00:00Bem, nessa aula, pessoal, vamos falar da propriedade 3 do produto vetorial.
00:06A propriedade é o seguinte, u vetorial, abre parênteses, v com w, fecha parênteses,
00:12é igual ao mesmo que u vetorial v mais u vetorial w,
00:18ou seja, é o mesmo que eu fazer u vetorial v e u vetorial w, certo?
00:23Então, vamos ver essa questão.
00:25De fato, isso é válido.
00:31Se a gente tiver w, por exemplo, w é igual a x3i mais y3j mais z3k.
00:51O que mais?
00:56A gente tem que v mais w, já que v a gente está usando sempre com o 2, né?
01:04Então, vai ser o seguinte, onde v vai ser esse vetor aqui, né?
01:09Vai ser x2, y2, enfim, e z2, vamos fazer aqui k.
01:20Se a gente soma ele com w, que w é x3i mais y3j mais z3k.
01:39A gente soma ele, a gente vai encontrar um vetor assim, x2 mais x3, tudo isso para i,
01:50mais y2 mais y3 para j, mais z2 mais z3 para k.
02:02Certo?
02:05Assim, se a gente faz o produto vetorial disso, já que v mais w é isso, né?
02:12A gente pode fazer o produto vetorial de u pela soma de v mais w.
02:20Aqui é w, só para não confundir.
02:27Então, vamos ter, montando aqui o determinante, vai dar aqui i, j e k.
02:36Aqui, o primeiro vetor é quem é u?
02:38Vai ser x1, y1 e y2 e z2, né?
02:43No caso, z1, z1 que é para u.
02:49Já o segundo vetor é a soma, né?
02:52De u mais v, que a gente fez aqui, vai ser x2 mais x3, y2 mais y3.
03:02E aqui vai ser z2 mais z3, certo?
03:07É, utilizando, de acordo com uma propriedade do determinante, pessoal.
03:17De acordo com uma propriedade dos determinantes,
03:39afirma que cada elemento de uma linha
03:54é uma soma
03:59é uma soma
04:07de
04:09duas
04:13parcelas, certo?
04:18Ou seja,
04:19se temos isso aqui,
04:24o
04:28vetorial, né?
04:33A soma de v mais w,
04:37a gente pode reescrever dessa forma aqui.
04:41Ou seja, por essa propriedade aqui do determinante, né?
04:44A gente pode dizer que é
04:46i, j, k,
04:50aqui dizer que é
04:52x1, x1, x2, aliás, y2, z.
04:59Aqui a gente pode dizer que é x1, y1, z1.
05:03Aqui, x2, y2, z2.
05:08Isso é a soma de outra parcela.
05:14Então, seria isso aqui.
05:15Isso é o que diz a propriedade, certo?
05:17Estou só reescrevendo aqui.
05:20X1, y1 e aqui z1.
05:24Aqui seria quem?
05:26x3, que aqui no caso seria o w, né?
05:29y3 e z3.
05:35É isso que o determinante está dizendo.
05:38Portanto,
05:39se tivermos isso aqui,
05:46o vetorial, a soma de v mais w,
05:52é o mesmo que o vetorial v mais o vetorial w, né?
06:01Porque aqui eu tenho o vetorial v e nessa parte aqui eu tenho o vetorial w.
06:06Então, de acordo com essa propriedade, isso é válido, certo?
06:10Mesmo assim, vamos mostrar isso, né?
06:13Vamos mostrar para vocês verem que, de fato, isso é válido, né?
06:19De acordo com essa propriedade aqui.
06:21Bem, trazendo aqui o determinante já, eu já fiz aqui,
06:27temos o seguinte, né?
06:29Se a gente tem o primeiro determinante com i, j, k e aqui com a soma vetorial, né?
06:35Aqui é o vetorial de u vetorial a soma de v mais w.
06:45Deixa eu só escrever melhor aqui.
06:47Vai ser u vetorial com a soma de v mais w,
06:56que é isso aqui.
06:58E isso aqui resulta nisso, né?
06:59Fazendo sempre aquele esquema de resolver a matriz.
07:02Então, vai ser essa matriz aqui para a parte de i multiplicado com i.
07:07Depois, a gente vai cancelar essa coluna e essa linha.
07:10Vai ser essa matriz aqui com esses componentes aqui para a parte de i.
07:14Depois, a gente cancela isso aqui.
07:16Vai ser essa matriz aqui.
