00:00Das arithmetische Mittel, auch Mittelwert genannt, ist eine der gebräuchlichsten Werten in vielen
00:05Alltagssituationen. In diesem Video schauen wir uns als erstes an, wie man das arithmetische
00:12Mittel in einfachen Situationen berechnet. Weiter geht es mit der Berechnung des gewichteten
00:18arithmetischen Mittels mit absoluter und relativer Häufigkeit, gefolgt von der Berechnung mit
00:24klassierten Daten. Zum Schluss schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem die Aussagekraft
00:30des arithmetischen Mittels an seine Grenzen stößt. Beginnen wir mit dem einfachen Fall,
00:38bei dem alle Werte exakt sind und die gleiche Gewichtung haben. Als Rohdaten nehmen wir 3,
00:456, 8, 1 und 2. Um den Mittelwert zu bestimmen, welcher mit einem überstrichenen x dargestellt
00:54wird, addieren wir alle Werte aus der Liste, und dividieren anschließend die Summe durch die
00:59Anzahl Elemente, also geteilt durch 5. Geteilt durch 5 ist das gleiche, wie wenn wir mal ein
01:06Fünftel rechnen, also können wir auch sagen, der Mittelwert ist ein Fünftel, mal die Summe
01:11der einzelnen Werte. In diesem Fall gibt das 4. Allgemein können wir also sagen, der Mittelwert
01:19ist 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal x1, plus x2, plus x3, und so weiter,
01:27bis plus xn. Die Summe können wir auch mit dem Summenzeichen darstellen, also addieren
01:33wir alle x i, wobei i, von 1, bis n, läuft. i ist der Laufindex, und ist eine natürliche
01:42Zahl, und n, steht für die Anzahl Werte. Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Wir
01:50haben hier die Körpergrößen von 20 Personen in Zentimeter, von denen wir den Mittelwert
01:55berechnen wollen. Wir nehmen die Formel, die wir vorhin gesehen haben, und setzen für
02:01n, den Wert 20 ein, also ist der Mittelwert, ein Zwanzigstel, mal die Summe der 20 Werte.
02:07Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir 173,95. Also beträgt die durchschnittliche Körpergröße
02:17173,95 Zentimeter. Machen wir weiter mit dem gewichteten arithmetischen Mittel. Wir nehmen
02:27als Rohdaten die Werte 4, 4, 7, 7 und 8. Beginnen wir mit der absoluten Häufigkeit. Ein paar Werte
02:37kommen mehrfach vor, also können wir uns dies zu Nutzen machen. Der Mittelwert ist wieder
02:43ein Fünftel, weil wir insgesamt 5 Werte haben, mal die Summe der einzelnen Werte.
02:484, kommt 2 mal vor, also haben wir 4, mal 2, dann 2 mal die 7, also plus 7, mal 2, und zum Schluss
02:57noch einmal die 8, also plus 8, mal 1. Ausgerechnet gibt das 6. Allgemein können wir nun sagen, wir
03:07rechnen 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal den ersten Wert, mal dessen Anzahl
03:13in 1, plus den zweiten Wert, mal dessen Anzahl in 2, und so weiter, bis mal xj, mal dessen
03:20Anzahl in j. j steht dabei für die Anzahl unterschiedlicher Werte, das ist im oberen
03:26Beispiel 3. Geschrieben mit dem Summenzeichen ist das 1, geteilt durch n, mal die Summe von
03:33i, gleich 1, bis j, von x i, mal n i. Machen wir weiter mit der relativen Häufigkeit. 2, von
03:435 Werten, sind 4, also ist die Gewichtung von 4, 2 Fünftel. Wir rechnen, 4, mal 2 Fünftel.
03:51Das gleiche gilt für 7, also addieren wir 7, mal 2 Fünftel. Und 8, ist nur einer von 5
04:00Werten, also addieren wir 8, mal 1 Fünftel. Wenn wir das ausrechnen, gibt das ebenfalls
04:066. Es spielt also keine Rolle, ob wir mit der absoluten, oder mit der relativen Häufigkeit
04:13rechnen. Achtet darauf, dass bei der relativen Häufigkeit davor kein 1, über n, steht. Wenn
04:21wir das Ganze wieder allgemein aufschreiben wollen, gibt das x1, mal die Häufigkeit, also
04:27h1, plus x2, mal h2, und so weiter, bis plus xj, mal hj. Wieder mit dem Summenzeichen dargestellt,
04:37gibt das die Summe von i, gleich 1, bis j, von xi, mal hi. Machen wir auch dazu ein Beispiel.
04:47Wir haben hier die Absenzen in Lektionen von 12 Lernenden während eines Semesters. Als erstes
04:53erstellen wir eine Häufigkeitstabelle. Die maximale Anzahl Absenzen ist 6, also brauchen
05:00wir 6 Zeilen. Dann zählen wir die Häufigkeit der einzelnen Absenzen mit einer Strichliste.
