- il y a 6 mois
ATELIER
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1gfUmkv4DMnEqwYaqnyG43oZ2WMsjOM7w/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k4549v9OEKrIySDSPQa
Que la Forge soit avec toi !..
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1gfUmkv4DMnEqwYaqnyG43oZ2WMsjOM7w/view?usp=sharing
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Que la Forge soit avec toi !..
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ÉducationTranscription
00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 39, l'exponentiel et le logarithme n'est pas rien.
00:40Et on commence sans plus attendre par voir l'utilité de ces deux outils mathématiques d'une importance qui va devenir capitale au fur et à mesure que tu vas gravir les échelons de tes études.
00:50C'est parti !
00:52Concernant l'exponentiel, elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit et a un rapport constant sur les images.
01:01Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ».
01:04C'est le mathématicien suisse Léonard Euler, né en 1707 et mort en 1783, qui utilisa pour la première fois la notation « e » pour désigner la base de la fonction exponentielle,
01:16qui le définit comme le nombre dont le logarithme néperien est l'unité, et qu'il évalue à environ 2,7 182 817.
01:24Pour le logarithme néperien, association de Logos, qui se traduit par rapport, ou relation, et arithméticos, qui veut dire nombre,
01:32il apparaît lorsque l'astronomie s'est développée, les calculs nécessaires devenant de plus en plus compliqués et coûteux en temps.
01:38C'est John Napier, né en 1550, et mort en 1617, dont le nom a été francisé en néper, qui invente les logarithmes,
01:47permettant de convertir une multiplication en addition, une division en soustraction, une puissance en multiplication, et une racine en division.
01:56Au lycée, l'exponentielle est abordée en classe de première, le logarithme néperien en terminale,
02:01et je trouve complètement illogique de ne pas les traiter ensemble compte tenu de leur complémentarité.
02:05Mais pour ne pas heurter la sensibilité des plus émotifs et émotives,
02:10je vais conserver cette chronologie dans cet atelier pour te présenter plus en détail les particularités mathématiques de ces deux notions.
02:17Paragraphe suivant, l'exponentielle, celle de base, E, et je te propose de commencer par énumérer ses caractéristiques mathématiques.
02:25C'est parti !
02:27L'exponentielle étant une puissance en base E, elle obéit aux mêmes règles que les puissances abordées au collège,
02:32que tu peux retrouver dans la base numéro 23, le lien est dans la description.
02:37Catalogue de vidéos, onglet prérequis.
02:40Je vais tout de même te les rappeler avec l'exponentielle.
02:43Les voici.
02:44L'exponentielle sera abrégée en E2, plus fluide à dire et à entendre.
02:50E2A fois E2B est égal à E2A plus B.
02:54Next.
02:54E2A sur E2B est égal à E2A moins B.
03:00Next.
03:01E2A puissance N est égal à E2A fois N.
03:06Next.
03:071 sur E2A est égal à E2 moins A.
03:11Next.
03:12E de 0 est égal à 1.
03:14Il doit être évident pour toi de connaître par cœur ces formules qui permettent une réécriture de la fonction exponentielle,
03:20autorisant soit la factorisation d'une expression, ou encore de la détermination de son signe.
03:26Maintenant que les rappels ont été faits, tu vas pouvoir, mais surtout devoir te concentrer sur les nouvelles formules à rajouter dans ton Pokédex.
03:33Next.
03:34La première, E2LN de 1, est égal à 1, LN de 1 est nul.
03:39Next.
03:40La seconde, LN de E2X, égale à X, aussi égale à E2LN de X.
03:47Les deux fonctions sont dites inverses, en d'autres termes, l'une des fait ce que l'autre fait.
03:52Next.
03:54La troisième, E2A égale à E2B, est équivalent à A égale à B.
03:59Next.
04:00La quatrième, E2A strictement inférieure à E2B, est équivalent à A strictement inférieure à B.
04:07Next.
04:08La dernière, quelle que soit X réelle, E2X, sera strictement positive.
04:14Ne panique pas, j'ai prévu moult exercices pour te montrer comment manipuler ces formules dans des cas concrets.
04:20Et au niveau fonction, quelles seront les informations qu'il va falloir retenir, et qui vont se rajouter à celles que j'ai énoncées avant.
04:27On commence par la dérivation.
04:30Soit la fonction F de X égale à E de X.
04:33Son domaine de définition, noté I, sera l'ensemble complet des réels.
