00:00Então, pessoal, nesta aula vamos falar da segunda propriedade do produto vetorial, né?
00:06No qual temos essa propriedade aqui, que diz que U vetorial V é igual a menos V vetorial U.
00:16Enquanto no produto escalar nós tínhamos que U escalar V era a mesma coisa que V escalar U,
00:26aqui não, aqui quando você inverte não é a mesma coisa, então aqui ele dá a mesma coisa no sentido de oposto,
00:35ele dá o vetor oposto, quando você faz o vetorial UV por VU, ou seja, ele é igual a menos um ou outro, né?
00:43Isso aí não vai dar igual, ele vai dar igual a menos um sinal, vai ser invertido, né?
00:47Então vai ser U vetorial V vai ser menos V vetorial U.
00:51Então vamos mostrar isso para vocês, né?
00:53Vamos fazer aqui o vetorial V, vamos montar a matriz, né?
01:04Que é I, J, K, o primeiro vetor X1, Y1 e Z1.
01:16Já o segundo vetor aqui vamos adotar como sendo X2, Y2 e Z2, certo?
01:24Seguindo a mesma lógica que a gente fez lá na propriedade anterior, né?
01:30Para resolver o determinante aqui, a gente pode quebrar usando cofatores, né?
01:35Em determinantes de duas matrizes de 2 por 2, ao invés de fazer essa matriz 3 por 3 diretamente, né?
01:41Então aqui a gente consegue dizer que é essa matriz aqui, Z1, Y1, Z1, Y2, Z2, tudo isso multiplicado por I vetor, por essa linha aqui, esse componente, né?
01:58Menos, na parte de Y, né?
02:01Aqui, vai ser X1, Z1, X2, Z2 multiplicado por J mais, quem?
02:14Cancela aqui, aqui vai sobrar essa matriz aqui, X1, Y1.
02:19Se vocês não entenderam isso aqui, volte lá para a aula que falei sobre cofatores, que vocês vão entender por que eu estou fazendo isso, certo?
02:29É X2, Y2 multiplicado por K.
02:35Isso aqui é o produto da matriz, né?
02:37Desse determinante aqui, o resultado.
02:38Então, isso aqui vai ser Y1 multiplicado por Z1, menos Z1 multiplicado por Y2.
02:51Tudo isso é, é quem é?
02:53É vezes I, menos, aqui vamos ter X1 multiplicado, X1 multiplicado por Z2, menos Z1 multiplicado por X2.
03:05tudo isso, tudo isso vezes J, mais X1 multiplicado por Y2, menos Y2, aliás, Y1, né?
03:18Multiplicado, que aqui está aparecendo 2, mas é 1, multiplicado por X2.
03:25Tudo isso multiplicado por K, certo?
03:29Vamos fazer agora, isso aqui foi o resultado, né?
03:32De U com V, agora vamos fazer V com U, certo?
03:38Quando a gente faz o produto vetorial entre V com U, o que acontece?
03:46O primeiro vetor que a gente vai usar aqui vai ser os vetores canônicos, né?
03:52As componentes do vetor canônico, no caso aqui, a parte do vetor mesmo.
03:58Já aqui, para a gente vai usar no vetorial, vai usar o vetor V, que no caso aqui é X2, o primeiro vetor.
04:07Y2, que se refere-se a V, né? Primeiro vetor aqui.
04:11E Z2.
04:12Aqui, vamos ter que é X1, Y1 e Z1, certo?
04:20Resolvendo isso, vamos ter quem?
04:24Mesma ideia, do primeiro lá, vamos ter Y2, Z2, Y1, Z1.
04:40Tudo isso multiplicado pelo vetor I, menos, quem?
04:46X2, Z2, X1, Z1, multiplicado pelo vetor J, mais, X2, Y2, X1, Y1.
05:05Tudo isso multiplicado por K, certo?
05:10Logo, quem é isso aqui?
05:13Vai ser X2 vezes Z1, menos Z2 vezes Y1.
05:23Tudo isso é quem?
05:25I vetor.
05:26Menos, menos quem?
05:28X2 vezes Z1, vezes X1, tudo isso é K.
05:41Mais, quem?
05:44X2 vezes Y1, menos Y2 vezes X1.
05:52Tudo isso é K.
05:53Então, se a gente reparar bem isso aqui, esse resultado.
