Pular para o playerIr para o conteúdo principal
  • há 3 meses
#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: ESPAÇO VETORIAL (R2 E R3)

Conteúdo:

0:00 - Decomposição de Vetores no Espaço
04:45- Combinação linear no espaço
07:20 - Base ortonormal no espaço
09:00 - Planos xy; xz e yz
16:40 - Expressão analítica de um vetor
21:00 - Exemplo de vetores no espaço formando uma base canônica
22:30 - Exemplo 1
23:40 - Exemplo 2

Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.

Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.

Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.

Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .

Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC


================================================
► MATERIAIS DE ESTUDO E EQUIPAMENTOS QUE RECOMENDO
(Aviso: Os links abaixo são de afiliado. Comprando por eles, você me ajuda a continuar produzindo conteúdo para o canal, sem nenhum custo extra para você! Obrigado pelo apoio!


📚 LIVROS E MATERIAIS DE ESTUDO
* Livro Geometria Analítica – Steinbruch & Winterle (Amazon):
https://amzn.to/46rNCAb
* Livro Geometria Analítica (Winterle) para comprar na Amazon:
https://amzn.to/41S9ray
* Livro Geometria Analítica: um tratamento vetorial – Boulos & Camargo (Amazon):
https://amzn.to/47Fh2gt
* Calculadora Científica Casio fx-82MS (A Clássica) [Mercado Livre]:
https://mercadolivre.com/sec/2dVCxMK
* Calculadora Casio Classwiz fx-991LAX (A mais completa) [Mercado Livre]:
https://mercadolivre.com/sec/1YqgxFE
* Caneta Bic Cristal Dura Mais (Kit 4 Unidades) [Amazon]:
https://amzn.to/48Snil4

💻 SETUP, ÁUDIO E ACESSÓRIOS
* Monitor GamerLG UltragearCurvo –Tela VAde 34”, 2K [Mercado Livre]
https://mercadolivre.com/sec/2VrDuM9
* Mesa Digitalizadora One By Wacom CTL472 (Ótima para aulas) [Amazon]:
https://amzn.to/4om9wMU
* Mouse sem fio Logitech M170 (Pilha inclusa) [Amazon]:
https://amzn.to/4iqJJ4d
* Suporte de Notebook em Alumínio Premium (Dobrável) [Amazon]:
https://amzn.to/3K4Ik6l
* Fone de Ouvido JBL Tune 500 com Fio [Amazon / Mercado Livre]:
https://amzn.to/3LQtwsA / https://mercadolivre.com/sec/2SyL8Uc
* Luminária de Mesa Articulada estilo "Pixar" (Com base/garra) [Mercado Livre]:
https://mercadolivre.com/sec/2fDwsSW
* Luminária De Mesa Abajur Rosa Preto Branco Articulado Articulável Abajur Manicure Estudo Leitura [shopee]
https://s.shopee.com.br/1qVyRKbg0c
================================================

