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Le cours est accessible ici : https://dai.ly/x9ulx2g
Que la Forge soit avec toi...
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00:00:14Que la forge soit avec toi.
00:00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 45, primitive d'une fonction.
00:00:39Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, avec lequel je vais mettre ton cerveau à l'épreuve comme ça, sans échauffement, ni sommation.
00:00:48C'est parti.
00:00:50Prouvez dans les cas suivants, je ne savais pas que le mot, K, était féminin, que la fonction F est une primitive de la fonction F, sur un intervalle noté I.
00:01:00Le plus simple est de dériver F pour comparer son expression avec celle de F.
00:01:05En effet, si F' est égale à F, alors F est une primitive de F.
00:01:11Oui, mais non, trop facile.
00:01:14J'active le mode rebelle, je vais te montrer comment passer de F à F.
00:01:18En exercice comment devoir surveiller, prendre des risques calculés pour mettre de la flamboyance sur ta copie rapporte toujours des points bonus.
00:01:26Et je vais te montrer comment flamboyer.
00:01:28Tu reprends l'expression de F, tu sépares la fraction en deux parties distinctes, tu réduis,
00:01:47et tu ramènes tout en linéaire pour obtenir F de X égale à 2X, moins 2X puissance moins 3.
00:01:54Par définition, quand G de X est égal à X puissance N, grand G de X sera égal à X puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:02:05U de X est égal à 2X, donc grand U de X est égal à X au carré.
00:02:10V de X est égal à moins 2X puissance moins 3, donc grand V de X est égal à 1 sur X au carré.
00:02:17Sachant que F est égal à U plus V, grand F sera égal à grand U plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:02:24Grand F de X sera égal à X au carré, plus 1 sur X au carré, plus C.
00:02:29En admettant ici que C est nul, la preuve est faite.
00:02:34Next.
00:02:35Petit 2, F de X est égal à 1 sur, un plus exponentiel de X, grand F de X est égal à X moins N2, un plus exponentiel de X, sur l'ensemble complet des réels.
00:02:46Et là, ça va être à la fois tordu et singulier comme technique, mais le principal est que la démonstration soit mathématiquement correcte.
00:02:53Au numérateur, tu vas simultanément additionner et soustraire exponentiel de X, ce qui ne change en rien la valeur du numérateur.
00:03:01Tu sépares la fraction en deux parties distinctes comme ceci.
00:03:04Une exponentielle pour chacune, tu réduis, et tu auras F de X égale à 1, moins exponentiel de X, sur, un plus exponentiel de X.
00:03:12Par définition, si G est égal à U' sur U, alors grand G est égal à LN de U, plus C, la constante d'intégration.
00:03:21U de X est égal à 1, donc grand U de X est égal à X.
00:03:26V de X est égal à exponentiel de X sur, un plus exponentiel de X, donc grand V de X est égal à LN de, un plus exponentiel de X.
00:03:34Sachant que F est égal à U moins V, grand F sera égal à grand U moins grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:03:43Grand F de X est égal à X moins LN de, un plus exponentiel de X, plus C.
00:03:49En admettant ici que C est nul, la preuve est faite.
00:03:52Next.
00:03:54Petit 3, F de X est égal à 1 sur, X LN de X, grand F de X est égal à LN de, LN de X, sur l'intervalle 1 exclu, plus l'infini exclu.
00:04:05Là, il va falloir ruser pour faire apparaître ce qui est habilement caché aux yeux aveugles des profanes.
00:04:10Tu prends l'expression de F, et tu disposes simplement le 1 sur X au numérateur.
00:04:16Et là, tout c'est clair.
00:04:18Si tu connais tes formules de dérivation, tu sais que 1 sur X est la dérivée de LN de X donc,
00:04:24F est de la forme U prime sur U, ce qui implique que grand F sera égal à LN de U, plus C, la constante d'intégration.
00:04:31Comme U de X est égal à LN de X, alors grand F de X sera égal à LN de, LN de X, plus C.
00:04:39En admettant ici que C est nul, la preuve est faite.
00:04:43Next.
00:04:44Petit 4, F de X est égal à cosinus de X moins X sinus de X, grand F de X est égal à X cosinus de X, sur l'ensemble complet des réels.
