- há 3 meses
#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: PRODUTO DE VETORES
📌 *Nesta aula:* Analisamos a Condição de Paralelismo (ou colinearidade) entre dois vetores. Você vai entender por que o Produto Vetorial de vetores paralelos sempre resulta no vetor nulo ($\vec{0}$) e ver a demonstração matemática completa dessa propriedade.
Conteúdo
*A Regra:* $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ ocorre se um dos vetores for nulo OU se eles forem paralelos.
*Demonstração 1 (Vetor Nulo):* Pela propriedade dos determinantes (linha de zeros).
*Demonstração 2 (Vetores Colineares):*
Definimos $\vec{u} = m\vec{v}$ (vetores proporcionais).Substituímos no determinante e mostramos que linhas proporcionais zeram o resultado.
*Prova Algébrica:* Abrimos as contas do determinante termo a termo ($i, j, k$) para provar que o resultado é exatamente zero.
Capítulos:
00:00 - Enunciado: Quando $\vec{u} \times \vec{v}$ dá zero?
01:10 - Caso 1: Quando um dos vetores é nulo
03:30 - Caso 2: Vetores Colineares (Definição $\vec{u} = m\vec{v}$)
06:00 - Demonstração Algébrica (Cancelamento dos termos)
08:00 - Conclusão Final
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC
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📌 *Nesta aula:* Analisamos a Condição de Paralelismo (ou colinearidade) entre dois vetores. Você vai entender por que o Produto Vetorial de vetores paralelos sempre resulta no vetor nulo ($\vec{0}$) e ver a demonstração matemática completa dessa propriedade.
Conteúdo
*A Regra:* $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ ocorre se um dos vetores for nulo OU se eles forem paralelos.
*Demonstração 1 (Vetor Nulo):* Pela propriedade dos determinantes (linha de zeros).
*Demonstração 2 (Vetores Colineares):*
Definimos $\vec{u} = m\vec{v}$ (vetores proporcionais).Substituímos no determinante e mostramos que linhas proporcionais zeram o resultado.
*Prova Algébrica:* Abrimos as contas do determinante termo a termo ($i, j, k$) para provar que o resultado é exatamente zero.
Capítulos:
00:00 - Enunciado: Quando $\vec{u} \times \vec{v}$ dá zero?
01:10 - Caso 1: Quando um dos vetores é nulo
03:30 - Caso 2: Vetores Colineares (Definição $\vec{u} = m\vec{v}$)
06:00 - Demonstração Algébrica (Cancelamento dos termos)
08:00 - Conclusão Final
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
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Categoria
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AprendizadoTranscrição
00:00Bem, pessoal, nesta aula vamos falar da quinta propriedade do produto vetorial.
00:05Então, vamos lá.
00:10A quinta propriedade é o seguinte.
00:12Que o vetorial B é igual a zero se e somente se um dos vetores for nulo, né?
00:37É nulo ou se U e V são colineares.
00:53O que significa ser colineares?
00:55Significa que eles são paralelos, né?
00:59Então, se isso acontecer, eles são nulos.
01:02E, de fato, vamos ter o seguinte.
01:13Se U é nulo, ou seja, é o vetor nulo, significa que é zero, zero, zero.
01:25Então, temos que U vetorial V vai ser quem?
01:32Vai ser I, J, K.
01:38E vai ser zero, zero, X2, Y2 e Z2.
01:47Já que U é nulo, né?
01:49Então, vamos ter isso aqui.
01:52Vai ser, quebrando em matriz menor, vai ser zero, zero, Y2 e Z2.
01:59Tu bude o multiplicado aí.
02:02Menos zero, zero, X1.
02:08X2, no caso.
02:09E Z2, tudo isso multiplicado a J, mais zero, zero, X2, Y2, tudo isso multiplicado a K.
02:23Onde é que a gente vai encontrar?
02:25Zero multiplicado por Z2 vai ser igual a zero.
02:28Menos zero multiplicado por X2 vai ser igual a zero I.
02:33Mesma coisa aqui, vai ter sempre zero, C0, menos J, né?
02:40Mais zero K.
02:42Ou seja, que tudo isso vai ser igual a zero, né?
02:47E, de fato, né?
02:48De acordo com a propriedade do determinante, uma linha constituída de elementos todos nulos,
02:56o determinante é zero, certo?
03:00Ou seja, é igual a zero.
03:05Portanto,
03:07portanto,
03:11temos o seguinte,
03:14temos que o
03:15vetorial V,
03:19nessas condições,
03:21vai ser igual a zero, né?
03:23Agora, vamos para outra condição,
03:27que é
03:28se
03:33nem
03:36U
03:38e nem V
03:41são
03:44nulos,
03:49mais
03:50se
03:51U
03:51e V
03:54são colineares,
03:57ou seja,
03:58são paralelos, né?
04:00Estão em mesma direção.
04:02Significa o quê?
04:04Que U
04:05a gente pode escrever como sendo
04:08colinear a V
04:11ou
04:13dessa forma aqui ainda, né?