REDES SOCIAIS
Facebook/Instagram/TikTok/Kwai/Youtube/Dailymotion/Rumble: jaelssonlima
Transcrição
00:00Olá pessoal, seja bem-vindos à aula. Nesta aula vamos falar de decomposição de vetores no espaço.
00:07Então vamos lá iniciar a aula.
00:10No plano, qualquer conjunto de vetores v1 e v2,
00:32de v2, vetores não colineares, não colineares.
00:53O que significa não colineares? Significa que eles não são paralelos, ou seja, não estão em mesma direção.
01:02O que mais? É uma base, ou seja, quando isso acontece, quando está no plano e dois vetores não são paralelos,
01:18então ele é uma base, esses dois vetores formam uma base.
01:26Vamos dizer assim.
01:30Todo vetor v, todo vetor v deste plano
01:44é uma combinação linear dos vetores da base.
02:05Isto é,
02:10sempre vai existir os números reais a 1.
02:34E a 2
02:37é tais
02:42que
02:45ou seja,
02:48tais que o vetor v
02:51vai ser igual
02:54a
02:56a 1
02:58fez o vetor v1
03:01mais a 2
03:03vezes o vetor v2
03:05ou seja, o vetor v é uma combinação linear dos vetores v1 e v2, né?
03:11No espaço
03:12é
03:14no espaço
03:17qualquer
03:22qualquer
03:22conjunto
03:25de
03:30ou seja, isso
03:32isso aqui foi no, como a gente já tinha visto antes, isso no plano, né?
03:37Ou seja, dois vetores formam uma base
03:39e o vetor v é formado por uma combinação linear.
03:42Agora, isso no plano, agora no espaço, eles formam o conjunto v1, v2 e v3, né?
03:53Porque são, o espaço é três vetores, certo?
03:59De três
04:00vetores
04:03neste caso aqui
04:06não co-planares
04:09não co-planares
04:14ou seja
04:16que não estão no mesmo plano, né?
04:19É
04:20é uma base
04:24ou seja, precisa ter três vetores
04:29que não estão no mesmo plano
04:31estão em planos diferentes
04:33e eles vão formar uma base
04:34certo, pessoal?
04:36Se três vetores
04:37qualquer
04:38estiverem em planos diferentes
04:40eles vão formar uma base
04:41certo?
04:43então, vamos lá
04:45todo
04:46vetor
04:51v
04:54do espaço
04:57é uma
05:01combinação
05:05todos os vetores v do espaço
05:06é uma combinação
05:07linear
05:14dos
05:19vetores da base
05:24isto é
05:30existem
05:35números
05:40reais
05:43que números reais são esses?
05:47A1
05:48A2
05:51e A3
05:54tais que
05:58tais que
06:02o vetor v
06:04vai ser dado
06:05dessa forma assim
06:06vai ser uma combinação
06:07linear
06:07com três vetores, né?
06:09no caso
06:10o escalar
06:11o número real
06:12multiplicado
06:13v1
06:13mais
06:15A2
06:16multiplicado
06:17v2
06:18mais
06:19A3
06:20multiplicado
06:21v3
06:23ou seja
06:24é análogo
06:24como a gente
06:25viu
06:26no plano
06:27no espaço
06:28é a mesma coisa
06:28vai aumentar
06:29um vetor
06:30e vai aumentar
06:31também
06:31um escalar
06:32no caso
06:33aqui
06:34vai ser
06:35três
06:35números reais
06:37multiplicando
06:38onde
06:41A1
06:44A2
06:46e
06:47A3
06:49são
06:51as
06:53componentes
06:55de v
06:58do vetor v
07:00em relação
07:01em relação
07:05a base
07:07considerada
07:11Certo, pessoal?
07:18Então, vamos lá
07:19Uma base
07:22Uma base
07:27no espaço
07:31é ortonormal
07:38ortonormal
07:42importante isso
07:45é ortonormal
07:50se
07:51os três vetores
07:55forem
07:59unitários