04:39Sa dérivée, noté F prime de X, sera égale à E de X.
04:43Certes, ça te permet de voir que la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, mais c'est assez trompeur, car tu vas croire que c'est pareil pour toute fonction exponentielle, alors que c'est totalement faux.
04:54Je te conseille donc d'apprendre plutôt ça.
04:57Soit la fonction F égale à E de U, U étant une fonction définie sur l'ensemble complet des réels.
05:05Sa dérivée, noté F prime, sera égale à U prime fois E de U.
05:09Un petit exemple pour illustrer le propos.
05:12F de X est égale à E de 3X plus 4.
05:16Tu poses U de X égale à 3X plus 4, donc U prime de X est égale à 3.
05:22En appliquant la formule, F prime de X sera égale à 3 fois E de 3X plus 4.
05:29Et sachant que E de 3X plus 4 est égale à F de X, F prime est donc égale à 3 fois F, ce qui est une équation différentielle, notion que tu auras la joie de découvrir en terminale, et qui aura droit dans quelques mois à son atelier.
05:42On passe aux limites, que tu dois connaître par cœur, il en va de la justesse de ton tableau de variation.
05:48Les deux premières sont des limites de base, les deux suivantes sont un peu plus complexes, mais très utiles.
05:54La limite de E de X, quand X tend vers moins l'infini, est nulle.
05:59La limite de E de X, quand X tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
06:04La limite de E de X, sur X puissance N, quand X tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
06:10La limite de X puissance N, fois E de X, quand X tend vers moins l'infini, est nulle, avec elle un entier relatif non nul.
06:20Et ce sera tout pour la fonction exponentielle.
06:22J'ai fait le tour de tout ce que tu devais savoir pour manipuler avec aisance ce nouvel outil.
06:27Il est temps de voir comment utiliser sa fonction inverse, le logarithme n'est pas rien.
06:31Juste pour information, il existe moot logarithme, mais au lycée, seuls deux sont utilisés, le décima, que j'ai traité dans l'atelier N.A.N. 38, catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot, et le néperien, que tu vas découvrir sur le champ.
06:47Et comme avec l'exponentielle, je te propose de commencer par énumérer ses caractéristiques mathématiques, ce sera une belle entrée en matière.
06:54C'est parti.
06:57Il y a une certaine similitude, en re-guillemets, des caractéristiques avec les exponentielles.
07:03Tu vas comprendre.
07:05Multiplier des exponentielles de base E revient à additionner leur puissance, prendre le logarithme d'un produit revient à additionner les logarithmes des facteurs.
07:13De ce fait, ln de A fois B, est égal à ln de A, plus ln de B.
07:18Next.
07:21Diviser des exponentielles de base E revient à soustraire leur puissance, prendre le logarithme d'un quotient revient à soustraire les logarithmes des facteurs.
07:29De ce fait, ln de A sur B, est égal à ln de A, moins ln de B.
07:35Next.
07:36Élever une exponentielle à une puissance revient à multiplier son exposant par cette puissance, prendre le logarithme d'une puissance revient à multiplier le logarithme néperien par cette puissance.
07:46De ce fait, ln de A puissance N, est égal à N fois ln de A.
07:52Next.
07:54Inverser l'exponentielle revient à prendre l'opposé de son exposant.
07:58De manière analogue, le logarithme néperien de l'inverse d'un nombre, est égal à l'opposé du logarithme de ce nombre.
08:04De ce fait, ln de A, 1 sur A, est égal à moins ln de A.
08:09Next.
08:10La puissance 0 d'une exponentielle dobra 1, donc le logarithme néperien de 1 donnera 0.
08:16Jusque là, ça va, tu suis ?
08:19Bois un verre d'eau, mange un morceau, surpose mais la vidéo, étire tes muscles du dos, ça va réactiver ton cerveau.
08:261, 2, 3, go !
08:29On continue avec les autres formules.
08:32E de ln de 1, est égal à 1, donc ln de E de 1, qui peut s'écrire ln de E, est aussi égal à 1.
08:39Next.
08:40ln de E de x, égale à x, aussi égale à E de ln de x.
08:46Les deux fonctions sont dites inverses, en d'autres termes, l'une des fait ce que l'autre fait.
08:52C'est la même chose à droite.
08:54Next.
08:55E de A égale à E de B, est équivalent à A égale à B, donc ln de A égale à ln de B, est aussi équivalent à A égale à B.
09:04Next.
