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Apostila de Geometria Espacial I em https://gilsilva10.wixsite.com/matematica/apostilas-26/apostilas
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AprendizadoTranscrição
00:00Então, a gente vai continuar o estudo de geometria espacial, prismas.
00:04A gente estava estudando prismas, e aí nós vimos os vários prismas, prisma quadrangular, prisma triangular,
00:13estudamos o que é base de prisma, as faces laterais do prisma, calcular a área da base, a área lateral.
00:22Tudo isso já estudamos em prismas.
00:25Hoje, nós vamos estudar prismas especiais.
00:27Quais são, professor, esses prismas especiais?
00:31É o paralelipípedo e o cubo.
00:34São dois prismas especiais.
00:37O paralelipípedo é todo prisma em que as bases são paralelogramos.
00:42Então, pelo desenho, dá para ver que as bases e as faces laterais, olha.
00:47Uma face lateral dessa é um paralelogramo.
00:51E aí, de novo, remete à geometria plana, saber o que é um paralelogramo.
00:55É uma espécie de retângulo torto.
00:59Olha, estou desenhando aqui, eu estou riscando.
01:02Uma face lateral é um paralelogramo.
01:06Então, as faces, as bases de um paralelipípedo é um paralelogramo.
01:14O que eu estava dizendo aí, eu acho que dá para perceber.
01:16No caso do paralelipípedo reto retângulo, as faces são retangulares.
01:25Note a diferença desse aqui, olha.
01:28Para esse aqui, olha.
01:29Tem diferença, né?
01:30Esse aqui é um paralelipípedo, que as faces são paralelogramos.
01:35E esse aqui é um paralelipípedo, que as faces, olha.
01:38Uma face é um retângulo, olha.
01:42Uma face dessa aqui é um retângulo, olha.
01:46Aqui, olha.
01:47Um retângulo.
01:48E aí, esse paralelipípedo, que as faces são retângulos,
01:53e fica muito evidente por causa do ângulo reto, bem aqui, olha.
01:57Ângulo reto, então pronto.
01:58Não tem dúvida, de fato, são retângulos.
02:01E esse paralelipípedo, que as faces são retângulos,
02:04ele recebe o nome de paralelipípedo reto retângulo.
02:09Retângulo reto, porque ele não é inclinado, ele não é oblíquo.
02:14Olha o ângulo de 90 graus aqui, olha.
02:16Retângulo, porque a sua face são retângulos.
02:20Então, esse prisma é chamado prisma reto retângulo.
02:26É o mais comum para nós, são as caixas.
02:28As caixas, de um modo geral, são paralelipípedos.
02:32E aí, já falando em exemplos,
02:35aí, olha, uma caixa de remédio.
02:36É um exemplo de paralelipípedo no nosso cotidiano.
02:40As caixinhas de medicamento, de remédio, de um modo geral,
02:44como essa aí, são paralelipípedos.
02:46Reto retângulo, por sinal.
02:48O ângulo aqui, olha, é de 90 graus.
02:51O ângulo aqui é de 90 graus.
02:54Exemplo de paralelipípedos em pavimentações.
02:57Essas pavimentações, que, como paralelipípedos, né?
03:01Esse tipo de pedra é chamado paralelipípedo, a rigor.
03:04Matematicamente, são paralelipípedos.
03:08A rigor, são chamados paralelipípedos.
03:11As pedras são chamadas paralelipípedos.
03:13Elas servem para pavimentação.
03:16As pedras, olha, os formatos dela é muito próximo aqui, ó.
03:20De um mesmo paralelipípedo.
03:22Daí, recebe esse nome.
03:25É o formato geométrico delas.
03:28Olha só.
03:30Pavimentações.
03:31Enfim, tirando uma pedrinha dessa, tem o formato de um paralelipípedo, tá?
03:35Outro exemplo de paralelipípedo.
03:39Olha só.
03:40O Museu do Masco, em São Paulo.
03:42Essa grande caixa.
03:43Eu já falei aqui em uma outra aula sobre esse museu.
03:46A geometria que vem aí.
03:48Essa grande caixa suspensa, né?
03:51Dependurada, digamos assim.
03:52É um prisma.
03:54E é um prisma que recebe um nome especial.
03:57É o paralelipípedo.
03:59Grande paralelipípedo reto retângulo.
04:02Mais próximo, olha.
04:08A noite, a visão da Avenida Paulista.
04:11E esse grande paralelipípedo aqui, que é o Museu do Masco.
04:16Então, vejam.
04:17Os arquitetos usam muito de geometria, né?
04:19Eu acho importante contextualizar.
04:21Porque vocês estão terminando o ensino médio.
04:23Muitos de vocês vão fazer o Enem.
04:25Vão enveredar para o ensino superior.
04:27E aí, vocês têm que saber essas coisas.
04:29O arquiteto, ele mexe com muita matemática.
04:31Engenheiro civil, mestre com muita matemática.
04:33Eles trabalham, é a ferramenta de trabalho deles, a matemática.
04:37É importante isso, pessoal.
04:38Principalmente para vocês de terceiro ano.
04:40Por quê?
04:40Para vocês saberem escolher, não escolher errado.
04:43E descobrir que a engenharia civil tem muita matemática só lá dentro da universidade.
04:48E, de repente, não era o que vocês pensavam.
04:51E depois ter que sair, fazer o Enem de novo, outro ano, para fazer outro curso, enfim.
04:57Então, vocês têm que saber do que se trata.
05:01Pelo menos do que envolve matemática.
05:04Os cursos que envolvem matemática.
05:05Olha só.
05:08O máximo fica no centro de São Paulo.
05:12Mas isso aqui, olha.
05:14Na zona leste de São Paulo.
05:15Na periferia de São Paulo.
05:17Olha.
05:17Os condomínios.
05:19Tudo paralelipípedos aqui.
05:20Tudo paralelipípedos.
05:22Então, não é só no centro de São Paulo, nos prédios do centro, prédios de museus,
05:29de empresas, etc.
05:31Não.
05:32Na periferia também.
05:33A periferia vai se verticalizando.
05:35Olha.
