- il y a 6 semaines
Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/1MVnu5hvzFSJpHw-uN7dG2oT5yOyJ5UEA?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://youtu.be/uUpAsMrrNqE
Que la Forge soit avec toi...
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://youtu.be/uUpAsMrrNqE
Que la Forge soit avec toi...
Catégorie
📚
ÉducationTranscription
00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 46, intégrale d'une fonction.
00:40Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, avec lequel ton cerveau va s'échauffer tout en douceur.
00:46C'est parti.
00:48Calculez les suivantes, le mot intégral est aux abonnés absents, à l'aide d'une primitive.
00:53J'espère que tu connais tes formules, sinon un petit tour dans l'atelier NAN numéro 45 ne sera pas du luxe.
01:00Son lien est dans la description.
01:02Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
01:056 intégrales à déterminer, pas le temps de niaiser, go !
01:09Et pour mettre un peu de piment dans la correction, on va commencer par résoudre les intégrales impaires, celles de la première ligne, et terminer par les paires, celles de la dernière ligne.
01:19Petit 1, y égale à l'intégrale de, x moins 3, dx, entre 0 et 4.
01:24Tu poses f de x égale à x moins 3, donc grand f de x égale à x au carré sur 2, moins 3x, plus c.
01:32Pour le pas te tromper dans le calcul, je te propose cette disposition.
01:37Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 4, donc tu détermines en premier grand f de 4, égale à moins 4 plus c.
01:45Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 0, donc tu détermines ensuite grand f de 0, égale à c.
01:52Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de 4 moins grand f de 0, soit moins 4.
02:03Next.
02:05Petit 3, y égale à l'intégrale de, t au carré, plus t, moins 1 sur t, dt, entre 1 et 2.
02:11Tu poses f de t égale à t au carré, plus t, moins 1 sur t, donc grand f de t égale à t au cube sur 3, plus t au carré sur 2, moins ln de t, plus c.
02:23Même disposition que précédemment.
02:26Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 2, donc grand f de 2 est égal à 14 tiers, moins ln de 2, plus c.
02:35Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 1, donc grand f de 1 est égal à 5 sixièmes, plus c.
02:41Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de 2 moins grand f de 1, soit 23 sixièmes moins ln de 2.
02:53Next.
02:55Petit 5, y égale à l'intégrale de l'exponentielle de x dx, entre ln de 2 et ln de 3.
03:01Tu poses f de x égale à exponentielle de x, donc grand f de x égale à exponentielle de x, plus c.
03:08Même disposition que précédemment.
03:10Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel ln de 3, donc grand f de ln de 3 est égal à 3 plus c.
03:19Au pied de l'intégrateur se trouve le réel ln de 2, donc grand f de ln de 2 est égal à 2 plus c.
03:26Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de ln de 3 moins grand f de ln de 2, soit...
03:37Next.
03:39Petit 2, y égale à l'intégrale de, t au carré, moins 4t, plus 3, dt, en re moins 1 et 2.
03:46Tu poses f de t égale à t au carré, moins 4t, plus 3, donc grand f de t égale à t au cube sur 3, moins 2t au carré, plus 3t, plus c.
03:56Même disposition que précédemment.
03:58Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 2, donc grand f de 2 est égal à 2 tiers, plus c.
04:07Au pied de l'intégrateur se trouve le réel moins 1, donc grand f de moins 1 est égal à moins 16 tiers, plus c.
04:14Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de 2 moins grand f de moins 1, soit 6.
04:24Next.
04:25Petit 4, y égale à l'intégrale de 3x sur, x au carré, plus 1, au carré, dx, en re 0 et 2.
04:34Tu poses f de x égale à 3x sur, x au carré, plus 1, au carré, donc grand f de x égale à moins 3 sur, 2 fois, x au carré plus 1, plus c.
04:44Même disposition que précédemment.
04:47Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 2, donc grand f de 2 est égal à moins 3 dixiètes, plus c.
04:55Au pied de l'intégrateur, se trouve le réel 0, donc grand f de 0 est égal à moins 3 demi, plus c.
05:02Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de 2 moins grand f de 0, soit 6 cinquièmes.
05:13Next.
05:14Petit 6, y égale à l'intégrale de dt sur, 2t plus 1, au carré, entre 0 et 3.
05:20Tu poses f de t égale à 1 sur, 2t plus 1, au carré, donc grand f de t égale à moins 1 sur, 2 fois, 2t plus 1, plus c.
05:30Même disposition que précédemment.
05:33Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 3, donc grand f de 3 est égal à moins 1 quatorzième, plus c.
05:40Au pied de l'intégrateur, se trouve le réel 0, donc grand f de 0 est égal à moins 1 demi, plus c.
05:48Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand f de 3 moins grand f de 0, soit 3 septièmes.
05:59En connaissant tes formules de primitive, et en appliquant la même disposition que ma résolution, tout se passera bien.
06:05Exercice numéro 2, dans lequel je subodore que prolonger l'échauffement du cerveau ne sera pas du luxe.
06:12C'est parti.
06:13Calculez les suivantes, le mot intégral est encore aux abonnés absents, à l'aide d'une primitive.
06:19J'espère que désormais, tu connais bien tes formules, sinon un petit tour de nouveau dans l'atelier MAN numéro 45 ne sera pas du luxe.
06:27Son lien est dans la description, catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
06:31Pour éviter une fatigue prématurée de tes neurones, j'ai décidé unilatéralement de supprimer les deux dernières intégrales, qui ne sont que des doublons différents de leurs voisines du dessus.
06:42Mais rien ne t'empêche de calculer leurs valeurs, bien au contraire.
06:46Donc, 4 intégrales à déterminer, pas le temps de niaiser, go !
06:50Et pour mettre une nouvelle fois un peu de piment dans la correction, on va commencer par résoudre les intégrales impaires, celles de la première ligne, et terminer par la paire, la seule sur la dernière ligne.
07:01Petit 1, y égale à l'intégrale de dx, entre 0 et 4.
07:06Tu poses f de x égale à 1, donc F de x égale à x plus c.
07:11Pour le pas te tromper dans le calcul, je te propose cette disposition.
07:14Au sommet de l'intégrateur, le signe intégral, se trouve le réel 4, donc tu détermines en premier F de 4, égale à 4 plus c.
07:24Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 0, donc tu détermines ensuite F de 0, égale à c.
07:31Sachant que y est égale à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égale à F de 4 moins F de 0, soit 4.
07:41Next.
07:43Petit 3, y égale à l'intégrale de x sur x²-4 dx, entre 1 et 1.
07:49Tu poses f de x égale à x sur x²-4, donc F de x égale à ln de valeur absolue de x²-4, sur 2, plus c.