00:04:53Alors là, continuer avec le mode rebelle risque fort de venir à bout de ta patience très limitée.
00:04:59Et le monde trigonométrique est un espace d'angoisse et de terreur pour ton cerveau drogué aux réseaux sociaux.
00:05:05Le mode rebelle est donc désactivé, on va traiter cette question normalement.
00:05:10Grand F est de la forme U fois V, donc grand F prime sera égal à U prime V, plus U V prime.
00:05:15U de X est égal à X, donc U prime de X est égal à 1.
00:05:20V de X est égal à cosinus de X, donc V prime de X est égal à moins sinus de X.
00:05:26Par conséquent, mais surtout par calcul, grand F prime de X est égal à cosinus de X, moins X sinus de X, soit F de X.
00:05:35La preuve est faite.
00:05:38Exercice numéro 2, dans lequel tu vas découvrir que deux fonctions un peu velu et totalement différentes peuvent avoir la même dérivée.
00:05:44C'est parti.
00:05:46Montrez que les fonctions, fonctions sans S, au label erreur d'accord, grand F et grand G, sont deux primitives de la même fonction F sur un intervalle noté grand I.
00:05:56Pouvait-on prévoir ce résultat ?
00:05:58Grand F de X est égal à X au carré plus 3X moins 1, sur X moins 1, grand G de X est égal à X au carré plus 7X moins 5, sur X moins 1, sur l'intervalle 1 vex que, plus l'infini exclu.
00:06:12Première chose à faire, dérivée grand F.
00:06:15U de X est égal à X au carré plus 3X moins 1, donc U prime de X est égal à 2X plus 3.
00:06:22V de X est égal à X moins 1, donc V prime de X est égal à 1.
00:06:27Comme grand F est égal à U sur V, alors sa dérivée sera égale à U prime V, moins U V prime, sur V carré.
00:06:33Calcul, et grand F prime égale à X au carré moins 2X moins 2, sur X moins 1, au carré.
00:06:41Maintenant, il faut dériver grand G.
00:06:44U de X est égal à X au carré plus 7X moins 5, donc U prime de X est égal à 2X plus 7.
00:06:51V de X est égal à X moins 1, donc V prime de X est égal à 1.
00:06:54Comme grand G est égal à U sur V, alors sa dérivée sera égale à U prime V, moins U V prime, sur V carré.
00:07:02Calcul, et grand G prime égale à X au carré moins 2X moins 2, sur, X moins 1, au carré, soit grand F prime de X.
00:07:11CQ FMM, acronyme de ce qu'il fallait manifestement montrer.
00:07:15Pouvait-on prévoir ce résultat ?
00:07:16Oui, et je vais te montrer comment.
00:07:20J'espère seulement que tu es rompu à la manipulation des chiffres et des nombres, sinon il va falloir envisager de commencer un entraînement drastique, juste avec ton stylo et ton cerveau.
00:07:30Comme grand F et grand G ont le même dénominateur, il faut essayer de trouver une relation simple entre leurs numérateurs.
00:07:37Prenons celui de grand G, qu'on va exprimer en fonction de celui de grand F.
00:07:40X au carré plus 7X moins 5 est égal à X au carré plus 3X moins 1, plus, 4X moins 4, factorisation par 4 de la fin de l'expression, qui devient 4, facteur de, X moins 1.
00:07:54Tu reprends grand G, tu remplaces son numérateur par sa nouvelle écriture déterminée précédemment, tu sépares la fraction en deux parties distinctes, tu réduis, et tu auras grand G de X égale à grand F de X, plus 4.
00:08:06Par conséquent, tu dérives cette équation, et tu auras grand G prime de X qui sera égale à grand F prime de X, plus 0.
00:08:15Tout est bien qui finit bien.
00:08:17Exercice numéro 3, dans lequel tu vas devoir utiliser les formules abordées dans le cours, que tu dois connaître normalement par cœur.
00:08:24Sinon, le lien de l'atelier est dans la description.
00:08:28C'est parti.
00:08:30Linéarité de la primitive sur 5 fonctions gentilles, car seulement des puissances et une seule exponentielle.
00:08:36Petit 1, F de X est égale à X puissance 4, moins 4X au cube, plus X au carré, moins 4X, plus 3, sur l'ensemble complet des réels.
