénominateur, tu as bien 0.
00:14:41Dans ce cas-ci, un tableau de signes du dénominateur, et seulement de ce dénominateur, s'impose pour savoir quand est-ce qui devient 0+, ou 0-.
00:14:49Voici ce tableau.
00:14:52Par calcul, la limite de 1, quand X tend vers 1, par valeur inférieure et supérieure, d'où le plus ou moins en exposant sur le 1, et 1.
00:15:00Par calcul toujours, la limite de, X moins 1, quand X tend vers 1, X strictement inférieure à 1, est 0-.
00:15:07En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le moins sont entourés ensemble.
00:15:13Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1, X strictement inférieure à 1, est moins l'infini.
00:15:21Je rappelle que diviser par 0-, c'est multiplier par moins infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:15:28Par calcul encore, la limite de, X moins 1, quand X tend vers 1, X strictement supérieure à 1, est 0+.
00:15:35En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le plus sont entourés ensemble.
00:15:42Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1, X strictement supérieure à 1, est plus l'infini.
00:15:49Je rappelle que diviser par 0+, c'est multiplier par plus l'infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:15:57Petit aparté, la limite indique que la droite d'équation X égale à 1 est une asymptote verticale à la courbe.
00:16:04C'est de nouveau cadeau.
00:16:06Next.
00:16:07Petit 3, f de X est égal à 4X moins 5, sur 1 moins X, avec A égale à 1.
00:16:14Si tu remplaces X par 1 au dénominateur, tu as bien 0.
00:16:17Dans ce cas-ci, un tableau de signes du dénominateur, et seulement de ce dénominateur, s'impose pour savoir quand est-ce qu'il devient 0+, ou 0-.
00:16:27Voici ce tableau.
00:16:29Par calcul, la limite de 4X moins 5, quand X tend vers 1, par valeur inférieure et supérieure, d'où le plus ou moins en exposant sur le 1, est moins 1.
00:16:38Par calcul toujours, la limite de 1 moins X, quand X tend vers 1, X strictement inférieure à 1, est 0+.
00:16:46En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le plus sont entourés ensemble.
00:16:53Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1, X strictement inférieure à 1, est moins l'infini.
00:17:00Je rappelle que diviser par 0+, c'est multiplier par plus l'infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:17:08Par calcul encore, la limite de 1 moins X, quand X tend vers 1, X strictement supérieure à 1, est 0-.
00:17:15En effet, c'est visible ici dans le tableau, le 0 de la barre et le moins sont entourés ensemble.
00:17:20Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 1, X strictement supérieure à 1, est plus l'infini.
00:17:28Je rappelle que diviser par 0-, c'est multiplier par moins infini, sans oublier d'appliquer la règle des signes.
00:17:35Petit aparté, la limite indique que la droite d'équation X égale à 1 est une asymptote verticale à la courbe.
00:17:42C'est encore une fois cadeau.
00:17:43Je te conseille vraiment de faire ce petit tableau de signes du dénominateur quand tu as ce type d'exercice, ça évite de faire des erreurs de signes.
00:17:52Exercice numéro 4, dans lequel je te propose de faire la limite d'une différence de 2 racines carrées, en utilisant la méthode de l'expression conjuguée.
00:18:01C'est parti.
00:18:02On considère la fonction f, définie sur l'ensemble complet des réels, par f de X égale à X, moins racine carrée de X au carré plus 5.
00:18:10Question 1, déterminer la limite de f en moins l'infini.
00:18:15Ok.
00:18:17La limite de X au carré plus 5, quand X tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:18:22En gros, moins l'infini au carré, ça fait plus l'infini, et en rajoutant 5, ça reste plus l'infini.
00:18:29Donc la limite de racine carrée de X au carré plus 5, quand X tend vers moins l'infini, sera aussi plus l'infini.
00:18:35Ce qui entraîne que la limite de moins racine carrée de X au carré plus 5, quand X tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
00:18:43Par somme, la limite de f de X, quand X tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
00:18:49Next.
00:18:51Question 2, déterminer la limite de f en plus l'infini.
00:18:55On pourra utiliser l'expression conjuguée.
00:18:57On pourra, mais surtout on devra utiliser l'expression conjuguée, surtout en terminale, ce sera plus simple.
00:19:04Je l'ai déjà mentionné dans plusieurs vidéos, mais pour celles et ceux qui ne sont pas trop assidus, je vais rappeler la définition.
00:19:11Une expression conjuguée diffère de l'expression originelle par le signe somme, qui sera opposé.
00:19:16Dans la fonction f, il suffit de simultanément multiplier et diviser par X plus racine carrée de X au carré plus 5, expression conjuguée de X moins racine carrée de X au carré plus 1, le moins ayant été remplacé par un plus.
00:19:31Le numérateur est de la forme, A moins B, facteur de, A plus B, qui se développe en, A carré moins B carré, identité remarquable, simplification, réduction, et f de X devient moins 5 sur, X plus racine carrée de X au carré plus 5.
00:19:48La limite de X au carré plus 5, quand X tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
00:19:53En gros, plus l'infini au carré, ça fait plus l'infini, et en rajoutant 5, ça reste plus l'infini.
00:19:59Donc la limite de racine carrée de X au carré plus 5, quand X tend vers plus l'infini, sera aussi plus l'infini.
00:20:07Ce qui entraîne par somme que la limite de X plus racine carrée de X au carré plus 5, quand X tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
00:20:16Par quotient, la limite de f de X, quand X tend vers plus l'infini, sera 0 moins.
00:20:22Je rappelle que diviser par plus l'infini, c'est multiplier par 0 plus, et il ne faut pas oublier la règle des signes.
00:20:29Point important, quand tu as la somme de deux racines carrées, ou celle d'une racine carrée et d'un terme polynomial de degré 1 ou 2, pense à l'expression conjuguée quand tu seras bloqué par une forme indéterminée, c'est une planche de salut robuste et simple à utiliser.
00:20:44Exercice numéro 5, dans lequel tu vas toujours faire quelques limites en l'infini, mais il va falloir indiquer s'il y a asymptote horizontal, ou pas.
00:20:51C'est parti.
00:20:54Calculez les limites des fonctions suivantes, et précisez lorsque la courbe représentative de f, noté CF, admet une asymptote horizontale.
00:21:03Pour éviter d'avoir une vidéo qui dure une éternité, déjà que, je ne vais corriger que celle que j'entoure.
00:21:09Mais de ton côté, rien ne t'empêche de faire le reste, à part peut-être le poil dans la main qui te sert de canne.
00:21:15Bref.
00:21:17Petit 1, f de x est égal à x au cube, moins 2x, plus 3, en plus l'infini.
00:21:23Ça s'enfort la forme indéterminée, donc par pure mesure préventive, factorisation par x au cube, ce qui va se simplifier en x au cube, facteur de, 1, moins 2 sur x au carré, plus 3 sur x au cube.
00:21:36La limite de x au cube, quand x tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
00:21:40La limite de 2 sur x au carré, quand x tend vers plus l'infini, et 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplier par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:21:51La limite de 3 sur x au cube, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:22:04Par somme, la limite de 1, moins 2 sur x au carré, plus 3 sur x au cube, quand x tend vers plus l'infini, est 1.
00:22:12Par produit, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
00:22:17Par conséquent, aucune asymptote à la courbe au voisinage de plus l'infini.
00:22:22Next.
00:22:24Petit 3, f de x est égal à x puissance 4, plus x, en moins l'infini.