07:18E a gente tem isso aqui, certo?
07:22E agora, aqui abaixo, eu fiz para a gente dar mais rápido aqui na aula.
07:28Eu já fiz essas contas, né?
07:29Multiplicando x1 por z aqui, né?
07:33Z2, depois por z3.
07:35E assim a mesma coisa.
07:36Z1 por y2, y3.
07:39E aí, deu esses valores aqui, ó.
07:42Certo?
07:43Multiplicando aqui.
07:45Y1 por z2.
07:46Depois, y1 por z3.
07:48E nessa parte aqui, z1 por y2.
07:52Z1 por y3.
07:54Tudo isso aí.
07:55Aí, também fiz para y, né?
07:57Que é x1 por z2, x1 por z3.
08:01Depois, fiz aqui também z1 por x2.
08:05E depois, z1 por x3.
08:07Na parte de j, né?
08:09E na parte de k, foi quem?
08:12x1 multiplicado por x2, y2, né?
08:16Depois, por y3.
08:18Depois, y1 multiplicado por x2 e por x3.
08:21Então, essa parte aqui em preto, né?
08:25O k.
08:26Agora, aqui, o que eu posso fazer é dividir essas duas partes, né?
08:32Ou seja, aqui, o que eu fiz?
08:34Eu peguei e dividi quem é que tem 1 e 2.
08:40Ou seja, a parte que tem 1 e 2.
08:42Ou seja, que é os vetores IV, né?
08:45E essa parte aqui, basicamente, que é 1 e 2 é isso e isso.
08:51Aí, eu separei como se fosse um vetor aqui.
08:53E essa parte aqui, eu separei em outro aqui.
08:57Tudo para componente i.
09:00Mesma coisa eu fiz aqui para componente, no caso, j.
09:06Ou seja, separei aqui quem era para o vetor 1 e 2 e o vetor 1 e i3 aqui, nesse outro.
09:12Ou seja, eu fiz duas componentes aqui.
09:15Mesma coisa eu fiz aqui para k, né?
09:19Ou seja, 1 e 2 eu separei aqui.
09:22E depois separei a outra quando tem 1 e 3.
09:26Certo?
09:27E aí, eu montei esses vetores aqui.
09:29De modo a fazer o quê?
09:30De modo que eu fiz, peguei esse i aqui, sempre que tem os vetores 1 e 2, certo?
09:39Depois, peguei o j para a parte 1 e 2 e peguei o k para 1 e 2.
09:46Aí, depois, somei com o que tem o vetor 1 e 3, que nesse caso aqui, e coloquei ele na frente.
09:54Começando o i novamente.
09:54E aqui, sempre levando em conta o sinal, né?
09:58E depois fiz para j e fiz para k.
10:00No final das contas, eu consigo reescrever isso dessa forma.
10:04Ou seja, isso vai ser igual a esses dois determinantes aqui.
10:08Essas duas matrizes somadas.
10:10Ou seja, eu peguei essa matriz aqui, no qual tem a som desses componentes.
10:16Eu resolvi ela, né?
10:18Multipliquei os componentes de si.
10:19E depois separei aqui, que aí sobrou, onde tem o índice 3, significa que eu estou usando o vetor 3, né?
10:28Que é o vetor w.
10:29Então, separei para um lado, sempre que tem o 3, e deixei sempre que tem 1 e 2 para 1.
10:35Ou seja, 1 e 2 para um lado e 1 e 3 para o outro lado.
10:39Então, meio que gerou duas componentes no final.
10:42Eu consigo reescrever dessa forma aqui, certo?
10:45Logo, eu consigo concluir que, de fato, nós temos que...
10:52Deixa eu só colocar aqui.
10:55Nós temos que o vetorial de u com a soma de v mais w é igual ao vetorial de u com v
11:08mais o vetorial de u com w.
11:12Então, a gente acabou de mostrar isso, com essa resolução aqui.
11:19Ou seja, partimos desse aqui e chegamos aqui.
11:23Onde...
11:24Ou seja, traduzindo aqui, isso aqui é igual a isso.
11:30Então, é isso, pessoal.
11:31Essa é o que diz a terceira propriedade, né?
11:35Do produto vetorial.
11:36Onde o vetorial de u com a soma de v mais w é igual ao vetorial de u com v
11:42mais o vetorial de u com w.
11:44Então, até a próxima aula, onde vamos falar da quarta propriedade.
11:48E aí
11:53E aí
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