00:00Então pessoal, dando continuidade às propriedades do produto misto, essa quarta propriedade é o seguinte, que o produto misto entre
00:08U, V e M e W é igual a U, M, V, W, que também é igual a M, U,
00:18V e W, que é igual a M multiplicado pelo produto escalar U, U, V e W.
00:25Onde esse M aqui é um número real, que está multiplicado esses vetores.
00:31Então vamos mostrar que de fato isso é válido.
00:35Como o produto misto de U, V e M e W é dado por quem?
00:53Pelo seguinte determinante, vamos ter X1, Y1, Z1, X2, Y2 e Z2 para o segundo vetor.
01:08E para o terceiro, nesse caso aqui vai ser MX3, MY3 e MZ3, certo?
01:22Onde aqui, utilizando o cofator, a gente consegue resolver fácil dessa forma aqui.
01:28Vai ser X1 multiplicado essa matriz aqui, que a gente separa isso e multiplica por essa matriz, vai ficar Y2,
01:40Z2, MY3 e MZ3.
01:49Agora a gente pega essa matriz com essa matriz, vai ser menos Y1, vai ser menos Y1, vai ser menos
01:53Y1 e agora a matriz que não cancelou da linha nem da coluna.
01:58Você cancela essa linha e essa coluna, o que restar é essa matriz.
02:01Então vai ser X2, Z2, MX3 e MZ3, mais quem?
02:14Z1, X2, Y2, MX3 e MY3.
02:27Então aqui temos esse determinante aqui, onde isso aqui vai ser X1 multiplicado por...
02:40A gente multiplica cruzado aqui, né?
02:44Depois volta aqui para resolver a matriz, que é a forma de resolver.
02:47Então vai ser Y2 multiplicado por MZ3, menos Z2 multiplicado por MY3, menos Y1 multiplicado por X2, MZ3,
03:04menos Z2 multiplicado por MZ3, mais Z1 multiplicado por X2, MY3, menos Y2 multiplicado por MZ3, certo?
03:27E aqui a gente pode colocar em evidência, o M, a gente pode tirar o M, vai ficar MX1, o
03:39que mais?
03:43MX1, e aqui dentro vai ficar só os termos ser um M, vai ficar XY2, Z3, menos Z2, Y3.
03:56aqui menos MY1, e dentro vai ficar X2, Z3, menos Z2, X3, mais MZ1, e aqui vai ficar X2, Y3,
04:22menos Y2, X3.
04:33E se a gente colocar em evidência, a gente vai ter isso aqui, colocar o M em evidência, né?
04:43Vamos ter, aí é só repetir, né, que o M tá multiplicando todo mundo, que ele tem M aqui, tem
04:49M aqui, tem M aqui e tem M aqui.
04:51Então, a gente colocando em evidência fica assim, X2, Z3, Z2, Y3, menos Y1, X2, Z3, Z2, X3, mais Z1,
05:17X2, X2, Y3, menos Y2, vezes X3, certo? E aqui fecha.
05:31Então, aqui foi o resultado para esse produto misto aqui, de UV e MW, né, onde o M é um
05:40número real multiplicado.
05:42Então, a gente encontra isso aqui, deixando o M em evidência.
05:44Agora, vamos fazer para...
05:48Agora, eu fiz o mesmo para esse vetor U, M, Z e W, né, onde aqui agora o primeiro vetor
05:57é X1, Y1, Z1.
05:59O segundo vai estar multiplicado as componentes pelo M, né?
06:03Então, vai estar M, X2, M, Y2 e M, Z2.
06:07E o terceiro vai ser só as componentes do terceiro vetor.
06:12E aí, fazendo o...
06:13Quebrando esses determinantes em cofatores, para determinar ele, a gente encontra isso aqui, né?
06:20Onde aqui agora o M, ele vai estar multiplicado a essa componente aqui, né?
06:26Então, ele vai vir para aqui, porque agora eu tenho o X1 e aqui eu preciso resolver.
06:30Então, vai ser essa componente, né, multiplicada por essa, menos essa multiplicada por essa, né?
06:39Ou seja, M, Y2 por Z3, menos M, Z2 por Y3.
06:47Mesma coisa eu faço aqui e também aqui.
06:51E aí, colocando em evidência, né, eu tirando esse M, eu tenho isso aqui.
06:56E aí, se a gente reparar, já temos a mesma coisa da primeira, né?
07:00E ainda colocando um M em evidência, a gente encontra isso.
07:04Ou seja, aqui nós temos a mesma coisa que aconteceu na primeira.