00:22:30Ça s'enfore la forme indéterminée, donc par pure mesure préventive, factorisation par x puissance 4, ce qui va se simplifier en x puissance 4, facteur de, 1, plus 1 sur x au cube.
00:22:41La limite de x puissance 4, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini, la limite d'une puissance paire étant toujours positive.
00:22:50La limite de 1 sur x au cube, quand x tend vers moins l'infini, est 0 moins, divisé par moins l'infini, c'est multiplié par 0 moins, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:23:00Par somme, la limite de 1, plus 1 sur x au cube, quand x tend vers moins l'infini, est 1.
00:23:07Par produit, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera plus l'infini.
00:23:13Par conséquent, aucune asymptote à la courbe au voisinage de moins l'infini.
00:23:18Next.
00:23:19Petit 5, f de x est égal à 2x moins 5, sur, x plus x au carré, en plus l'infini.
00:23:26Ça s'enfort la forme indéterminée, donc par pure mesure préventive, factorisation par x au numérateur et au dénominateur, ce qui va se simplifier en, 2, moins 5 sur x, sur, 1 plus x.
00:23:39La limite de, 2, moins 5 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 2, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ce qui s'annule.
00:23:50La limite de, 1 plus x, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
00:23:54Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:24:07Par conséquent, la droite d'équation y égale à 0 est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de plus l'infini.
00:24:15Next.
00:24:16Petit 7, f de x est égal à, 3x plus 1, au carré, sur, 2x moins 3, au cube, en plus l'infini.
00:24:25Travailler avec une forme factorisée va être un peu délicat, donc développement du numérateur et du dénominateur.
00:24:313x plus 1, au carré, devient 9x au carré, plus 6x, plus 1.
00:24:372x moins 3, au cube, devient 8x au cube, moins 36x au carré, plus 54x, moins 27.
00:24:44Pour développer facilement ces deux expressions, j'ai utilisé le triangle de Pascal et le binôme de Newton, déjà abordé dans l'une de mes précédentes vidéos, laquelle, je ne sais plus, je te laisse chercher, il me semble que c'est dans l'onglet Mandelbrot.
00:24:58Fais-moi penser en commentaire à produire une vidéo sur ces deux outils, grand merci à toi.
00:25:05Revenons à la fonction, réécrite avec les formes développées.
00:25:08Comme ça sent fortement la forme indéterminée, factorisation par x au carré, simplification, et f de x sera égale à, 9, plus 4 sur x, plus 1 sur x au carré, sur, 8x, moins 36, plus 54 sur x, moins 27 sur x au carré.
00:25:25Pour des raisons de lisibilité, et tu as le droit de le faire en devoir surveiller, je décide de nommer le numérateur grand N de x, et le dénominateur grand D de x.
00:25:36Commençons par grand N.
00:25:38La limite de 4 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:25:48La limite de, 1 sur x au carré, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:26:00Donc par somme, la limite du numérateur, quand x tend vers plus l'infini, sera 9.
00:26:06Pour grand D, la limite de 54 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:26:19La limite de 27 sur x au carré, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:26:30Donc par somme, la limite du dénominateur, quand x tend vers plus l'infini, sera plus l'infini, car 8x moins 36, ça tend vers plus l'infini.
00:26:40Ok. Je récapitule les informations que nous avons.
00:26:44La forme réécrite de la fonction, la limite de son numérateur, celle de son dénominateur.
00:26:50Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:27:03Par conséquent, la droite d'équation y égale à 0 est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de plus l'infini.
00:27:09Tu fais attention à tes calculs, tu prends ton temps pour ne pas glisser maladroitement une erreur de signe, tu connais chacune des limites de référence, et tout ira très bien.
00:27:19Exercice numéro 6, dans lequel je vais essayer de te piéger avec des limites quelque peu tordues.
00:27:25Et je vais en profiter pour te montrer une technique particulière hors programme en terminale, mais ça fera son petit effet sur la copie si tu arrives à me la sortir correctement.
00:27:34C'est parti.
00:27:35Pour chaque limite, il faut trouver la bonne méthode.
00:27:39C'est difficile au début, puis avec de l'expérience.
00:27:43Calculez les limites suivantes.
00:27:45Pour éviter d'avoir une vidéo qui dure une éternité, déjà que, je ne vais corriger que celle que j'entoure.
00:27:52Mais de ton côté, rien ne t'empêche de faire le reste, à part peut-être le poil dans la main qui te sert de canne.
00:27:58Bref.
00:27:59Petit 2, limite de sinus de x, sur xt, quand x tend vers plus l'infini.
00:28:05Comme la fonction comporte un sinus, il y a de fortes chances qu'il faille utiliser la technique de l'encadrement.
00:28:11Par définition, tu sais que la fonction sinus est comprise entre moins 1 et 1.
00:28:16Division par x, et la fonction, sinus de x, sur x, est comprise entre moins 1 sur x, et 1 sur x.
00:28:23La limite de moins 1 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est 0, tout comme la limite de 1 sur x, car divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
00:28:34D'après le théorème des gendarmes, la limite de, sinus de x, sur xt, quand x tend vers plus l'infini, est 0.
00:28:41Next.
00:28:43Petit 3, limite de racine carré de, x moins 3, moins racine carré de, x plus 1, quand x tend vers plus l'infini.
00:28:51Une somme de racines, donc comme vu dans l'exercice numéro 4, il faut utiliser l'expression conjuguée.
00:28:57Tu reprends la fonction, que tu multiplies et divides simultanément par son expression conjuguée, le moins entre les racines et remplacé par un plus, identité remarquable au numérateur.
00:29:07A moins B, facteur de A plus B, est égal à A carré moins B carré.
00:29:12Le carré neutralise la racine carré.
00:29:14Réduction.
00:29:15Et racine carré de, x moins 3, moins racine carré de, x plus 1, devient moins 4 sur racine carré de, x moins 3, plus racine carré de, x plus 1.
00:29:24La limite de racine carré de, x moins 3, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini, comme celle de racine carré de, x plus 1.
00:29:34Par somme, la limite du dénominateur, en plus l'infini, sera plus l'infini.
00:29:39Par quotient, la limite de moins 4 sur racine carré de, x moins 3, plus racine carré de, x plus 1, en plus l'infini, sera donc 0.
00:29:48Divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ce qui entraîne que la limite de racine carré de, x moins 3, moins racine carré de, x plus 1, quand x tend vers plus l'infini, est nul.
00:30:01Next.
00:30:02Petit 4.
00:30:03La limite de, cosinus de, x, moins 1, sur x, quand x tend vers 0.
00:30:09A première vue, on a une forme indéterminée du type, 0 sur 0.
00:30:13Et voici la méthode que je vais te montrer pour lever ce genre d'indétermination.
00:30:18La règle de l'Hopital, ou règle de Bernoulli, est une méthode pour lever des formes indéterminées du type 0 sur 0, ou l'infini sur l'infini, en utilisant la dérivée des fonctions, ou son taux d'accroissement.
00:30:30En cela, elle préfigure l'utilisation systématique des développements limités qui sont abordés en études supérieures.
00:30:37Mais sans savoir ce que sont ces développements limités, il est possible d'utiliser cette règle.
00:30:41Par contre, il faut connaître ces dérivés par cœur de chez par cœur, sinon, impossible de l'appliquer.
00:30:48Ici, la limite est du type 0 sur 0.
00:30:51Tu reprends la fonction, et il va falloir changer son écriture en, cos de x, moins cos de 0, sur, x moins 0.
00:30:59Je te rappelle que cos de 0 est égal à 1.
00:31:02Cette forme est celle du taux d'accroissement, qui possède deux expressions.