08:03o que é um vetor unitário?
08:08Ou seja
08:08é o vetor que tem
08:09o módulo 1
08:10e
08:122
08:14A2
08:17ortogonais
08:20o que é um vetor
08:24ortogonais?
08:25é um vetor
08:26que forma
08:27um ângulo
08:27de 90 graus
08:28entre si
08:28Então
08:31aqui temos
08:33o exemplo
08:33aqui
08:35vetores unitários
08:36para o eixo
08:37X
08:38o vetor
08:39I
08:39aqui o vetor
08:40J
08:41para o eixo
08:42Y
08:42e o vetor
08:43K
08:44para o eixo
08:44Z
08:44onde esses vetores
08:46aqui
08:46são vetores
08:47unitários
08:48ou seja
08:49é uma base
08:51a base
08:52IJK
08:53então
08:56a reta
08:58com
09:03a
09:05direção
09:07do vetor
09:11I
09:13é o eixo
09:19dos X
09:22certo?
09:23ou então
09:25abcissas
09:26como é
09:27o nome mais
09:29formal
09:31
09:36é a reta
09:37no qual
09:40a reta
09:43com
09:45a direção
09:48do vetor
09:52J
09:55é o eixo
09:58dos Y
10:02que é
10:05chamada
10:06de
10:06ordenada
10:08que é o nome
10:11mais formal
10:12do eixo
10:14dos Y
10:14e por fim
10:16a reta
10:19é
10:22com
10:23a
10:24direção
10:26do vetor
10:29K
10:29é o eixo
10:35dos
10:40Z
10:40
10:41onde aqui
10:44na verdade
10:45é o eixo
10:45de quem?
10:46das cotas
10:47ou seja
10:48o eixo Z
10:49é chamado
10:49de cotas
10:50enquanto o eixo
10:52X
10:52é chamado
10:53de abcissas
10:54o eixo Y
10:55chamado
10:56de ordenada
10:57o eixo Z
10:58é chamado
10:58de cota
10:59certo?
11:00são essas três
11:01definições
11:02essas que são
11:03os nomes
11:03mais formais
11:05
11:05para os eixos
11:07então
11:09vamos lá
11:10cada
11:12dupla
11:16de eixo
11:21de eixo
11:21determinam
11:25um plano
11:29coordenado
11:32um plano
11:33coordenado
11:34certo?
11:35isto é
11:39o plano
11:42X
11:45O
11:47Y
11:48que é
11:49ou então
11:49chamado apenas
11:50de plano
11:51X
11:51Y
11:52certo?
11:53ou então
11:53vai formar
11:55também
11:55o plano
11:56Y
11:58O
11:59Z
12:01que é o plano
12:02no caso aqui
12:04X
12:04
12:05Z
12:05que é o plano
12:06XZ
12:07e também
12:08vai formar
12:09o plano
12:10Y
12:13O
12:15Z
12:16que é o plano
12:17YZ
12:18certo?
12:22exemplo aqui
12:23aqui
12:24tem o plano
12:25XY
12:26onde
12:26o plano
12:28está
12:28nos eixos
12:29projetados
12:31aqui no eixo
12:32X e Y
12:33certo?
12:34ou seja
12:34já quando nós
12:36temos o plano
12:36XZ
12:37ele vai estar
12:38entre o eixo
12:39X
12:39e o eixo
12:40Z
12:41
12:41estão as coordenadas
12:43aqui
12:43para esse plano
12:44por fim
12:45aqui nós temos
12:46o plano
12:46YZ
12:47onde nós
12:48temos
12:48esse plano
12:49projetado
12:51sobre o eixo
12:51Y
12:52e o eixo
12:52Z
12:53
12:53aqui nós
12:54temos os
12:54vetores
12:55X e JK
12:56
12:56aqui em X
12:59aqui em Y
13:00e aqui em Z
13:00e o plano
13:01está sendo projetado
13:02em
13:04YZ
13:05
13:06aí é chamado
13:06de plano
13:07X
13:07de YZ
13:10certo?
13:12então
13:12vamos lá
13:14cada
13:17a cada ponto
13:22P
13:26do espaço
13:30corresponde
13:35é
13:40uma
13:42terna
13:44corresponde uma terna
13:45certo
13:46certo
13:46o que é uma terna
13:47
13:48lembrando lá
13:50que uma terna
13:51é um conjunto
13:52
13:52com três
13:53
13:53ABC
13:54C de três
13:55números
13:58reais
14:01seja
14:03no espaço
14:03é três
14:04números reais
14:05