05:07Der erste Lernende hat 4 Absenzen, also machen wir bei 4 einen Strich. Der zweite hat eine,
05:15dann 3, und so weiter, bis wir alle 12 Werte eingetragen haben. In die nächste Spalte tragen
05:22wir die Anzahl Striche ein, und ganz unten die totale Anzahl, also 12. In die nächste Spalte
05:29kommt die relative Häufigkeit. Dazu rechnen wir die Anzahl durch die totale Anzahl. Für
05:37den ersten Wert ist das 2, geteilt durch 12, also 0,1667, beim zweiten ist das 1, geteilt
05:45durch 12, also 0,0833, und so weiter. Jetzt wollen wir den Mittelwert sowohl mit absoluter,
05:53als auch mit relativer Häufigkeit bestimmen. Mit der absoluten Häufigkeit ist der Mittelwert
05:591, geteilt durch die Anzahl Werte, in dem Fall 12, mal die Summe von i, gleich 1, bis 6,
06:06von jeweils der Anzahl Absenzen, mal die absolute Häufigkeit, wie diese Anzahl Absenzen vorkommt.
06:12Also rechnen wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte ni, und addieren
06:19diese 6 Produkte. Geteilt durch 12, gibt das insgesamt 3,5. Mit relativen Häufigkeiten ist
06:29der Mittelwert die Summe von 1, bis 6, von der Anzahl Absenzen, mal der relativen Häufigkeit,
06:35die diese vorkommt. Also rechnen wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte
06:42hi, und addieren diese 6 Produkte. Ausgerechnet gibt es auch in diesem Fall 3,5. Wir sehen also auch an
06:51diesem Beispiel, dass beide Rechenarten zum gleichen Resultat führen. Kommen wir nun zum arithmetischen
06:59Mittel von klassierten Daten. Das funktioniert ähnlich, wie beim gewichteten arithmetischen Mittel. Im
07:07wesentlichen ersetzen wir einfach die Werte x i durch die jeweilige Klassenmitte mi. Mit der
07:14absoluten Häufigkeit ist das also 1, geteilt durch n, mal die Klassenmitte m1, mal die Anzahl n1,
07:21plus m2, mal n2, und so weiter. Auch die Darstellung mit dem Summenzeichen sieht entsprechend so aus.
07:29Mit der relativen Häufigkeit werden einfach die Klassenmitten mit der relativen Häufigkeit multipliziert.
07:36Entsprechend so sieht es mit dem Summenzeichen aus. Machen wir auch dazu ein Beispiel. Wir haben hier
07:46in einer Tabelle klassierte Daten von Gewichten. Die erste Klasse reicht von 51 bis 58, die zweite
07:55von 58 bis 65, und so weiter. Wir brauchen jeweils die Klassenmitte, um den Mittelwert berechnen zu
08:03können. Bei der ersten Klasse ist das das untere Limit, plus das obere Limit, geteilt durch 2, also 51,
08:12plus 58, geteilt durch 2, das gibt 54,5. Bei der zweiten gibt es 61,5, und so weiter, bis wir alle
08:23Klassenmitten zusammen haben. Das arithmetische Mittel ist nun die Summe der jeweiligen Klassenmitten,
08:30mal die entsprechende relative Häufigkeit. Also multiplizieren wir die Spalte HI mit der Spalte
08:37MI und addieren anschließend die Produkte. Ausgerechnet gibt das 64,65. Also beträgt das
08:47durchschnittliche Körpergewicht 64,65 kg. Wichtig ist noch die Information, dass der Mittelwert von
08:56klassierten Daten meistens eine leichte Abweichung vom exakten Wert hat. Das liegt daran, dass die Werte
09:03durch das Klassieren jeweils von ihrem exakten Wert zur Klassenmitte verschoben werden. Zum Schluss schauen
09:11wir uns noch eine Beispielaufgabe an, bei der deutlich wird, dass die Aussagekraft des arithmetischen
09:17Mittels Grenzen hat. Wir wollen den Mittelwert der Löhne in einem Unternehmen berechnen. Dabei
09:24haben zehn Personen einen Lohn von 3.800 Franken und der Gruppenleiter einen solchen von 9.300 Franken.
09:32Der Mittelwert ist also ein Elftel, weil es elf Personen sind, mal die Summe der jeweiligen Löhne,
09:39mal die absolute Häufigkeit, also zehn, mal 3.800 Franken, plus einmal 9.300 Franken. Das gibt
09:49einen Mittelwert von 4.300 Franken. Das heißt, zehn von elf Angestellten verdienen deutlich weniger als
09:58der Durchschnitt. Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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