09:05E de A strictement inférieur à E de B, est équivalent à A strictement inférieur à B, donc ln de A strictement inférieur à ln de B, est aussi équivalent à A strictement inférieur à B.
09:18Next.
09:20La dernière, quelle que soit x réelle, E de x, sera strictement positive.
09:24Seulement pour le logarithme, il sera négatif ou nul si x appartient à l'intervalle 0 exclu, A inclus, et sera supérieur ou égal à 0 pour x supérieur ou égal à A.
09:36Ne panique pas, j'ai prévu mout exercice pour te montrer comment manipuler ces formules dans des cas concrets.
09:41Et au niveau fonctions, quelles seront les informations qu'il va falloir retenir, et qui vont se rajouter à celles que j'ai énoncées avant.
09:49On commence par la dérivation.
09:52Soit la fonction G de x égale à ln de x.
09:55Son domaine de définition, noté I, sera intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu, soit l'ensemble des réels strictement positifs.
10:03Je te rappelle que tu ne peux avoir que des nombres strictement positifs dans un logarithme, qu'ils soient népériens, ou non d'ailleurs, ceci explique pourquoi je rajoute cet effet spécial sur cet intervalle d'une importance capitale.
10:16Sa dérivée, noté G' de x, sera égale à 1 sur x.
10:21Certes, ça te permet de voir que la dérivée de la fonction ln est l'inverse de son argument, le contenu, mais c'est assez trompeur, car tu vas croire que c'est pareil pour toute fonction logarithme népérien, alors que c'est totalement faux.
10:34Je te conseille donc d'apprendre plutôt ça.
10:37Soit la fonction G, égale à ln de u, u étant une fonction strictement positive sur son ensemble de définitions.
10:44Et je rajoute mon effet spécial pour que tu associes à jamais le logarithme avec son contenu, ou argument, toujours strictement positif.
10:52Sa dérivée, noté G' sera égale à u' sur u.
10:56Un petit exemple pour illustrer le propos.
10:59G de x est égale à ln de 3x plus 4.
11:03Tu poses u de x égale à 3x plus 4, donc u' de x est égale à 3.
11:09En appliquant la formule, G' de x sera égale à 3 sur 3x plus 4.
11:15On passe aux limites, que tu dois connaître par cœur, il en va de la justette de ton tableau de variation.
11:20Les deux premières sont des limites de base, les deux suivantes sont un peu plus complexes, mais très utiles.
11:26La limite de ln de x, quand x tend vers 0 plus, est moins l'infini.
11:32La limite de ln de x, quand x tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
11:37La limite de ln de x, sur x puissance n, quand x tend vers plus l'infini, est nulle.
11:43La limite de, x puissance n, fois ln de x, quand x tend vers 0 plus, est nulle, pour tout un entier naturel strictement positif.
11:52Je rappelle que la limite d'une fonction f, quand x tend vers 0 plus, est équivalente en écriture à la limite de cette même fonction, quand x tend vers 0, x strictement supérieur à 0.
12:04Tu dois adapter l'écriture de ces limites particulières en fonction de la susceptibilité de ton professeur, qui considérera l'une des deux comme une hérésie mathématique, et qui te fera payer sans vergogne le prix fort pour ton effronterie.
12:16Pour le paragraphe suivant, je vais avoir besoin de toute ACPU neuronale, car je vais aborder la résolution des équations logarithmiques, et il y a une procédure très particulière à respecter si tu ne veux pas sombrer dans les abysses.
12:29Ce n'est pas compliqué, mais il faut toujours y penser, et surtout ne jamais l'oublier.
12:35L'argument, le contenu, du logarithme doit être strictement positif.
12:39Par conséquent, il est impérativement impératif de toujours commencer par déterminer les conditions d'existence, puis vérifier que la solution soit conforme.
12:49Ces conditions d'existence, ou intervalles de définition, sont à déterminer pour chaque logarithme néperien, ce qui permettra de définir l'intervalle d'intersection,
12:57l'intersection de tous les intervalles de définition, pour ensuite faire les calculs, puis vérifier quelles sont les solutions qui appartiennent à l'intervalle d'intersection.
13:06Je vais te montrer tout ça avec un exemple.
13:09ln 2, 3x-4, plus ln 2, x plus 1, égale à ln 2, 4x-2.
13:16Il faut trouver les conditions d'existence en posant l'argument de chaque ln strictement supérieur à 0.
13:223x-4 strictement positif, donc x strictement supérieur à 4 tiers, l'intervalle de définition, noté 1, sera 4 tiers exclu, plus l'infini exclu.