00:31:06La première, taux de h, égale à, f de, a plus h, moins f de a, sur, a plus h, moins a.
00:31:15La seconde, taux de x, égale à, f de x moins f de a, sur, x moins a.
00:31:21C'est cette dernière qui est importante, car quand x tend vers a, le taux d'accroissement est égal à la fonction dérivée.
00:31:27Dans cette question, la fonction est cosinus de x, sa dérivée est par définition moins sinus de x.
00:31:34De ce fait, la limite de, cosinus de x, moins 1, sur x, quand x tend vers 0,
00:31:40donc la limite du taux d'accroissement de la fonction en 0,
00:31:43est égale à la limite de la dérivée de la fonction, soit celle de moins sinus de x,
00:31:48quand x tend vers 0, ce qui donne 0.
00:31:50Et c'est tout.
00:31:52Pas de panique, je t'en ai mis d'autres dans ce TD et en quelques coups de stylo, ça va rentrer dans le cerveau.
00:31:58Next.
00:32:00Petit 5, limite de, racine carré de, x plus 1, moins 1, sur xt, quand x tend vers 0.
00:32:07Tu serais tenté d'utiliser l'expression conjuguée du numérateur pour réécrire la fonction et lever l'indétermination.
00:32:130 sur 0, ce qui est possible, et ça fonctionne très bien.
00:32:16Mais pourquoi ne pas utiliser ici aussi la règle de l'hôpital pour mettre de la flamboyance dans la réponse ?
00:32:23Chiche.
00:32:25Réécriture de la fonction en f de x, moins f de 0, sur, x moins 0, en posant f de x égale à racine carré de, x plus 1.
00:32:34On retrouve la forme du taux d'accroissement, qui possède deux expressions.
00:32:39La première, taux de h, égale à, f de, a plus h, moins f de a, sur, a plus h, moins a.
00:32:46La seconde, taux de x, égale à, f de x, moins f de a, sur, x moins a.
00:32:53C'est cette dernière qui est importante, car quand x tend vers a, le taux d'accroissement est égal à la fonction dérivée.
00:33:00Comme f de x est égal à racine carré de, x plus 1, sa dérivée sera 1 sur, 2 racine carré de, x plus 1.
00:33:06Je rappelle que la dérivée de racine carré de u, est u prime sur 2 racine carré de u.
00:33:13Donc, la limite de, racine carré de, x plus 1, moins 1, sur x, quand x tend vers 0, est celle de 1 sur, 2 racine carré de, x plus 1, en 0, ce qui donne un demi.
00:33:25Next.
00:33:25Petit 8, limite de, 2x au carré, moins 5x, moins 3, sur, x au carré moins 9, quand x tend vers 3.
00:33:35Premier problème, quand x tend vers 3, le dénominateur tend vers 0.
00:33:40Donc, il va falloir déterminer la limite en 3 par valeur inférieure, puis par valeur supérieure.
00:33:45Par conséquent, factorisation du dénominateur via les identités remarquables, ce qui donne, x moins 3, facteur de, x plus 3.
00:33:54Ensuite, le tableau de signe est indispensable pour déterminer le signe du 0 en fonction de l'approche de 3, par en dessous ou par au-dessus, tableau que voici.
00:34:04Après lecture de la dernière ligne, on peut en déduire que le dénominateur tend vers 0 moins en 3 par valeur inférieure, et 0 plus en 3 par valeur supérieure.
00:34:12Maintenant, la limite du numérateur, quand x tend vers 3, par valeur inférieure et supérieure, d'où le plus ou moins en exposant sur le 3, est 0.
00:34:22Zut !
00:34:23On a une forme indéterminée de type 0 sur 0, mais dans ce cas-ci, on ne peut pas employer la règle de l'hôpital.
00:34:30Il va falloir factoriser le numérateur du second degré en utilisant le discriminant delta.
00:34:35A est égal à 2, B à moins 5, C à moins 3, delta est égal à B au carré moins 4 à C, ce qui donne 49 en remplaçant les variables par leur valeur numérique.
00:34:46Delta strictement positif donc deux solutions réelles et distinctes.
00:34:51La première, notée x1, est égale à moins 1 demi.
00:34:54La seconde, notée x2, est égale à 3.
00:34:57Le numérateur peut donc se factoriser en 2, facteur 2, x plus 1 demi, facteur 2, x moins 3.
00:35:05Si on récapitule, on a la forme factorisée du numérateur, et celle du dédominateur donc, réécriture de la fonction à être de ces formes factorisées.
00:35:14Le terme, x moins 3, est commun, donc il peut être éliminé, ce qui entraîne que la fonction se simplifie en, 2, facteur 2, x plus 1 demi, sur, x plus 3.
00:35:24En analysant cette nouvelle écriture, on se rend compte que le dénominateur ne s'annule pas en 3 donc, pas besoin de faire la limite à gauche et à droite de 3.
00:35:34Certes, tout ce qui a été fait avant s'avère inutile, mais ce sont les risques du métier.
00:35:39La limite du numérateur, quand x tend vers 3, est 7, celle du dénominateur est 6.
00:35:44Par quotient, la limite de, 2x au carré, moins 5x, moins 3, sur, x au carré moins 9, quand x tend vers 3, sera 7 sixièmes.
00:35:55Next.
00:35:57Petit 9, limite de, sinus de x, sur x, quand x tend vers 0.
00:36:02Allez hop, une règle de l'hôpital, en réécrivant la fonction sous la forme, sinus de x, moins sinus de 0, sur, x moins 0.
00:36:10Bien entendu, il faut savoir que sinus de 0, ça fait 0.
00:36:16On retrouve la forme du taux d'accroissement, qui possède deux expressions.
00:36:20La première, taux de h, égale à, f de, a plus h, moins f de a, sur, a plus h, moins a.
00:36:28La seconde, taux de x, égale à, f de x, moins f de a, sur, x moins a.
00:36:34C'est cette dernière qui est importante, car quand x tend vers a, le taux d'accroissement est égal à la fonction dérivée.
00:36:41f de x est égal à, sinus de x, donc f prime de x est égal à, cosinus de x.
00:36:48La limite de, sinus de x, sur x, quand x tend vers 0, est égale à celle de, cosinus de x, quand x tend vers 0, ce qui donne un.
00:36:58Next.
00:36:59Petit 10, limite de, 3x moins 5, sur, 4 plus sinus de x, quand x tend vers plus l'infini.
00:37:07Il y a un sinus, on va encadrer la fonction.
00:37:10Par définition, la fonction sinus est comprise entre moins 1 et 1.
00:37:14Ajout de 4, inversion, ce qui inverse les signes, retournement et multiplication par, 3x moins 5, et la fonction est comprise entre, 3x moins 5, sur 5, à gauche, et, 3x moins 5, sur 3, à droite.
00:37:29Comme la limite est en plus l'infini, il faut se focaliser sur la fonction de gauche.
00:37:35La limite de, 3x moins 5, sur 5, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
00:37:41Par minoration, la limite de, 3x moins 5, sur, 4 plus sinus de x, quand x tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
00:37:50En effet, tout ce qui est supérieur à plus l'infini est égal à plus l'infini.
00:37:55Next.
00:37:55Petit 11, la limite de, x au carré, moins 5 cosinus de x, quand x tend vers moins l'infini.
00:38:03Il y a un cosinus, on va encadrer la fonction.
00:38:06Par définition, la fonction cosinus est comprise entre moins 1 et 1.
00:38:11Multiplication par moins 5, ce qui inverse les signes, retournement et ajout de x au carré.
