- há 2 dias
RESOLUÇÃO OBA 2023 - QUESTÃO 10 - PROVA NÍVEL 4
Questão 10) (1 ponto) A exploração de Marte
é uma das áreas mais ativas da pesquisa
espacial, com cerca de 50 missões já
realizadas e/ou planejadas não tripuladas ao
planeta vermelho e até há planos para levar
humanos para lá em um futuro próximo. Neste
momento, há dois jipes-robôs deslocando-se
na superfície marciana (Curiosity e
Perseverance), um pequeno helicóptero
(Ingenuity) e sete satélites orbitando o planeta
vermelho. Chegar a Marte é um desafio
extraordinário, razão pela qual metade das
missões para lá enviadas falharam. Imagine
você arremessar uma espaçonave do
tamanho de um carro em direção a um ponto
do espaço onde Marte estará daqui a alguns meses. Para tanto, são utilizados foguetes que possuem
60 m de altura e 531.000 kg de massa. Isso mesmo, para arremessar uma espaçonave de 1.000 kg
em direção a Marte, são necessários 480.000 kg de propelente (combustível + oxidante), que são
consumidos em apenas 20 minutos. Durante quase toda a trajetória rumo a Marte, o gigantesco
foguete já não mais existe. Pequenos motores-foguetes da espaçonave são utilizados apenas para
correções de trajetória e para amartissagem (pouso em Marte). Durante essa fase de voo não
propulsado, a espaçonave fica sob influência quase exclusiva do campo gravitacional do Sol.
Muito antes que os grandes foguetes pudessem ser desenvolvidos, o cientista alemão Walter
Hohmann propôs, em 1925, uma trajetória de transferência orbital que envolvia o menor consumo de
propelente, desde então conhecida como órbita de transferência de Hohmann. Nessa trajetória (ver
figura) o periélio da órbita de transferência encontra-se na órbita da Terra que corresponde ao ponto
A, enquanto o afélio se encontra na órbita de Marte no ponto B. Para as questões abaixo, considere
que as órbitas da Terra e de Marte são circulares e coplanares.
Item a) Sabendo que o semieixo maior de uma órbita elíptica ao redor do Sol corresponde à metade
da distância entre o periélio e o afélio, calcule o valor do semieixo maior da órbita de transferência.
Considere que a distância da Terra ao Sol seja de 1,0 UA e que a distância entre Marte e Sol seja de
1,5 UA. Apresente o resultado em unidades astronômicas (UA).
Item b) Em 1619, o alemão Johannes Kepler propôs a Terceira Lei de Kepler que diz que o quadrado
do período de uma órbita dividido pelo cubo do semieixo maior dessa órbita é constante para todos
os corpos que orbitam um mesmo corpo central. Por exemplo, sendo T o período e S o semieixo maior
da órbita de transferência, tem-se que:
Neste vídeo, resolvemos passo a passo a Questão 10 da OBA (Olímpiada Brasileira de Astronomia e Astronáutica) - Nível 4, prova destinada aos alunos do 1º ao 3º ano do ensino médio.
================================================
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Questão 10) (1 ponto) A exploração de Marte
é uma das áreas mais ativas da pesquisa
espacial, com cerca de 50 missões já
realizadas e/ou planejadas não tripuladas ao
planeta vermelho e até há planos para levar
humanos para lá em um futuro próximo. Neste
momento, há dois jipes-robôs deslocando-se
na superfície marciana (Curiosity e
Perseverance), um pequeno helicóptero
(Ingenuity) e sete satélites orbitando o planeta
vermelho. Chegar a Marte é um desafio
extraordinário, razão pela qual metade das
missões para lá enviadas falharam. Imagine
você arremessar uma espaçonave do
tamanho de um carro em direção a um ponto
do espaço onde Marte estará daqui a alguns meses. Para tanto, são utilizados foguetes que possuem
60 m de altura e 531.000 kg de massa. Isso mesmo, para arremessar uma espaçonave de 1.000 kg
em direção a Marte, são necessários 480.000 kg de propelente (combustível + oxidante), que são
consumidos em apenas 20 minutos. Durante quase toda a trajetória rumo a Marte, o gigantesco
foguete já não mais existe. Pequenos motores-foguetes da espaçonave são utilizados apenas para
correções de trajetória e para amartissagem (pouso em Marte). Durante essa fase de voo não
propulsado, a espaçonave fica sob influência quase exclusiva do campo gravitacional do Sol.