13:32x plus 1 strictement positif, donc x strictement supérieur à moins 1, l'intervalle de définition, noté i2, sera moins 1 exclu, plus l'infini exclu.
13:424x-2 strictement positif, donc x strictement supérieur à 1 demi, l'intervalle de définition, noté i3, sera 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
13:53Maintenant, déterminons l'intervalle d'intersection.
13:58Pour ne jamais te tromper, il est hautement conseillé de schématiser la situation ainsi.
14:03Une flèche horizontale qui représente des abscisses, sur lequel tu vas afficher les différents intervalles de définition.
14:08Si tu ne sais plus trop comment ça s'utilise, je te conseille d'aller visionner l'atelier MAN numéro 2, le lien est dans la description.
14:16Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
14:20Affichage de i2, puis i3, et enfin i1.
14:23L'intervalle d'intersection étant l'intersection des intervalles de définition, il suffira de sélectionner l'intervalle sur lequel les 3 couleurs se superposent,
14:32c'est-à-dire l'intervalle 4 tiers exclu, plus l'infini exclu.
14:35L'intervalle d'intersection a été défini, tu peux passer à la résolution de l'équation.
14:41Le but de la manœuvre sera d'utiliser les caractéristiques mathématiques du logarithme néperien pour obtenir deux types d'équations,
14:48soit ln de A égale à ln de B, ou bien ln de A égale à C.
14:53Affichage de l'équation.
14:54Par définition, ln de A, plus ln de B, est égale à ln de A fois B, donc, modification de l'équation en ln de 3x moins 4, fois, x plus 1, égale à ln de 4x moins 2.
15:09Toujours par définition, si ln de A égale à ln de B, alors A égale à B.
15:13Donc, modification de l'écriture en, 3x moins 4, facteur de, x plus 1, égale à, 4x moins 2.
15:22Double distributivité à gauche du signe égale, réduction, passage du bloc de droite à gauche, simplification, et tu auras 3x au carré, moins 5x, moins 2, égale à 0.
15:33Équation du second degré, donc utilisation du discriminant pour trouver les racines, atelier MAN numéro 30, catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
15:43A égale à 3, B A moins 5, C A moins 2, delta égale à B au carré moins 4ac, remplacement par les valeurs numériques, delta est égal à 49.
15:53Delta strictement positif, donc deux solutions réelles et distinctes, la première notée x1, valant moins 1 tiers, la seconde notée x2, valant 2.
16:03Affichage de l'intervalle d'intersection, et tu constates que x1 n'appartient pas à y, contrairement à x2.
16:10Donc l'ensemble des solutions, noté s, sera ensemble contenant uniquement 2.
16:15Comme tu as pu le voir, la définition de l'intervalle d'intersection est primordiale pour trouver l'ensemble des solutions qui correspond à l'équation.
16:23Il ne faut donc pas négliger cette étape et la dérouler avant toute résolution.
16:27Quid des inéquations ?
16:29Évidemment, il fallait bien que je les aborde, même si la procédure à suivre est identique concernant la détermination de l'intervalle d'intersection.
16:38Mon rôle est de faire en sorte de te montrer comment apporter une réponse scientifiquement fiable à chaque question d'un énoncé,
16:43et dans le cas des inéquations, je te conseille d'aller visionner l'atelier MAE numéro 14, catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot, si tu as besoin d'une petite piqûre de rappel sur cette notion.
16:55Sinon, on continue sur notre lancée avec ce petit exercice tout simple.
16:59ln 2, x-2, inférieur ou égal à ln 2, 2x-1
17:04Il faut trouver les conditions d'existence en posant l'argument de chaque ln strictement supérieur à 0.
17:10x-2 strictement positif, donc x strictement supérieur à 2, l'intervalle de définition, noté i1, sera 2xq, plus l'infini exclu.
17:192x-1 strictement positif, donc x strictement supérieur à 1,5, l'intervalle de définition, noté i2, sera 1,5xq, plus l'infini exclu.
17:31Maintenant, déterminons l'intervalle d'intersection.
17:35Pour ne jamais te tromper, il est hautement conseillé de schématiser la situation ainsi.
17:40Une flèche horizontale qui représente des abscisses, sur lequel tu vas afficher les différents intervalles de définition.
17:45Si tu ne sais plus trop comment ça s'utilise, je te conseille d'aller visionner l'atelier MAN numéro 2, le lien est dans la description.