00:38:16Et la fonction est comprise entre, x au carré moins 5, à gauche, et, x au carré plus 5, à droite.
00:38:23Il faut se focaliser sur la fonction de gauche.
00:38:27La limite de, x au carré moins 5, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:38:32Par minoration, la limite de, x au carré, moins 5 cosinus de x, quand x tend vers moins l'infini, sera plus l'infini.
00:38:40En effet, tout ce qui est supérieur à plus l'infini est égal à plus l'infini.
00:38:44En dehors de la règle de l'hôpital que je viens de te montrer à plusieurs reprises, rien de bien compliqué.
00:38:51Exercice numéro 7, dans lequel il faut trouver des limites de fonctions à des abscisses particulières.
00:38:57J'espère que ton cerveau est chaud.
00:38:59C'est parti.
00:39:01Déterminez les limites des fonctions suivantes au point d'abscisse demandé.
00:39:04Pour éviter d'avoir une vidéo qui dure une éternité, déjà que, je ne vais corriger que celle que j'entoure.
00:39:12Mais de ton côté, rien ne t'empêche de faire le reste, à part peut-être le poil dans la main qui te sert de canne.
00:39:18Bref.
00:39:20Petit 1, f de x est égal à racine carré de, x plus 3, sur x moins 5, en x égale à 5.
00:39:26Problème, la limite est par valeur inférieure, ou par valeur supérieure.
00:39:32Pour le savoir, pas le choix, il faut déterminer le domaine de définition de la fonction.
00:39:37Par définition, le radical, ou contenu, de la racine doit être positif ou nul.
00:39:43Donc, ça implique forcément un tableau de signes, que voici.
00:39:47Je sens que tu te poses la question au sujet de cette double barre dans la dernière ligne, c'est normal, 5 est une valeur interdite car elle annue le dénominateur.
00:39:55Comme le radical doit être positif ou nul, en lisant le tableau, bien entendu sa dernière ligne, on en déduit que le domaine de définition est moins l'infini exclu, moins 3 inclus, union 5 exclu, plus l'infini exclu.
00:40:09Donc, la limite de la fonction se fera en 5 par valeur supérieure, comme je te le montre ici avec cette flèche violette.
00:40:16La limite de x plus 3, quand x tend vers 5, x strictement supérieur à 5, est égale à 8.
00:40:22La limite de x moins 5, quand x tend vers 5, x strictement supérieur à 5, est égale à 0+.
00:40:29Par quotient, la limite du radical, quand x tend vers 5, x strictement supérieur à 5, est plus l'infini, divisé par 0+, c'est multiplié par plus l'infini.
00:40:41Ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:40:43Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers 5, x strictement supérieur à 5, est plus l'infini.
00:40:51Next.
00:40:53Petit 4, f de x est égale à 1 sur racine carré de 1-x au carré, en x égale à 1.
00:40:59Même question que précédemment, par valeur inférieure ou supérieure.
00:41:04Pas le choix, il faut établir le domaine de définition de la fonction.
00:41:08Il est plus aisé de travailler avec des formes factorisées donc, via les identités remarquables.
00:41:131-x au carré se factorisant, 1-x, facteur de, 1 plus x.
00:41:18Tableau de signes que voici, et grâce à la dernière ligne, comme le radical de cette racine doit être strictement positif, car la racine est au dédominateur.
00:41:27Elle ne peut pas être nulle, le domaine de définition est moins 1 exclu, 1 exclu.
00:41:32La limite se fera donc en 1 par valeur inférieure.
00:41:36La limite de, 1-x au carré, quand x tend vers 1, x strictement inférieur à 1, est 0+.
00:41:42Donc celle de sa racine carrée sera aussi 0+.
00:41:46Par conséquent, et par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers 1, x strictement inférieur à 1, sera plus l'infini, divisé par 0+, c'est multiplié par plus l'infini.
00:41:59Ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:42:02Next.
00:42:03Petit 5, f de x est égal à cosinus de, pi x plus 1, sur x plus 2, en plus l'infini.
00:42:09Dans ce cas-là, il faut en premier faire la limite du contenu, et appliquer le cosinus sur cette limite pour avoir la limite de la fonction.
00:42:17Comme ça sans la forme indéterminée, factorisation de la fraction par x, en haut et en bas, simplification,
00:42:24et tu auras, pi, plus 1 sur x, sur, 1, plus 2 sur x.
00:42:28La limite de, pi, plus 1 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est égale à pi, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0+.
00:42:38La limite de, 1, plus 2 sur x, quand x tend vers plus l'infini, est égale à 1, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0+.
00:42:48Par quotient, la limite de la fraction, quand x tend vers plus l'infini, est pi.
00:42:54Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est moins 1, égale à cosinus de pi.
00:43:02Next.
00:43:02Petit 6, f de x est égale à racine carré de, 2x au carré, sur, 1, moins x, en moins l'infini.
00:43:10Focalise ton attention sur le radical, ou contenu, de la racine.
00:43:15Comme ça sans la forme indéterminée, factorisation de la fraction par x, en haut et en bas, simplification,
00:43:21et tu auras 2x sur, 1 sur x, moins 1.
00:43:25La limite de 2x, quand x tend vers moins l'infini, est égale à moins l'infini.
00:43:29La limite de, 1 sur x, moins 1, quand x tend vers moins l'infini, est égale à moins 1, divisé par moins l'infini, c'est multiplié par 0 moins.
00:43:39Par quotient, la limite de la fraction, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:43:45Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:43:51Next.
00:43:53Petit 7, f de x est égale à sinus de, 1 sur racine carré de x, en plus l'infini.
00:43:58Par définition, la limite de racine carré de x, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
00:44:06Donc, la limite de 1 sur racine carré de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0 plus, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:44:17Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est aussi 0 plus, égale à sinus de 0 plus.
00:44:27En appliquant au sens strict les méthodes et en connaissant les limites de référence, tout se passe bien.
00:44:33Exercice numéro 8, dans lequel tu vas faire exactement la même chose que dans l'exercice numéro 7, mais avec des fonctions un peu plus tordues.
00:44:40C'est parti !
00:44:42Déterminez les limites des fonctions suivantes au point d'abscisse demandé.
00:44:47Pour éviter d'avoir une vidéo qui dure une éternité, déjà que, je ne vais corriger que celle que j'entoure.
00:44:53Mais de ton côté, rien ne t'empêche de faire le reste, à part peut-être le poil dans la main qui te sert de canne.
00:44:59Bref.
00:45:01Petit 1, f de x est égal à x, moins 2 racine carrée de x, plus 7, en plus l'infini.
00:45:08Comme il y a suspicion d'une forme indéterminée, en mode préventif, factorisation par, racine carrée de x,
00:45:14ce qui va donner racine carrée de x, facteur de, racine carrée de x, moins 2, plus 7 sur racine carrée de x.
00:45:22La factorisation par x est possible, mais ça complique la partie entre parenthèses, et il faut toujours aller au plus simple.
00:45:29La limite de racine carrée de x, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini donc,
00:45:35la limite de, racine carrée de x, moins 2, quand x tend vers plus l'infini, sera aussi plus l'infini.
00:45:41La limite de 7 sur racine carrée de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0+, divisé par plus l'infini,
00:45:49c'est multiplié par 0+, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:45:53Par conséquent, mais aussi par calcul, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
00:46:02Next.
00:46:03Petit 3, f de x est égal à racine carrée de, x moins 1, moins racine carrée de x, en plus l'infini.