05:36Isso aqui tudo é condomínio.
05:38É na periferia de São Paulo.
05:40E a periferia vai se verticalizando.
05:43Olha só.
05:44Cheio de paralelipípedos.
05:46Lá para trás aqui.
05:48Tudo paralelipípedos.
05:50Olha.
05:50Bem aqui para trás.
05:51Então, vejam.
05:54A gente está cercado de matemática.
05:56Mesmo que mora na periferia, olha para o lado, vê um prédio que é um paralelipípedo.
06:00E isso é matemática.
06:01Está cercado de matemática.
06:04Aqui em Belém, o Hospital Abelardo Santos é um grande paralelipípedo.
06:08Olha aí.
06:09Na periferia de Belém também.
06:12Aqui para trás, aqui no fundo, tem prismas.
06:14Então, como eu falei para vocês, a periferia também vai se verticalizando.
06:18Então, a matemática está no nosso cotidiano, nas edificações urbanas.
06:23Estamos cercados de matemática.
06:25E aí, vem as fórmulas para calcular área e volume.
06:31Uma diferença de área e volume de um prisma é a seguinte.
06:35Olha.
06:35Essa caixa aí.
06:36Eu quero embalar essa caixa.
06:38Eu quero colocar um revestimento nessa caixa.
06:42Colocar um revestimento nessa caixa quer dizer por fora da caixa.
06:45Nas superfícies da caixa.
06:47Então, eu quero saber quanto eu vou gastar de material para revestir as superfícies dessa caixa.
06:54Vou embalar.
06:55Sei lá.
06:56Suponha uma caixa.
06:57Uma cesta.
06:58Só para contextualizar.
06:59Uma cesta.
07:00E eu quero envolver isso com um papel especial.
07:04Um papel de Natal.
07:05Quanto eu vou gastar para revestir essa caixa?
07:09Aí, você pode dizer.
07:10Não, professor.
07:10Mas ninguém faz esse cálculo.
07:12Você vai lá, compra um papel e embulha.
07:14Imagina uma indústria.
07:15Vai trabalhar numa indústria.
07:16E a indústria tem centenas, milhares dessa caixa para embalar.
07:21E a indústria precisa comprar o material para revertir essa caixa.
07:25Para cobrir essa caixa.
07:26Superfície dessa caixa.
07:28Nós compramos um papel para cobrir uma caixa.
07:32Para dar de presente para alguém.
07:34Sei lá.
07:34Uma caixa de sapato.
07:36Por exemplo.
07:36Mas uma indústria, ela vai revestir.
07:39Ela vai cobrir a superfície de uma caixa.
07:41De centenas ou milhares dessa caixa.
07:43Então, tem que ter um cálculo antes.
07:44Da medida de uma caixa.
07:46E multiplicar pela quantidade de caixas.
07:50Tá.
07:50Mas o fato é o seguinte.
07:51Se eu vou revertir essa caixa.
07:53Eu vou cobrir com uma embalagem especial.
07:56As superfícies dessa caixa.
07:58Então, isso é área total.
08:00Eu estou calculando a área dessa caixa.
08:02A área das superfícies.
08:05Das faces.
08:06Das bases da caixa.
08:08Porque eu vou cobrir essa caixa.
08:10Eu vou revestir essa caixa.
08:11Então, trata-se de área total.
08:14A área total, vejam.
08:16É por fora da caixa.
08:18Por fora da caixa.
08:19Por fora da caixa.
08:20Área total.
08:21Trata-se de área total.
08:23Agora.
08:24Outra situação.
08:26Eu tenho uma caixa.
08:27E eu vou encher de um produto aqui dentro.
08:31Encher de um líquido.
08:33Dentro da caixa.
08:35Quanto cabe dentro dessa caixa?
08:37Líquido.
08:38Eu vou encher.
08:39Eu vou encher, sei lá.
08:40Eu vou encher de água.
08:41Pronto.
08:42Eu vou encher de água.
08:43Quanto cabe aí dentro?
08:44Quanto cabe dentro da caixa?
08:47Quanto cabe dentro da caixa?
08:49Porque eu vou colocar um determinado produto aí dentro.
08:52Vou colocar água.
08:53Vou colocar alguma coisa.
08:54Eu quero saber qual é a capacidade dessa caixa.
08:57Nesse caso, trata-se de volume.
09:01Então, veja a diferença de área total para volume.
09:04Mede em coisas diferentes.
09:06Área total.
09:07Mede a superfície da caixa.
09:09As faces da caixa.
09:11As bases da caixa.
09:13Por algum motivo.
09:14Eu vou cobrir essa caixa com uma embalagem.
09:17Quanto de embalagem eu vou gastar?
09:19Então, tem que calcular a área total.
09:22Agora.
09:23Eu vou colocar um produto dentro dessa caixa.
09:26E aí, eu quero saber quanto cabe de produto dentro da caixa.
09:29Bom, dentro da caixa é volume.
09:33Então, eu tenho que saber o volume.
09:35Então, tem diferença de área total para volume.
09:38Área total por fora da caixa.
09:41Pelas superfícies.
09:43Volume dentro da caixa.
09:45Dentro da caixa.
09:46Quanto cabe dentro da caixa.
09:47Essa é a diferença.
09:50E aí, olha só.
09:50Aqui aparecem duas formuletas.
09:53De área e de volume.
09:54A área total está aqui.
09:56Está nessa caixa aqui.
09:58Área total.
09:59Dois vezes.
10:00AB.
10:00Dois vezes.
10:01AC.
10:02Dois vezes.
10:02BC.
10:04E aí, a gente vai ver o que é A.
10:06O que é B.
10:07E o que é C.
10:08Olha só.
10:09A é essa dimensão aqui da caixa.
10:11Do paralelopípedo.
10:13Olha.
10:14Na base aqui.
10:15É o comprimento da base.
10:18B é essa outra dimensão aqui.
10:22É a largura da base da caixa.
10:24É o B.
10:25E C é a altura da caixa aqui.
10:29C está aqui.
10:31Altura.
10:32Então, essas são as dimensões da caixa.