17:53Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
17:56Affichage de i2, et enfin i1.
17:59L'intervalle d'intersection étant l'intersection des intervalles de définition, il suffira de sélectionner l'intervalle sur lequel les deux couleurs se superposent,
18:08c'est-à-dire l'intervalle 2xq, plus l'infini exclu.
18:11L'intervalle d'intersection a été défini, tu peux passer à la résolution de l'inéquation.
18:17Le but de la manœuvre sera d'utiliser les caractéristiques mathématiques du logarithme néperien pour obtenir deux types d'équations,
18:24soit ln de A supérieur ou égal à ln de B, ou bien ln de A supérieur ou égal à C.
18:30Affichage de l'inéquation.
18:31Par définition, si ln de A est inférieur ou égal à ln de B, alors A est inférieur ou égal à B.
18:39Donc, modification de l'écriture en, x-2, inférieur ou égal à, 2x-1.
18:46Tu isoles les x à droite, les réels à gauche, réduction, et x sera supérieur ou égal à moins 1.
18:53Affichage de l'intervalle d'intersection est le résultat de la résolution.
18:56Un peu de réflexion pour ne pas planter l'ensemble des solutions.
18:59x doit être supérieur ou égal à moins 1, tout en appartenant à l'intervalle d'intersection,
19:05donc, la solution, noter S, est cet intervalle d'intersection complet.
19:10Bien entendu, c'était un exemple simple, mais je t'ai prévu quelques défis dans le TD,
19:15que je te conseille vivement d'aller consulter.
19:18Dernier paragraphe de l'atelier, et pour donner une touche de légèreté à ce bloc de notion quelque peu indigeste
19:23pour ton cerveau qui carbure aux réseaux sociaux, je te donne la représentation graphique de ces deux fonctions,
19:29et la relation entre elles.
19:31C'est parti.
19:33Comme indiqué en légende, les courbes du logarithme néperien, en rouge, et de l'exponentiel, en bleu,
19:39sont symétriques par rapport à la première bisectrice, c'est-à-dire la droite d'équation y égale à x,
19:44la droite verte nommée delta.
19:47Comment ça se traduit d'un point de vue mathématique ?
19:50C'est ce que je vais te montrer.
19:52Départ de l'abscisse x, en rouge, déplacement vertical jusqu'à la courbe rouge, celle d'élène,
19:58déplacement horizontal jusqu'à l'axe désordonné, l'image est donc y égale à élène de x.
20:04Seulement, cette flèche violette horizontale coupe la droite verte d'équation y égale à x,
20:09ce qui indique que cette distance, matérialisée par cette double droite, est égale à celle-ci.
20:15Donc la valeur de l'abscisse ici est bien y.
20:18De cette abscisse, déplacement vertical jusqu'à la courbe bleue, celle de l'exponentiel,
20:23déplacement horizontal jusqu'à l'axe désordonné, l'image est donc x égale à exponentiel de y.
20:30Oui, mais pourquoi ?
20:32Fastiche fastache fastoche, la distance verticale que je matérialise ici, est égale à celle-là,
20:37horizontale, de valeur x, à cause du fait que les courbes rouges et bleues sont symétriques par rapport à droite verte.
20:44Donc la boucle est bouclée.
20:46Tiens, j'en profite pour te montrer un petit truc concernant les limites.
20:51Quand tu compares la courbe bleue, celle de l'exponentiel, avec la droite verte, y égale à x,
20:56tu remarques que la bleue monte bien plus vite vers plus l'infini que la verte.
21:01Ceci explique pourquoi la limite de e de x sur x puissance n, quand x tend vers plus l'infini,
21:07et plus l'infini, car c'est l'exponentiel qui impose sa limite.
21:10Si tu fais la même observation avec la courbe rouge, celle du ln, et la droite verte,
21:16tu constates que la rouge monte moins vite vers plus l'infini que la verte.
21:20Ceci explique pourquoi la limite de ln de x, sur x puissance n, quand x tend vers plus l'infini,
21:26est nulle, c'est la fonction, x puissance n, qui impose sa limite.
21:30Aussi simple que ça.
21:33L'atelier est désormais terminé.
21:36Tu as des questions ?
21:38Tu veux un complément d'information ?
21:40Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
21:43Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
21:48Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeM a un hashtag 039, exponentiel et logarithme néperien, est accessible, le lien est en description.
21:59Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
22:03A tout de suite.
22:04Tchuss !