00:00D'autres vidéos sont disponibles.
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00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 47, équation différentielle d'ordre 1.
00:40Et on commence sans plus attendre par sa définition, qui permet de comprendre comment sont structurées les équations différentielles, et qui contribuent à leur reconnaissance dans des exercices en mathématiques, ou en physique chimie.
00:52C'est parti !
00:54Une équation différentielle est une équation liant une fonction, notée Y, avec une ou plusieurs de ses dérivés.
01:00Par exemple, AY' plus BY plus C égale à zéro, ou encore AY' plus BY' plus CY plus D égale à zéro.
01:11Résoudre une telle équation signifie qu'il faut déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l'égalité.
01:17Disclaimer important.
01:19Les équations différentielles abordées au lycée sont dites, linéaires à coefficient constant, ce qui implique que A, B, C, D, etc. sont des constantes réelles.
01:30Paragraphe suivant, quelles sont les utilités de ces équations bien particulières ?
01:34J'espère que tu es bien installé, car tu vas être choqué.
01:38C'est parti !
01:40Elles sont une grande partie de la nature de l'univers, rien que ça.
01:44Tout ce que tu vois autour de toi est solution d'équations différentielles.
01:47On peut en particulier citer les trajectoires, ballons, avions, fusées, planètes, galaxies, les déplacements de chaleur, dans un solide, un liquide, la météo, les courants marins, le vent, les incendies, la propagation des ondes, radios, tremblements de terre, tsunami, le mouvement des foules, la propagation des embouteillages, la diffusion des médicaments ou des drogues dans un corps.
02:11Les phénomènes, naturels ou non, sont tous solutions d'équations différentielles.
02:16Si on veut les comprendre, ou les prédire avec précision, il faut les résoudre avec des équations différentielles, de manière exacte ou approchée.
02:25Elles sont de ce fait très utiles aux ingénieurs et aux scientifiques dans leur travail de tous les jours pour modéliser les phénomènes, en combinaison avec des expériences, qui permettent de contraindre les paramètres des modèles utilisés.
02:36Trêve de blabla, il est temps d'aborder la partie numérique de l'outil avec sa procédure de résolution.
02:43Bien entendu, je ne vais te montrer que celle de l'ordre 1, au progrès en dernière année de lycée.
02:49C'est parti !
02:50Ces équations différentielles sont de la forme suivante.
02:53Ça, c'est la théorie, on va passer à la pratique dans le paragraphe suivant, qui va te montrer la première possibilité prévue dans le programme de terminale.
03:19Gamma constante réelle.
03:21C'est parti !
03:23L'équation différentielle prend donc la forme suivante.
03:27Alpha fois Y prime de X, plus bêta fois Y de X, égale à gamma, avec alpha, bêta, et gamma, des réels.
03:35Une réécriture de l'équation est primordiale pour la résoudre, et elle doit être sous la forme suivante.
03:41Y prime égale à A fois Y, plus B, avec A et B des réels.
03:46Cette écriture t'en rappelle une autre ?
03:48C'est normal, c'est la même que celle des fonctions affines,
03:51sauf qu'ici, ce sont des équations différentielles d'ordre 1, ne pas confondre.
03:56Une solution de cette équation différentielle sera Y de X, égale à K fois exponentielle de A fois X, moins B sur A, avec K1 réel.
04:05Pour déterminer la solution, unique, et adaptée par exemple au problème, il faut calculer la valeur numérique de K.
04:13Pour cela, il faudra utiliser le théorème de Cauchy, qui énonce qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre possède une unique solution vérifiant une condition initiale du type Y de X0, égale à Y0.
04:25Donc la solution sera de la forme Y de X, égale à Y0 fois exponentielle de A fois X, moins B sur A.
04:34Bref, bien moins compliqué que ce que tu espérais.
04:38Néanmoins, parce que ça apparaît de plus en plus souvent dans les exercices de manuel scolaire, je vais te montrer la seconde possibilité pour Gamma, le mode, fonction.
04:46C'est parti.
04:49L'équation différentielle sera de la forme suivante.
04:52Alpha fois Y prime de X, plus Bêta fois Y de X, égale à Gamma de X, avec Alpha et Bêta des réels.
05:00Le protocole de résolution sera composé de trois étapes.
05:04Petit 1, équation homogène, qui donnera la solution de l'équation en posant Gamma de X nul.
05:10Petit 2, équation particulière, qui fournira la solution en fonction de la forme de Gamma de X.
