00:00Olá, pessoal! Na aula de hoje vamos falar sobre propriedades do produto vetorial.
00:07Então, nesta aula vamos falar da propriedade 1, né?
00:11No qual a propriedade 1 diz o seguinte,
00:16o produto vetorial entre U e U é igual a zero.
00:23Então, qualquer que seja o vetor U, certo?
00:36Ou seja, se tiver o produto vetorial de U com U,
00:40ele será igual a zero independente qualquer que seja U, certo?
00:44E, de fato, né?
00:47De fato, isso ocorre.
00:54Por quê? Vamos fazer aqui, para vocês terem ideia, né?
00:59Se a gente faz o produto vetorial de U com U,
01:04quem é o produto vetorial?
01:06Lembrando sempre da fórmula do determinante,
01:09vai ser aqui, vai colocar as componentes dos vessores, né?
01:13I, J, K, nessa primeira linha.
01:20Na segunda linha, coloca o primeiro vetor, quem é?
01:23Quem é U?
01:24U é quem?
01:25A gente normalmente chama que U é X1, Y1 e Z1, certo?
01:32E a terceira linha, quem?
01:34É U novamente, porque está fazendo o produto escalar de U com U, né?
01:38Então, vai ser X1, Y1 e Z1, certo?
01:43Como a gente viu na aula anterior, sobre cofatores, né?
01:48A gente consegue resolver essa matriz aqui, esse determinante,
01:53quebrando em determinantes menores, né?
01:56Então, mas antes disso mesmo, a gente já sabe que, ó,
02:02tendo em vista,
02:05só antes de a gente fazer realmente determinante,
02:08a gente já sabe que é zero por quê, ó?
02:09tendo em vista
02:14uma
02:19propriedade
02:23do determinante
02:27determinante,
02:32no qual diz que
02:37duas
02:41linhas
02:46iguais
02:49resulta
02:55num determinante igual a zero,
02:59resulta
03:00no
03:01valor igual a zero.
03:07Ou seja, no valor do determinante, né?
03:09Vai ser igual a quem?
03:10A zero.
03:12Isso é propriedade do determinante, né?
03:15Logo,
03:16como aqui o determinante
03:17é o produto escalar
03:18de U
03:19com U,
03:21isso mostra que é
03:22igual a zero,
03:24só por essa propriedade do determinante.
03:26Mas, mesmo assim,
03:28a gente vai fazer
03:29só pra mostrar pra vocês
03:30que, de fato,
03:31é igual a zero, né?
03:33Então, vamos lá.
03:35Se temos
03:36o determinante
03:38é...
03:40como é que se diz?
03:42Se temos aqui
03:43I
03:44J
03:45K
03:47vetores, né?
03:49X1
03:50Y1
03:51e Z1
03:55X1
03:56Y1
03:58e Z1
03:59que é o determinante
04:02do lado de cima, né?
04:04É a matriz, no caso.
04:06Então, vamos lá
04:07calcular isso aqui, né?
04:09Pelo método de cofatores
04:11aprendemos o quê?
04:12Aprendemos que
04:13a gente pega
04:15anula a primeira linha
04:17a primeira coluna
04:18e a gente
04:20reduz a matriz
04:21pra as linhas
04:22que não foram
04:23linha e coluna
04:24que foram cortadas, né?
04:26Então, a gente
04:27encontra que aqui
04:28vai ser
04:28Y1
04:30Z1
04:31que vai ficar
04:32essa matriz aqui
04:33que sobrou, né?
04:35Depois aqui
04:36Y1
04:36e Z1
04:37certo?
04:38Tudo isso
04:39multiplicado
04:40a linha onde cortou
04:41linha
04:42o encontro de linha e coluna, né?
04:44Cortamos aqui
04:45essa linha
04:46e essa coluna
04:47então, quem foi
04:48o elemento
04:49que foi cortado
04:51tanto pela linha
04:51quanto pela coluna?
04:52Esse elemento aqui
04:53que no caso é Y
04:54o vetor Y
04:55certo?
04:56O vetor unitário Y
04:57e
04:59vimos que o cofatores
05:02é o quê?
05:02É
05:03menos 1 elevado
05:04a
05:05número de linhas
05:07somado com o número
05:08de colunas
05:08como o número de linhas
05:09é 1
05:09e colunas é 1
05:11vai dar
05:11menos 1 elevado
05:13a 2
05:13que vai ser positivo, né?
05:14Então por isso
05:15que aqui
05:15não entrou menos
05:16já na parte
05:17dessa outra parte
05:19para anular
05:20a segunda coluna
05:21vai ficar
05:21primeira linha
05:23anulada
05:24com a
05:25terceira
05:26a segunda coluna
05:27vai ser
05:27menos 1 elevado
05:28a 3
05:28logo vai dar
05:29negativo
05:30então por isso
05:30que a gente
05:31coloca negativo
05:32na parte
05:33referente aqui
05:34ao J, né?
05:35e como a gente
05:37meio que anulou
05:38aqui
05:38essa
05:39segunda coluna
05:40então
05:40vai ficar
05:41apenas a
05:42primeira coluna
05:43aqui
05:44partindo da
05:45segunda linha
05:46e terceira linha
05:46e a terceira
05:48coluna
05:49segunda e terceira
05:50linha
05:50que a gente vai
05:50colocar como
05:51elementos aqui
05:52da nova matriz, né?