08:00En effet, entre moins 1 et 1, x²-4 étant négatif, et l'argument dans un logarithme devant être strictement positif, la valeur absolue est indispensable.
08:10Même disposition que précédemment.
08:12Au sommet de l'intégrateur, le signe intégra, se trouve le réel 1, donc tu détermines en premier F de 1, égale à ln de 3, sur 2, plus c.
08:23Au pied de l'intégrateur se trouve le réel moins 1, donc tu détermines ensuite F de moins 1, égale à ln de 3, sur 2, plus c.
08:32Sachant que y est égale à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égale à F de 1 moins F de moins 1, soit 0.
08:42Next.
08:44Petit 5, y égale à l'intégrale de 5 exponentielles de 3x dx, entre 0 et 1.
08:50Tu poses F de x égale à 5 exponentielles de 3x, donc F de x égale à 5 exponentielles de 3x, sur 3, plus c.
08:59Même disposition que précédemment.
09:01Au sommet de l'intégrateur, le signe intégra, se trouve le réel 1, donc tu détermines en premier F de 1, égale à 5 exponentielles de 3, sur 3, plus c.
09:13Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 0, donc tu détermines ensuite F de 0, égale à 5 tiers, plus c.
09:20Sachant que y est égale à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égale à F de 1 moins F de 0, soit 5 facteurs de, exponentielles de 3, moins 1, sur 3.
09:34Next.
09:35Petit 2, y égale à l'intégrale de, x moins 3, sur x, dx, entre moins 2 et moins 1.
09:43Une réécriture de la fonction dans l'intégral est nécessaire, vu qu'elle ne correspond à aucune formule de primitive.
09:48Il suffira de séparer la fraction en une somme de deux fractions, soit x sur x, moins 3 sur x, ce qui se simplifie en 1, moins 3 sur x.
09:57De ce fait, F de x égale à x, moins 3 ln de valeur absolue de x, plus c.
10:05En effet, en roue moins 2 et moins 1, x étant négatif, et l'argument dans un logarithme devant être strictement positif, la valeur absolue est indispensable.
10:13Même disposition que précédemment.
10:17Au sommet de l'intégrateur, le signe intégra, se trouve le réel moins 1, donc tu détermines en premier grand F de moins 1, égale à moins 1 plus c.
10:26Au pied de l'intégrateur se trouve le réel moins 2, donc tu détermines ensuite grand F de moins 2, égale à moins 2, moins 3 ln de 2, plus c.
10:34Sachant que y est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, y sera égal à grand F de moins 1 moins grand F de moins 2, soit 1, plus 3 ln de 2.
10:47En connaissant tes formules de primitive, et en appliquant la même disposition que ma résolution, tout se passera bien.
10:54Exercice numéro 3, dans lequel tu vas apprendre à modifier l'écriture de fonctions fractions pour déterminer leurs intégrales.
11:01C'est parti !
11:02Deux fonctions, une polynomiale et l'autre exponentielle, et deux intégras à déduire.
11:08Un jeu d'enfant.
11:10Question 1, petit a, trouvez 3 réels, A, B, et C, tels que, 4x², plus 7x, plus 1, sur, x plus 2, égale à x, plus B, plus C sur, x plus 2.
11:24La procédure la plus simple, mais surtout la plus rapide, consiste de partir de l'expression contenant les réels, A, B, et C,
11:31de tout mettre sur le même dénominateur, de rassembler ce qui se ressemble pour obtenir,
11:36A x², plus x facteur 2, 2A plus B, plus, 2B plus C, sur, x plus 2, que tu poses égale à la fonction.
11:46La résolution se fera par identification, ce qui va donner A égale à 4, 2A plus B égale à 7,
11:51et 2B plus C égale à 1, ce qui donne A égale à 4, B à moins 1, et C à 3.
11:57Next.
11:59Petit b, en déduire I, égale à l'intégrale de, 4x², plus 7x, plus 1, sur, x plus 2, dx, en re 0 et 2.
12:09Grâce à la question précédente, on a les valeurs de A, 4, B, moins 1, et C, 3.
12:15Donc tu poses F de x égale à 4x, moins 1, plus 3 sur, x plus 2, ce qui implique que grand F de x est égale à 2x², moins x, plus 3 ln 2, x plus 2, plus C.
12:29Comme x plus 2 est strictement positif sur l'intervalle de l'intégrale, la valeur absolue dans le logarithm est inutile.
12:35Au sommet de l'intégrateur, le signe intégrat, se trouve le réel 2, donc tu détermines en premier grand F de 2, égale à 6, plus 6 ln de 2, plus C.
12:46Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 0, donc tu détermines ensuite grand F de 0, égale à 3 ln de 2, plus C.
12:53Sachant que I est égale à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, I sera égale à grand F de 2 moins grand F de 0, soit 6, plus 3 ln de 2.
13:06Next.
13:07Question 2, petit a, prouvez que pour tout réel x, 1 sur, 1 plus exponentiel de x, égale à 1, moins exponentiel de x sur, 1 plus exponentiel de x.
13:19Il y a deux façons de faire.
13:20Soit tu pars de l'expression de droite pour montrer l'égalité avec celle de gauche, soit tu fais l'inverse.
13:27Mais comme j'ai pour habitude de sortir des sentiers battus, je vais te montrer une autre façon de procéder quelque peu singulière.
13:34Tu pars de 1 sur, 1 plus exponentiel de x, et simultanément au numérateur, tu additionnes et retranches exponentiel de x, ce qui ne change pas sa valeur.
13:43Puis tu sépares ta fraction en deux comme ceci, simplification, et tu viens de prouver que 1 sur, 1 plus exponentiel de x, est égal à 1, moins exponentiel de x sur, 1 plus exponentiel de x.
13:56Et c'est ainsi que tu mets de la flamboyance dans tes copies.
13:59Tiens, on en profite pour déterminer la primitive de cette fonction, on va en avoir besoin pour la question suivante.
14:06Comme f de x est égal à 1, moins exponentiel de x sur, 1 plus exponentiel de x, alors grand f de x est égal à x, moins ln de, 1 plus exponentiel de x, plus c.
14:18Et sachant que, 1 plus exponentiel de x, est strictement positif sur l'intervalle de l'intégra, la valeur absolue dans le logarithme est inutile.
14:27Next.
14:29Petit b, en déduire i, égal à l'intégrale de 1 sur, 1 plus exponentiel de x, dx, entre 0 et 1.
14:37On aura besoin de la primitive déterminée dans la question précédente, que voici.
14:41Au sommet de l'intégrateur, le signe intégrat, se trouve le réel 1, donc tu détermines en premier grand f de 1, égal à 1, moins ln de, 1 plus e, plus c.