Muito antes que os grandes foguetes pudessem ser desenvolvidos, o cientista alemão Walter
Hohmann propôs, em 1925, uma trajetória de transferência orbital que envolvia o menor consumo de
propelente, desde então conhecida como órbita de transferência de Hohmann. Nessa trajetória (ver
figura) o periélio da órbita de transferência encontra-se na órbita da Terra que corresponde ao ponto
A, enquanto o afélio se encontra na órbita de Marte no ponto B. Para as questões abaixo, considere
que as órbitas da Terra e de Marte são circulares e coplanares.
Item a) Sabendo que o semieixo maior de uma órbita elíptica ao redor do Sol corresponde à metade
da distância entre o periélio e o afélio, calcule o valor do semieixo maior da órbita de transferência.
Considere que a distância da Terra ao Sol seja de 1,0 UA e que a distância entre Marte e Sol seja de
1,5 UA. Apresente o resultado em unidades astronômicas (UA).
Item b) Em 1619, o alemão Johannes Kepler propôs a Terceira Lei de Kepler que diz que o quadrado
do período de uma órbita dividido pelo cubo do semieixo maior dessa órbita é constante para todos
os corpos que orbitam um mesmo corpo central. Por exemplo, sendo T o período e S o semieixo maior
da órbita de transferência, tem-se que:
Neste vídeo, resolvemos passo a passo a Questão 10 da OBA (Olímpiada Brasileira de Astronomia e Astronáutica) - Nível 4, prova destinada aos alunos do 1º ao 3º ano do ensino médio.
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Categoria
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AprendizadoTranscrição
00:00Vamos agora, pessoal, responder mais uma questão da Olimpíada de Astronomia de 2023, da prova nível 4, que lhe diz
00:08o seguinte, né?
00:10A exploração de Marte é uma das áreas mais ativas da pesquisa espacial, com cerca de 50 missões já realizadas,
00:18ou planejadas não tripuladas ao planeta vermelho.
00:21E há planos para levar humanos lá em um futuro próximo.
00:26Neste momento, há dois jips robôs deslocando-se na superfície marciana.
00:31Curiosity e Perseverance, né?
00:34Um pequeno helicóptero, né?
00:36E sete satélites orbitando o planeta vermelho.
00:40Chegar a Marte é um desafio extraordinário, razão pela qual metade das missões para lá é enviada falhada.
00:49Imagine você arremessar uma espaçonave do tamanho de um carro em direção a um ponto do espaço onde Marte está
00:58daqui a alguns meses.
01:00Para tanto, são utilizados foguetes que possuem 60 metros de altura e 531 quilos de massa.
01:13Isso mesmo, para arremessar um espaçonave de mil quilos em direção a Marte, necessário 480 kg de propelente, combustível mais
01:27oxidante, que são consumidos em apenas 20 minutos.
01:33Durante quase toda a trajetória rumo a Marte, o gigantesco foguete já não mais desiste, né?
01:40Pequenos motores foguetes da espaçonave são utilizados apenas para correções de trajetória e para amartizagem, pose em Marte, né?
01:50Fazer o pose em Marte.
01:51Durante essa fase de voo não propulsado, a espaçonave fica sob influência quase exclusiva do campo gravitacional do Sol.
02:05Muito antes que os grandes foguetes pudessem ser desenvolvidos, o cientista alemão Watt Holman propôs em 1925 uma trajetória de
02:15transferência orbital que envolvia o menor consumo de propelente.