10:34A, B e C.
10:37Aí, diz assim.
10:392AB.
10:412AB.
10:42AB, pessoal.
10:45AB é a base dessa caixa.
10:47É isso aqui.
10:48A, olha.
10:49A aqui, ó.
10:50A.
10:52B, ó.
10:53É a base dessa caixa.
10:55Digamos assim.
10:56É o fundo da caixa.
10:57Pronto.
10:58A caixa tem fundo.
10:59É o fundo da caixa.
11:00É AB.
11:01Agora, por que 2 vezes AB?
11:032 vezes AB.
11:06Vocês sabem por quê?
11:08Porque é a parte de baixo e a parte de cima.
11:13São duas bases.
11:15Prismas têm duas bases.
11:17A gente já estudou isso.
11:17Duas bases.
11:18A base de baixo e a base de cima.
11:22Então, numa caixa, como se fosse o fundo e a tampa da caixa.
11:26Se é um paralelipípedo perfeito, o fundo tem as mesmas medidas da tampa da caixa.
11:32O fundo e a tampa têm as mesmas medidas.
11:33Se fosse uma sala de aula, uma sala de aula perfeita, as medidas perfeitas, um paralelipípedo perfeito, seria o piso da sala de aula e o teto da sala de aula.
11:45Seria os dois.
11:46Seria os dois.
11:47Então, o prisma tem duas bases.
11:50A parte de baixo e a parte de cima.
11:52Daí, esse 2 aqui.
11:542 vezes AB.
11:552 vezes AB é porque são duas bases.
11:58Beleza.
12:00Então, está explicado por que o 2 vezes AB.
12:03E olha só.
12:03Bem aqui tem, olha, 2 vezes a área da base.
12:07Ah, então pronto.
12:09Esse 2 vezes AB nada mais é que 2 vezes a área da base.
12:13Nada mais é que 2 vezes a área da base.
12:15Ah, é a mesma fórmula da área total de prisma.
12:19É a mesma fórmula.
12:22AB é a base.
12:242 vezes AB porque são duas bases.
12:27Que é a mesma coisa da fórmula de prisma.
12:292 vezes a área da base.
12:31Aqui, olha.
12:312 vezes a área da base.
12:32É a mesma coisa.
12:34É a mesma coisa.
12:35É a mesma fórmula.
12:37Só trocaram as letras.
12:39Só trocaram as letras.
12:40Lá era 2 vezes a área da base na fórmula do prisma.
12:43E na fórmula da área total do parelepípedo ficou 2 vezes AB.
12:48Mas eu estou mostrando para vocês que trata-se da mesma coisa.
12:52Agora, 2 vezes AC.
12:55O que é o AC?
12:57O A está bem aqui.
12:59Vou arriscar aqui.
13:00Vou arriscar até com uma outra cor aqui.
13:03AC agora.
13:04Bora ver o que é o AC.
13:06Já falamos do fundo e da tampa da caixa.
13:08Ok.
13:09É o AB.
13:102 vezes AB.
13:11Agora esse AC.
13:13Está aqui o A.
13:15Estou arriscando de azul aqui.
13:17E o C é esse aqui.
13:20O C é esse aqui.
13:21Mas vale para cá também.
13:23Vale para cá também o C.
13:26O azul não destacou muito.
13:28Vou fazer assim.
13:28O C é assim.
13:29Está aqui.
13:30Isso aqui é o C.
13:32E isso aqui é o A.
13:35Então pronto.
13:36O AC é a frente da caixa.
13:38Essa frente da caixa.
13:39Numa sala de aula.
13:42Seria aquela parede mais comprida.
13:44Aquela paredona comprida.
13:46Que tem aluno que vai se sentar bem ao lado dela.
13:49Aí a pergunta para vocês.
13:51Por que 2 vezes AC?
13:53De novo.
13:54Por que 2 vezes AC?
13:56Exatamente.
13:57Porque são 2 faces AC.
13:59Essa face da frente aqui.
14:02E essa face lá por trás.
14:05Lá por trás.
14:062 vezes AC.
14:07São 2 faces AC.
14:09No caso em uma sala de aula.
14:11Seriam as 2 paredes compridas.
14:13Diga-se de passagem.
14:14Elas têm que ter as mesmas medidas.
14:17E elas têm que ser paralelas.
14:18Bom.
14:20Resta 2 vezes BC.
14:22O que é o BC?
14:24Bom.
14:24Só resta essa face aqui.
14:25Essa face aqui.
14:26BC.
14:27Que em uma sala de aula.
14:29Seria onde fica a lousa.
14:31Aquelas paredinhas da lousa.
14:33E do fundo da sala.
14:35É o BC.
14:37Eu acho que agora já fica muito fácil.
14:382 vezes BC.
14:40Porque são 2 paredes BC.
14:432 faces BC.
14:45Onde fica a lousa.
14:46Eu já até falei.
14:47Onde fica a lousa.
14:47E a que fica no fundo da sala.
14:50Então 2 vezes BC.
14:51Eu acho que fica muito fácil assim.
14:53Entender assim.
14:55O que é que eu estou tentando dizer?
14:57Que dá para deduzir essa fórmula.
14:59Dá para deduzir.
15:00Não precisa tu decorar isso.
15:02Tem que lembrar.
15:03Uma sala de aula é um paraleléptido.
15:05Uma sala de aula.
15:06Tem piso e teto.
15:072 vezes AB.
15:09Tem as paredes compridas.
15:112 vezes AC.
15:12E tem as paredes pequeninas.
15:142 vezes BC.
15:14Pronto.
15:15Nunca mais esquece disso.
15:16Nunca mais esquece disso.
15:18E aí tu consegue lembrar.
15:20Pode não lembrar essa fórmula.
15:22Mas tu consegue deduzir ela facilmente.
15:23Numa prova do ENEM e etc.
15:25E consegue lembrar disso aí.
15:28Detalhe.
15:292 vezes AB.
15:30Nada mais é que 2 vezes a área da base.
15:32Já falei isso.
15:33E AC e BC.
15:35São as paredes laterais.
15:372 vezes AC.