14:52Au pied de l'intégrateur se trouve le réel 0, donc tu détermines ensuite grand f de 0, égal à moins ln de 2, plus c.
14:59Sachant que i est égal à la primitive de la valeur du sommet de l'intégrateur, moins la primitive de la valeur de sa base, i sera égal à grand f de 1, moins grand f de 0, soit 1 plus ln de, 2 sur, 1 plus e.
15:13Et c'est tout.
15:14Garde cette technique dans un coin accessible de ton cerveau, elle te sera d'une grande utilité en devoir surveiller.
15:20Exercice numéro 4, dans lequel je vais te montrer comment effectuer une intégration par partie avec vitesse et justesse, ce qui forcera respect et admiration à ton égard.
15:31C'est parti !
15:33Calculez les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par partie, dont je rappelle la formule en bas de ton écran.
15:39i, égale à l'intégrale de u'v, entre a et b, est égale à, uv, compris entre a et b, moins l'intégrale de uv', entre a et b.
15:48J'en profite pour te rappeler qu'il est important de bien choisir u' et v, de telle sorte que le produit, u fois v', de l'intégrale de fin soit le plus simple possible.
15:58Je vais te montrer.
16:00Petit 1, i égale à l'intégrale de x fois ln de x, entre 1 et e.
16:05u' de x égale à x, donc u de x, sa primitive, égale à x au carré sur 2.
16:11v de x égale à ln de x, donc v' de x égale à 1 sur x.
16:15Ceci implique que uv' de x est égale à x sur 2, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
16:22Application de la formule.
16:25i égale à, x au carré sur 2, fois ln de x, compris entre 1 et e, moins l'intégrale de, x sur 2, dx, entre 1 et e.
16:33La primitive de x sur 2 et x au carré sur 4, compris entre 1 et e, que je place dans les mêmes crochets que, x au carré sur 2, fois ln de x, puis factorisation par x au carré sur 2.
16:46i égale à x au carré sur 2, facteur de, ln de x, moins 1 demi, compris entre 1 et e.
16:51Je te conseille vivement de faire en sorte que cette dernière expression soit la plus factorisée possible, ce qui va grandement simplifier les calculs, que voici.
17:00i égale à, e carré sur 2, facteur de, ln de e, moins 1 demi, moins, 1 demi, facteur de, ln de 1, moins 1 demi, ce qui donne, exponentiel de 2, plus 1, sur 4.
17:13Bien entendu, tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
17:21Next.
17:22Petit 2, i égale à l'intégrale de ln de t, dt, entre 1 et exponentiel de 2, que je te conseille de réécrire en l'intégrale de une fois ln de t dt, entre 1 et exponentiel de 2.
17:34u prime de t égale à 1, donc u de t, sa primitive, égale à t.
17:39v de t égale à ln de t, donc v prime de t égale à 1 sur t.
17:44Ceci implique que u v prime de t est égale à 1, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
17:50Application de la formule.
17:52i égale à, t fois ln de t, compris entre 1 et exponentiel de 2, moins l'intégrale de 1 dt, compris entre 1 et exponentiel de 2.
18:00La primitive de 1, est t, compris entre 1 et exponentiel de 2, que je place dans les mêmes crochets que, t fois ln de t, puis factorisation par t.
18:09i égale à t, facteur de ln de t, moins 1, compris entre 1 et exponentiel de 2.
18:17Je te conseille vivement de faire en sorte que cette dernière expression soit la plus factorisée possible, ce qui va grandement simplifier les calculs, que voici.
18:24i égale à, e carré, facteur de, ln de e carré, moins 1, moins, 1, facteur de, ln de 1, moins 1, ce qui donne, exponentiel de 2, plus 1.
18:36Bien entendu, tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
18:43Next.
18:45Petit 3, i égale à l'intégrale de, x moins 1, fois cosinus de x, dx, en re 0 et qui.
18:52u prime de x égale à x moins 1, donc u de x, sa primitive, égale à x au carré sur 2, moins x.
18:59v de x égale à cosinus de x, donc v prime de x égale à moins sinus de x.
19:05Ceci implique que u v prime de x est égale à moins, x au carré sur 2, moins x, fois sinus de x, plus compliqué que l'expression dans l'intégrale.
19:15Donc il faut permuter.
19:17u prime de x égale à cosinus de x, donc u de x, sa primitive, égale à sinus de x.
19:24v de x égale à x moins 1, donc v prime de x égale à 1.
19:27Ceci implique que u v prime de x est égale à sinus de x, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
19:35Application de la formule.
19:37i égale à, x moins 1, facteur de sinus de x, compris en re 0 et pi, moins l'intégrale de sinus de x, dx, en re 0 et pi.
19:47La primitive de sinus de x est moins cosinus de x, compris entre 0 et pi.
19:52Je place ce moins cosinus de x dans les mêmes crochets que, x moins 1, facteur de sinus de x, attention aux signes, pour obtenir i égale à, x moins 1, facteur de sinus de x, plus cosinus de x, compris en re 0 et pi.
20:07Tu passes au calcul pour obtenir i égale à, pi moins 1, facteur de sinus de pi, plus cosinus de pi, moins, 0 moins 1, facteur de sinus de 0, plus cosinus de 0, ce qui donne, pi moins 1, fois 0, plus moins 1, moins, 0 moins 1, fois 0, plus 1, soit moins 2.
20:26Bien entendu, la maîtrise parfaite des outils trigonométriques est impérative, puis tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
20:37Next.
20:38Petit 4, i égale à l'intégrale de, x plus 2, fois exponentielle de x, dx, en re 0 et 1.
20:45U' de x égale à x plus 2, donc U de x, sa primitive, égale à x au carré sur 2, plus 2x.
20:54V' de x égale à exponentielle de x, donc V' de x égale à exponentielle de x.
21:00Ceci implique que U' de x est égale à, x au carré sur 2, plus 2x, fois, exponentielle de x, plus compliqué que l'expression dans l'intégrale.
21:10Donc il faut permuter.
21:11U' de x égale à exponentielle de x, donc U' de x, sa primitive, égale à exponentielle de x.
21:19V' de x égale à x plus 2, donc V' de x égale à 1.
21:24Ceci implique que U' de x est égale à exponentielle de x, plus simple que l'expression intégrale.
21:31Application de la formule.
21:32I' égale à, x plus 2, facteur de exponentielle de x, compris entre 0 et 1, moins l'intégrale de exponentielle de x, dx, en re 0 et 1.
21:43La primitive de exponentielle de x est exponentielle de x, compris entre 0 et 1.
21:48Je place cet exponentielle de x dans les mêmes crochets que, x plus 2, facteur de exponentielle de x, puis factorisation par exponentielle de x pour obtenir I' égale à, x plus 1, facteur de exponentielle de x, compris entre 0 et 1.