14:05se fosse no plano
14:06seria dois
14:07enfim
14:08e assim por diante
14:10chamamos
14:13de P
14:16e
14:18denominadas
14:20denominadas
14:29de
14:29abcissa
14:34
14:34como a gente
14:35já havia
14:35mencionado
14:36abcissa
14:39para o
14:40eixo X
14:41ordenada
14:43para o
14:46eixo Y
14:47e
14:48cota
14:49referente
14:51ao
14:51eixo Z
14:52certo?
14:54aqui está o
14:55exemplo né
14:56onde nós
14:57temos aqui
14:57o eixo
14:59X
15:00Y
15:00Z
15:01e aqui nós
15:02temos
15:02os números
15:03reais né
15:04no eixo
15:04X
15:05aqui no eixo
15:06Y
15:07aqui no eixo
15:08Z
15:08aqui é
15:10a origem
15:11aqui é o ponto
15:12P
15:12onde ele está
15:13no
15:14é
15:14onde ele está
15:17com coordenadas
15:18em três
15:19nos três
15:20ele está
15:21nas três coordenadas
15:23Y
15:23X
15:23e Z
15:24
15:25este
15:35procedimento
15:40de
15:43traçar
15:46os três
15:50planos
15:53pelo
15:58ponto P
16:02determina
16:06um
16:09para
16:12paralel
16:16lei
16:16pípedo
16:19certo?
16:26um
16:27paralel
16:27com paralel
16:28pípedo
16:28o que?
16:29retângulo
16:30ou seja
16:38quantos aqui
16:39temos
16:40esse ponto
16:43P
16:43que está
16:44pertencendo
16:44às três
16:45coordenadas
16:45a gente
16:46forma um
16:46paralel
16:47pípedo
16:47retângulo
16:48certo?
16:52no espaço
16:53no espaço
16:59o vetor
17:03V
17:06corresponde
17:11à diagonal
17:14do
17:18paralelepípedo
17:22cujos
17:32lados
17:34são
17:38determinados
17:41pelos vetores
17:46X
17:52e
17:52X
17:55J
17:56e
17:58Z
17:59K
18:00certo?
18:03simplificando
18:04temos
18:09o seguinte
18:10que o
18:11vetor
18:12V
18:12ele é
18:16dado
18:16de modo
18:17analítico
18:17dessa
18:18forma
18:18aqui
18:19certo?
18:20onde ele
18:21tem
18:21componente
18:22de
18:22X
18:22Y
18:23Z
18:23então
18:24essa
18:25é a
18:25forma
18:25analítica
18:26do
18:27vetor
18:27V
18:29né?
18:32que
18:33representa
18:36a
18:42expressão
18:46analítica
18:50de V
18:52certo
18:53pessoal?
18:55vamos lá
18:55mais informação
18:56no espaço
18:58cada
19:04ponto
19:05cada
19:08ponto
19:08P
19:09que
19:10depende
19:11de
19:11X
19:12Y
19:12e Z
19:13do
19:16espaço
19:16irá
19:21corresponder
19:25o vetor
19:30que vetor
19:32é
19:32o vetor
19:33V
19:34né?
19:35onde
19:36V
19:36é
19:37o vetor
19:38que sai
19:38da origem
19:39até o
19:39ponto
19:40P
19:40nesse
19:42caso
19:42é dado
19:43por
19:44X
19:44I
19:46o vetor
19:47X I
19:48mais
19:49Y
19:49J
19:50Z
19:55K
19:56seja
19:57aqui
19:57são
19:58escalares
19:58multiplicando
19:59ao vetor
20:00né?
20:00o unitário
20:02é
20:03que
20:05forma
20:05uma base
20:05né?
20:07então
20:07vamos lá
20:08as
20:11próprias
20:11coordenadas
20:17X
20:22Y
20:23Z
20:24do
20:26ponto
20:27P
20:29são
20:31são
20:33o que
20:34pessoal?
20:35as
20:36próprias
20:36né?
20:37são
20:37as
20:37componentes
20:40do
20:44vetor
20:45OP
20:48certo?
20:50na base
20:51canônica
20:52então
20:55guardem
20:55essa
20:56informação
20:56aqui
20:57ok?
21:02aqui
21:03eu vou
21:04mostrar o
21:04exemplo
21:04né?
21:06onde
21:07nós
21:07temos
21:07vetores
21:10no espaço
21:10né?
21:10nós
21:11temos
21:11o eixo
21:11X
21:11Y
21:12Z
21:12onde
21:13aqui
21:14nós
21:14temos
21:15os vetores
21:15unitários
21:16que
21:16formam
