00:00Oi pessoal, na aula de hoje vamos falar sobre a projeção de um vetor.
00:05Então vamos lá para algumas anotações importantes.
00:08Seja V, seja o vetor V, um vetor não nulo,
00:22dado outro vetor U,
00:37chamaremos W, ou seja, o vetor W,
00:49a projeção
00:54ortogonal
01:01de V, ou seja, do vetor V sobre U,
01:14sobre o vetor U.
01:19Sobre o vetor U.
01:25Então vamos lá.
01:27Essa projeção é dada da seguinte forma.
01:30Vai ser igual a um vetor W.
01:32Essa projeção é igual a um vetor, certo?
01:35Ou seja, onde vai ser a projeção do vetor V
01:39sobre o vetor U.
01:43E aí é representado dessa forma.
01:46Ou seja, tendo a projeção do vetor V sobre o vetor U,
01:50vai resultar em outro vetor,
01:52que aqui eu estou chamando de W.
01:55Tal que
01:56nós temos o seguinte.
02:01W
02:02vai ser um vetor paralelo ao vetor U.
02:07E vamos ter que
02:13V
02:14menos W
02:17será
02:19ortogonal
02:21ao vetor U,
02:25certo?
02:26Onde
02:27V menos W,
02:29a gente pode dizer o seguinte,
02:30vamos ter
02:31um vetor
02:33onde V é igual a W,
02:37certo?
02:38Mais V2.
02:41Ou seja,
02:42dessa forma,
02:45V2
02:47é igual
02:49a V menos W, né?
02:52que aqui a gente pode representar
02:55como sendo
02:55V2
02:56ortogonal
02:58ao
02:59ao vetor U.
03:02Certo?
03:03Então,
03:03aqui são anotações importantes
03:05para essa definição de projeção.
03:11Certo?
03:11Vamos ter
03:12W representado dessa forma,
03:15onde é
03:15a projeção de V sobre U,
03:18que eu chamando de W,
03:19onde esse W vai ser paralelo ao vetor U,
03:22e se a gente pegar
03:23V menos U,
03:26ele será ortogonal ao U.
03:29Ou então,
03:30V2, né?
03:31Onde V2 aqui,
03:33ele é
03:34V
03:35que é igual a W
03:38mais V2.
03:39Ou seja,
03:40V2 é V menos W, né?
03:43Então, vamos lá.
03:44Para entender melhor,
03:47aqui está a representação
03:49graficamente, né?
03:51Onde temos aqui
03:52o vetor U,
03:55aqui o vetor V,
03:58e essa projeção,
04:00ou seja,
04:00a projeção do vetor V
04:02em U
04:03é o vetor W.
04:05Ou seja,
04:06seu projeto aqui
04:07vai ter esse tamanho
04:08em U,
04:09o vetor V.
04:10Então,
04:11essa projeção
04:12é o vetor W.
04:13Onde V2
04:14é esse vetor aqui,
04:16que está,
04:17nesse caso,
04:17se a gente mostrar aqui
04:18o eixo X,
04:19esse vetor V
04:20vai estar no eixo Y.
04:22E onde o vetor V,
04:24no caso,
04:25o vetor V2, né?
04:26E onde o vetor V
04:27está na diagonal.
04:28E projetando ele,
04:30ele está
04:31no eixo U,
04:33que aí,
04:33nesse caso,
04:34é esse pedaço aqui,
04:35que é W.
04:37Isso aqui
04:37para um ângulo
04:38que seja menor
04:39que 90.
04:41Para um ângulo
04:41maior que 90,
04:43V vai estar
04:44projetado
04:45para esse lado.
04:45então,
04:46ele vai projetar
04:46no sentido
04:47de menos U.
04:48Então,
04:48W vai ser projetado
04:49dessa forma
04:50aqui,
04:51no vetor U.
04:52Então,
04:53ele vai estar
04:53no sentido contrário,
04:55vai estar
04:57no sentido
04:57de menos U
04:57se o ângulo
05:00aqui for maior
05:00que 90, né?
05:01E aqui é o V2, né?
05:03Projetado aqui
05:03com relação
05:05ao eixo Y, né?
05:07Se a gente pensar
05:07aqui como U,
05:08o eixo X.
05:10Certo?
05:11Então,
05:11graficamente,
05:12é isso.
05:12Não é difícil
05:13de entender.
05:14É só vocês
05:15projetar ele
05:16no eixo
05:16de U.
05:17Se você está
05:18projetando
05:18V sobre U,
05:19é só projetar
05:20o vetor
05:20em U.
05:21Ou seja,
05:22a projeção dele
05:22vai resultar
05:24em um vetor
05:25que possivelmente
05:28é menor
05:28que o vetor
05:28original, né?
05:29Porque tem
05:30um certo ângulo
05:30envolvido.
05:32Certo?
05:34Então,
05:36sendo
05:37W,
05:42ou seja,
05:43o vetor, né?
05:44paralelo
05:45ao U,
05:48temos o seguinte,
05:51temos que
05:52W pode ser representado
05:55como um vetor
05:58colinear
05:59do vetor U,
06:01certo?
06:03Ou seja,
06:04pode ser colinear
06:06ao vetor U.
06:08e como
06:12V2
06:15é
06:18menos V,
06:21é V
06:22menos W, né?
06:24V2.
06:26Então,
06:27se a gente
06:27substituir em W
06:28aqui,
06:28vamos ter que
06:29V
06:29vai ser igual,
06:32V2
06:32vai ser igual
06:33a V
06:34menos quem?