02:20Desde então, conhecida como órbita de transferência de Holman, nessa trajetória, aí vem a figura que ele está dizendo aqui,
02:29né?
02:30Onde você vai lançar a órbita terrestre aqui e vai lançar para a Marte.
02:36Então, você vai lançar desse ponto A até o foguete chegar nesse ponto B aqui.
02:41Então, essa é a órbita que vai otimizar, né?
02:45Onde ele está dizendo aqui.
02:48Para as questões abaixo, considere que a órbita da Terra e de Marte são circulares e co-planadas.
02:54Então, vamos lá resolver o ITA.
02:59Sabendo que o semieixo maior de uma órbita elétrica ao redor do Sol corresponde à metade da distância entre o
03:05Periel e o Rafelio,
03:07calculo o valor do semieixo maior da órbita de transferência,
03:13considerando que a distância da Terra ao Sol seja uma unidade astronômica e a distância entre Marte e o Sol
03:19seja uma unidade e meia.
03:21A presença dos dados de unidades astronômicas.
03:24Então, vamos lá resolver isso, né?
03:27Então, o item A.
03:29Ele deu o quê?
03:32Basicamente aqui, se a gente somar essa distância aqui, vamos ter a distância do ponto A que é a Terra
03:41até o Sol é de uma unidade astronômica,
03:44e do Sol até Marte é de mais uma e meia.
03:48Significa o quê?
03:50Que a gente vai somar isso aqui, essas distâncias, né?
03:57E depois dividir por dois.
03:58É o que ele está dizendo na questão, né?
04:00Ele está dizendo aqui que o semieixo maior da órbita da elétrica ao redor do Sol corresponde à metade da
04:06distância entre o Perielio e a Félio.
04:08Então, essa metade aqui.
04:11Certo?
04:11Então, basicamente, o que a gente vai fazer aqui, vai utilizar uma unidade astronômica, mais...
04:25Deixa eu colocar mais para baixo.
04:31Vai ser...
04:32A gente vai ter que somar uma unidade astronômica, mais uma unidade astronômica e meia.
04:42Que é...
04:43Essa distância aqui, ó.
04:49Aqui, basicamente, aqui nessa órbita, vamos ter isso aqui, essa situação.
04:54Certo?
04:55É como se aqui tivesse a elipse.
04:58Então, nós temos que pegar essa metade aqui, né?
05:01Que ele está dizendo.
05:03Ou seja, essa distância aqui até aqui e dividir por dois.
05:07Somar essas duas distâncias e dividir por dois para formar essa elipse aqui dessa órbita.
05:11Então, nós temos aqui um e um e meio e dividir por dois.
05:17Por isso, que isso aqui vai dar 1,25 unidade astronômica.
05:25Certo?
05:26Isso é a letra A.
05:28A letra B.
05:31A letra B diz que em 1619, o alemão Johannes Kepler propôs a terceira lei de Kepler, né?
05:39E o que mais?
05:43Propôs a terceira lei de Kepler, aí ele deu aqui a situação, mas vamos ver aqui antes.
05:49Que diz que o quadrado dos períodos de uma órbita dividido pelo cubo do semieixo maior
05:54desta órbita é constante para todos os corpos que orbitam um mesmo corpo central.
06:00Por exemplo, tendo T o período e S o semieixo maior, que a gente calculou aqui,
06:08da órbita de transferência, tem-se, aí ele deu essa equação aqui,
06:13onde T é o período de órbita da Terra, ou seja, 12 meses,
06:17e RT é a distância da Terra ao Sol, ou seja, uma unidade astronômica.
06:23Sendo assim, calculo o tempo para um espaçonave viajar do ponto A ao ponto B,
06:28que é dessa situação daqui até aqui.
06:32O que mais?
06:35Na órbita de transferência em mês.
06:37Lembrando que apenas metade da elipse é percorrida,
06:41e que por isso esse tempo corresponde a metade do período de órbita de transferência.