15:382 vezes BC.
15:39Que é justamente a área lateral.
15:422 vezes AC mais 2 vezes BC.
15:45É a área lateral.
15:48Então essas fórmulas são as mesmas na verdade.
15:51Tem aluno que não lembra dessa fórmula do paraleléptido.
15:54Essa aqui.
15:55Não lembra dela.
15:56E ele utiliza essa mesma aqui.
15:58Área total.
15:59É a área lateral.
16:00Mas 2 vezes a área da base.
16:01Dá o mesmo resultado.
16:03Não tem problema.
16:04Pode dar.
16:04Tá bom?
16:07Agora o volume.
16:09O volume.
16:10Olha.
16:10A vezes B vezes C.
16:12Aqui.
16:13O volume.
16:15É o volume de prisma.
16:16É a área da base vezes altura.
16:18Nós vimos isso em prisma.
16:21Está também aqui.
16:22Área da base vezes altura.
16:25Base desse prisma.
16:27É AB.
16:28Aqui.
16:29As medidas.
16:29As dimensões AB.
16:32Aqui.
16:33No lado aqui.
16:34AA.
16:34Da base.
16:36O outro lado.
16:37Da base B.
16:38Ah.
16:39Então a base é A vezes B.
16:40Professor.
16:41Porque trata-se de um retângulo.
16:43A vezes B.
16:44É.
16:45Isso é a base.
16:46Tá.
16:46Então a área da base.
16:48A área da base.
16:49É o A vezes B.
16:51Aqui.
16:51É o A vezes B.
16:53E a altura.
16:55A altura.
16:56É esse C aqui.
16:57A altura é o C aqui.
16:59Então no lugar do H.
17:01Põe o C.
17:02Ó.
17:02Põe o C.
17:03A também é a mesma fórmula.
17:06Volume de parede epípedo.
17:07A vezes B vezes C.
17:09É a mesma fórmula do volume de prisma.
17:12Prisma qualquer.
17:13Área da base vezes a altura.
17:14É a mesma fórmula.
17:16É a mesma fórmula.
17:17Isso.
17:17De novo eu estou tentando mostrar.
17:20Professor.
17:20Então por que eles ficam inventando outras fórmulas?
17:22Não sei.
17:23Não sei por quê.
17:24Nem precisava.
17:26Tá.
17:26Nem precisava.
17:27De novo.
17:27Tem aluno que não lembra dessa fórmula.
17:29Olha.
17:31E ele utiliza essa aqui.
17:32E dá certo do mesmo jeito.
17:35Não está errado não.
17:36Porque parede epípedo é prisma.
17:39Então tu pode usar a fórmula da área total.
17:42Área lateral mais 2 vezes a área da base.
17:44Ou essa fórmula aqui.
17:46Área total 2 vezes AB.
17:47Mais 2 vezes AC.
17:49Mais 2 vezes BC.
17:50E no volume tu pode usar a fórmula do volume de prisma.
17:55Área da base vezes a altura.
17:56Ou tu pode usar essa aqui.
17:59Volume igual a vezes B vezes C.
18:01Que é a mesma coisa.
18:03AB é a área da base.
18:05C é a altura.
18:07Só trocaram as letras.
18:09Só trocaram as letras.
18:10Pode dizer que é uma outra fórmula.
18:12E não é outra fórmula.
18:13Não é.
18:14É a mesma fórmula.
18:15Tá bom?
18:16É isso que eu estou tentando mostrar para vocês.
18:18Eu falo isso desde geometria plana.
18:20E eles trocam as letras.
18:22E aí dá a impressão que é um monte de fórmula.
18:24Não é um monte de fórmula.
18:25É a mesma fórmula.
18:26Eu falei lá no início de geometria espacial.
18:28E geometria espacial tem poucas fórmulas.
18:31Tem essa fórmula da área total.
18:33Tem essa fórmula do volume aqui.
18:35E mais alguma outra fórmula lá para o final.
18:38E esfera.
18:39Lá para o finalzinho.
18:40Volume de área de esfera.
18:43Pessoal.
18:43Acabou.
18:44E essas aqui, professor?
18:45Volume A vezes B vezes C.
18:47Pois é.
18:47Eu estou mostrando que é a mesma dessa.
18:49Essa fórmula não é uma fórmula nova.
18:51É a mesma área da base vezes a altura.
18:54Só mudaram as letras.
18:57Tá bom?
18:57E essa aqui é a mesma dessa aqui.
19:00Da área total.
19:02Então, nem precisava dessas novas fórmulas aí.
19:05Tá bom?
19:06Beleza.
19:08O cubo.
19:09Vamos ver o cubo.
19:10O cubo é um paralepípedo.
19:13Só que o cubo tem arestas todas iguais.
19:17Aqui no paralepípedo, propriamente dito, ó.
19:21Quando é posto A, B e C, em outras palavras, ele está dizendo, olha.
19:24A é uma medida diferente de B, que é uma medida diferente de C.
19:29A, B e C são diferentes.
19:30Não são iguais, não.
19:31Agora, no caso do cubo, olha.
19:35Medidas, né?
19:35Dimensões.
19:36A, A, bem aqui, ó.
19:38A, bem aqui, ó.
19:40E A, bem aqui, ó.
19:42Tudo A.
19:43Então, as dimensões são todas iguais.
19:47Tudo aí é a mesma medida.
19:49A, A e A.
19:51Tá?
19:51Então, isso é o cubo.
19:53É um paralepípedo, só que com dimensões iguais.
19:57Tudo A.
19:57Tá bom?
20:00Exemplos do cotidiano aí, ó.
20:02De cubo.
20:03Esse brinquedinho é chamado cubo mágico.
20:07Esse outro brinquedinho aqui, ó.
20:08Formato cúbico.
20:11O dado é exemplo de cubo.
20:13Então, vejam.
20:14De novo, a gente está cercado de prismas no nosso cotidiano e cubos.
20:19Prismas especiais, como o paralepípedos, eu já mostrei.
20:22E também cubos.
20:24Esses objetos são cúbicos.
20:25E aí, as fórmulas.
