00:00Então, pessoal, dando continuidade às propriedades do produto misto,
00:04temos a terceira propriedade, que é essa propriedade aqui,
00:07no qual diz que o vetor u, v e v mais r é igual ao produto misto de u mais
00:15v e w,
00:17u, v e w mais u, v e r, ou seja, você tem uma soma aqui,
00:21você quebra essa soma como se fosse dois produtos mistos aqui.
00:26Então, vamos verificar isso, certo?
00:31De fato, vamos ter o seguinte, montando aqui esse determinante,
00:39a gente tem esse produto misto aqui de u, v e w mais r,
00:47como é que a gente monta ele?
00:49Ele é isso aqui, x1, y1 e z1, certo?
00:58Aqui é x2, y2 e z2.
01:03Lembrando que eu estou sempre adotando o índice 1 para x, para u,
01:08o índice 2 para v, o índice 3, no caso aqui, vai ser para w,
01:13e o r eu vou chamar o índice 4.
01:15Então, vai ser a soma como vai ser x3 mais x4.
01:19e aqui y3 mais y4, e aqui z3 mais z4, onde o 4 está representando o vetor r, certo?
01:29Tá, fazendo aqui essa operação de quebrar em cofatores,
01:34a gente tem esse determinante aqui, a gente multiplica esse termo por essa matriz aqui,
01:39e aqui o segundo termo, já com sinal negativo, multiplicado essa outra aqui,
01:45e assim por diante, o z também, multiplicado, o z1 multiplicado por essa matriz aqui.
01:51A gente só quebrou a matriz em cofatores, certo?
01:54Onde aqui também, eu já resolvi, né, essas matrizes aqui,
01:59ou seja, eu multipliquei e resolvi aqui,
02:01onde a primeira parte aqui, eu vou ter y2 multiplicado por z3 mais z4,
02:08ou seja, y2 multiplicado por z3 mais z4,
02:10e voltando aqui, menos x2, no caso z2, multiplicado por y3 mais y4, certo?
02:19Mesma coisa eu fiz pra essa aqui, eu já multipliquei, né,
02:22ou seja, eu multipliquei isso aqui, resolvi essa matriz aqui, né, o determinante,
02:26e aí ficou em termos disso.
02:28Agora eu vou resolver todos eles, já multiplicando aqui, né,
02:33voltando aqui, né, aqui eu resolvi já, eu já fiz a multiplicação,
02:37ou seja, eu multipliquei esse termo por esse, e esse por esse, né?
02:43Então, aqui, ou seja, eu tenho ali x1, e aí eu multipliquei, né,
02:53y2 por x3 mais y4 aqui, né, y2 com z4, no caso.
03:01E aí, ou seja, esse termo aqui, virou esse termo aqui,
03:06e esse termo virou esse.
03:10A mesma coisa eu fiz aqui, né, onde virou esses dois termos aqui,
03:15e esse aqui virou isso.
03:17Eu só abri, né, só multipliquei esse aqui com esse, e aqui também, né,
03:22aqui onde tinha isso, aí eu multipliquei e virou esses dois termos aqui,
03:27e aqui também, já considerando o sinal, certo?
03:31Agora, aqui, eu trago a resposta disso, né?
03:34Eu separei, é, aqui, eu multipliquei já aqui, né,
03:39que é x1, y2 e z3, x1, y2 e z3,
03:45só que aqui eu separei sempre na ordem de deixar o que é 3 de um lado,
03:50e o que tem 4 do outro.
03:52Então, aqui, eu peguei e fiz o seguinte,
03:55eu peguei esse termo que tinha 3 aqui, e aqui também tem 3 menos, né,
04:00o voltando aí, que é x1,
04:03multiplicado com isso vai dar z2 e y3 aqui,
04:06e sobrou esse termo aqui.
04:09E depois, eu fiz o que tinha com os termos de 4,
04:12ficou isso aqui, certo?
04:14Só fiz essa multiplicação, porque vai ter 4 termos, né?
04:17Então, eu separei o que era 3 primeiro,
04:21e o que foi 4, eu deixei,
04:23o que tinha com 4 no meio, ou seja, com R, eu deixei depois, certo?
04:28Mesma coisa para as componentes de z, né?
04:32Ou seja, eu só organizei aqui,
04:34de modo a deixar o que é com o vetor que só tem de 1, 2, 3,
04:39e aqui 1, 2 e 4, certo?
04:43Por quê?
04:44Porque depois a gente vai comparar esse resultado com o que a gente vai obter depois, né?
04:49Voltando aqui, aqui eu calculei o produto misto de u, v e w, né?
04:54Onde é que eu quebrei em cofatores,
04:57depois multipliquei os termos,
04:59e aqui eu calculei.
05:02Só uma coisa, aqui eu organizei, né,
05:05para deixar sempre y, x, y e z nessa ordem, né?
05:09Para ficar mais fácil, porque depois aqui é um número real,
05:11por exemplo, se a gente fosse calcular aqui,
05:15poderia ficar y, x e z.
05:18Então, eu só, né,
05:19botar aqui o serro, organizei e botei o x primeiro, certo?
05:23Em vez de botar y, x, 2 e z,
05:26eu coloquei sempre x, y e z primeiro, certo?
05:30Para organizar melhor visualmente,
05:33para a gente ver.
05:34Bem, agora eu piso também as contas para
05:39produto misto de u, v e r.
05:41Aqui no final das contas é só trocar o x3 pelo x4,
05:46o y3 por x4 e o z3 por z4, né?