06:46Aí ele pede, considere isso, isso, né?
06:49Raíd de 1,5 como sendo 1,22, raíd de 1,25 como sendo 1,12.
06:55Então vamos lá.
07:00Assinale a alternativa que contém as respostas A e B acima da sequência, né?
07:05Correta.
07:06Então vamos lá para B.
07:08A B, ele deu essa equação, da terceira lei de Kepler,
07:11que disse que o período ao quadrado aqui,
07:14dividido pelo semieixo maior ao quadrado,
07:17é igual ao período lá da Terra ao quadrado,
07:22dividido pelo raio da Terra.
07:26Então, basicamente aqui, vamos fazer essa conta.
07:30Aqui foi 1,25, foi o que a gente calculou já.
07:35E nesse lado aqui, relacionado à Terra,
07:41vamos ter 12 meses, né?
07:44Que foi o tempo que ele falou aqui.
07:46Então, 12 meses ao quadrado,
07:50dividido pelo raio da Terra,
07:52nesse caso aqui com relação ao Sol, né?
07:54Que é uma unidade astronômica,
07:55então vai ser 1 elevado a 3,
07:59aqui elevado a 3.
08:02Então, elevado a 3 aqui, elevado a 3 aqui.
08:07Certo?
08:08Então vamos lá.
08:12Basicamente, isso aqui,
08:14a gente vai isolar o T,
08:16que é o período.
08:18Isso aqui vai ser 12 ao quadrado.
08:21Vamos deixar 12 ao quadrado mesmo.
08:26Vezes 1,25 ao quadrado, não, o cubo.
08:311,25 ao cubo também.
08:35E aqui, 1 ao cubo, que vai ser o próprio 1.
08:38Não vou nem colocar.
08:42Então, basicamente aqui,
08:44não, aqui é o quadrado mesmo,
08:46aqui é o quadrado.
08:47Que aqui o 12 está ao quadrado.
08:49O outro aqui está ao cubo.
08:51Certo?
08:5212 ao quadrado.
08:55Esse aqui,
08:56que está em cima ao quadrado.
08:57Esse aqui está ao cubo, 1,25.
09:00E aqui está ao quadrado, né?
09:02Então, para a gente tirar o T,
09:04vai ser o quê?
09:04Raiz quadrada de 12 ao quadrado
09:11vezes 1,25 ao cubo.
09:14Tudo isso vai dar o quê?
09:15Vai dar 12 ao quadrado é quem?
09:18S.
09:19É raiz de quem?
09:22A gente pode dizer que é isso aqui, né?
09:2412 ao quadrado vezes 1,25 ao quadrado,
09:30próprio vez 1,25.
09:34Estou separando aqui, né?
09:36Porque isso aqui a gente pode simplificar,
09:38já que é uma multiplicação.
09:40Tirar da raiz como sendo 12,
09:44e aqui tirar como sendo 1,25,
09:48vai ficar apenas raiz de 1,25.
09:53Que raiz de 1,25 ele deu na questão, né?
09:57Ele deu na questão que era 1,12.
10:01Então, vamos ver.
10:02Tem 12 vezes 1,25 vezes 1,12.
10:10Isso aqui,
10:12se a gente fizer essa conta,
10:15vamos encontrar quem?
10:1812 vezes 1,25 vai dar 15,
10:21vezes 1,12.
10:24Isso aqui vai ser aproximadamente 16,8.
10:30Nesse caso aqui,
10:31meses.
10:35Então, essa é a letra B.
10:39Elas estão aqui do período, né?
10:41Como trata-se da metade do período de órbita, né?
10:44Então, a gente tem que dividir T por 2,
10:47que vai dar igual a 8,4 meses.
10:54Então, essa é a resposta para essa questão.
10:578,4 e aqui 1,25.
11:00Então, qual é a resposta que traz isso?
11:03Então, a letra E é a resposta, né, pessoal?
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