22:04Je te conseille vivement de faire en sorte que cette dernière expression soit la plus factorisée possible, ce qui va grandement simplifier les calculs, que voici.
22:13I' égale à, 1 plus 1, facteur de exponentielle de 1, moins, 0 plus 1, facteur de exponentielle de 0, ce qui donne 2 au moins 1.
22:22Bien entendu, tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
22:29Next.
22:30Petit 5, I' égale à l'intégrale de, t moins 2, fois exponentielle de 2t, dt, entre 1 et 2.
22:38U' de t égale à t moins 2, donc U' de t, sa primitive, égale à t au carré sur 2, moins 2t.
22:45V' de t égale à exponentielle de 2t, donc V' de t égale à 2 exponentielle de 2t.
22:51Ceci implique que U' de t est égal à 2, facteur de, t au carré sur 2, moins 2t, fois exponentielle de 2t.
22:58Plus compliqué que l'expression dans l'intégrale.
23:01Donc il faut permuter.
23:03U' de t égale à exponentielle de 2t, donc U' de t, sa primitive, égale à, exponentielle de 2t, sur 2.
23:11V' de t égale à t moins 2, donc V' de t égale à 1.
23:16Ceci implique que U' de t est égal à, exponentielle de 2t, sur 2, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
23:22Application de la formule.
23:25I' égale à, t moins 2, facteur de, exponentielle de 2t, sur 2, compris en 1 et 2, moins l'intégrale de, exponentielle de 2t, sur 2, dt, entre 1 et 2.
23:37La primitive de, exponentielle de 2t, sur 2 est, exponentielle de 2t, sur 4, compris en 1 et 2.
23:44Je place cette, exponentielle de 2t, sur 4 dans les mêmes crochets que, t moins 2, facteur de, exponentielle de 2t, sur 2, pour obtenir I' égale à, t moins 2, facteur de, exponentielle de 2t, sur 2, moins, exponentielle de 2t, sur 4, compris entre 1 et 2, puis factorisation par, exponentielle de 2t, sur 2.
24:07I' égale à, exponentielle de 2t, sur 2, facteur de, t moins 5 demi, compris en 1 et 2.
24:14Je te conseille vivement de faire en sorte que cette dernière expression soit la plus factorisée possible, ce qui va grandement simplifier les calculs, que voici.
24:22I' égale à, exponentielle de, 2 fois 2, sur 2, facteur de, 2 moins 5 demi, moins, exponentielle de, 2 fois 1, sur 2, facteur de, 1 moins 5 demi, ce qui dote exponentielle de 2, facteur de, 3 moins exponentielle de 2, sur 4.
24:40Bien entendu, tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
24:47Next.
24:47Petit 6, I' égale à l'intégrale de x sur racine carré de, x plus 1, dx, en re 0 et 1, que je te conseille de réécrire en intégrale de x fois 1 sur, racine carré de, x plus 1, dx, en re 0 et 1.
25:03U' de x égale à x, donc U de x, sa primitive, égale à x au carré sur 2.
25:08V' de x égale à 1 sur racine carré de, x plus 1, donc V' de x égale à moins 1 sur, 2 fois racine carré de, x plus 1 au cube.
25:19Ceci implique que U' de x est égal à moins x au carré sur, 4 fois racine carré de, x plus 1 au cube, plus compliqué que l'expression en intégrale.
25:27Donc il faut permuter.
25:30U' de x égale à 1 sur racine carré de, x plus 1, donc U' de x, sa primitive, égale à 2 racine carré de, x plus 1.
25:39V' de x égale à x, donc V' de x égale à 1.
25:43Ceci implique que U' de x est égal à 2 racine carré de, x plus 1, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
25:50Application de la formule.
25:53I' égale à, 2 x, facteur de racine carré de, x plus 1, compris en re 0 et 1, moins intégrale de 2 racine carré de, x plus 1, dx, en re 0 et 1.
26:03La primitive de 2 racine carré de, x plus 1, est, 4 racine carré de, x plus 1 au cube, sur 3, compris en re 0 et 1, que je place dans les mêmes crochets que, 2 x, facteur de racine carré de, x plus 1, pour obtenir I' égale à, 2 x, facteur de racine carré de, x plus 1, moins, 4 racine carré de, x plus 1 au cube, sur 3, compris en re 0 et 1.
26:29Tout est ramené sur le même dénominateur, factorisation, réduction, I' égale à, 2 racine carré de, x plus 1, facteur de, x moins 2, sur 3, compris en re 0 et 1.
26:42Je te conseille vivement de faire en sorte que cette dernière expression soit la plus factorisée possible, ce qui va grandement simplifier les calculs, que voici.
26:49I' égale à, 2 racine carré de, 1 plus 1, facteur de, 1 moins 2, sur 3, moins, 2 racine carré de, 0 plus 1, facteur de, 0 moins 2, sur 3, ce qui donne, 4 moins 2 racine carré de, 2, sur 3.
27:06Bien entendu, tu fais les calculs avec ton stylo ou ton cerveau, et tu vérifies le résultat à la calculatrice.
27:12Avec méthode et minutie, l'intégration par partie devient plus facile et réussie.
27:17Exercice numéro 5, dans lequel tu vas calculer la valeur moyenne, juste pour appliquer sa formule au moins une fois dans ta vie.
27:25C'est parti.
27:27On donne la fonction définie sur l'ensemble complet des réels par f de t égale à 2 exponentielles de 0,04 t, sur, exponentielle de 0,04 t, plus 19.
27:39Question 1, déterminer une primitive de f.
27:42Ok.
27:43F est du type U' sur U, donc F sera égale à ln de U, plus C.
27:49U de t égale à exponentielle de 0,04 t, plus 19, donc U' de t égale à 0,04 exponentielle de 0,04 t.
27:59De ce fait, F est du type 50 fois U' sur U, donc F sera égale à 50 ln de U, plus C.
28:06Par conséquent, F de t égale à 50 ln de, exponentielle de 0,04 t, plus 19, plus C.
28:15D'où l'intérêt de maîtriser ces formules de primitive.
28:19Next.
28:20Question 2, calculez la valeur moyenne, notée μ, de F sur l'intervalle 50 inclus, 120 inclus.
28:27En donnez une valeur approchée à 10 puissance moins 2.
28:29La formule générale de la valeur moyenne est la suivante.
28:34μ est égale à 1 sur, B moins A, fois l'intégrale de F de t d t, en ra et B, aussi égale à 1 sur, B moins A, facteur de, F de B moins F de A.