04:15Dizer que U
04:16é o vetor
04:18vai ser M
04:20multiplicado a X2I
04:22mais M
04:24multiplicado a Y2I
04:26que é as componentes, né?
04:29Do vetor V
04:31no caso J aqui
04:33mais M
04:34multiplicado a Z
04:362K
04:41Certo?
04:42A gente pode escrever
04:43assim
04:44ou assim, né?
04:47Então, vamos lá.
04:50Logo,
04:52o que temos?
04:55Temos que o determinante
04:57de
04:57o vetorial de U com V
05:00é igual a esse determinante
05:02aqui, né?
05:05I
05:05J
05:06K
05:09Sendo que U
05:11a gente viu que é isso aqui, né?
05:14Ou seja, é uma combinação de V
05:15Então, vai ser
05:16M
05:18com X2
05:19M
05:20com Y2
05:21e M
05:22com Z2
05:23Enquanto aqui vai ser
05:26Z é X2
05:28Y2
05:30e Z2
05:31Certo?
05:33Por outro lado, pessoal
05:35uma propriedade, né?
05:37De acordo com a propriedade
05:38dos determinantes
05:39duas linhas
05:40tem seus elementos proporcionais
05:42e o determinante
05:44é igual a zero
05:45Ou seja, se duas linhas
05:46tiver
05:46os elementos proporcionais
05:49ou seja, é múltiplo do outro
05:51o determinante
05:52será igual a zero
05:53Certo?
05:55Neste caso aqui
05:56eu vou calcular
05:57pra vocês verem
05:58que de fato
05:59o determinante
06:00é igual a zero
06:01Ok?
06:04Pronto, pessoal
06:05aqui eu montei
06:05o determinante
06:07já pra andar
06:08mais rápido aqui
06:09já tô só mostrando
06:10a resposta, né?
06:12Onde
06:13tendo
06:14esse determinante aqui
06:15eu montei aqui
06:16as matrizes menores, né?
06:17E aqui eu vou montar
06:19apenas
06:19sua parte parcial, né?
06:21Aqui eu tenho
06:21m multiplicado por
06:24y2
06:25por z2
06:26menos
06:28m
06:29multiplicado por
06:31z2
06:32e
06:33y2, né?
06:38Tudo isso aí
06:40menos
06:43vai ser m
06:45x2
06:47e z2
06:49menos m
06:50z2
06:52e x2
06:54tudo isso é
06:55j
06:55m
07:00multiplicado por
07:02x2
07:03y2
07:05menos
07:06m
07:07multiplicado por
07:09y2
07:09x2
07:11tudo isso
07:13é k
07:13O que a gente tem aqui?
07:16A gente tem
07:16é só invertir a ordem aqui, ó
07:17Onde era y
07:18aqui virou z
07:20Mas como
07:21aqui são números reais
07:22não importa a ordem
07:23eu posso dizer que
07:24aqui também é
07:25y2
07:26z2
07:27Então se eu fizer isso
07:28significa que
07:29eu vou ter zero
07:30e
07:30aqui
07:31eu vou ter
07:33também a mesma coisa, né?
07:34Eu posso dizer que
07:35isso aqui é iguais
07:36Então
07:36significa
07:37se eu tenho isso
07:38menos a mesma coisa
07:39vai ser zero
07:40aqui também
07:42vai ser a mesma coisa
07:44eu tenho x2
07:44com y2
07:45e aqui eu tenho
07:45y2 com x2
07:47Então vai ser zero
07:48também
07:48Certo?
07:50Logo
07:50o determinante disso
07:51vai ser igual a zero
07:52E de fato
07:54pela propriedade
07:55a propriedade já
07:56previa isso
07:57Logo
08:00Temos que
08:05o vetorial
08:07v
08:08é igual a zero
08:10de fato
08:11como
08:12mostra a nossa
08:13propriedade
08:13se um
08:14for colineado
08:15o outro
08:15isso
08:17nesta condição
08:18Então é isso
08:20pessoal
08:20aqui vimos
08:21essa propriedade
08:22onde o
08:23vetorial v
08:24é igual a zero
08:26nesse caso aqui
08:28tem duas situações
08:30quando um dos vetores
08:31é nulo
08:31por exemplo
08:33aqui u
08:34ou então
08:34quando os dois vetores
08:36são colineares
08:37ou seja
08:37um é colinear
08:38um do outro
08:39então
08:40é isso
08:41que mostra
08:42essa propriedade
08:43aqui
08:43mostramos que é igual a zero
08:45quando um é nulo
08:46e aqui
08:47quando eles são
08:48colineares
08:49um do outro
08:49então também é igual a zero
08:51Então é isso
08:53até a próxima aula
08:54onde vamos mostrar
08:55a parte
08:56de ortogonalidade
08:57e simultaneidade
08:59aos vetores
09:00vezes o evito
09:00né
09:00então fica
09:01atento
09:02a próxima propriedade
09:03Tchau
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