06:35alfa U,
06:37certo?
06:39E isso é
06:41ortogonal
06:46ao vetor U,
06:49certo?
06:50porque
06:55vimos lá em cima
06:57aqui
06:58que
06:59V2
07:00é ortogonal
07:00ao U.
07:02Então,
07:02a gente pode
07:03representar
07:04dessa forma,
07:04onde
07:05V menos
07:06alfa U
07:06é ortogonal
07:07ao U.
07:08o quê?
07:12Isso significa
07:14significa o seguinte,
07:17é,
07:18tendo,
07:20nesse caso aqui,
07:22V
07:23menos
07:25alfa U,
07:28eu posso
07:28representar
07:29dessa forma,
07:30né?
07:30por quê?
07:36Porque
07:36se ele é
07:38ortogonal
07:39ao U,
07:40significa o quê?
07:41Quando
07:41dá condição
07:43de ortogonalidade,
07:44o que acontece?
07:45Eu tenho
07:46que
07:46um vetor
07:48é
07:49ortogonal,
07:51ele é
07:53igual a zero,
07:53né?
07:54Ou seja,
07:55quando ele é
07:55ortogonal
07:55a outro vetor.
07:57Nesse caso aqui,
07:58se U
07:58e V
07:59forem
08:00ortogonais,
08:01teríamos isso,
08:02né?
08:06Então,
08:07partindo
08:07dessa ideia,
08:08se isso aqui,
08:09como V
08:10é ortogonal
08:11ao U,
08:11então,
08:12eu posso
08:12representar
08:13dessa forma,
08:14dizer
08:14que V2,
08:17né?
08:17Então,
08:17como V2
08:18é isso aqui,
08:20então,
08:20eu posso dizer
08:21que V
08:22menos
08:22alfa U
08:24é ortogonal
08:25ao U,
08:25que nesse caso
08:26vai ser igual
08:27a zero.
08:27Certo?
08:32Assim,
08:33eu consigo
08:34fazer nas operações
08:35aqui,
08:36né?
08:37Eu posso
08:38representar
08:38dessa forma,
08:39vai ser V
08:40produto escalar
08:43com U
08:43menos
08:45alfa U
08:46produto escalar
08:48com U,
08:49tudo isso
08:49igual a zero.
08:51De modo
08:52que eu consigo
08:52tirar o alfa
08:53daqui,
08:54assim,
08:55eu consigo saber
08:56quem é esse alfa.
08:57alfa vai ser
08:58V
08:58escalar U,
09:00isolando aqui,
09:01né?
09:02Com U
09:03escalar U,
09:07certo?
09:07Então,
09:08aqui eu vou ter
09:09esse valor
09:10de alfa,
09:11certo?
09:12Vou representar
09:13quem é alfa.
09:14alfa pode ser dado
09:30colinearmente com U,
09:32né?
09:32é dado
09:33dessa forma,
09:35e vimos que
09:36W é alfa,
09:39pode ser dado
09:40colinearmente com U,
09:42né?
09:42dessas definições,
09:46dessas definições,
09:48temos o seguinte,
09:54podemos escrever
09:55que a projeção
09:59de V
10:02sobre o vetor U
10:05é igual ao que?
10:09ao produto escalar
10:12entre V
10:12e U
10:13dividido pelo
10:16escalar U
10:18com U,
10:19tudo isso
10:21multiplicado
10:22pelo vetor U.
10:25Ou seja,
10:26isso aqui é uma
10:26fórmula que a gente
10:27vai usar bastante
10:28aqui na parte
10:29de projeção.
10:29então a gente pode
10:31se falar
10:32de um vetor
10:33projetado sobre o outro,
10:34se é V
10:35projetado sobre U,
10:36então a gente
10:38pode escrever isso.
10:39E se disser
10:40na questão
10:41que é U
10:41projetado sobre V,
10:43vai inverter aqui,
10:44quem é V
10:45vai virar U
10:45e quem é U
10:46vai virar V,
10:47certo?
10:48Então vai depender
10:49de quem é o vetor
10:50que está sendo projetado.
10:51Então é isso, pessoal.
10:53Nessa aula
10:54vimos
10:55aqui sobre
10:56a projeção
10:57de um vetor.
10:59Graficamente
10:59é fácil
10:59que visualizar, né?
11:01Se é projeção
11:01do vetor,
11:02aí você projetar
11:03o vetor em cima
11:04do outro vetor,
11:05ele vai ter
11:06um certo tamanho,
11:07porque ele vai ter
11:08um ângulo aqui,
11:08se você projeta ele,
11:10ele vai ter esse tamanho.
11:12Pense até
11:12em uma sombra aqui.
11:13Então supor
11:14que você tem
11:15alguma coisa aqui
11:16que está projetando
11:17uma sombra
11:17desse vetor aqui.
11:19Então supor
11:19que aqui
11:19tem um sol,
11:21se você está
11:21passando aqui
11:22e tem alguma coisa,
11:24tem algum obstáculo
11:25formando um ângulo.
11:27Se o sol
11:27está aqui
11:28e você projeta
11:28no chão,
11:30ele vai projetar
11:31um certo tamanho
11:31aqui.
11:32Então é algo
11:33análogo assim,
11:34certo?
11:35Uma projeção.
11:38Então é isso.
11:40É projeção
11:41de um vetor.
11:42de um vetor.