05:51A gente só trocou esse último vetor.
05:53Então, resumindo, o que mudou foi isso, né?
05:57Ou seja, vamos ter...
06:00Aqui temos esse vetor, né?
06:02E aqui temos esse, só que com 4, né?
06:06Logo, se a gente for comparar com os resultados
06:10que a gente obteve aqui,
06:13lá do início, né?
06:15A gente tem que teve x1, y2 e z3,
06:19e aqui teve x1, y2 e z4.
06:22E aqui a gente teve x1, y2 e z3,
06:26e aqui x1, y2 e z4.
06:29Então, significa o quê?
06:30Olha, eu tenho sempre as mesmas componentes aqui.
06:33Eu vou até tirar um pouco o zoom para a gente visualizar isso.
06:37Olha, aqui, se a gente perceber bem,
06:40eu vou até circular de verde, né?
06:43Olha, esse primeiro aqui é o mesmo que essa primeira componente.
06:50E esse aqui é o mesmo que essa parte aqui.
06:55Aí, o que acontece?
06:58Essa aqui é o mesmo que essa, né?
07:01Aqui é só porque eu já inverti para a ordem de x, y e z aqui,
07:06não está invertido ainda, mas é a mesma coisa.
07:09O mesmo acontece para essa componente aqui,
07:12que é essa aqui, né?
07:13Que a gente vai ter x, y1, x3 e z2.
07:19Aqui tem, ó, y1, x3 e z2.
07:22Então, é essa aqui.
07:23E essa aqui é esse, essa componente,
07:27x2, y3 e z1, né?
07:30E essa aqui é essa componente aqui, certo?
07:34Enquanto esse outro aqui,
07:36vamos ver que tem todas essas componentes, né?
07:39x1, y2 e z4, que é essa primeira.
07:44Temos menos x1, z2 e y4, que é isso aqui, certo?
07:51E assim por diante.
07:53E a gente tem todas essas componentes aqui.
07:55Se vocês verificarem bem aí, ó,
07:58vamos ter essa para y.
08:02Vamos ter, ó,
08:04vou tirar o zoom ainda mais para a gente perceber.
08:07Para y, vai ser quem?
08:10Ó, y1, x2 e z4.
08:14Ou seja, negativa aqui mais y1, z2 e x4.
08:21Aqui, z1, y, x2 e y4.
08:26E aqui é a mesma componente.
08:28Ou seja, resumindo.
08:30Então, tendo em vista isso,
08:32logo, a gente tem que
08:34que esse determinante aqui,
08:36essa matriz,
08:37é igual à soma dessas duas matrizes, né?
08:40Que, no final da história,
08:42a gente está falando de quem?
08:44A gente está falando disso aqui, né?
08:47Que o produto misto
08:49de
08:52U, V e W mais R
08:59é igual
09:01a U, V, W
09:06mais o produto misto de
09:08U, V e R.
09:12Certo?
09:13Que era o que a gente queria mostrar.
09:15Então, a gente mostrou
09:18que, de fato,
09:19temos que o produto misto
09:20de U, V e W mais R
09:22é o mesmo que
09:23a soma dos produtos mistos
09:25de U, V, W mais U, V, R.
09:29Ok?
09:31Agora, uma observação importante,
09:33que é o seguinte.
09:37Observação.
09:42As outras
09:49operações
09:50também são válidas.
10:05Que outras operações
10:06eu estou falando?
10:07Estou falando
10:08dessas operações aqui.
10:10Se, em vez de fosse
10:12U, V
10:12e W mais R
10:14fosse isso aqui.
10:15Fosse U
10:17mais R
10:19produto misto disso
10:20com V
10:21e W
10:23isso seria
10:24igual a isso aqui, ó.
10:25Seria U
10:26V
10:28e W
10:29mais
10:30o produto misto
10:31de
10:32R, V
10:34e W.
10:36Certo?
10:37Ou seja,
10:37se a soma fosse
10:38no primeiro vetor
10:39a gente poderia fazer
10:40isso aqui.
10:40E se tivéssemos
10:42também isso aqui?
10:43U
10:43V
10:45mais R
10:47e W
10:48ou seja,
10:49a soma no segundo vetor
10:50a gente teria isso aqui também.
10:52U
10:54V
10:56e W
10:57mais a soma
10:58de quem?
10:59De
11:00U
11:01no caso aqui
11:02em vez de usar
11:03o V
11:04a gente usa o R
11:04e W
11:06certo?
11:07Então,
11:08essas outras condições
11:09também seriam válidas
11:10essas mesmas situações.
11:12É análogo à primeira.
11:13Aí,
11:14se vocês quiserem mostrar
11:15é o mesmo passo
11:16da primeira
11:17que vocês têm que fazer.
11:18Então,
11:19é isso pessoal.
11:20Aqui está mostrado
11:21essa propriedade aqui
11:23do produto misto,
11:25que é a segunda propriedade.
11:26Onde temos
11:27que o produto misto
11:29de U
11:29e a soma
11:31de W
11:32mais R
11:32é igual
11:33à soma
11:34dos produtos mistos
11:35de U,
11:36V,
11:36W
11:36mais
11:39U,
11:40V e R.
11:41Certo?
11:41Que também serviria
11:42para essas
11:43outras operações aqui.
11:45Então,
11:45é isso pessoal.
11:46Fiquem atentos
11:47aí à próxima aula
11:48que vamos trazer
11:49a terceira propriedade.
11:51Tchau.
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