- há 3 meses
#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: PRODUTO DE VETORES
**Título do Bloco:** 📌 **Nesta aula:**
Aprenda como aplicar as regras do Produto Escalar (que já vimos no espaço $R^3$) agora para o plano ($R^2$). Nesta aula teórica, resumo as 8 principais fórmulas e propriedades vetoriais.
**Tópicos abordados:**
1. Definição Algébrica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$
2. Cálculo do Módulo: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
3. Propriedades: Validade das regras operatórias.
4. Cálculo do Ângulo: $\cos(\theta)$ entre dois vetores.
5. Condição de Ortogonalidade: Quando $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
6. Ângulos Diretores: $\cos(\alpha)$ e $\cos(\beta)$.
7. Relação Fundamental: $\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) = 1$.
8. Fórmula da Projeção: Projetar um vetor sobre o outro.
⏱ Capítulos Sugeridos:
• 00:00 - Introdução: Do Espaço ($R^3$) para o Plano ($R^2$)
• 01:20 - Fórmula do Produto Escalar e Módulo (Pontos 1 e 2)
• 02:40 - Como calcular o Ângulo entre vetores (Ponto 4)
• 03:30 - Condição de Perpendicularismo (Muito importante! - Ponto 5)
• 04:00 - Cossenos Diretores e Identidade Fundamental (Pontos 6 e 7)
• 05:40 - Fórmula da Projeção Ortogonal (Ponto 8)
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC
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https://amzn.to/48Snil4
💻 SETUP, ÁUDIO E ACESSÓRIOS
* Monitor GamerLG UltragearCurvo –Tela VAde 34”, 2K [Mercado Livre]
https://mercadolivre.com/sec/2VrDuM9
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2. Cálculo do Módulo: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
3. Propriedades: Validade das regras operatórias.
4. Cálculo do Ângulo: $\cos(\theta)$ entre dois vetores.
5. Condição de Ortogonalidade: Quando $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
6. Ângulos Diretores: $\cos(\alpha)$ e $\cos(\beta)$.
7. Relação Fundamental: $\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) = 1$.
8. Fórmula da Projeção: Projetar um vetor sobre o outro.
⏱ Capítulos Sugeridos:
• 00:00 - Introdução: Do Espaço ($R^3$) para o Plano ($R^2$)
• 01:20 - Fórmula do Produto Escalar e Módulo (Pontos 1 e 2)
• 02:40 - Como calcular o Ângulo entre vetores (Ponto 4)
• 03:30 - Condição de Perpendicularismo (Muito importante! - Ponto 5)
• 04:00 - Cossenos Diretores e Identidade Fundamental (Pontos 6 e 7)
• 05:40 - Fórmula da Projeção Ortogonal (Ponto 8)
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
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Categoria
📚
AprendizadoTranscrição
00:00Na aula de hoje, pessoal, vamos falar de produzir lá no plano, né?
00:05As propriedades que a gente utilizou no espaço também serve para o plano, as mesmas propriedades, né?
00:11Então, todo estudo feito para o espaço, ou seja, no R3,
00:30é válido para o plano, ou seja, o R2, né?
00:44Então, considerando os vetores U como sendo X1 e Y1,
01:04e V como sendo X2 e Y2, temos a primeira propriedade.
01:18Ou seja, o produto escalar de U com V vai ser igual a quem?
01:29X1 com X2 mais Y1 e vezes Y2.
01:35Então, enquanto lá no espaço a gente ia também o Z1 vezes o Z2,
01:40aqui para aqui, né? Que aqui é no plano.
01:43Então, já a segunda propriedade vai ser quem?
01:47O módulo do vetor U vai ser igual ao escalar U com U.
01:54Nesse caso aqui, vai ser igual a X1 ao quadrado mais Y1 ao quadrado.
02:01Isso no plano, né? No espaço teria o Z, né?
02:05Então, contua sendo válido as mesmas propriedades, né?
02:07Então, a propriedade A3 é validade
02:12das mesmas
02:18propriedades
02:24do
02:27produto
02:31escalar,
02:33O 4, a quarta situação, se θ é o ângulo
02:45entre V, entre U, o vetor U, que é diferente de zero, e V diferente de zero,
02:59Então, vamos ter o seguinte.
03:04Vamos ter que o cosseno
03:06do ângulo θ vai ser igual
03:09ao U escalar V
03:13dividido pelo módulo de U
03:17vezes o módulo de V, certo?
03:21Então, continua sendo válido a mesma propriedade que a gente utilizou lá
03:25no espaço, né?
03:29Quinta situação.
03:32Se U é ortogonal ao vetor V,
03:37isso só acontece somente
03:40e somente se
03:42o escalar V
03:50for igual a zero, né?
03:54Ou seja, formar 90 graus, né?
03:56Isso só vai acontecer nessa situação.
04:00Sexta situação.
04:03Se
04:04alfa
04:05e beta
04:07são
04:10os
04:11ângulos
04:12diretores
04:18de U
04:20então
04:23temos o seguinte
04:25vamos ter isso aqui, pessoal
04:28cosseno de alfa
04:32vai ser igual a
04:34x1
04:35dividido pelo módulo
04:37no caso aqui de U, né?
04:39e
04:43cosseno de beta
04:47vai ser
04:47y1
04:48dividido pelo módulo de U
04:50certo?
04:53Quando tínhamos
04:54três
04:56cor
04:57componente
04:57tinha Z, né?
04:58Z1
04:59dividido pelo módulo de U
05:00como aqui não tem
05:01então só fica esses dois
05:03a sétima
05:05situação
05:06é o seguinte
05:07nesse caso aqui
05:08vamos ter apenas
05:09isso aqui
05:10cosseno
05:11de alfa
05:13ao quadrado
05:14mais cosseno
05:15de beta
05:15ao quadrado
05:16tudo isso é igual a 1
05:18isso aqui é uma identidade
05:19trigonométrica, né?
05:20Nesse caso aqui
05:21como só tem duas
05:22componentes no plano
05:23é isso aqui
05:23se tivesse no espaço
05:25teria ainda o
05:27mais
05:28cosseno
05:29de gama
05:30ao quadrado, né?
05:31Nesse caso aqui
05:31se resume isso
05:32isso é uma identidade
05:33muito usada
05:34nas contas aí
05:35de cálculo 1
05:362, né?
05:37então
05:39é isso
05:40e por último, né?
05:42a oitava situação
05:43que a projeção
05:46do vetor V
05:48sobre o vetor U
05:51é igual
05:53ao vetor V
05:55escalar o vetor U
05:58dividido pelo
05:59escalar U com U
06:02tudo isso multiplicado
06:04ao vetor U
06:05certo
06:06com U e V
06:11são vetores não nulos, né?
06:18então é isso, pessoal
06:19aqui são as propriedades, né?
06:24do produto escalar
06:26no plano
06:28ou seja
06:29são as mesmas propriedades
06:30do espaço, né?
06:32e aqui
06:32mostrei algumas situações
06:34para o plano
06:35certo?
06:37até a próxima aula
06:38onde vamos falar
06:39do produto escalar
06:40aplicado na física, né?
06:42agora
06:42uma aplicação, pessoal
06:43e aí
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