00:00Olá pessoal, na aula de hoje vamos trazer a interpretação geométrica do módulo do produto místico, ou seja, o produto
00:10místico
00:19que é dado dessa forma que o escalar vetorial de V com W, geralmente, é igual
00:31em módulo ao volume do paralelepípedo
00:57de arestas determinadas pelos vetores não coplanares.
01:30Aqui está o exemplo, ou seja, o produto misto em módulo vai dar o volume do paralelepípedo.
01:40E esses vetores não são coplanários, ou seja, nenhum estão no mesmo plano um do outro.
01:45Então aqui vamos ter o vetor U que vai estar nessa aresta aqui, o vetor V vai estar aqui,
01:55e o vetor W vai estar aqui, onde vai formar, esses vetores vão formar o paralelepípedo.
02:05E o produto misto, vamos dizer assim, o produto de V por W, o produto vetorial, vai ser esse vetor
02:16aqui,
02:17que vai estar nessa direção aqui, onde pode estar formando o ângulo θ com relação ao paralelepípedo.
02:27Dessa forma, a área da base do paralelepípedo é dada dessa forma aqui.
02:55Ou seja, é o produto vetorial de V com W, nesse caso, o módulo.
03:03Isso a gente já viu em aulas anteriores, onde a gente calculou a área de um plano.
03:16Nesse caso aqui, é essa área aqui, entre esse vetor V e o vetor W, ou seja, a área da
03:21base,
03:22é o módulo do produto vetorial disso.
03:27Já o volume, o volume do paralelepípedo, é dado dessa forma aqui.
03:48O volume, onde vai ser, onde vai ser, o volume geralmente vai ser a área da base, né?
03:56A área da base vetorial à altura.
04:10Ou seja, traduzindo em outras palavras, vamos ter que o volume do paralelepípedo vai ser a área da base vetorial
04:24à altura, certo?
04:28Nesse caso aqui, a área da base é o provetorial desses vetores aqui, V e W, e a altura é
04:36essa altura aqui, certo?
04:39Onde pode estar formando o ângulo, né?
04:45Ou seja, a altura até onde ele vai encontrar com o paralelepípedo aqui, ou seja, é esse H aqui, certo?
04:52Sendo θ o ângulo entre os vetores U e o produto vetorial de V com W, certo?
05:21Se a gente for ver aqui, né?
05:23Ou seja, vai ser esse ângulo entre o vetor U e o produto vetorial de V com W, certo?
05:34O que mais?
05:42Sendo o vetorial de V com W,
05:49Perpendicular
05:50Perpendicular
05:54A base
06:03A altura
06:05A altura
06:10Do
06:14Paralelo
06:16A lei pípedo é dada por H, onde H pode ser dado pelo módulo de U vezes o módulo do
06:39cosseno de θ, certo?
06:41Porque se a gente for ver aqui, a gente pode reescrever aqui, a gente teria isso, né?
06:48Teria o θ aqui, aqui o módulo de U, que é o comprimento, e aqui nós temos H, né?
06:55Então, só invertendo aqui, pegando essa ideia aqui.
07:00Se a gente faz isso, né?
07:02A gente vai ver que o cosseno de θ vai ser H dividido pelo módulo de U, certo?
07:11Certo?
07:13Só que nesse caso aqui, considera o cosseno, o módulo do cosseno, né?
07:22Porque se não considerar o módulo, pode ter ângulos que não obedece isso, né?
07:31Então, a gente tem que considerar o módulo, certo?
07:34Nesse caso aqui, específico.
07:44Logo, o volume do paralelepípedo é quem?
08:03O volume é dado pelo módulo do produto vetorial de V com W.
08:15Por quê?
08:16Porque vezes quem?
08:18Vezes o módulo de U, vezes o módulo do cosseno de θ.
08:25Porque isso aqui é a base, né?
08:27Foi o que a gente encontrou antes, ó.
08:29É a base.
08:30E a altura foi dada dessa forma.
08:31E a base a gente viu que foi o módulo do paralelepípedo de V com W.
08:36Então, o volume é dado dessa forma aqui.
08:41Ou ainda, a gente pode reescrever o volume como sendo, né?
08:48Ou de forma invertida, né?
08:52A gente tem que o volume vai ser o módulo de U, vetorial de V com W,
09:02Cosseno de θ, no caso, o módulo.
09:04É a mesma coisa aqui em cima, porque aqui está em módulo.
09:07Você pode inverter as outras se quiser.
09:11Então, o volume é dado por essa expressão aqui, né?
09:16Consequentemente, se tivermos o V vetorial W for igual a um vetor A,
09:40Vamos ter que o volume vai ser quem?
09:43Vai ser o módulo de U pelo módulo de A.
09:50Tudo isso ao módulo do cosseno de θ.
09:54Certo?
09:56Mas em aulas anteriores, vimos o seguinte.
10:03Como o escalar A, vetor A, foi dado que é o módulo de U
10:13vezes o módulo de A, vezes um cosseno de θ.
10:18Foi dado isso em algumas aulas anteriores, né?
10:23Como falamos de produto escalar.
10:25Nesse caso aqui, se a gente fizer o módulo desses vetores, né?
10:30Do escalar U escalar A, a gente fizer o módulo disso,
10:34a gente vai ter que vai ser U, módulo de A,
10:39vezes o módulo do cosseno de θ.
10:42Então, nesse caso aqui, isso é o módulo, né?
10:46Comparando.
10:51Comparando, vamos ter o seguinte, né?
10:53Que o volume vai ser o módulo do vetor U
10:58vezes o módulo do vetor A
11:01vezes o módulo do cosseno de θ.
11:04E o módulo de U com o vetor A vai ser
11:12o que a gente viu aqui, né?
11:14U, módulo de U, módulo de A, módulo do cosseno de θ.
11:23Então, a gente chega que o volume vai ser igual ao módulo do produto escalar de U por A, certo?
11:38Logo, a gente consegue escrever também o volume
11:42como sendo o produto misto, o módulo do produto misto de U
11:55e vetorial vai ser escalar U, né?
11:58No caso, o produto misto de U, V e W.
12:00Nesse caso aqui, é U escalar
12:04vezes o produto vetorial de V com W,
12:07que aqui é o produto misto, né?
12:12Ou então, a gente pode escrever apenas assim, né?
12:14O módulo do produto misto de U, V e W.
12:19Então, é isso que é o volume do paralepípedo, né?
12:23Vai ser o produto misto, na verdade.
12:25O módulo do produto misto vai dar o volume do paralepípedo.
12:28Então, é isso, pessoal.
12:30Nesta aula aqui, né?
12:32Mostramos como calcular o volume do paralepípedo, certo?
12:36Então, é isso.
Comentários