20:28Olha só.
20:29O cubo, as medidas são tudo A.
20:32Tudo A.
20:33Então, uma pergunta para vocês.
20:35Que figurinha é essa aqui de uma face, ó?
20:39Que figura é essa aqui?
20:40Figura plana.
20:41Que figura é uma face aqui, ó?
20:44Uma face do cubo.
20:46Já que tudo é A.
20:48Tudo é A.
20:50Aqui é A.
20:52Aqui é A.
20:53Um quadrado?
20:54É um quadrado.
20:55Perfeito.
20:56É um quadrado.
20:57Se é tudo igual, um retângulo, né?
21:00Que tem lados iguais, ele é chamado quadrado.
21:03Então, é um quadrado.
21:05Beleza.
21:05Perfeito.
21:06Agora, outra pergunta.
21:08Quantas faces tem um cubo?
21:11Uma face é um quadrado.
21:13Agora, quantas faces ao todo tem um cubo?
21:17Ó, bases?
21:18Tem duas, ó.
21:19Uma base aqui, ó.
21:21Aqui, né?
21:22O fundo da caixa.
21:23E a tampa da caixa.
21:26Então, só aí, foram duas.
21:28Mas acabou...
21:29São seis?
21:30São seis.
21:32As bases são duas.
21:35A frente da caixa aqui, ó.
21:37A frente da caixa.
21:38E por trás da caixa aqui, ó.
21:40Mais duas.
21:42Quatro.
21:42E as laterais aqui, ó.
21:45Essa lateral aqui, ó.
21:46E essa lateral aqui, ó.
21:49As laterais da caixa.
21:51Mais duas.
21:53Seis.
21:54Seis faces tem um cubo.
21:58Então, professor, se eu for cobrir isso com papel de presente,
22:00vou ter que cobrir essas seis faces.
22:02Sim, claro, né?
22:03Você vai ter que cobrir toda a caixa.
22:05Você vai cobrir essas seis faces.
22:07E cada face dessa é um quadrado.
22:08No caso do cubo.
22:10Então, olha só aqui.
22:11A área total de cubo.
22:13Olha aqui o seis, olha.
22:14Seis vezes a área de um quadrado.
22:17Ah, não.
22:18Porque cada face é um quadrado.
22:21E aí, a área de quadrado, olha.
22:23A vezes A, tá?
22:25Ou A ao quadrado aqui, ó.
22:27Professor, mas quando o senhor falou de área de quadrado,
22:30o senhor não disse que era A vezes A.
22:31Ele disse que era L vezes L.
22:33É, pessoal.
22:34É a mesma coisa, cara.
22:35Eu falei que iam trocar as letras, ó.
22:38A gente aprendeu que a área de quadrado era L vezes L.
22:42Ou L ao quadrado.
22:45A área é igual a L ao quadrado.
22:48L ao quadrado.
22:49Porque L vezes L é L ao quadrado.
22:51Mesmo.
22:52Ou L ao quadrado é L vezes L.
22:54Pois é, mas só mudaram a letra.
22:56A área é L vezes L.
22:58E aqui botaram que a área é seis vezes a área do quadrado.
23:01E aqui chamaram a área do quadrado de A vezes A.
23:04Só mudaram a letra.
23:05Tiraram o L e botaram o A.
23:06Ou seis vezes A ao quadrado.
23:10O que a gente chamava de L ao quadrado.
23:12Virou A ao quadrado.
23:14Por que mudaram a letra?
23:16Por causa que, acho que é a diaresta aqui, ó.
23:19A diaresta.
23:20Em geometria espacial, esses lados, é chamado diaresta.
23:24Então, acho que é por isso.
23:26Mas é o mesmo raciocínio.
23:27É quadrado.
23:29L vezes L.
23:29Ou A vezes A.
23:31L ao quadrado.
23:32Ou A ao quadrado.
23:34São as mesmas coisas.
23:35Seis, por que se seis, professor?
23:37Porque são seis faces.
23:39O cubo tem seis faces.
23:41É por isso.
23:42Então, seis vezes A ao quadrado.
23:44Então, vejam.
23:45De novo, dá para deduzir essa fórmula.
23:47É pura geometria plana isso aí.
23:49Você tem que lembrar que um cubo tem seis faces.
23:52As bases, embaixo e em cima.
23:55A frente e a parte de trás.
23:58E as laterais.
24:00Então, dois mais dois mais dois.
24:03Seis.
24:04Seis faces.
24:05As faces são quadrados.
24:07Seis quadrados.
24:08Seis L ao quadrado.
24:09Ou seis A ao quadrado.
24:11Mesma coisa.
24:12Então, veja.
24:13Tu consegue lembrar isso.
24:14Facilmente.
24:15Tu consegue lembrar.
24:16É mais fácil tu lembrar dessa forma, pela teoria, do que tu tenta memorizar isso aqui.
24:23Memorizar isso aí.
24:24E para quem vai fazer ENEM, não é legal memorizar.
24:27Porque o ENEM, assim como está ali seis A ao quadrado, o ENEM pode mudar isso.
24:31Pode botar um N, pode botar um N aí.
24:34O ENEM faz isso.
24:35Então, é bom não subir para lá em fórmula para fazer a prova do ENEM.
24:39O volume.
24:41O volume é dentro, né?
24:44Eu já expliquei isso.
24:45A área por fora.
24:46Quero revestir com papel.
24:47Então, é a área total.
24:48Esse objeto.
24:51Agora, eu quero saber quanto cabe dentro.
24:53De água.
24:54Quanto cabe de ar.
24:55Quanto cabe de qualquer coisa.
24:57Então, um produto que eu vou botar aí dentro.
24:59Aí, nesse caso, trata-se de volume.
25:02E volume de prisma é a área da base vezes altura.
25:05Até aqui, ó.
25:06Aí, a área da base.
25:08A base é A.
25:09Tudo é A, ó.
25:10Então, é A vezes A aqui, ó.
25:12A base aqui, ó.
25:14Essa aqui, ó.
25:15A.
25:16E para cá também é A, ó.
25:18A e A.
25:19Ah, professor.