28:44De ce fait, μ est égale à 1 sur, 100 moins 50, fois l'intégrale de F de t d t, compris entre 50 et 100, aussi égale à 1 sur, 100 moins 50, facteur de, F de 100 moins F de 50.
28:58Je te rappelle que F de t est égale à 50 ln de, exponentielle de 0,04 t, plus 19, plus C.
29:07Par conséquent, μ est égale à 1 sur 50, facteur de, 50 ln de, exponentielle de 0,04 fois 100, plus 19, moins 50 ln de, exponentielle de 0,04 fois 50, plus 19,
29:22ce qui donne par calcul ln de, exponentielle de 4, plus 19, sur, exponentielle de 2, plus 19, soit environ 1,03.
29:32Certes, du logarithme n'est pas rien et des exponentielles qui se superposent, ce n'est pas banal, mais il va falloir progressivement t'y habituer, ça va devenir monnaie courante dans ta vie d'élève au lycée.
29:43Exercice numéro 6, dans lequel je te propose de compter des carreaux, ça te permettra de faire une pause neuronale.
29:50C'est parti.
29:50La courbe ci-contre est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d'une fonction F.
29:58Seulement deux questions, et on commence bien entendu par la première.
30:02Comment calcule-t-on l'air, exprimé en unité d'air, de la partie hachurée ?
30:06Vu qu'on ne dispose que de la courbe, il va falloir compter les carreaux hachurés pour estimer au mieux la valeur de cette surface en unité d'air.
30:14Avant de partir bille en tête, tu indiques qu'un carreau correspond à une unité d'air, comme je le fais en rouge sur le graphique.
30:20Ensuite, tu comptes les carreaux entiers.
30:231, 2, 3, 4, et 5.
30:27Enfin, tu rassembles des bouts de carreaux hachurés pour en faire des carreaux entiers, comme celui-ci et celui-là, qui font le sixième, ce tout petit en haut, celui du dessous et celui-là pour le septième, et celui-ci avec ce minuscule pour le huitième.
30:40La surface hachurée sous la courbe a une aire égale à environ huit ua.
30:46Next.
30:47Question 2. La fonction f est définie sur l'intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu, par f de x égale à 5 sur x.
30:56Calculez cette aire.
30:56Il faut utiliser les formules.
31:00f de x égale à 5 sur x, donc F de x égale à 5 ln de x, plus c.
31:06A sera égale à l'intégrale de f de x dx, en 1 et 5, aussi égale à F de 5 moins F de 1.
31:13De ce fait, grand A est égale à 5 ln de 5, moins 5 ln de 1, ce qui donne 5 ln de 5, soit environ égale à 8,05 ua.
31:23On est bon, cette valeur correspond à celle déterminée graphiquement dans la question précédente.
31:29Exercice numéro 7, dans lequel je vais te montrer comment gérer une double intégration par partie.
31:34Certes, il se peut qu'on ne te la propose jamais en devoir surveillé, mais on ne sait jamais, ça peut se retrouver dans un énoncé de baccalauréat.
31:41Autant bien te préparer au cas où
31:44C'est parti.
31:46Calculez intégrale i, égale à l'intégrale de x au carré fois cosinus de x, dx, en re 0 et pi sur 2, à l'aide de deux intégrations par partie.
31:56u prime de x égale à x au carré, donc u de x, sa primitive, égale à x au cube sur 3.
32:03v de x égale à cosinus de x, donc v prime de x égale à moins sinus de x.
32:08Ceci implique que u v prime de x est égale à moins, x au cube sur 3, fois sinus de x, plus compliqué que l'expression dans l'intégrale.
32:17Donc il faut permuter.
32:19u prime de x égale à cosinus de x, donc u de x, sa primitive, égale à sinus de x.
32:26v de x égale à x au carré, donc v prime de x égale à 2x.
32:30Ceci implique que u v prime de x est égale à 2x fois sinus de x, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
32:38Application de la formule.
32:40i égale à x au carré fois sinus de x, compris en re 0 et pi sur 2, moins intégrale de 2x fois sinus de x, dx, en re 0 et pi sur 2.
32:51Problème, dans l'intégrale de fin, impossible de trouver la primitive de la fonction contenue en passant par les formules.
32:56Par conséquent, il faut refaire une intégration par partie.
33:01Tu poses j égale à l'intégrale de, 2x fois sinus de x, dx, en re 0 et pi sur 2.
33:08u prime de x égale à sinus de x, donc u de x, sa primitive, égale à moins cosinus de x.
33:15v de x égale à 2x, donc v prime de x égale à 2.
33:19Ceci implique que u v prime de x est égale à moins 2 cosinus de x, plus simple que l'expression intégrale.
33:25Application de la formule.
33:29j égale à, moins 2x fois cosinus de x, compris en re 0 et pi sur 2, moins intégrale de moins 2 cosinus de x, dx, en re 0 et pi sur 2.
33:39On récapitule.
33:40On a la formule de y, puis celle de j, qu'il va falloir injecter dans celle de y, en faisant attention à ne pas faire d'erreur de signe, ce qui implique que des parenthèses vont devoir être utilisées.
33:52Suppression de ces parenthèses permettant une simplification de l'écriture, attention au changement de signe indispensable.
33:57La primitive de, moins 2 cosinus de x, est, moins 2 sinus de x, introduite en relais même crochet que, x au carré sinus de x, plus 2x cosinus de x, calcul, et y égale à, pi au carré sur 4, moins 2.
34:12Certes, je suis allé un peu vite, mais c'est la même procédure qu'une intégration par partie simple vue dans l'exercice précédent.
34:20Donc, tu es en terre inconnue et pas trop boueux.
34:23Exercice numéro 8, dans lequel je vais te montrer une nouvelle fois comment gérer une double intégration par partie.
34:30On ne sait jamais, ça peut tomber au bac, ou ça va tomber au bac.
34:34Dans le doute, soyons paradoxal.
34:37C'est parti.
34:37Calculer intégrale i, égale à l'intégrale de x au carré fois exponentielle de x, dx, en re 0 et 1, à l'aide de deux intégrations par partie.
34:48u' de x égale à x au carré, donc u de x, sa primitive, égale à x au cube sur 3.
34:55v' de x égale à exponentielle de x, donc v' de x égale à exponentielle de x.
35:00Ceci implique que u' de x est égale à, x au cube sur 3, fois exponentielle de x, plus compliqué que l'expression dans l'intégrale.
35:09Donc il faut permuter.
35:11u' de x égale à exponentielle de x, donc u de x, sa primitive, égale à exponentielle de x.
35:19v' de x égale à x au carré, donc v' de x égale à 2x.
35:23Ceci implique que u' de x est égale à 2x fois exponentielle de x, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
35:31Application de la formule.