00:46:09Une somme de racine carrée, donc comme vu dans l'exercice numéro 4, il faut utiliser l'expression conjuguée.
00:46:17Tu reprends la fonction, que tu multiplies et divides simultanément par son expression conjuguée,
00:46:21Le moins entre les racines est remplacé par un plus, identité remarquable au numérateur.
00:46:26a moins b, facteur de a plus b, est égal à a carré moins b carré.
00:46:31Le carré neutralise la racine carrée.
00:46:33Réduction.
00:46:34Et racine carrée de, x moins 1, moins racine carrée de x devient moins 1 sur, racine carrée de, x moins 1, plus racine carrée de x.
00:46:42La limite de racine carrée de, x moins 1, quand x tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
00:46:49La limite de racine carrée de x, quand x tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
00:46:54Par somme, la limite de racine carrée de, x moins 1, plus racine carrée de x, quand x tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
00:47:03Donc par quotient, la limite de moins 1 sur, racine carré de, x moins 1, plus racine carré de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
00:47:17Par conséquent, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est nulle.
00:47:22Next.
00:47:24Petit 5, f de x est égal à racine carré de, x moins 1, sur, x moins 1, en x égale à 1, et en plus l'infini.
00:47:32Comme j'essaie toujours de mettre de la flamboyance sur ma copie, je te propose de résoudre ces deux limites de deux façons différentes, la règle de l'hôpital pour x égale à 1, et la factorisation en plus l'infini.
00:47:44Je te rassure, utiliser la factorisation x égale à 1 fonctionne, et rien ne t'empêche de le faire.
00:47:51Mais ce sera un peu terne, il manquera le grain de folie qui met une étincette circonspecte dans l'œil du correcteur ou de la correctrice, et ce serait grandement dommage, n'est-il pas.
00:47:59Première limite, en x égale à 1, règle de l'hôpital.
00:48:05Réécriture de la fonction en, racine carré de, x moins 1, moins 0, sur, x moins 1, ce qui correspond à, f de x moins f de 1, sur, x moins 1.
00:48:15On retrouve la forme du taux d'accroissement, qui possède deux expressions.
00:48:20La première, taux de h, égale à, f de, a plus h, moins f de a, sur, a plus h, moins a.
00:48:28La seconde, taux de x, égale à, f de x moins f de a, sur, x moins a.
00:48:34C'est cette dernière qui est importante, car quand x tend vers a, le taux d'accroissement est égal à la fonction dérivée.
00:48:41Comme f de x est égal à racine carré de, x moins 1, sa dérivée sera 1, sur, 2 racine carré de, x moins 1.
00:48:49Je rappelle que la dérivée de racine carré de u, est u prime sur 2 racine carré de u.
00:48:53Le domaine de dérivabilité, noté d'f prime, sera 1 exclu, plus l'infini exclu, ce qui entraîne que la limite 1 se fera par valeur supérieure.
00:49:04Donc, la limite de, racine carré de, x moins 1, sur, x moins 1, quand x tend vers 1, x strictement supérieur à 1,
00:49:12est celle de 1 sur, 2 racine carré de, x moins 1, en 1, supérieur à 1, ce qui donne plus l'infini, divisé par 0 plus, c'est multiplié par plus l'infini.
00:49:22Ne pas oublier d'appliquer la règle des signes.
00:49:25Next.
00:49:27Seconde limite, en plus l'infini, factorisation.
00:49:31Au dénominateur, x moins 1, est égal à sa racine carré qui se multiplie par elle-même,
00:49:36ce qui entraîne après simplification que f de x est égal à 1 sur racine carré de, x moins 1.
00:49:42La limite de racine carré de, x moins 1, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini donc, par conséquent mais aussi par quotient.
00:49:49La limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus.
00:49:58Next.
00:50:00Petit 6, f de x est égal à racine carré de, x au carré plus 2x, moins x, en plus l'infini.
00:50:07Une somme avec une racine carré, donc comme vu dans l'exercice numéro 4, il faut utiliser l'expression conjuguée.
00:50:13Tu reprends la fonction, que tu multiplies et divises simultanément par son expression conjuguée,
00:50:19le moins en re chaque terme est remplacé par un plus, identité remarquable au numérateur,
00:50:24a moins b, facteur de a plus b, est égal à a carré moins b carré.
00:50:28Le carré neutralise la racine carré, réduction, et racine carré de, x au carré plus 2x, moins x,
00:50:34devient 2x sur, racine carré de, x au carré plus 2x, plus x.
00:50:39Seulement, est-il possible d'aller plus loin dans la factorisation ?
00:50:44Spoiler alert, oui.
00:50:46Focalise-toi sur le dénominateur, factorisation par x au carré dans la racine carré.
00:50:51Le x au carré sort de la racine en devenant x, que tu mets en facteur pour l'expression complète
00:50:56et obtenir x, facteur de racine carré de, 1, plus 2 sur x, plus 1.
00:51:02Réécriture du dénominateur, simplification par x en haut et en bas,
00:51:05et f de x est égal à 2 sur, racine carré de, 1, plus 2 sur x, plus 1.
00:51:12Au niveau factorisation, je crois qu'on a atteint la limite.
00:51:16Et ça tombe bien, il faut la déterminer.
00:51:18La limite de racine carré de, 1, plus 2 sur x, quand x tend vers plus l'infini,
00:51:24est 1, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0 plus,
00:51:28donc, la limite de, racine carré de, 1, plus 2 sur x, plus 1, quand x tend vers plus l'infini, est 2.
00:51:36Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera 1, 2 divisé par 2.
00:51:43Next.
00:51:45Petit 8, f de x est égal à racine carré de, x plus 1, moins 2, divisé par, x moins 3, en x égale à 3.
00:51:52On pourrait utiliser l'expression conjuguée, mais j'ai envie de flamboyer sur cette question dont, règle de l'hôpital.
00:52:00D'abord, il faut voir que la fonction peut se réécrire en, f de x, moins f de 3, sur, x moins 3, avec f de x égale à racine carré de, x plus 1.
00:52:10On retrouve la forme du taux d'accroissement, qui possède deux expressions.
00:52:15La première, taux de h, égale à, f de, a plus h, moins f de a, sur, a plus h, moins a.
00:52:23La seconde, taux de x, égale à, f de x, moins f de a, sur, x moins a.
00:52:30C'est cette dernière qui est importante, car quand x tend vers a, le taux d'accroissement est égal à la fonction dérivée.
00:52:36f de x égale à racine carré de, x plus 1, donc, f prime de x sera égal à 1 sur 2 racine carré de, x plus 1.
00:52:44Je rappelle que la dérivée de racine carré de u est u prime sur 2 racine carré de u.
00:52:49Le domaine de dérivabilité, noté d'f prime, sera moins 1 exclu, plus l'infini exclu, ce qui entraîne que la limite peut se faire en 3, pas par valeur inférieure ou supérieure, 3 appartenant à d'f prime.
00:53:02La limite de la fonction, quand x tend vers 3, sera celle de 1 sur 2 racine carré de, x plus 1, toujours quand x tend vers 3, ce qui donne un quart.
00:53:12Next.
00:53:13Petit 9, f de x est égal à 2x sur, racine carré de, x plus 1, moins 1, en x égale à 0.
00:53:21Une forme indéterminée du type, 0 sur 0.
00:53:25Le plus simple ici est d'utiliser l'expression conjuguée du dénominateur, vu dans l'exercice numéro 4.
00:53:30Tu reprends la fonction, que tu multiplies et divides simultanément par l'expression conjuguée du dénominateur.