25:20Porque tudo é quadrado, né?
25:22É, tudo é quadrado.
25:23Então, A vezes A é a área da base.
25:26Também aqui, ó.
25:27A vezes A.
25:29Isso é a área da base aqui, ó.
25:32E a altura?
25:33Aqui a altura é A também.
25:35Tudo A, né?
25:36É, tudo A.
25:37A altura é A também.
25:39E aí, A vezes A, vezes A, dá A ao cubo aqui, ó.
25:43A ao cubo é o volume de cubo.
25:46Então, pronto.
25:46Essas fórmulas todas dão para deduzir muito facilmente.
25:50Só lembrar dessa aula e você consegue deduzir essas fórmulas.
25:55Não são fórmulas novas, não tem nada de tão novo aí, tá bom?
25:58Lembrar que o cubo tem seis faces.
26:01Cada face é um quadrado.
26:02Seis quadrados.
26:03Pronto.
26:04Isso tudo memoriza.
26:06Volume de cubo é a área da base vezes a altura, como o volume de qualquer prisma.
26:10Como tudo é A, a base é A vezes A e a altura é A.
26:15Então, fica A vezes A vezes A, que dá A ao cubo.
26:21Então, dá para lembrar disso muito facilmente.
26:24Mais fácil do que tentar memorizar essas fórmulas aí.
26:28Memorizar eu acho complicado.
26:29Enfim, pelo menos eu acho que tem aluno que gosta de memorizar.
26:33Eu não gostava.
26:34Quando eu era aluno, tentava deduzir a escolha.
26:36Não memorizar.
26:39E aí, outra coisa importante para quem vai fazer ENEM.
26:41Olha só.
26:43Planificação de cubo.
26:44O ENEM adora ele.
26:46Os sólidos geométricos planificados.
26:48Quer dizer, desmontados.
26:50E aí, no caso do cubo, olha só.
26:52Claro, aqui ele está inteiro, né?
26:54Ele está montado.
26:55E aí, olha.
26:56Vamos montar ele.
26:57Olha só.
26:58Ó.
26:58Ó.
27:00O ENEM gosta disso, gente.
27:02O ENEM, ele põe o sólido montado.
27:06E ele põe embaixo as várias planificações.
27:09Várias planificações.
27:11E aí, ele pede para marcar o sólido.
27:13Qual é a planificação na alternativa?
27:15É isso.
27:17É isso que o ENEM faz.
27:18Ou vice-versa.
27:19Ele dá assim, planificado.
27:21E ele pede para marcar embaixo qual é o sólido correspondente.
27:25Só isso.
27:25Veja, não tem cálculo, não tem conta, não tem nada.
27:28Só para identificar.
27:30Só para relacionar.
27:33O sólido, no caso é o cubo, com a sua planificação.
27:36Olha, está aí a planificação do cubo.
27:38E marcar.
27:39Só isso.
27:40Então, isso cai no ENEM.
27:41O ENEM gosta disso, tá bom?
27:42Então, vocês têm que saber a planificação de todos os sólidos geométricos.
27:47E aí, olha só.
27:47Um exemplo.
27:49Dado o paralepípedo, figura abaixo,
27:51calcular letra A, a sua área total e letra B, o seu volume.
27:58Então, vamos lá.
27:59Ele deu as medidas aqui desse paralepípedo.
28:01Olha, 5 centímetros, 3 centímetros, 4 centímetros.
28:07Beleza.
28:08E aí, vamos fazer, então, a fórmula da área total do paralepípedo.
28:12É essa aqui, ó.
28:142 vezes a base, ó.
28:162 vezes uma parede, AC.
28:19E 2 vezes as paredinhas, BC, ó.
28:23Professor, mas uma coisa.
28:25Ele não deu aqui quem é A, quem é B, quem é C.
28:27É verdade, ele não deu.
28:29Dificilmente ele vai dar.
28:30Aí, tu tentes fazer isso.
28:32Tem que chamar esse aqui de A.
28:34Tem que chamar esse aqui de B.
28:36E tem que chamar esse aqui de C, ó.
28:40Tu tem que fazer isso, tá bom?
28:41Ele não vai dar.
28:42Ele só vai dar uma caixa com as medidas aí, ó.
28:47E aí, tu vai chamar um de A, outro de B e outro de C, tá bom?
28:51Sabido essa fórmula aqui, o resto é conta.
28:54Pega esse valor de A, 5, e substitui aqui, ó.
28:58Põe aqui, ó.
29:00Pega o valor de B, 3, ó.
29:02Põe aqui, ó.
29:04A vai substituindo, professor, na fórmula.
29:05É, aqui, ó.
29:07Dois vezes AC é o 5, ó.
29:10Pega o 5, põe aqui, ó.
29:12O C é esse aqui, ó.
29:16Põe aqui, ó.
29:17E o último lá, duas vezes BC.
29:20B é o 3.
29:21Põe aqui, ó.
29:22Vem aqui, ó.
29:24C é o 4.
29:26Põe aqui, ó.
29:27Ah, só substituindo.
29:28É.
29:29Mas tu tem que definir quem é A, quem é B, quem é C.
29:32Tá?
29:32Eu defini aqui, ó.
29:33O 5 é o A, o 3 é o B, e o 4 é o C.
29:37Tá bom?
29:38E não troca.
29:39O 5 sempre vai ser o A, o 3 sempre vai ser o B, e o 4 sempre vai ser o C.
29:45Só tem que ter esse cuidado, gente.
29:46Se tiver esse cuidado, ok.
29:49E agora, bora fazer substituções.
29:51Tá aí, ó.
29:52Substituiu tudo, tá?
29:53Onde tem A é 5, aqui, ó.
29:56Certinho.
29:57Olha, A aqui é 5, ó.
29:59Onde tem B, o nosso B é 3, tá aqui, ó.
30:03Certinho, ó.
30:03Estou mostrando para vocês.
30:06O C é 4, ó.
30:08Certinho.
30:09O B é 3, tá aqui, ó.
30:10Tudo certinho.
30:12E o C é 4, ó.