35:33i égale à, x au carré fois exponentielle de x, compris entre 0 et 1, moins intégrale de 2x fois exponentielle de x, dx, entre 0 et 1.
35:44Problème, dans l'intégrale de fin, impossible de trouver la primitive de la fonction contenue en passant par les formules.
35:49Par conséquent, il faut refaire une intégration par partie.
35:54Tu poses j égale à l'intégrale de, 2x fois exponentielle de x, dx, entre 0 et 1.
36:01u' de x égale à exponentielle de x, donc u de x, sa primitive, égale exponentielle de x.
36:08v' de x égale à 2x, donc v' de x égale à 2.
36:12Ceci implique que uv' de x est égale à 2 exponentielle de x, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
36:19Application de la formule.
36:22j égale à, 2x fois exponentielle de x, compris entre 0 et 1, moins intégrale de 2 exponentielle de x, dx, entre 0 et 1.
36:31On récapitule.
36:32On a la formule de y, puis celle de j, qu'il va falloir injecter dans celle de y, en faisant attention à ne pas faire d'erreur de signe, ce qui implique que des parenthèses vont devoir être utilisées.
36:44Suppression de ces parenthèses permettant une simplification de l'écriture, attention aux changements de signes indispensables.
36:50La primitive de, 2 exponentielle de x, est, 2 exponentielle de x, introduite entre les mêmes crochets que, x au carré exponentielle de x, moins 2x exponentielle de x, factorisation par exponentielle de x pour obtenir exponentielle de x, facteur de, x au carré, moins 2x, plus 2, calcul, i égale à, e moins 2.
37:12Certes, je suis allé un peu vite, mais c'est la même procédure qu'une intégration par partie simple vue dans l'exercice précédent donc, tu es en terre inconnue et pas trop boueux.
37:23Exercice numéro 9, dans lequel je vais te montrer comment utiliser une intégration par partie pour déterminer la primitive d'une fonction peu docile, ou trop férale.
37:32C'est parti.
37:34Trouver la primitive F, sur l'intervalle I, et nulle en a, des fonctions F suivantes à l'aide d'une intégration par partie.
37:40Certes, c'est du hors-programme au lycée, mais pourquoi ne pas sortir des sentiers battus pour en savoir un peu plus que les autres ?
37:48Je te rassure, on ne va pas tout faire, seulement ce qui a été entouré.
37:53Mais si le cœur t'en dit, tu peux faire les autres et demander une correction, ou une explication, dans les commentaires de cette vidéo.
38:00Avant de décoller, tu vas t'équiper de cette formule qui te permettra d'atterrir non seulement en douceur, mais exactement là où tu devais arriver.
38:07Ah oui, je rappelle que c'est la constante d'intégration, qui sera déterminée vu qu'on cherche la primitive de la fonction.
38:27Maintenant que tu as toutes les informations, on peut y aller.
38:32Petit 1, F de T égale à ln de T au carré, I égale à 0 exclu, plus l'infini exclu, et A égale à 1.
38:40Je t'affiche en haut à droite l'intégrale qui va te permettre de trouver la primitive.
38:43U' de T égale à 1, donc U de T, sa primitive, égale à T.
38:49V de T égale à ln de T au carré, donc V' de T égale à 2 sur T.
38:55Ceci implique que UV' de T est égal à 2, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
39:00Application de la formule.
39:02F de X égale à T fois ln de T au carré, compris entre 1 et X, moins l'intégrale de 2 dT, entre 1 et X, plus C.
39:12La primitive de 2 étant 2T, qui est injectée entre les crochets de T fois ln de T au carré,
39:17pour donner F de X égale à T fois ln de T au carré, moins 2T, compris entre 1 et X, plus C.
39:25Calcule, et F de X égale à, X fois ln de X au carré, moins 2X, plus 2, plus C.
39:33A égale à 1, et F s'annule en A, donc F de 1 est nul, ce qui implique que C aussi.
39:39Par conséquent, F de X égale à, X fois ln de X au carré, moins 2X, plus 2.
39:46Pour vérifier si c'est juste, il suffit de dériver F, et si tu obtiens la fonction de l'énoncé, c'est que tu as bien travaillé.
39:53Sinon, il faudra recommencer.
39:56Next.
39:58Petit 2, F de T égale à, 2T plus 1, fois sinus de T,
40:02I est l'ensemble complet des réels, et A égale à 0.
40:05Je t'affiche en haut à droite l'intégrale qui va te permettre de trouver la primitive.
40:10U prime de T égale à sinus de T, donc U de T, sa primitive, égale à moins cosinus de T.
40:17V de T égale à 2T plus 1, donc V prime de T égale à 2.
40:20Ceci implique que U V prime de T est égale à moins 2cosinus de T, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
40:27Application de la formule.
40:30Grand F de X égale à, moins, 2T plus 1, fois cosinus de T, compris en R0 et X, moins l'intégrale de, moins 2cosinus de T, dT, en R0 et X, plus C.
40:41La primitive de moins 2cosinus de T étant moins 2sinus de T, qui est injectée entre les crochets de, moins, 2T plus 1, fois cosinus de T.
40:51Attention aux signes, pour donner grand F de X égale à, moins, 2T plus 1, fois cosinus de T, plus 2sinus de T, compris en R0 et X, plus C.
41:01Calcul, et grand F de X égale à, moins, 2X plus 1, fois cosinus de X, plus 2sinus de X, plus 1, plus C.
41:11A égale à 0, et grand F s'annule en A, donc grand F de 0 est nul, ce qui implique que C aussi.
41:17Par conséquent, grand F de X égale à, moins, 2X plus 1, fois cosinus de X, plus 2sinus de X, plus 1.
41:27Pour vérifier si c'est juste, il suffit de dériver grand F, et si tu obtiens la fonction de l'énoncé, c'est que tu as bien travaillé.
41:34Sinon, il faudra recommencer.
41:37Next.
41:37Petit 4, F de T égale à, LN de T, au carré, I égale à 0 exclu, plus l'infini exclu, et A égale à 1, et il est indiqué qu'il faudra faire deux intégrations par partie.
41:50Je t'affiche en haut à droite l'intégrale qui va te permettre de trouver la primitive.
41:55U' de T égale à 1, donc U de T, sa primitive, égale à T.
41:59V de T égale à, LN de T, au carré, donc V' de T égale à, 2LN de T, sur T.
42:06Ceci implique que U' de T est égale à 2LN de T, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
42:13Application de la formule.
42:15Grand F de X égale à, T fois, LN de T, au carré, compris entre 1 et X, moins l'intégrale de, 2LN de T, DT, entre 1 et X, plus C.
42:26Problème, impossible de déterminer via les formules la primitive de 2LN de T, donc rebelote avec l'intégration par partie.