00:53:36Le moins en chaque terme est remplacé par un plus, identité remarquable au dénominateur.
00:53:42a moins b, facteur de a plus b, est égal à a carré moins b carré.
00:53:46Le carré neutralise la racine carré.
00:53:48Réduction.
00:53:49Puis factorisation par x en haut et en bas, simplification.
00:53:52Et f de x devient 2, facteur de, racine carré de, x plus 1, plus 1.
00:53:59La limite de racine carré de, x plus 1, plus 1, quand x tend vers 0, est 2 donc, par produit,
00:54:05la limite de f de x, quand x tend vers 0, est 4, 2 fois 2.
00:54:11Next.
00:54:12Petit 10, f de x est égal à, 1, moins cosinus de x, sur, sinus de x, en x égale à 0.
00:54:19Une forme indéterminée de type, 0 sur 0, donc, il faut trouver un moyen efficace et
00:54:25simple pour contourner le problème.
00:54:28Et ça te dirait de mettre de la flamboyance dans cette correction en utilisant l'expression
00:54:31conjuguée sur un terme trigonométrique.
00:54:34Chiche.
00:54:36Tu reprends la fonction, que tu multiplies et divides simultanément par l'expression
00:54:40conjuguée du numérateur, le moins en chaque terme est remplacé par un plus, identité remarquable
00:54:45au numérateur, a moins b, facteur de a plus b, est égal à a carré moins b carré,
00:54:51réduction, et f de x est égal à, 1, moins cos carré de x, sur, sin de x, facteur de,
00:54:581 plus cos de x.
00:55:00Seulement, tu sais que cos carré de x plus sin carré de x est égal à 1, donc sin carré
00:55:05de x est égal à 1 moins cos carré de x.
00:55:07Le numérateur de la fonction est remplacé par sin carré de x, qui peut être simplifié
00:55:13avec le, sin de x, du dénominateur, ce qui entraîne que f de x sera égal à sin de x
00:55:19sur, 1 plus cos de x.
00:55:21Je te l'accorde ici, il faut connaître ses formules trigonométriques.
00:55:26La limite de sin x, quand x tend vers 0, est nulle.
00:55:30La limite de, 1 plus cos x, quand x tend vers 0, est 2, cos de 0 est égal à 1.
00:55:36Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers 0, est nulle.
00:55:427, cette dernière limite était quelque peu déstabilisante, passée par l'expression
00:55:46conjuguée alors qu'il n'y a pas de somme de racine carré, c'est de prime abord saugrenu.
00:55:51Mais ça fonctionne.
00:55:53Exercice numéro 9, dans lequel tu vas déterminer graphiquement des limites de fonctions, ainsi
00:55:58que celles de leur somme ou produit.
00:56:00C'est parti.
00:56:02C1, C2 et C3 sont les courbes respectives de 3 fonctions.
00:56:06f, g et h, définies sur l'ensemble complet des réels.
00:56:10Question 1, déterminez graphiquement les limites de f, g et h, en plus l'infini, et
00:56:16en moins l'infini.
00:56:18En gros, il faut numériser le comportement de la fonction quand elle va tout à gauche,
00:56:22en moins l'infini, ou tout à droite, en plus l'infini.
00:56:26Tu vas voir, c'est simple.
00:56:27La limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est zéro moins.
00:56:33En allant à gauche, la courbe au noir se rapproche de l'axe des abscisses par en dessous, d'où
00:56:38le zéro moins.
00:56:39Next.
00:56:40La limite de g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:56:45En allant à gauche, la courbe au rouge part à la verticale vers le haut, d'où le plus
00:56:49l'infini.
00:56:51Next.
00:56:51La limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:56:57En allant à gauche, la courbe verte part à la verticale vers le bas, d'où le moins
00:57:01l'infini.
00:57:03Next.
00:57:04La limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est zéro moins.
00:57:09En allant à droite, la courbe au noir se rapproche de l'axe des abscisses par en dessous, d'où
00:57:14le zéro moins.
00:57:15Next.
00:57:16La limite de g de x, quand x tend vers plus l'infini, est un.
00:57:20En allant à droite, la courbe au rouge se rapproche par en dessous de la droite d'équation
00:57:25y égale.
00:57:27Next.
00:57:29La limite de h de x, quand x tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
00:57:34En allant à droite, la courbe verte part à la verticale vers le bas, d'où le moins
00:57:38l'infini.
00:57:39Next.
00:57:40Question 2, en déduire, si possible, les limites suivantes.
00:57:45Avec méthode et minutie, toutes réussies.
00:57:47Petit a, limite de, f plus g, en plus l'infini.
00:57:52La limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est zéro moins.
00:57:58La limite de g de x, quand x tend vers plus l'infini, est un.
00:58:02Par somme, la limite de, f de x, plus g de x, quand x tend vers plus l'infini, sera un.
00:58:09Next.
00:58:11Petit b, limite de, g fois h, en moins l'infini.
00:58:14La limite de g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:58:20La limite de h de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:58:25Par produit, la limite de, g de x, fois h de x, quand x tend vers moins l'infini, sera moins l'infini.
00:58:32Je rappelle que l'infini fois l'infini, ça fait l'infini.
00:58:36N'oublie pas d'appliquer la règle des signes.
00:58:39Next.
00:58:39Petit c, limite de, f fois h, en moins l'infini.
00:58:44La limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est zéro moins.
00:58:49La limite de h de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:58:54Par produit, la limite de, f de x, fois h de x, quand x tend vers moins l'infini, sera une forme indéterminée, zéro fois l'infini.
00:59:04Next.
00:59:05Petit d, limite de, j plus h, en moins l'infini.
00:59:08La limite de, g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:59:14La limite de, h de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:59:19Par somme, la limite de, g de x, plus h de x, quand x tend vers moins l'infini, sera une forme indéterminée, l'infini moins l'infini.
00:59:29Next.
00:59:30Petit e, limite de, h moins g, en moins l'infini.
00:59:33La limite de, h de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
00:59:39La limite de, g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
00:59:44Par somme, la limite de, h de x, moins g de x, quand x tend vers moins l'infini, sera moins l'infini, règle des signes, plus moins, ça fait moins.
00:59:54Next.
00:59:55Petit f, limite de, g sur f, en plus l'infini.
01:00:00La limite de, g de x, quand x tend vers plus l'infini, est 1.
01:00:05La limite de, f de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0 moins.
01:00:10Par quotient, la limite de, g de x, sur f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera moins l'infini, divisé par 0 moins, c'est multiplié par moins l'infini.
01:00:20Ne pas oublier la règle des signes.
01:00:23Next.
01:00:23Petit g, limite de, h sur g, en moins l'infini.
01:00:29La limite de, h de x, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini.
01:00:33La limite de, g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
01:00:39Par quotient, la limite de, h de x, sur g de x, quand x tend vers moins l'infini, sera une forme indéterminée, l'infini sur l'infini.
01:00:48Next.
01:00:49Petit h, limite de, g sur f, en moins l'infini.
01:00:53La limite de g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
01:00:58La limite de f de x, quand x tend vers moins l'infini, est 0 moins.
01:01:03Par quotient, la limite de g de x, sur f de x, quand x tend vers moins l'infini, sera moins l'infini, divisé par 0 moins, c'est multiplié par moins l'infini, ne pas oublier la règle des signes.
01:01:16Next.
01:01:18Petit i, limite de f de g, en moins l'infini.
01:01:21C'est une fonction composée, il va falloir réfléchir un peu plus.
01:01:26Il faut toujours commencer par déterminer la limite du contenu, soit celle de g de x, en moins l'infini.