00:08:46Pour réaliser cette primitive, tu auras besoin des formules suivantes.
00:08:50G de X égale à X puissance N, alors grand G de X est égale à X puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:09:00G égale à U plus V, alors grand G égale à grand U, plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:09:08G égale à K fois U, carré L, alors grand G égale à K fois grand U, plus C, la constante d'intégration.
00:09:14Par conséquent, et aussi par calcul, grand F de X sera égale à X puissance 4 plus 1, sur 4 plus 1, moins 4X puissance, 3 plus 1, sur 3 plus 1, plus X puissance, 2 plus 1, sur 2 plus 1, moins 4X puissance, 1 plus 1, sur 1 plus 1, plus 3X puissance, 0 plus 1, sur 0 plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:09:41Simplification, réduction, et grand F de X égale à X puissance 5, sur 5, moins, X puissance 4, plus X au cube sur 3, moins 2X au carré, plus 3X, plus C.
00:09:55Next.
00:09:56Petit 2, F de X égale à X au carré, moins 2X, plus 1, sur 3, sur l'ensemble complet des réels.
00:10:03Je te propose une réécriture de la fonction en, un tiers, facteur de, X au carré, moins 2X, plus 1, ce sera plus pratique pour déterminer sa primitive.
00:10:14Pour réaliser cette primitive, tu auras besoin des formules suivantes.
00:10:18G de X égale à X puissance N, alors grand G de X est égale à X puissance, N plus 1, sur, N plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:10:29G égale à U plus V, alors grand G égale à grand U, plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:10:36G égale à K fois U, carré L, alors grand G égale à K fois grand U, plus C, la constante d'intégration.
00:10:43Par conséquent, et toujours par calcul, grand F de X sera égale à un tiers, facteur de X puissance, 2 plus 1, sur, 2 plus 1, moins 2 facteur de X puissance, 1 plus 1, sur, 1 plus 1, plus X puissance, 0 plus 1, sur, 0 plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:11:03Simplification, réduction, et grand F de X égale à un tiers, facteur de, X au cube sur 3, moins X au carré, plus X, plus C.
00:11:13Next.
00:11:15Petit 3, F de X égale à 1, moins 1 sur X au cube, sur l'intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu.
00:11:22Je te propose une réécriture de la fonction en 1, moins X puissance, moins 3, ce sera plus pratique pour déterminer sa primitive.
00:11:29Pour réaliser cette primitive, tu auras besoin des formules suivantes.
00:11:35G de X égale à X puissance N, alors grand G de X est égale à X puissance, N plus 1, sur, N plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:11:45G égale à U plus V, alors grand G égale à grand U, plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:11:51Par conséquent, et encore par calcul, grand F de X sera égale à X puissance, 0 plus 1, sur, 0 plus 1, moins X puissance, moins 3 plus 1, sur, moins 3 plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:12:08Simplification, réduction, et grand F de X égale à X, plus 1 sur, 2X au carré, plus C.
00:12:15Next.
00:12:15Petit 4, F de X égale à moins 1 sur X au cube, plus 4 sur X au carré, moins 1, sur l'intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu.
00:12:26Je te propose une réécriture de la fonction en moins X puissance moins 3, plus 4X puissance moins 2, moins 1, ce sera plus pratique pour déterminer sa primitive.
00:12:34Pour réaliser cette primitive, tu auras besoin des formules suivantes.
00:12:40G de X égale à X puissance N, alors grand G de X est égale à X puissance, N plus 1, sur, N plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:12:50G égale à U plus V, alors grand G égale à grand U, plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:12:57G égale à K fois U, carré L, alors grand G égale à K fois grand U, plus C, la constante d'intégration.
00:13:05Par conséquent, et de nouveau par calcul, grand F de X sera égale à moins X puissance, moins 3 plus 1, sur, moins 3 plus 1, plus 4 facteurs de X puissance, moins 2 plus 1, sur, moins 2 plus 1, moins X puissance, 0 plus 1, sur, 0 plus 1, plus C, la constante d'intégration.
00:13:24Simplification, réduction, et grand F de X égale à 1 sur 2X au carré, moins 4 sur X, moins X, plus C.
00:13:33Next.
00:13:34Petit 5, F de X égale à 4 sur X, plus 2 exponentielles de X, sur l'intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu.