42:33Tu poses J égale à l'intégrale de 2LN de T, DT, entre 1 et X.
42:40U' de T égale à 2, donc U de T, sa primitive, égale à 2T.
42:45V de T égale à LN de T, donc V' de T égale à 1 sur T.
42:50Ceci implique que U' de T est égale à 2, plus simple que l'expression dans l'intégrale.
42:54Application de la formule.
42:57Grand F de X égale à, T fois, LN de T, au carré, compris entre 1 et X, moins, et la, grosse parenthèse contenant, de T fois LN de T, compris entre 1 et X, moins l'intégrale de 2DT, entre 1 et X, plus C.
43:12La primitive de 2 étant 2T, qui est injectée entre les crochets du, 2T fois LN de T, pour donner, T fois, LN de T, au carré, compris en 1 et X, moins, et la, toujours les grosses parenthèses, devenues normales, qui encadrent, 2T fois LN de T, moins 2T, compris en 1 et X, plus C.
43:32Les blocs sont rassemblés entre les mêmes crochets, attention aux signes, puis factorisation par T pour obtenir T, facteur de, LN de T, au carré, moins 2LN de T, plus 2, compris entre 1 et X, plus C.
43:47Calcul, et Grand F de X égale à X, facteur de, LN de X, au carré, moins 2LN de X, plus 2, moins 2, plus C.
43:57A égale à 1, et Grand F s'annule en A, donc Grand F de 1 est nul, ce qui implique que C aussi.
44:03Par conséquent, Grand F de X égale à X, facteur de, LN de X, au carré, moins 2LN de X, plus 2, moins 2.
44:12Pour vérifier si c'est juste, il suffit de dériver Grand F, et si tu obtiens la fonction de l'énoncer, c'est que tu as bien travaillé.
44:20Sinon, il faudra recommencer.
44:23Exercice numéro 10, dans lequel tu vas apprendre que le mariage entre une suite et une intégrale est possible,
44:28et qu'elle forme un couple omniprésent dans les exercices donnés en devoir surveillé.
44:33C'est parti.
44:34La suite IN est définie sur l'ensemble des entiers naturels par IN égale à l'intégrale de, 1 plus T puissance N, dt, entre 0 et 1.
44:43Question 1, prouvez que la suite IN est décroissante.
44:46Par définition, pour déterminer la monotonie d'une suite UN, tu détermines le signe de UN plus 1, moins UN.
44:54Si c'est positif, la suite est croissante, sinon, elle est décroissante.
44:58C'est exactement ce qu'il faut faire ici, mais il va falloir composer avec des intégrales, ce qui va rajouter un peu de piment dans la résolution de cet exercice.
45:08IN plus 1, moins IN est égal à l'intégrale de, 1 plus T puissance, N plus 1, dt, entre 0 et 1, moins l'intégrale de, 1 plus T puissance N, dt, entre 0 et 1.
45:20Grâce à la linéarité des intégrales, tu peux simplifier le calcul en intégrale de, 1 plus T puissance N, dt, entre 0 et 1, qui peut se réduire en intégrale de, T puissance N, plus 1, moins T puissance N, dt, entre 0 et 1.
45:39Tu peux, et tu vas utiliser les formules de primitives pour trouver celles de, T puissance N, plus 1, moins T puissance N, ce qui entraîne que IN plus 1, moyenne est égal à, T puissance N plus 2, sur, N plus 2, moins T puissance N plus 1, sur, N plus 1, compris en RE 0 et 1.
45:59Calcule, IN plus 1, moyenne est égal à, 1 puissance, N plus 2, sur, N plus 2, moins, 1 puissance, N plus 1, sur, N plus 1.
46:12Sachant que quelle que soit la puissance entière et positive que tu mets en exposant sur 1, le résultat reste toujours égal à 1.
46:19De ce fait, IN plus 1, moyenne est égal à, 1 sur, N plus 2, moins, 1 sur, N plus 1.
46:26Tu mets tout sur le même dénominateur, réduction.
46:29Et tu obtiens moins 1 sur, N plus 2, facteur 2, N plus 1.
46:34Pour tout N entier naturel, moins 1 strictement négatif, N plus 2 strictement positif, tout comme N plus 1, ce qui implique que I, N plus 1, moyenne est strictement négatif, donc la suite est bien décroissante.
46:47CQ FPP, acronyme de ce qu'il fallait particulièrement prouver.
46:51Next.
46:53Question 2, est-elle convergente ?
46:55Tu as deux chemins possibles.
46:57Le premier, montrez que la suite est minorée.
47:01En effet, toute suite décroissante et minorée sera convergente.
47:05Le second, déterminez la limite de la suite quand N tend vers plus l'infini, et constatez si cette limite est finie, ou infinie.
47:13Soyons d'un, on va s'aventurer sur le second chemin.
47:15L'énoncé indique que I, N égale à l'intégrale de, 1 plus T puissance N, des T, en re 0 et 1.
47:23Via les formules de primitive, tu obtiens I, N égale à, T, plus T puissance, N plus 1, sur, N plus 1, compris en re 0 et 1.
47:32Calcule, I, N égale à 1, plus 1 sur, N plus 1.
47:37La limite de 1 sur, N plus 1, quand N tend vers plus l'infini, est nulle.
47:42Donc par somme, la limite de I, N, quand N tend vers plus l'infini, est égale à 1.
47:48Par conséquent, la suite I, N est convergente, il tend vers 1.
47:52Exercice numéro 11, dans lequel je vais te montrer comment déterminer la surface d'un logo publicitaire.
47:59C'est parti !
48:00Un publicitaire souhaite imprimer un logo sur un T-shirt.
48:04Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions, f et g, définies sur l'intervalle moins pi sur 2 inclus, 3 pi sur 2 inclus,
48:12par f de x égale à exponentielle de moins x, facteur 2, moins cosinus de x, plus sinus de x, plus 1, et g de x égale à moins exponentielle de moins x, fois cosinus de x.
48:25On a une idée de la forme du logo grâce au repère orthonormé contenant les deux courbes, celle de f en rouge, et celle de g en bleu.
48:32Question 1, soit la fonction h, définie sur l'ensemble complet des réels, par h de x égale à exponentielle de moins x, fois sinus de x.
48:41Déterminez une primitive de h à l'aide de deux intégrations par partie.
48:46Si tu as fait le petit 4 de l'exercice 9, ce sera un épisode de déjà vu.
48:51Sinon, je te conseille d'aller le consulter sur le champ pour saisir le sens de mon propos qui va être assez condensé.
48:58Tu poses y égale à l'intégrale de exponentielle de moins x, fois sinus de x, dx, en roux moins pi sur 2 et t.