01:01:32La limite de g de x, quand x tend vers moins l'infini, est plus l'infini.
01:01:37Le contenu tend vers plus l'infini quand x tend vers moins l'infini, donc il faut déterminer la limite du contenant, la fonction f, quand son contenu, ici x, tend vers plus l'infini.
01:01:47La limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, est 0 moins.
01:01:53Par composition, la limite de, f de g de x, quand x tend vers moins l'infini, sera 0 moins.
01:02:00Ce n'est pas parce que la détermination des limites est graphique que c'est plus facile qu'en analytique.
01:02:04Exercice numéro 10, dans lequel je vais tester ton esprit de déduction à l'aide d'un tableau de variation.
01:02:11C'est parti.
01:02:13On connaît le tableau de variation d'une fonction f.
01:02:16On sait de plus qu'il existe trois réels, a, b, et c, tels que pour tout x différent de moins 3, f de x est égal à, ax plus b, sur, x plus c.
01:02:27Déterminez les valeurs de a, b, et c, en justifiant.
01:02:32Ok.
01:02:33On remarque une double barre dans le tableau en moins 3, que j'entoure en rouge.
01:02:38Cette double barre indique une valeur interdite qui annule le dénominateur.
01:02:42Donc, moins 3 plus c est égal à 0, ce qui entraîne que c'est vos 3.
01:02:47Par conséquent, f de x est égal à, ax plus b, sur, x plus 3.
01:02:53Toujours par lecture du tableau, on a f de 0 égale à 1, entouré en rouge, donc, a fois 0 plus b, sur, 0 plus 3, égale à 1, ce qui entraîne que b vaut 3.
01:03:04Par conséquent, f de x est égal à, ax plus 3, sur, x plus 3.
01:03:10On peut lire aussi dans le tableau que la limite de f de x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est égale à 2.
01:03:16Donc, tu reprends la fonction, que tu factorises par x au numérateur et au dénominateur, simplification, pour obtenir, a, plus 3 sur x, sur, 1, plus 3 sur x.
01:03:28La limite de, a, plus 3 sur x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est a, divisé par plus ou moins l'infini, c'est multiplié par 0 plus ou moins.
01:03:38La limite de, 1, plus 3 sur x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est 1, divisé par plus ou moins l'infini, c'est multiplié par 0 plus ou moins.
01:03:48Par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est a.
01:03:54Sachant que la limite de la fonction, en plus ou moins infini, est 2, ça implique que a est égal à 2.
01:04:01Par conséquent, f de x est égal à 2x plus 3, sur x plus 3.
01:04:07Mais ce n'est pas encore terminé.
01:04:09Certes, ce n'est pas énoncé mais je vais te montrer comment trouver d'autres informations importantes par lecture de ce tableau de variation.
01:04:16La première, ici et là, on peut lire que la limite de f de x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est égale à 2.
01:04:24Donc, la droite d'équation y égale à 2 est asymptote horizontale à la courbe ou au voisinage de plus ou moins l'infini.
01:04:31La seconde, la double barre indique que la limite de f de x, quand x tend vers moins 3, par valeur inférieure ou supérieure, d'où le plus ou moins en exposant sur le moins 3, est égale à plus ou moins l'infini.
01:04:43Donc, la droite d'équation x égale à moins 3 est asymptote verticale à la courbe.
01:04:48Voici une représentation graphique de la fonction, courbe rouge, avec son asymptote horizontal, droite verte, et son asymptote verticale, droite bleue, réalisée avec géogébra.
01:04:59On remarque bien que la courbe rouge vient s'écraser, entre guillemets, sur ses droites horizontales et verticales, en s'approchant de moins 3, par la gauche ou la droite, et en allant vers la gauche, en moins l'infini, ou à droite, en plus l'infini.
01:05:13Exercice numéro 11, dans lequel je te propose une étude de fonctions complètes.
01:05:19Rien de bien compliqué, il faut juste faire ce qui est demandé.
01:05:23C'est parti !
01:05:24On considère la fonction f, définie sur l'ensemble des réels privés de 2, par f de x égale à 2x², moins 3x, moins 3, sur, x moins 2.
01:05:35Question 1, déterminez les réels, a, b, et c, tels que pour tout x différent de 2, f de x égale à, ax plus b, plus c sur, x moins 2.
01:05:46Le plus simple est de partir de la forme donnée, de tout mettre sur le même dénominateur, x moins 2, développement, puis tu rassembles ce qui se ressemble, factorisation, et tu auras f de x égale à, ax², plus x facteur 2, moins 2a plus b, plus, moins 2b plus c, sur, x moins 2, aussi égale à, 2x², moins 3x, moins 3, sur, x moins 2.
01:06:10La résolution va se faire par identification, ce qui va donner ax² égale à, 2x², x facteur 2, moins 2a plus b, égale à, moins 3x, et, moins 2b plus c, égale à, moins 3.
01:06:24Par calcul, a sera égale à 2, b à 1, et c à moins 1.
01:06:29Donc, f de x sera égale à, 2x plus 1, moins 1 sur, x moins 2.
01:06:35Next.
01:06:36Question 2, en déduire la limite de f en plus l'infini, et en moins l'infini.
01:06:41S'il faut en déduire ces limites, c'est qu'il faut utiliser l'expression trouvée dans la question 1.
01:06:47La limite de, x moins 2, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est plus ou moins l'infini.
01:06:52Donc par quotient, la limite de 1 sur, x moins 2, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est 0 plus ou moins, divisé par plus ou moins l'infini, c'est multiplié par 0 plus ou moins.
01:07:03Sachant que la limite de, 2x plus 1, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est plus ou moins l'infini, alors par ça, la limite de la fonction, en plus l'infini, sera aussi plus ou moins l'infini.
01:07:14De plus, sachant que la limite de, 2x plus 1, quand x tend vers moins l'infini, est moins l'infini, alors par ça, la limite de la fonction, en moins l'infini, sera aussi moins l'infini.
01:07:26Next.
01:07:28Question 3, refaire la question 2 sans utiliser la question 1.
01:07:33Comme on a une forme indéterminée, l'infini sur l'infini, factorisation par x au numérateur et au dénominateur, simplification, et f de x est égal, 2x, moins 3, moins 3 sur x, sur, 1, moins 2 sur x.
01:07:48Sachant que quel que soit carréel non nul, la limite de k sur x, quand x tend vers plus ou moins l'infini, est égale à 0 plus ou moins, divisé par l'infini, c'est multiplié par 0, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes, alors, la limite du numérateur en plus ou moins l'infini sera plus ou moins l'infini, et celle du dénominateur sera 1.
01:08:08Par conséquent, et par quotient, la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, sera plus l'infini, et celle en moins l'infini sera moins l'infini.
01:08:17Next.
01:08:19Question 4. Déterminez la limite de f de x quand x tend vers 2, par valeur supérieure, puis par valeur inférieure.
01:08:26Pour faire plus simple, il faut utiliser l'expression de la fonction déterminée à la question 1, en ayant la certitude qu'elle est juste sinon, ta réponse sera fausse.
01:08:36La limite de 2x plus 1, quand x tend vers 2, par valeur supérieure et inférieure, est égale à 5.
01:08:42La limite de x moins 2, quand x tend vers 2, x strictement supérieure à 2, est 0+.
01:08:49Donc, la limite de 1 sur x moins 2, quand x tend vers 2, x strictement supérieure à 2, est plus l'infini, divisé par 0+, c'est multiplié par plus l'infini.