05:54Se vocês
05:54quiser revisar
05:55veja a aula
05:56anterior
05:57que falamos
05:57de cofatores, né?
05:59Que explica
06:00bem
06:01essa situação
06:02e na
06:03na outra
06:05a gente faz
06:06o que?
06:06Anula
06:06essa linha
06:07e essa coluna
06:08então vai ser
06:09uma linha
06:10mais
06:11três colunas
06:12a terceira coluna
06:13vai ser
06:13menos 1 elevado
06:14a 4
06:14então vai ser
06:14positivo, né?
06:16Então vai ficar
06:16x1
06:17y1
06:18x1
06:19y1
06:20certo?
06:21Multiplicado
06:21ao vetor
06:22k
06:23então
06:24se a gente
06:25resolve isso aqui
06:26como é que
06:27resolve a matriz?
06:28A gente
06:29multiplica
06:30aqui
06:31cruzado
06:33vai ser
06:35e depois
06:36menos
06:37o cruzado
06:38nesse sentido
06:38aqui
06:39que isso aqui
06:41vai ficar
06:41y1
06:43multiplicado
06:44com z1
06:45menos
06:46z1
06:47multiplicado
06:48por y1
06:49certo?
06:51A ordem
06:51importa
06:52em alguns casos
06:53não aqui
06:54em vetores
06:54nessa disciplina
06:55mas
06:55porque se você
06:57multiplicar
06:57depois
06:58diminuindo
06:59multiplicando
07:00y1
07:01por z1
07:01aqui não vai
07:02importar
07:03a ordem
07:04mas eu
07:05estou fazendo
07:06sempre nessa ordem
07:06aqui
07:07e voltando
07:08aqui
07:08porque
07:09em alguma disciplina
07:10mais avançada
07:11a depender
07:13tipo
07:13álgebra
07:14talvez a ordem
07:15importe
07:16você resolver
07:17a matriz
07:17a matriz
07:17né
07:17então
07:18é melhor
07:19sempre
07:19aprender
07:19da maneira
07:20correta
07:20então
07:22vamos lá
07:22isso aqui
07:24vai ser
07:24x1
07:25z1
07:27menos
07:29z1
07:30x1
07:31certo?
07:33tudo isso
07:35vezes j
07:37aqui
07:37vai ser
07:38x1
07:39y1
07:41menos
07:42y1
07:43x1
07:45tudo isso
07:46multiplicado
07:47k
07:48certo?
07:50aqui vamos ter
07:51quem?
07:51aqui temos
07:52y1
07:53multiplicado
07:53com z1
07:54e aqui
07:54menos z1
07:55multiplicado
07:56por
07:57y1
07:58nesse caso
07:58aqui
07:59a ordem
07:59não importa
07:59né
08:00porque aqui
08:00são números
08:01reais
08:01a princípio
08:03né
08:03então
08:04se eu trocar
08:05botar o z1
08:06antes
08:06ou aqui
08:08colocar o y1
08:09antes do z1
08:09ou seja
08:10é a mesma coisa
08:11então aqui
08:12na verdade
08:13vai ser quem?
08:14vai ser zero
08:14né
08:15eu tenho algo
08:16z1
08:16y1
08:17com z1
08:18multiplicado
08:19menos
08:19z1
08:20por y
08:21multiplicado
08:22como é a mesma coisa
08:23então
08:24se eu tenho
08:25uma
08:26uma diferença
08:26de algo
08:27por algo
08:28que é a mesma coisa
08:29vai ser igual a quanto?
08:30a zero né
08:31então aqui
08:32eu tenho
08:32zero i
08:34né
08:35e aqui
08:37menos
08:37e aqui
08:38x1
08:39por z1
08:39menos
08:40z1
08:41por x1
08:42mesma coisa
08:42zero j
08:43mais
08:45aqui
08:46x1
08:47por y1
08:48menos
08:49y1
08:50por x1
08:50então
08:51zero k
08:52ou seja
08:54aqui é igual a zero
08:56né
08:56o determinante
08:57dessa matriz
08:58aqui
08:58logo
09:00é
09:03se a gente tiver
09:10por exemplo
09:11é
09:13por exemplo
09:14os vetores
09:15é
09:17os versores
09:19aqui
09:19em cada
09:20componente
09:21né
09:21por exemplo
09:21i vezes i
09:22daria quanto?
09:23j
09:23j vezes j
09:24o k
09:27vezes k
09:28é a mesma coisa
09:29que vai ser quem?
09:31vai ser igual a zero
09:32ou seja
09:32se tiver o vetor
09:33por ele mesmo
09:34vai ser igual a zero
09:35no produto vetorial
09:37então é isso pessoal
09:39essa propriedade aqui
09:41fala sobre isso
09:43né
09:43ou seja
09:44o produto vetorial
09:45do vetor
09:46por ele mesmo
09:46vai ser sempre
09:47igual a zero
09:48qualquer que seja
09:49o valor
09:49desse vetor
09:50entenderam?
09:52tanto pela
09:53propriedade
09:54do determinante
09:55e resolvendo
09:56o determinante
09:57vimos que realmente
09:58é igual a zero
09:59então é isso pessoal
10:01essa foi a aula
10:02onde falamos
10:03da primeira propriedade
10:05na próxima aula
10:06vamos falar
10:07da segunda
10:07propriedade
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