49:04U prime de x égale à exponentielle de moins x, donc U de x, sa primitive, égale à moins exponentielle de moins x.
49:13V de x égale à sinus de x, donc V prime de x égale à cosinus de x.
49:19Ceci implique que U V prime de x est égale à moins exponentielle de moins x, fois cosinus de x.
49:24Application de la formule.
49:27I égale à moins exponentielle de moins x, fois sinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins intégrale de moins exponentielle de moins x, fois cosinus de x, dx, en roux moins pi sur 2 et t.
49:41Et comme on a deux intégrations par partie à faire, voici la seconde.
49:45U prime de x égale à moins exponentielle de moins x, donc U de x, sa primitive, égale à exponentielle de moins x.
49:53U de x égale à cosinus de x, donc U prime de x égale à moins sinus de x.
49:59Ceci implique que U nu prime de x est égale à moins exponentielle de moins x, fois sinus de x.
50:05Application de la formule.
50:07I égale à moins exponentielle de moins x, fois sinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins, et là.
50:15Grosse parenthèse contenant, exponentielle de moins x, fois cosinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins intégrale de moins exponentielle de moins x, fois sinus de x, dx, en roux moins pi sur 2 et t.
50:29Les grosses parenthèses sont retirées, les signes sont changés pour l'occasion, et ce moins dont l'intégrale passe devant elle.
50:34Avec ça, I égale à moins exponentielle de moins x, fois sinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins, exponentielle de moins x, fois cosinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins intégrale de exponentielle de moins x, fois sinus de x, dx, en roux moins pi sur 2 et t.
50:54Mais cette dernière intégrale en bleu, c'est en fait I, définie en début de question.
51:00Par conséquent, en injectant, exponentielle de moins x, fois cosinus de x, entre les mêmes crochets que, moins exponentielle de moins x, fois sinus de x,
51:10I devient égale à moins exponentielle de moins x, fois sinus de x, moins, exponentielle de moins x, fois cosinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t, moins I.
51:21Le I de droite passe avec son acolyte à gauche, factorisation par, moins exponentielle de moins x, dans les crochets,
51:28et 2 I égale à moins exponentielle de moins x, facteur de, sinus de x, plus cosinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t.
51:36Division par 2, le signe moins devant l'exponentielle est ramené sur le 1 demi, I égale à moins 1 demi, facteur de, exponentielle de moins x, fois, sinus de x, plus cosinus de x, compris en roux moins pi sur 2 et t.
51:51Calcul, et grand H de t égale à moins 1 demi, facteur de, exponentielle de moins t, fois, sinus de t, plus cosinus de t, plus exponentielle de pi sur 2.
52:02Next.
52:03Question 2, sachant que l'unité graphique est 2 cm sur les deux axes, déterminez l'air exact du logo, puis une valeur approchée à 10 puissance moins 2 cm² près.
52:14Je remets sur ton écran les deux fonctions qui ont servi à créer le logo, et le repère orthonormé contenant leurs courbes.
52:20Par définition, l'air entre les deux courbes sera égale à une différence d'intégrale, celle de la fonction du dessus moins celle de la fonction du dessous, qui peut se réduire en intégrale de la différence de la fonction au-dessus avec celle en dessous.
52:33Par conséquent, grand A égale à l'intégrale de, f de x, moins j de x, d x, compris en roux moins pi sur 2 et 3 pi sur 2.
52:43Calcul, et grand A est égale à l'intégrale de, exponentielle de moins x, fois, sinus de x, plus 1, d x, en roux moins pi sur 2 et 3 pi sur 2.
52:52Développement, et grand A est égale à l'intégrale de, h de x, plus exponentielle de moins x, d x, en roux moins pi sur 2 et 3 pi sur 2, que je te conseille de splitter en l'intégrale de h de x, d x, entre moins pi sur 2 et 3 pi sur 2, plus l'intégrale de exponentielle de moins x, d x, entre moins pi sur 2 et 3 pi sur 2.
53:14Dans la question 1, tu as déterminé grand H de t, transformé en grand H de x, que j'affiche à l'écran, et qui va nous servir maintenant.
53:23Grand A est donc égale à moins 1 demi, facteur de, exponentielle de moins x, fois, sinus de x, plus cosinus de x, plus exponentielle de pi sur 2, compris entre moins pi sur 2 et 3 pi sur 2, plus, moins exponentielle de moins x, compris entre moins pi sur 2 et 3 pi sur 2.
53:41Je rassemble tout en relais même crochet, factorisation, et grand A égale à moins 1 demi, facteur de, exponentielle de moins x, fois, sinus de x, plus cosinus de x, plus 2, plus exponentielle de pi sur 2, compris entre moins pi sur 2 et 3 pi sur 2.
53:58Tu calcules, avec méthode et minutie, mais aussi avec ton stylo ou ton cerveau, et grand A sera égal à 1 demi, facteur de, exponentielle de pi sur 2, moins exponentielle de moins 3 pi sur 2, en unité d'air.
54:11L'énoncé indique que l'unité graphique est 2 cm sur les deux axes, entouré en rouge, donc une unité d'air fait 4 cm², ce qui correspond à la surface d'un carré de 2 cm de côté.
54:24Tu poses que 1 demi, facteur de, exponentielle de pi sur 2, moins exponentielle de moins 3 pi sur 2, unité d'air, correspond à grand A double barre.
54:32A l'aide d'un produit en croix, appelé aussi règle de 3, grand A double barre égale à 4 fois 1 demi, facteur de, exponentielle de pi sur 2, moins exponentielle de moins 3 pi sur 2, réduction pour obtenir une valeur exacte d'air égale à 2, facteur de, exponentielle de pi sur 2, moins exponentielle de moins 3 pi sur 2, cm², qui s'arrondit à 9,60, à 10 puissance moins 2 près.
54:577. Cet exercice était quelque peu déstabilisant, mais avec un minimum de patience et beaucoup de prudence, tu peux le réussir sans coup férir.
55:06La forge est désormais terminée.
55:09Des questions ?
55:10Un complément d'informations ?
55:13Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
55:15D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
55:22A toi de forger maintenant !
55:24Prochaine vidéo sur l'enclume.
55:25Que la forge soit avec toi.
55:29Stay tuned.
55:30Tchuss.
55:31Sous-titrage Société Radio-Canada
55:34Sous-titrage Société Radio-Canada
55:36Sous-titrage Société Radio-Canada
55:40Sous-titrage Société Radio-Canada
55:43Sous-titrage Société Radio-Canada
55:46Sous-titrage Société Radio-Canada
55:50Sous-titrage Société Radio-Canada
Écris le tout premier commentaire