21:16a base
21:17canônica
21:18né?
21:18I
21:18JK
21:19e
21:20o vetor
21:21V
21:21é
21:22esse vetor
21:23que sai
21:24da origem
21:24até
21:25o ponto
21:25P
21:26certo?
21:27se a gente
21:28for analisar
21:28o plano
21:29XY
21:30nós
21:30temos
21:30que
21:31aqui
21:31temos
21:31a soma
21:32do vetor
21:33XY
21:34mais
21:35Y
21:35J
21:36e
21:37aqui
21:37subindo
21:38nós
21:38temos
21:38o vetor
21:39Z
21:40K
21:41ou seja
21:41se a gente
21:42somar
21:42esse vetor
21:43com esse vetor
21:44vai dar
21:45o vetor
21:45V
21:47ou seja
21:47o vetor
21:48V
21:48vai ser igual
21:49a
21:50como a gente
21:51já mostrou
21:51lá em cima
21:52né?
21:53vai ser igual
21:53isso aqui
21:54nesse caso
21:55aqui
21:55a gente pode
21:57dizer que é
21:57X
21:59I
22:00mais
22:00Y
22:03J
22:03somado
22:06com
22:06o vetor
22:07Z
22:08e K
22:09então aqui
22:10está a representação
22:11disso
22:11né?
22:13onde
22:13aqui
22:13está
22:14o ponto
22:14até onde
22:15vem
22:15esse vetor
22:16aqui
22:16até aqui
22:17seria o vetor
22:18XY
22:18e até aqui
22:19YJ
22:20e até aqui
22:21ZK
22:22que é o que é dado
22:23aqui né?
22:24mesma coisa
22:25certo?
22:27então
22:28é isso
22:29vamos agora
22:30fazer um exemplo
22:31certo?
22:34exemplo
22:34exemplo
22:451
22:46em vez
22:53de
22:55escrever
22:57V
23:02igual a
23:052I
23:07menos
23:093J
23:11mais
23:12K
23:14pode-se
23:17escrever
23:21V
23:24igual a
23:262 na componente
23:28X
23:29menos 3 na componente
23:31Y
23:31e 1 na componente
23:34Z
23:34é o que
23:35representa isso aqui
23:36eu posso substituir
23:37essa escrita
23:38por essa escrita
23:38aqui
23:39então
23:40exemplo 2
23:41podemos
23:46escrever
23:49também
23:52o que
23:53que podemos escrever
23:54também
23:55dizer que
23:57I
23:57o vetor
23:58I
23:59menos o vetor
23:59J
24:00é apenas
24:01na forma
24:03analítica
24:031
24:04menos
24:061
24:07e 0
24:08né?
24:09porque aqui
24:09eu tenho
24:09I
24:10eu só tenho
24:11a parte
24:11do eixo
24:13X
24:13e a parte
24:14do eixo
24:14Y
24:16só que negativo
24:17o Z
24:18eu não tenho
24:18se eu tiver
24:202J
24:22vetor
24:24menos K
24:25a forma
24:25a forma
24:26analítica
24:26disso é
24:270
24:28para X
24:29para Y
24:30vou ter 2
24:31e para cá
24:32eu vou ter
24:33menos 1
24:34ok?
24:35e se eu tiver
24:364K
24:36se eu tiver
24:384K
24:39vai ser
24:390
24:400
24:41e aqui
24:41vai ser
24:42igual a 4
24:42né?
24:44em particular
24:45em particular
24:49pessoal
24:49nós temos
24:51os vetores
24:53I
24:53que é
24:55da base
24:55canônica
24:56que é
24:57igual a
24:581
24:580
25:00e 0
25:02né?
25:02e nós temos
25:03o vetor
25:04J
25:05que é
25:06igual
25:06a 0
25:081
25:09e 0
25:10e o vetor
25:11K
25:12que é
25:13igual
25:13a 0
25:140
25:16e 1
25:17certo?
25:18essa é a base
25:18canônica
25:19né?
25:20representando os vetores
25:21IJK
25:21certo?
25:24então é isso
25:24pessoal
25:25essa foi a aula
25:27né?
25:27de hoje
25:28e que
25:29falamos
25:30sobre
25:31decomposição
25:34de vetores
25:34no espaço
25:35a gente já tinha
25:35visto isso
25:36no plano
25:37e aqui
25:38a gente mostrou
25:39essa decomposição
25:40no espaço
25:42então é isso
25:43pessoal
25:43até a próxima aula
Comentários

Recomendado