00:00Então, pessoal, vamos fazer mais exercício, né? É a nossa sexta questão, que é a questão 4 da seção 3.3.1 do Alfredo Strimbusch, né?
00:10No qual ele pede para provar que o módulo de U mais V ao quadrado é igual ao módulo de U ao quadrado mais duas vezes escalar de U com V, mais módulo de V ao quadrado.
00:24Então, vamos fazer essa questão, né?
00:30Fazendo ela, temos que U, vetor U mais vetor V, é igual ao módulo de U ao quadrado.
00:49No caso aqui, módulo da soma de U mais V ao quadrado é igual a U ao quadrado mais duas vezes, né?
01:02O produto escalar entre U e V, mais módulo de V ao quadrado.
01:09Vimos antes o quê?
01:13Vimos que o módulo de U ao quadrado, né?
01:21Vimos na propriedade anterior, que é igual ao produto escalar de U com U.
01:29Assim, o que a gente pode fazer?
01:32Então, a gente vai fazer o seguinte, ó, a soma de U com V, né?
01:40O módulo disso ao quadrado, nesse caso aqui, seguindo essa regra, né?
01:46A gente pode reescrever aqui, pô, a soma disso aqui como sendo um vetor, né?
01:51Então, aqui U é um vetor qualquer.
01:54Vamos dizer que a soma de U mais V é um vetor qualquer.
01:56Então, nós vamos ter quem?
01:59Essa soma, no caso, o próprio vetor, vai ser U mais V, a soma disso.
02:07Vai ser produto escalar do mesmo, né?
02:10U escalar U mais V, ou seja, o escalar disso, né?
02:16Dessa soma.
02:19Porque se nós temos U dessa forma, a gente pode dizer que essa soma poderia ser um ou outro qualquer vetor.
02:24Então, a gente poderia reescrever isso, por exemplo, que U mais V fosse S.
02:28Então, S ao quadrado é igual ao produto escalar de S com S, entendeu?
02:33Se a gente fosse dizer que...
02:35Deixa eu só colocar aqui.
02:37Vamos dizer que S igual U mais V.
02:44Teríamos o quê?
02:44Que S, o módulo de S ao quadrado, S seria igual ao produto escalar de S com S, certo?
02:54Então, é a mesma coisa dessa regrinha aqui.
02:58Então, mas seguindo o que foi a soma, a gente aqui consegue escrever agora, que a gente viu na propriedade, né?
03:07Que a gente tem uma soma aqui.
03:10Então, a gente pode fazer o quê?
03:13A gente pode fazer essa operação, né?
03:19Desse vetor com esse, desse com todo...
03:23Ah, ou seja, U, a gente pode dizer que U é escalar U mais V, certo?
03:33Mais V escalar U mais V.
03:39A gente viu isso numa propriedade anterior, né?
03:42Onde a gente faz essa distribuição aqui.
03:45E isso aqui, se a gente for fazer agora de novo,
03:48a gente tem que é o escalar de U com U,
03:52mais o escalar de U com V, certo?
03:59Mesma coisa acontece nesse lado.
04:01Vai ser o escalar de V com U,
04:05mais o escalar de V com V, certo?
04:15Só que a gente viu também, nas propriedades,
04:19que o escalar de U com V é o mesmo que V com U.
04:29Dessa forma, a gente pode reorganizar aqui, né?
04:33Porque aqui a gente tem U com U aqui, hein?
04:38Ou seja, é o próprio módulo de U ao quadrado.
04:43E U com V e V com U, a gente pode escrever como sendo
04:49duas vezes o escalar de U com V,
04:52ou duas vezes o escalar de V com U, tanto faz, certo?
04:57E V com V, a gente viu que o módulo,
04:59o escalar dele com ele é o próprio módulo ao quadrado.
05:02Então, aqui nós temos o módulo de V ao quadrado.
05:07Logo, né, está mostrado o que foi pedido na questão,
05:13que ele queria que mostrasse isso aqui, né?
05:19Que a soma de V com U, módulo disso ao quadrado,
05:23é igual ao módulo de U ao quadrado,
05:28mais duas vezes, produz o escalar de U com V,
05:33mais módulo de V ao quadrado.
05:38Então, é isso, pessoal.
05:39Está aprovado o que ele pediu para mostrar na questão, certo?