01:09:00Par soustraction, la limite de f de x, quand x tend vers 2, x strictement supérieure à 2, sera moins l'infini.
01:09:09La limite de x moins 2, quand x tend vers 2, x strictement inférieure à 2, est 0+.
01:09:15Donc, la limite de 1 sur, x moins 2, quand x tend vers 2, x strictement inférieure à 2, est moins l'infini, divisé par 0+, c'est multiplié par moins l'infini.
01:09:27Par soustraction, la limite de f de x, quand x tend vers 2, x strictement inférieure à 2, sera plus l'infini.
01:09:35Next.
01:09:36Question 5. Déterminer f' de x.
01:09:39Pour faire plus simple, il faut utiliser l'expression de la fonction déterminée à la question 1, en ayant la certitude qu'elle est juste sinon, ta réponse sera fausse.
01:09:49Tu poses que f est égal à u, moins 1 sur v donc, la dérivée sera égale à u', plus, v' sur v carré.
01:09:57u de x est égal à 2x plus 1, donc u' de x est égal à 2.
01:10:02v de x est égal à x moins 2, donc v' de x est égal à 1.
01:10:06Par conséquent, f' de x est égal à 2, plus 1 sur, x moins 2, au carré.
01:10:13Next.
01:10:14Question 6. Dresser le tableau de variation de f.
01:10:18Préciser dans ce tableau les limites au bon du domaine de définition.
01:10:22Indiquer les équations des éventuelles asymptotes.
01:10:26Pour les variations de la fonction, il faut déterminer le signe de sa dérivée.
01:10:29Quel que soit x réel différent de 2, 1 sur, x moins 2, au carré est strictement positif.
01:10:37Sachant que 2 l'est aussi, par sov, f' de x strictement positif donc, la fonction sera strictement croissante.
01:10:44Tableau standard d'études de fonctions, avec une ligne pour le signe de la dérivée, une autre en dessous pour les variations de la fonction.
01:10:51Délivée strictement positive, donc fonction strictement croissante.
01:10:56Tu complètes avec les limites déterminées dans les questions précédentes, attention à ne pas te mélanger les stylos,
01:11:02et cette double barre en deux indique que la droite d'équation x égale à 2 est asymptote vertical à la courbe.
01:11:08Et ce sera tout.
01:11:10Next.
01:11:10Question 7, déterminez la limite de, f de x moins, ax plus b, quand x tend vers plus l'infini.
01:11:18Quelle interprétation graphique peut-on en déduire ?
01:11:21Vérifiez cette interprétation à l'aide de la calculatrice.
01:11:25Dans cette question aussi, il sera plus facile d'utiliser l'expression de la fonction déterminée à la question 1,
01:11:31en ayant la certitude qu'elle est juste sinon, ta réponse sera fausse.
01:11:35Dans cette question 1, on a déterminé les valeurs de a, 2, b, 1, et c, moins 1.
01:11:42Donc, la différence de fonction devient f de x moins, 2x plus 1, ce qui donne moins 1 sur, x moins 2.
01:11:49La limite de, f de x moins, 2x plus 1, quand x tend vers plus l'infini, sera celle de moins 1 sur, x moins 2, égale à 0.
01:11:58Par conséquent, la droite d'équation y égale à 2x plus 1 est asymptote oblique à la courbe au voisinage de plus l'infini.
01:12:06Pour vérifier, je suis allé sur GeoGebra et voici ce que ça donne.
01:12:11A droite de l'écran, on a bien la courbe rouge qui se rapproche rapidement,
01:12:15et par en dessous, de la droite bleue, asymptote oblique, sans pour autant la toucher.
01:12:20Ça confirme bien ce qui a été déterminé analytiquement.
01:12:23C'est ce genre d'exercice que tu as souvent rencontré en terminale donc, plus tu en feras, et mieux ça ira.
01:12:30Dernier exercice, le numéro 12, dans lequel je te propose de clôturer la session en beauté
01:12:35avec des limites exponentielles et logarithmiques quelque peu ésotériques.
01:12:39C'est parti.
01:12:41Déterminer les limites des fonctions suivantes.
01:12:44Une exponentielle, une logarithme, mais tu vas voir que c'est relativement simple.
01:12:48Première fonction, f de x est égale à x fois exponentielle de 1 sur x.
01:12:54Comme c'est une forme indéterminée, 0 fois l'infini, un changement de variable s'impose avec X égale à 1 sur x,
01:13:01donc x égale à 1 sur X.
01:13:04De ce fait, f de X sera égale à 1 sur X fois exponentielle de X,
01:13:10qui peut se réduire en exponentielle de X sur X.
01:13:13La limite de 1 sur X, quand X tend vers 0+, est égale à la limite de grand X,
01:13:19quand X tend vers 0+, ce qui donne plus l'infini, divisé par 0+, c'est multiplié par plus l'infini.
01:13:27Traduction, quand X tend vers 0+, grand X tend vers plus l'infini.
01:13:31Par conséquent, la limite de f de X, quand X tend vers 0+, est égale à la limite de f de grand X,
01:13:39quand grand X tend vers plus l'infini, soit la limite de, exponentielle de grand X,
01:13:44sur grand X, quand grand X tend vers plus l'infini, ce qui donne par définition plus l'infini,
01:13:49voire l'atelier M.A.E. 39, lien dans la description.
01:13:53Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
01:13:55En conclusion, la limite de f de X, quand X tend vers 0+, est plus l'infini.
01:14:02Next.
01:14:04Seconde fonction, G de X est égale à, Ln de X, sur X.
01:14:09Comme c'est une forme indéterminée, l'infini sur l'infini,
01:14:12un changement de variable s'impose avec grand X égale à 1 sur X, donc X égale à 1 sur grand X.
01:14:19De ce fait, G de grand X sera égale à grand X fois Ln de 1 sur grand X,
01:14:24qui peut se réduire en moins grand X fois Ln de grand X.
01:14:27Je rappelle que Ln de 1 sur X est égale à moins Ln de X.
01:14:32La limite de 1 sur X, quand X tend vers plus l'infini, est égale à la limite de grand X,
01:14:37quand X tend vers plus l'infini, ce qui donne 0+, divisé par plus l'infini, c'est multiplié par 0+.
01:14:44Traduction, quand X tend vers plus l'infini, grand X tend vers 0+.
01:14:49Par conséquent, la limite de G de X, quand X tend vers plus l'infini, est égale à la limite de G de grand X,
01:14:57quand grand X tend vers 0+, soit la limite de, moins grand X fois Ln de grand X,
01:15:02quand grand X tend vers 0+, ce qui donne par définition 0, voire l'atelier M.A.N. 39.
01:15:08Lien dans la description.
01:15:10Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
01:15:12En conclusion, la limite de G de X, quand X tend vers plus l'infini, est 0.
01:15:19Et c'est enfin à fin.
01:15:21Certes, la vidéo est très longue, mais compte tenu de l'importance des limites dans une étude de fonctions,
01:15:26il est de mon devoir d'aborder tous les détails que tu risques de rencontrer dans les exercices.
01:15:31Maintenant, c'est à toi de jouer.
01:15:34La forge est désormais terminée.
01:15:36Des questions ?
01:15:38Un complément d'informations.
01:15:40Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
01:15:42D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
01:15:49A toi de forger maintenant.
01:15:51Prochaine vidéo sur l'encleum.
01:15:54Que la forge soit avec toi.
01:15:56Stay tuned.
01:15:58Tchuss.
01:15:58Sous-titrage ST' 501.
01:16:11Sous-titrage ST' 501.
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