07:10Ou seja, já verificamos, então, que isso aqui é igual a isso.
07:17Certo?
07:20Agora vamos fazer o outro produto misto.
07:23Agora eu fiz, pessoal, esse aqui, ó, produto misto de M, U, V e W.
07:30Nesse caso aqui agora, o M vai estar no primeiro vetor, né?
07:35Então, eu coloco multiplicando o M nas componentes do primeiro vetor.
07:39Dessa forma aqui, como a gente resolveu cofatores, né?
07:43O primeiro, a componente, a gente coloca aqui no cofator, multiplicada a outra matriz.
07:49Certo?
07:50Ou seja, mesma coisa para Y e mesma coisa aqui no Z.
07:56Então, aqui é mais fácil ainda, porque ele já está fora, né, o M.
08:00Já está meio que em evidência aqui.
08:02Então, no final das contas, é só...
08:05Ou seja, eu resolvo isso aqui.
08:09E essa componente multiplicada a essa matriz, que essa matriz é para resolver, vai ser Y2 vezes Z3 menos Z2
08:18multiplicado por Y3.
08:21E assim resolvo também para as outras componentes, né?
08:24E no final eu coloco em evidência e dá a mesma coisa.
08:28Ou seja, dessa parte aqui em cima.
08:32Então, ele também...
08:34M, U, V e W também é igual a esse, que também é igual a esse.
08:42Agora, vamos fazer o último.
08:44Bem, o último, pessoal, é mais fácil ainda, porque...
08:46Ó, eu tenho M multiplicado ao produto misto U, V e W.
08:52Nesse caso aqui, o M vai estar multiplicado o determinante do produto misto, né?
08:57Onde as componentes...
08:59Aqui, componente do vetor U.
09:01Aqui, a componente do vetor V.
09:04E aqui, a componente do vetor W.
09:07Nesse caso aqui, o M vai estar multiplicando tudo isso, né?
09:11O M vai estar multiplicando a todo o determinante.
09:16Então, aqui, eu coloco o M em evidência e multiplico a todo o determinante.
09:20Aqui, fecha, né?
09:22Então, aqui, resolvendo por quatro fatores, né?
09:26Quando eu resolvo isso aqui, ou seja, X1 é multiplicado a essa matriz.
09:33O que eu resolvendo essa matriz é esse termo aqui, né?
09:36Que vai ser Y2 por Z3 menos Z2 por Y3.
09:41Mesma coisa acontece aqui, né?
09:44Eu resolvo essa matriz, depois resolvo essa outra e multiplico pelas componentes aqui.
09:49No caso aqui, menos Y1 e aqui, mais Z1.
09:52E o M já está em evidência, né?
09:54Então, no final das contas, eu encontro que é o mesmo valor.
09:59Ou seja, em todos os casos, fazendo esse produto misto, eu encontrei o mesmo valor final.
10:05Quando eu coloco em evidência o M, certo?
10:10Então, o que podemos concluir com isso?
10:14De fato, temos que o produto misto de U, V e M, V e M, W, né?
10:28É igual ao produto misto de U, M, V e W, que também é igual ao produto misto de M,
10:41U, V e W,
10:45que também é igual a um M multiplicado ao produto misto de U, V e W, certo?
10:57Então, de fato, isso é verdadeiro, né?
11:03A gente verificou.
11:05Agora, de modo geral, trazendo uma observação, é o seguinte.
11:11Isso serve não só para essas propriedades, né?
11:14Mas para tudo que a gente viu até aqui, sobre produto vetorial ou produto misto, né?
11:22O produto vetorial
11:36O produto misto não são definido no plano, ou seja, no IR2.
12:02Ele não é definido no IR2.
12:04Então, nem o produto misto e nem o produto vetorial.
12:08Enquanto o produto escalar era definido no plano também,
12:11o produto misto e o vetorial não são definidos no plano.
12:15Então, essa é uma observação importante, né?
12:17Para os assuntos de produto misto e produto vetorial.
12:21Certo, pessoal?
12:22Então, está aqui, né?
12:24A gente mostrou essa propriedade
12:26no qual diz que o produto misto
12:29dos vetores, onde um desses vetores
12:32está multiplicado por um escalar.
12:34A gente pode alternar esse escalar
12:36entre os vetores e a resposta vai ser a mesma.
12:39Ou até mesmo multiplicar o escalar
12:41por todos os vetores, né?
12:43Por todo produto misto.
12:44Vai dar o mesmo resultado.
12:46Então, é isso, pessoal.
12:48Está mostrada aqui a quarta propriedade
12:50do produto misto.
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