30:14Então, tudo direitinho, tudo exato.
30:16Exato como a matemática.
30:17E os 2 na frente, aqui, ó.
30:202, 2 e 2, ó.
30:23Que é da fórmula, tá?
30:25Aqui, ó.
30:252 daqui, 2 daqui e 2 daqui, ó.
30:302 daqui, ó.
30:30Tudo certinho.
30:32Beleza.
30:33Então, 2, A, B é 2 que multiplica A que multiplica B.
30:38É.
30:39É isso.
30:39É a multiplicação.
30:412, A, C é 2 que multiplica A que multiplica C também.
30:45Então, dá para ver aqui embaixo que virou multiplicações.
30:48E 2, B, C é 2 que multiplica B que multiplica C.
30:52Tá aqui, ó.
30:53Tudo multiplicação.
30:54Tá bom?
30:55E as somas entre elas, né?
30:58E aí, agora, você tem multiplicações e somas.
31:02Faça primeiro as multiplicações.
31:032 vezes 5, 10.
31:0510 vezes 3, 30.
31:08Depois, 2 vezes 5, 10.
31:1010 vezes 4, 40.
31:12Depois, 2 vezes 3, 6.
31:156 vezes 4, 24.
31:17Aí, multiplica tudo.
31:19Tá aí, ó.
31:21Faz de uma vez, né, professor?
31:22É.
31:22Faz de uma vez.
31:24Todas as multiplicações.
31:26Sendo multiplicação, faça.
31:27Pode fazer.
31:29Terminadas as multiplicações, sobram apenas somas aí, ó.
31:32Apenas somas.
31:33Então, faz agora as somas.
31:34Mais 30, mais 40, 70.
31:37Mais 24, 94.
31:40Pronto.
31:40Acabou.
31:4194 centímetros quadrados.
31:43É a área total dessa caixa, desse paralelotípeda.
31:48Pronto.
31:49Beleza.
31:50É difícil?
31:52Vocês têm que fazer exercício, tá?
31:55Treinar algumas vezes.
31:56Não deixar para fazer só na hora da prova do Enem, não.
31:59Tem que treinar algumas vezes.
32:01Tá bom?
32:01O volume.
32:04O volume tem fórmula própria, olha.
32:05A área da base vezes altura.
32:08É a mesma coisa que A vezes B vezes C.
32:11Eu expliquei isso.
32:12A vezes B vezes C.
32:13Nada mais é que a área da base vezes altura.
32:16Aí, de novo, ó.
32:17Define aqui, ó.
32:18Esse aqui vai ser o A.
32:20O 5.
32:21Esse aqui vai ser o B.
32:22O 3.
32:23E esse aqui vai ser o C.
32:25O 4.
32:27Então, substitui.
32:28Aqui vai entrar o 5.
32:31No lugar do A.
32:32Aqui vai entrar o 3 no lugar do B.
32:35E aqui vai entrar o 4 no lugar do C.
32:37Só substituindo a fórmula, né, professor?
32:39É.
32:39Só substituindo a fórmula.
32:41Então, tá aí, ó.
32:425 vezes 3 vezes 4.
32:45Tá?
32:45E aí, faz essa multiplicação.
32:4715 vezes 4, 60 centímetros cúbicos.
32:51Volume.
32:51Sempre centímetro cúbico.
32:53Unidade de medida ao cubo.
32:55Poderia ser metros cúbicos.
32:57Milímetros cúbicos.
32:59Volume.
32:59Nesse caso, a medida aqui de comprimento de uma aresta é centímetro.
33:05Então, o volume ficou em centímetro cúbico.
33:08Então, tá aí, tá feito o cálculo de volume desse paralepípedo.
33:12Volume e área são coisas diferentes que não dão o mesmo resultado numérico, pessoal.
33:17Olha só.
33:18A área total desse paralepípedo deu 94.
33:22O número, né?
33:23O número.
33:23O 94.
33:25E o volume deu 60.
33:28Então, não é a mesma coisa.
33:30São coisas diferentes.
33:31Leva a números, resultados diferentes.
33:34E no texto, tu vai ter que ter a habilidade de identificar o que ele tá pedindo.
33:37Se é a área de uma caixa, por exemplo.
33:39Ou se é o volume da caixa.
33:41E aí, eu já ensinei como é que distingue um do outro.
33:44A área é por fora.
33:46Volume é dentro.
33:48Essa é a diferença de um para o outro.
33:51E o cubo?
33:52Dado o cubo, figura baixa.
33:54Agora, a mesma coisa, só que tudo pra cubo.
33:57A área total.
33:58A face de um cubo é um quadrado.
34:00E o cubo tem seis faces.
34:02Seis faces iguais.
34:03Então, seis vezes a área do quadrado.
34:05Isso aí, ó.
34:05Seis vezes a área do quadrado.
34:07É a fórmula da área total do cubo.
34:11É, aí o cubo, tudo é a mesma medida, né?
34:13No caso aqui, ó.
34:14Três.
34:15Três, ó.
34:17Três, ó.
34:18Tudo é a mesma medida, porque é tudo quadrado.
34:21No caso do cubo.
34:21Tudo é quadrado.
34:22Então, três, três, três.
34:24Então, vai apenas pegar esse três e botar aqui, ó.
34:28Bem aqui, ó.
34:30Só tem uma dimensão.
34:32Ou dimensões iguais, né?
34:33Tudo três.
34:34Então, é só o três.
34:36Que põe aí.
34:37E aí, olha só como fica, ó.
34:39O seis aqui, ó.
34:40Da fórmula.
34:41Ok.
34:42No lugar do a, eu tenho o três.
34:44Aqui, ó.
34:45Não pode omitir que esse a é ao quadrado.
34:48Olha.
34:49Ao quadrado, tá?
34:50Seis vezes a ao quadrado.
34:52Então, fica três ao quadrado.
34:55Tá bom?
34:55Não pode omitir isso aí.
34:57O quadrado.
34:58Não pode omitir o quadrado.
34:59Elevado ao quadrado.
35:02Aqui, primeiro eu resolvo essa potência.
35:04Faz a potência.
