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Arithmetisches Mittel
Mathematik - EducaNova
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vor 6 Wochen
Arithmetisches Mittel von klassierten und nicht klassierten Daten
Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.
Kategorie
📚
Lernen
Transkript
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00:00
Das arithmetische Mittel, auch Mittelwert genannt, ist eine der gebräuchlichsten Werten in vielen
00:05
Alltagssituationen. In diesem Video schauen wir uns als erstes an, wie man das arithmetische
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Mittel in einfachen Situationen berechnet. Weiter geht es mit der Berechnung des gewichteten
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arithmetischen Mittels mit absoluter und relativer Häufigkeit, gefolgt von der Berechnung mit
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klassierten Daten. Zum Schluss schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem die Aussagekraft
00:30
des arithmetischen Mittels an seine Grenzen stößt. Beginnen wir mit dem einfachen Fall,
00:38
bei dem alle Werte exakt sind und die gleiche Gewichtung haben. Als Rohdaten nehmen wir 3,
00:45
6, 8, 1 und 2. Um den Mittelwert zu bestimmen, welcher mit einem überstrichenen x dargestellt
00:54
wird, addieren wir alle Werte aus der Liste, und dividieren anschließend die Summe durch die
00:59
Anzahl Elemente, also geteilt durch 5. Geteilt durch 5 ist das gleiche, wie wenn wir mal ein
01:06
Fünftel rechnen, also können wir auch sagen, der Mittelwert ist ein Fünftel, mal die Summe
01:11
der einzelnen Werte. In diesem Fall gibt das 4. Allgemein können wir also sagen, der Mittelwert
01:19
ist 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal x1, plus x2, plus x3, und so weiter,
01:27
bis plus xn. Die Summe können wir auch mit dem Summenzeichen darstellen, also addieren
01:33
wir alle x i, wobei i, von 1, bis n, läuft. i ist der Laufindex, und ist eine natürliche
01:42
Zahl, und n, steht für die Anzahl Werte. Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Wir
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haben hier die Körpergrößen von 20 Personen in Zentimeter, von denen wir den Mittelwert
01:55
berechnen wollen. Wir nehmen die Formel, die wir vorhin gesehen haben, und setzen für
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n, den Wert 20 ein, also ist der Mittelwert, ein Zwanzigstel, mal die Summe der 20 Werte.
02:07
Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir 173,95. Also beträgt die durchschnittliche Körpergröße
02:17
173,95 Zentimeter. Machen wir weiter mit dem gewichteten arithmetischen Mittel. Wir nehmen
02:27
als Rohdaten die Werte 4, 4, 7, 7 und 8. Beginnen wir mit der absoluten Häufigkeit. Ein paar Werte
02:37
kommen mehrfach vor, also können wir uns dies zu Nutzen machen. Der Mittelwert ist wieder
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ein Fünftel, weil wir insgesamt 5 Werte haben, mal die Summe der einzelnen Werte.
02:48
4, kommt 2 mal vor, also haben wir 4, mal 2, dann 2 mal die 7, also plus 7, mal 2, und zum Schluss
02:57
noch einmal die 8, also plus 8, mal 1. Ausgerechnet gibt das 6. Allgemein können wir nun sagen, wir
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rechnen 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal den ersten Wert, mal dessen Anzahl
03:13
in 1, plus den zweiten Wert, mal dessen Anzahl in 2, und so weiter, bis mal xj, mal dessen
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Anzahl in j. j steht dabei für die Anzahl unterschiedlicher Werte, das ist im oberen
03:26
Beispiel 3. Geschrieben mit dem Summenzeichen ist das 1, geteilt durch n, mal die Summe von
03:33
i, gleich 1, bis j, von x i, mal n i. Machen wir weiter mit der relativen Häufigkeit. 2, von
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5 Werten, sind 4, also ist die Gewichtung von 4, 2 Fünftel. Wir rechnen, 4, mal 2 Fünftel.
03:51
Das gleiche gilt für 7, also addieren wir 7, mal 2 Fünftel. Und 8, ist nur einer von 5
04:00
Werten, also addieren wir 8, mal 1 Fünftel. Wenn wir das ausrechnen, gibt das ebenfalls
04:06
6. Es spielt also keine Rolle, ob wir mit der absoluten, oder mit der relativen Häufigkeit
04:13
rechnen. Achtet darauf, dass bei der relativen Häufigkeit davor kein 1, über n, steht. Wenn
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wir das Ganze wieder allgemein aufschreiben wollen, gibt das x1, mal die Häufigkeit, also
04:27
h1, plus x2, mal h2, und so weiter, bis plus xj, mal hj. Wieder mit dem Summenzeichen dargestellt,
04:37
gibt das die Summe von i, gleich 1, bis j, von xi, mal hi. Machen wir auch dazu ein Beispiel.