05:16Petit 3, le principe de superposition, qui affichera les solutions de l'équation différentielle.
05:22Je vais te montrer comment ça fonctionne.
05:25Petit 1, équation homogène.
05:28Nommée aussi, équation sans second membre, on pose Gamma de X nul.
05:33De ce fait, Alpha fois Y prime de X, plus Bêta fois Y de X, égale à 0, et cette équation sera notée EH.
05:41Une réécriture de l'équation est primordiale pour la résoudre.
05:44Y prime égale à A fois Y, avec A réel.
05:49Une solution de cette équation différentielle sera notée YH de X, égale à K fois exponentielle de A fois X, avec K en réel.
05:57Cette solution découle de la procédure vue dans le paragraphe Gamma constante réel, avec B égale à 0.
06:04Ceci explique pourquoi le moins B sur A a disparu.
06:07Petit 2, équation particulière.
06:09Le principe est de trouver la solution particulière de l'équation différentielle Alpha fois Y prime de X, plus Bêta fois Y de X, égale à Gamma de X.
06:20Une réécriture de l'équation est primordiale pour la résoudre.
06:23Y prime de X égale à A fois Y de X, plus B de X, avec A réel.
06:28Cette équation sera notée EP.
06:32La solution particulière, notée YP, dépendra de la forme de B de X.
06:37Comme le manque de place est évident pour traiter les différentes formes aperçues dans les exercices au lycée,
06:42je suis dans l'obligation de changer de page, et de tout résumer dans ce tableau, bien plus ludique.
06:47Il n'y a que 4 formes de B de X à mémoriser, ça ne sera pas trop difficile à réaliser, même pour ton pauvre cerveau nourri aux réseaux sociaux.
06:57Si B de X est un polynôme de degré N, alors YP de X le sera aussi.
07:01Si B de X est de la forme C exponentielle de Rx plus T, alors YP de X sera de la forme NX plus P, exponentielle de Rx plus T.
07:13Si B de X est de la forme P de X exponentielle de Rx plus T, avec P un polynôme de degré N,
07:19alors YP de X sera de la forme Q de X exponentielle de Rx plus T, avec Q polynôme de degré N,
07:26si R différent de A, ou Q polynôme de degré N plus 1, si R est A égaux.
07:31Si B est de la forme lambda fois cosinus de, oméga X plus phi, plus mu fois sinus, oméga X plus phi,
07:38alors YP de X sera de la forme A fois cosinus, oméga X plus phi, plus B fois sinus, oméga X plus phi.
07:47Bien entendu, et j'espère que c'est évident pour toi, les variables C, M, P, R, T, lambda, mu, oméga, phi, A, et B, sont des constantes réelles.
08:00Petit 3, principe de superposition.
08:03Les solutions d'une équation différentielle sont de la forme suivante.
08:07Y de X égale à YH de X, plus YP de X.
08:12Pour résumer, les solutions seront obtenues en additionnant les solutions homogènes et particulières.
08:177, ça paraît trop beau pour être vrai, car dans ton imaginaire, les équations différentielles se doivent d'être aussi difficiles à décrypter que des hiéroglyphes égyptiens.
08:28Il n'en est rien, et tu dois te rendre à l'évidence.
08:30Un petit mot pour la fin pour lequel toute ton attention est requise, il en va de la réussite de ton avenir professionnel.
08:38C'est parti.
08:40Les équations différentielles sont au programme de toutes les études scientifiques, car leur utilisation sera récurrente.
08:45Comme énoncé en début de vidéo, elles sont partout car elles permettent d'expliquer le monde, et de prévoir son évolution pour anticiper, si besoin.
08:54Faire l'impasse est scolairement suicidaire.
08:56Il faut accepter de passer beaucoup de temps à faire mout exercice pour saisir les tenants et aboutissants de cet outil très puissant, mais pas si compliqué que ça une fois que tu maîtrises avec vitesse et justesse sa technicité.
09:09Donc tu sais ce qu'il te reste à faire, cliquez sur le lien du TD en description, le visionner, puis faire les exercices que je te propose.
09:17L'atelier est désormais terminé.
09:20Tu as des questions ?
09:21Tu veux un complément d'information ?
09:24Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
09:26Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
09:33Le tutoriel de travaux dirigé intitulé FORGEMANHTAG 047, équation différentielle, ordre 1, est accessible, le lien est en description.
09:43Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
09:47A tout de suite.
09:48Tchuss !
09:56Sous-titrage Société Radio-Canada
10:01Sous-titrage Société Radio-Canada