06:01Com esse resultado aqui, o que a gente consegue perceber, pessoal?
06:13Percebemos aqui que vai estar invertido, né?
06:24Ou seja, isso aqui vai ser igual a quem?
06:29Vai ser igual, ó.
06:31Por quê?
06:32Vamos lá, ó.
06:35Z1, Y2.
06:37Quem é Z1, Y2?
06:38Aqui, ó.
06:39Z1, Y2 vai estar negativo.
06:41E quem é Y1, Z1?
06:44Y1, Z1.
06:47Vai estar aqui.
06:49Y2, no caso, né?
06:52Vai estar aqui.
06:54E negativo.
06:56Ou seja, aqui está positivo e aqui está negativo.
07:00Certo?
07:01Aqui é Z1, certo?
07:05Só para não confundir.
07:06Z1, aqui, ó.
07:08Z2 por Y1.
07:12Certo?
07:15E aqui é Z2, né?
07:19E só para não confundir.
07:21Então, só voltando aqui, ó.
07:23Vai ter Y1 com Z2.
07:25Vai estar negativo aqui, enquanto nesse aqui está positivo.
07:27E aqui, Z1 por Y2.
07:29Vai estar sempre invertido, ó.
07:31Se vocês olharem bem, os valores aqui vão estar invertidos, ó.
07:34Z2 com X1.
07:36Aqui é negativo, enquanto aqui está positivo.
07:39Né?
07:40Aqui, Z1 com X2.
07:42Z1 com X2.
07:44Aqui é negativo, enquanto aqui é positivo.
07:47Já aqui, mesma coisa.
07:49Ou seja, Y1 com X2.
07:52Quem é Y1 com X2?
07:54Está negativo aqui.
07:55Certo?
07:56E positivo no de cima.
07:57E aqui?
07:58Quem é Y1 com X2?
08:01Y1 com X2, aqui está negativo em cima e embaixo está positivo.
08:05Ou seja, está sempre invertido.
08:07Então, significa que
08:09V vetorial U é a mesma coisa que
08:14menos U vetorial V.
08:17Ou vice-versa, né?
08:18Ou seja, U vetorial V é a mesma coisa que
08:26menos V vetorial U.
08:28Ou seja, vai estar essa propriedade aqui.
08:30A gente acabou de mostrar, ó.
08:32Ou seja, que está negativo, né?
08:35Ou seja, U vetorial V é menos V vetorial U.
08:39Então, é isso, pessoal.
08:41Na aula de hoje, mostramos essa propriedade 2.
08:43Fiquem atentos, porque na próxima aula eu vou mostrar a propriedade 3.
08:49Logo, né?
08:56Logo, de fato...
08:58De fato...
08:59De fato...
09:03De fato...
09:08É...
09:09Tendo em vista...
09:11Tendo em vista...
09:18Tendo em vista...
09:19Uma...
09:20Propriedade...
09:26Dos...
09:28DT...
09:30Inantes...
09:33No qual diz o seguinte...
09:35Que propriedade é essa?
09:38Trocando...
09:39Trocando-se duas linhas...
09:45Entre si.
09:50Ou seja, se você troca duas linhas entre si, você muda o sinal.
09:55Ou seja, de fato, se você tem U vetorial V, vai ser igual a V vetorial U.
10:05Então, isso é o que diz nessa questão, pessoal.
10:08Então, de fato, a gente mostrou isso aqui resolvendo os determinantes.
10:14Certo?
10:15Tanto de...
10:16O produto vetorial de U por V...
10:18E o vetorial de V por U.
10:20No final das contas, você tem uma inversão de linhas.
10:23Ou seja, você trocou uma linha do determinante.
10:25Se você troca uma linha do determinante, o que acontece...
10:29O valor vai ser o oposto do outro.
10:31Tipo assim...
10:32Vai ser o mesmo valor, só que...
10:34Com o sinal.
10:35Se era positivo, vai ser negativo ao outro.
10:38O outro determinante.
10:39Entendeu?
10:40Se você trocar linha da matriz, essa vai ser...
10:42Vai ser a mesma com o sinal negativo.
10:45Entendeu o resultado?
10:46Então, é isso.
10:47A propriedade 2.
10:49Então, fica atento.
10:50Porque na próxima aula, vamos falar da propriedade 3.
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