04:47
Wir haben hier die Absenzen in Lektionen von 12 Lernenden während eines Semesters. Als erstes
04:53
erstellen wir eine Häufigkeitstabelle. Die maximale Anzahl Absenzen ist 6, also brauchen
05:00
wir 6 Zeilen. Dann zählen wir die Häufigkeit der einzelnen Absenzen mit einer Strichliste.
05:07
Der erste Lernende hat 4 Absenzen, also machen wir bei 4 einen Strich. Der zweite hat eine,
05:15
dann 3, und so weiter, bis wir alle 12 Werte eingetragen haben. In die nächste Spalte tragen
05:22
wir die Anzahl Striche ein, und ganz unten die totale Anzahl, also 12. In die nächste Spalte
05:29
kommt die relative Häufigkeit. Dazu rechnen wir die Anzahl durch die totale Anzahl. Für
05:37
den ersten Wert ist das 2, geteilt durch 12, also 0,1667, beim zweiten ist das 1, geteilt
05:45
durch 12, also 0,0833, und so weiter. Jetzt wollen wir den Mittelwert sowohl mit absoluter,
05:53
als auch mit relativer Häufigkeit bestimmen. Mit der absoluten Häufigkeit ist der Mittelwert
05:59
1, geteilt durch die Anzahl Werte, in dem Fall 12, mal die Summe von i, gleich 1, bis 6,
06:06
von jeweils der Anzahl Absenzen, mal die absolute Häufigkeit, wie diese Anzahl Absenzen vorkommt.
06:12
Also rechnen wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte ni, und addieren
06:19
diese 6 Produkte. Geteilt durch 12, gibt das insgesamt 3,5. Mit relativen Häufigkeiten ist
06:29
der Mittelwert die Summe von 1, bis 6, von der Anzahl Absenzen, mal der relativen Häufigkeit,
06:35
die diese vorkommt. Also rechnen wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte
06:42
hi, und addieren diese 6 Produkte. Ausgerechnet gibt es auch in diesem Fall 3,5. Wir sehen also auch an
06:51
diesem Beispiel, dass beide Rechenarten zum gleichen Resultat führen. Kommen wir nun zum arithmetischen
06:59
Mittel von klassierten Daten. Das funktioniert ähnlich, wie beim gewichteten arithmetischen Mittel. Im
07:07
wesentlichen ersetzen wir einfach die Werte x i durch die jeweilige Klassenmitte mi. Mit der
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absoluten Häufigkeit ist das also 1, geteilt durch n, mal die Klassenmitte m1, mal die Anzahl n1,
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plus m2, mal n2, und so weiter. Auch die Darstellung mit dem Summenzeichen sieht entsprechend so aus.
07:29
Mit der relativen Häufigkeit werden einfach die Klassenmitten mit der relativen Häufigkeit multipliziert.
07:36
Entsprechend so sieht es mit dem Summenzeichen aus. Machen wir auch dazu ein Beispiel. Wir haben hier
07:46
in einer Tabelle klassierte Daten von Gewichten. Die erste Klasse reicht von 51 bis 58, die zweite
07:55
von 58 bis 65, und so weiter. Wir brauchen jeweils die Klassenmitte, um den Mittelwert berechnen zu
08:03
können. Bei der ersten Klasse ist das das untere Limit, plus das obere Limit, geteilt durch 2, also 51,
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plus 58, geteilt durch 2, das gibt 54,5. Bei der zweiten gibt es 61,5, und so weiter, bis wir alle
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Klassenmitten zusammen haben. Das arithmetische Mittel ist nun die Summe der jeweiligen Klassenmitten,
08:30
mal die entsprechende relative Häufigkeit. Also multiplizieren wir die Spalte HI mit der Spalte
08:37
MI und addieren anschließend die Produkte. Ausgerechnet gibt das 64,65. Also beträgt das
08:47
durchschnittliche Körpergewicht 64,65 kg. Wichtig ist noch die Information, dass der Mittelwert von
08:56
klassierten Daten meistens eine leichte Abweichung vom exakten Wert hat. Das liegt daran, dass die Werte
09:03
durch das Klassieren jeweils von ihrem exakten Wert zur Klassenmitte verschoben werden. Zum Schluss schauen
09:11
wir uns noch eine Beispielaufgabe an, bei der deutlich wird, dass die Aussagekraft des arithmetischen
09:17
Mittels Grenzen hat. Wir wollen den Mittelwert der Löhne in einem Unternehmen berechnen. Dabei
09:24
haben zehn Personen einen Lohn von 3.800 Franken und der Gruppenleiter einen solchen von 9.300 Franken.
09:32
Der Mittelwert ist also ein Elftel, weil es elf Personen sind, mal die Summe der jeweiligen Löhne,
09:39
mal die absolute Häufigkeit, also zehn, mal 3.800 Franken, plus einmal 9.300 Franken. Das gibt
09:49
einen Mittelwert von 4.300 Franken. Das heißt, zehn von elf Angestellten verdienen deutlich weniger als
09:58
der Durchschnitt. Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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