00:00Olá pessoal, dando continuidade às propriedades do produto misto, a segunda propriedade é o seguinte, o produto misto é alternado,
00:08isto é, permutar dois vetores altera o sinal, ou seja, se tivermos u, v e w, se a gente trocar
00:17u por v, ou seja, v por u, a gente vai ter o negativo aqui.
00:22A mesma coisa acontece se a gente colocar v, w, ou seja, a gente trocar w por u aqui, aí
00:30já inverte o sinal novamente, certo?
00:32Mas temos uma observação que é o seguinte, observação, a permutação psíquica, ou seja, a permutação psíquica não altera
01:05o produto misto, ou seja, isso aqui acontece se não houver uma alteração, uma permutação psíquica, se houver uma permutação
01:20psíquica, o sinal não é alterado,
01:22então vamos ver aqui o exemplo, se tivermos isso aqui, por exemplo, se tivermos isso aqui, onde temos u, v
01:30e w, ou o contrário, u, w e v, se tiver essa alteração nessa ordem, não é alterado, ou seja,
01:38se tivermos isso aqui, se tivermos isso aqui, a gente tem que u, v e w pode ser igual a
01:49v, w e u, que pode ser igual a w, u e v.
01:59Porque se a gente altera nessa forma aqui, se a gente altera nessa forma aqui, de forma psíquica, a gente
02:04não precisa mudar o sinal, o sinal não vai ser alterado.
02:07Mesma coisa acontece aqui, isso aqui indo, u, v e w, u, v e w, então nessa ordem, agora siga
02:15na ordem contrária também, a gente consegue fazer isso aqui, u, w, v, ou seja,
02:22vindo nesse sentido aqui, u, w, v e w, também vai ser igual a w, v e u, ou seja,
02:33w, v e u, que também vai ser igual a v, u e w, ou seja, v, u e w,
02:47certo?
02:49Então, é isso, essa propriedade diz isso, certo?
02:54Que, na verdade, tem a ver com a propriedade, uma consequência da propriedade dos determinantes, relativamente à circulação de linhas
03:03e à troca de duas linhas, certo?
03:06Então, isso aqui não vem à toa, vem das propriedades dos determinantes.
03:09Então, vamos calcular, realmente verificar, para ver se, de fato, isso acontece.
03:18De fato, pronto, eu trouxe aqui o produto misto já, eu já calculei aqui, o produto misto de u, v
03:28e w, né?
03:29Fazendo todo o cálculo, a matriz, utilizando, quebrando em cofatores, e no final a gente encontra que o produto misto
03:37é essa expressão aqui.
03:38Agora eu vou calcular o produto misto para ver u e w.
03:43Agora eu calculei também o produto misto aqui, eu já fiz para andar mais rápido, o produto misto para ver
03:49u e w, que é esse determinante, onde a gente faz os cofatores aqui, né?
03:54Pega isso aqui, essa matriz, tal, tal, e no final resulta nisso.
03:59Isso multiplica os termos aqui, encontra isso aqui.
04:02E agora eu vou calcular também para ver u, da mesma forma também eu fiz para ver u agora, né?
04:11Aí, ou seja, sempre lembrando que eu estou adotando o vetor u como sendo 1, aqui o índice, o v
04:19como 2 e o w como 3, né?
04:21Então, como aqui eu inverti u e w, eu comecei com 2, o segundo vetor foi 1 e o terceiro
04:28foi 3, né?
04:29E aqui é a mesma coisa, né?
04:32v é esse e aqui eu inverti u, w foi o segundo vetor e u foi o primeiro, né?
04:37Então, u, aliás, u foi o terceiro, né?
04:40Então, foi isso aqui.
04:43Então, vamos verificar isso, né?
04:46Primeiro, vamos verificar esses dois vetores, ó.
04:48Aqui é u, v e w, vamos ver o que de fato eles têm.
04:53Aqui, se a gente olhar, ó, quem é x1, y...
04:58Aqui eu deixei sempre na ordem para ficar facilitar, quando eu multipliquei, eu deixei sempre x, y e z.
05:04Sempre nessa ordem aqui, porque às vezes pode dar y, x e z, entendeu?
05:09Então, eu inverti para deixar sempre x, y e z, até porque aqui são números reais, então não vai importar
05:15a ordem.
05:16Então, só para ficar mais fácil a gente verificar.
05:18Por exemplo, aqui teria y, x2 e z3, né?
05:24Aí eu coloquei, em vez de botar o y primeiro, eu botei o x primeiro.
05:28Só para ficar mais claro, para a gente visualizar.
05:31Certo?
05:32Nem todos eu fiz assim, ok?
05:35Então, vamos verificar isso aqui, ó, u, v e w, para a gente verificar com esse, comparando, né?
05:40Quem é x1?
05:41x1, ó, x1 aqui, vou colocar em azul, x1, y2 e z3, ó, x1, y2, cadê?
05:54x1 tá aqui, ó, que é esse aqui, x1 com esse.
06:00Então, o sinal aqui tá invertido, ou seja, aqui tá mais e aqui tá menos.
06:06Tá, agora segundo, vamos analisar isso aqui.
06:09Vamos analisar isso aqui, que é x1, y3 e z2.
06:13Onde ele tá?
06:15Eu vou circular ele aqui.
06:19Ele tá aqui, certo?
06:21E vocês podem ver que ele tá sempre com o sinal trocado.
06:24Eu vou mudar a cor aqui.
06:25Quem é esse aqui?