35:05Três ao quadrado é nove.
35:09Tá aí, ó.
35:09Já apareceu.
35:11E depois faz a multiplicação.
35:13Seis vezes nove, cinquenta e quatro.
35:15Cinquenta e quatro metros quadrados.
35:18Uma aresta aqui, ó.
35:19Mede três metros, olha.
35:22E aí, a área total ficou cinquenta e quatro metros quadrados.
35:26A unidade de medida da área total sempre concorda com a unidade de medida da aresta lá.
35:31Se a aresta tiver em metros, então a área total é em metros quadrados.
35:35Se a aresta tiver em centímetros, então a área total é em centímetros quadrados.
35:39E assim por diante.
35:42Volume.
35:43Agora vamos para o volume do cubo.
35:45E aí a fórmula do volume do cubo.
35:48É essa aí, ó.
35:49A ao cubo.
35:50E essa fórmula vem da área da base vezes a altura.
35:54A base é A por A.
35:57A altura é A.
35:58Então fica A vezes A vezes A.
36:00A ao cubo.
36:01Vejam, eu estou fazendo esse exercício para, tipo assim, para deduzir a fórmula.
36:07Deduzir.
36:07Como é fácil deduzir essas fórmulas de cubo e de paralelbepípedo.
36:12Tem aluno que nem usa ela assim.
36:13Usa ela assim, ó.
36:15Volume é igual A vezes A vezes A.
36:21É a mesma coisa, gente.
36:23É a mesma coisa.
36:24A vezes A vezes A é A ao cubo.
36:27Mas ele prefere usar assim.
36:28A vezes A vezes A.
36:29Porque ele lembra, olha.
36:30A vezes A é a base.
36:32A área da base.
36:34É isso aqui.
36:34A área da base.
36:36Vezes a altura.
36:38Que é o outro A aqui, ó.
36:40No caso do cubo é tudo A.
36:41Então, área da base.
36:43Vezes área da base.
36:44Vezes altura.
36:45A vezes A vezes A.
36:48Beleza.
36:48Não tem problema.
36:49Eu vejo isso nas provas, né.
36:50Tem aluno que memoriza essa fórmula.
36:54Memoriza.
36:54E usa ela.
36:55Mas tem aluno que usa a fórmula assim, ó.
36:58E ainda tem aluno que usa a fórmula mesmo de volume de prisma.
37:02Área da base.
37:03Vezes altura.
37:04Para calcular o volume de cubo.
37:07Dá certo do mesmo mesmo.
37:08De qualquer maneira aí dá certo.
37:10Tá bom?
37:11Então, só para vocês verem que é fácil de deduzir.
37:14Essa fórmula aqui.
37:15Volume é igual ao cubo.
37:17Vem mesmo dessa fórmula aqui.
37:18Área da base.
37:19Vezes altura.
37:20Área da base.
37:21A base A e A.
37:23Então, é A vezes A aqui.
37:26E a altura é A também.
37:28E aí, A vezes A vezes A.
37:30Chega no A ao cubo.
37:31Então, qualquer uma das três aqui que você usar, você vai chegar no mesmo resultado.
37:35Qualquer uma das três.
37:36Nas provas, tem aluno que usa a primeira.
37:39Tem aluno que usa a segunda.
37:40Tem aluno que usa a terceira.
37:41As três estão certas.
37:43As três são a mesma coisa.
37:45Tá bom?
37:45As mesmas coisas.
37:46Não sei porque eles ficaram trocando letra.
37:50Não tinha necessidade disso.
37:52Tá.
37:53Então, olha só.
37:53O que a gente vai fazer aqui?
37:55A gente vai pegar o A e substituir lá na fórmula do volume.
38:00Então, o A aí é três.
38:01Está aqui, ó.
38:02Três, três e três, né?
38:04As medidas do cubo.
38:06Só tem um número.
38:08Esse número só pode ser o A.
38:10Aí, a gente pega o A e substitui bem aqui, ó.
38:13Põe o A bem aqui, ó.
38:14E aí, vamos ver como é que fica.
38:18Olha aí, ó.
38:19Três ao cubo.
38:20Tá?
38:20O A é três.
38:22O A elevado ao cubo.
38:23Então, fica três ao cubo.
38:25Três ao cubo é três vezes três vezes três, ó.
38:30Que seria o A vezes A vezes A.
38:32Como eu acabei de falar.
38:33Então, chega na mesma coisa.
38:35Tá bom?
38:35E aí, três vezes três, nove.
38:37Vezes três, vinte e sete.
38:39Tá aí, ó.
38:40Vinte e sete metros cúbicos.
38:43Pronto.
38:43Tá feito.
38:44O volume de cubo.
38:46Importante.
38:47Volume elevado ao cubo aqui, ó.
38:49Tá bom?
38:49E ficou metros cúbicos porque a aresta aqui está em metros.
38:54Beleza?
38:55Bom, era isso que eu tinha para falar para vocês na aula de hoje.
38:59Na próxima aula, eu vou ensinar a calcular a diagonal de paralepípedo.
39:05Como é que calcula essa diagonal, essa linha interna aqui, ó.
39:07Do paralepípedo.
39:08Seria importante vocês fazerem um exercício.
39:13Então, eu vou falar atividades que vocês possam fazer na portila.
39:17O que vocês podem fazer é a dez, a onze, a doze, a treze, a quatorze e a quinze.
39:24Tá aí, até a quinze.
39:25Então, da dez a quinze.
39:28A dezesseis é justamente a que eu vou fazer na próxima aula que eu mostrei lá no slide.
39:34A dezesseis é essa aqui, ó.
39:36Essa aqui, ó.
39:36Exercício proposto de dezesseis, ó.
39:38Então, a próxima aula já inicio aqui na dezesseis.
39:40Então, não façam a dezesseis.
39:42Quem vai fazer, quem quer estudar para fazer o Enem, etc., faça até a quinze e para na quinze.
39:50Da minha parte, era essa a minha aula.
39:52Alguém quer perguntar alguma coisa?
39:53Pode perguntar.
39:54Tchau.
39:55Tchau.
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