06:27Esse aqui, x2, y1 e z3.
06:31Quem é x2, y1 e z3?
06:34Tá aqui.
06:35Aqui tá sempre com o sinal invertido, né?
06:38E agora eu vou olhar isso aqui.
06:42x3, y1, x3.
06:44Quem é x3?
06:45x3, y1.
06:46Tá aqui, ó.
06:48O sinal tá invertido, que tá em cima.
06:50E esse aqui, x2.
06:52Deixa eu mudar aqui a cor.
06:58x2, y3.
07:00Que tá aqui.
07:02E z1, né?
07:03Então, sobrou isso aqui, né?
07:05x3, y2 e z1.
07:07Que também tá invertido.
07:08Ou seja, a gente pode concluir que esses dois vetores...
07:18Logo, a gente pode concluir que u, v e w é igual a menos v, u e w.
07:33Certo?
07:34A gente pode concluir isso, a análise lá em cima.
07:38Agora, vamos comparar esse vetor com esse aqui de baixo.
07:45Certo?
07:46Só vou diminuir o zoom aqui, pra gente visualizar mais fácil.
07:50Vai ficar pequeno, mas pra gente comparar.
07:53Senão, a gente vai ficar difícil.
07:55Aqui, ó.
07:55Onde tem x2 e y3?
08:01É esse...
08:02É o rosinha lá, né?
08:05Ó.
08:05Esse rosinha aqui.
08:14Podemos ver que o sinal tá o mesmo.
08:16Quem é x2?
08:18x2, y1 e z3.
08:20Aqui, ó.
08:21O sinal.
08:22Mesma coisa.
08:24Negativo, negativo.
08:25Do terceiro aqui, ó.
08:26x3, y2, x3, y2 e z1.
08:33Quem é?
08:34É esse último aqui, né?
08:35Ou seja, o sinal é o mesmo.
08:36E esse aqui?
08:39x1, y2 e z3.
08:41Quem é?
08:42É esse primeiro, né?
08:44E tá no mesmo sinal.
08:45Ou seja, a gente tá com um sinal positivo.
08:51E aqui?
08:55x3, y1 e z2.
08:58É esse aqui.
09:00E o sinal?
09:00Mesma coisa.
09:02Certo?
09:03Ou seja, o sinal tá o mesmo.
09:06E agora, x1, y3 e z2.
09:10Quem é?
09:10É esse aqui.
09:11E o sinal tá negativo.
09:13Também.
09:13Ou seja, a gente pode concluir o quê?
09:19Que a gente pode concluir também que u, v e w, que foi o primeiro produto misto, é igual a
09:34v, w, que é esse último aqui, u.
09:41Certo?
09:43Certo?
09:43A gente tem isso aqui, a partir dessas análises em cima.
09:47Acima, né?
09:49E agora, vamos analisar esses outros dois.
09:52No caso, eu vou colocar tudo aqui em azul.
09:58Ou verde, verde, verde, que não tem verde ainda.
10:02Vou analisar esse com esse.
10:04Pra ver o que acontece.
10:06Ó.
10:07Quem é x2, y3?
10:10Vou colocar esse aqui.
10:13Quem é x2, y3, z1?
10:17Isso aqui, né?
10:20E tá com sinal o quê?
10:21Trocado.
10:23Agora, quem é x2, y1 e z3?
10:27x2, cadê?
10:30y1 e z3?
10:32Aqui.
10:33Só que aqui...
10:35Vou fazer isso.
10:36Um x.
10:37Aqui tá com sinal trocado.
10:39Aqui é menos, aqui é mais.
10:40Quem é x3?
10:43x3, vou cortar pra trás aqui.
10:45x3, y2 e z1.
10:48Aqui.
10:49Aqui tá com sinal mais, aqui tá com menos.
10:51Ou seja, tá invertido.
10:52E agora, quem é?
10:55Esse aqui já é o mesmo, né?
10:58De cima.
10:59Só que o sinal tá invertido.
11:02E x3, y1, ou seja, vai ser o mesmo daqui.
11:06Só que com sinal invertido.
11:09E esse aqui?
11:10O que sobrou, né?
11:12Ou seja, foi esse aqui, ó.
11:17É a mesma coisa, né?
11:18x1, y3, z2.
11:20E aqui é a mesma coisa, só que com sinal invertido.
11:23Logo, a gente pode concluir o quê?
11:26A partir disso.
11:28Podemos ir...
11:30Podemos concluir isso aqui.
11:31que v, u e w é igual a menos v, w e u, certo?
11:53Que foi o que aconteceu nessa última análise aqui.
11:56Nessa comparação desse com esse, né?
11:58Ou seja, o sinal tão invertido.
12:00Aqui é v, w e u e em cima é v, u e w.
12:04Olha, então, a gente pode concluir esse.
12:08E...
12:11Assim por diante, né?
12:23Bem, pessoal.
12:25Aqui a gente analisou isso aqui.
12:26E se a gente fosse fazer mais vetores,
12:28mais produto misto,
12:29a gente ia verificar esse sinal.
12:31Quando é cíclico, não muda o sinal.
12:33E quando não é cíclico,
12:34essa troca, essa permutação,
12:36o sinal é trocado.
12:38Então, está verificado aqui, né?
12:40Em partes,
12:41essa propriedade aqui, certo?
12:44Se vocês querem testar mais,
12:46vocês podem fazer outras opções aí
12:48pra vocês verificar.
12:49Então, é isso.
12:51Essa é a propriedade 2
12:52dos produtos mistos.
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