00:13:43Pour réaliser cette primitive, tu auras besoin des formules suivantes.
00:13:46J de X égale à 1 sur X, alors grand G de X est égale à ln de X, plus C, la constante d'intégration.
00:13:55J de X égale à exponentielle de X, alors grand G de X égale à exponentielle de X, plus C, la constante d'intégration.
00:14:03J égale à U plus V, alors grand G égale à grand U, plus grand V, plus C, la constante d'intégration.
00:14:11J égale à K fois U, carré L, alors grand G égale à K fois grand U, plus C, la constante d'intégration.
00:14:19Par conséquent, et comme toujours par calcul, grand F de X sera égale à 4 ln de X, plus 2 exponentielles de X, plus C.
00:14:28Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:14:33Exercice numéro 4, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:14:38C'est parti.
00:14:39Les fonctions de type U' fois U puissance N.
00:14:42Il y en a 5, et dans le cas où tu débarques ici sans être passé par l'atelier, le lien est dans la description.
00:14:48Voici la formule générale de primitive.
00:14:50F égale à U' fois U puissance N, alors grand F égale à U puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:15:03Petit 1, F de X est égale à X plus 2, au cube, sur l'ensemble complet des réels.
00:15:09Dans la formule générale, la fonction U est celle qui est élevée à la puissance N, soit X plus 2.
00:15:14Sa dérivée sera égale à 1.
00:15:18Sachant que F de X égale à une fois, X plus 2, au cube, ça implique que F est bien de la formule U' fois U au cube.
00:15:25Je te rappelle que parfois, la primitive est obtenue à un coefficient multiplicatif près, comme tu vas le voir dans le petit 4.
00:15:33Reprenons la formule générale.
00:15:35F égale à U' fois U puissance N, alors grand F égale à U puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:15:47Par conséquent, grand F de X est égale à X plus 2, puissance 3 plus 1, sur 3 plus 1, plus C, la constante d'intégration, ce qui donne après simplification, X plus 2, puissance 4, sur 4, plus C.
00:16:03Next.
00:16:05Petit 2, F de X est égale à 2X, facteur de, 1 plus X au carré, puissance 1, sur l'ensemble complet des réels.
00:16:13Dans la formule générale, la fonction U est celle qui est élevée à la puissance N, soit 1 plus X au carré.
00:16:19Sa dérivée sera égale à 2X.
00:16:22Sachant que F de X égale à 2X fois, 1 plus X au carré, puissance 1, ça implique que F est bien de la forme U' fois U puissance 5.
00:16:30Je te rappelle que parfois, la primitive est obtenue à un coefficient multiplicatif près, comme tu vas le voir dans le petit 4.
00:16:39Reprenons la formule générale.
00:16:40F égale à U' fois U puissance N, alors F égale à U puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:16:52Par conséquent, F de X est égale à 1 plus X au carré, puissance 5 plus 1, sur 5 plus 1, plus C, la constante d'intégration, ce qui donne après simplification, 1 plus X au carré, puissance 6, sur 6, plus C.
00:17:10Next.
00:17:11Petit 3, F de X est égale à X moins 1, puissance 5, sur 3, sur l'ensemble complet des réels.
00:17:17Un judicieux conseil, opte pour la réécriture de la fonction en un tiers, facteur de, X moins 1, puissance 5, tu verras que ça facilitera grandement la détermination de la primitive.
00:17:29Dans la formule générale, la fonction U est celle qui est élevée à la puissance N, soit X moins 1.
00:17:35Sa dérivée sera égale à 1.
00:17:37Sachant que F de X égale à 1 tiers fois 1 fois, X moins 1, puissance 5, ça implique que F est bien de la forme 1 tiers, fois U prime, fois U puissance 5.
00:17:48Je te rappelle que parfois, la primitive est obtenue à un coefficient multiplicatif près, comme tu vas le voir dans le petit 4.
00:17:56Reprenons la formule générale.
00:17:57F égale ici à 1 tiers, fois U prime, fois U puissance N, alors grand F égale à 1 tiers, fois U puissance, N plus 1, sur, N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:18:12Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:18:15Par conséquent, grand F de X est égale à 1 tiers, facteur de, X moins 1, puissance, 5 plus 1, sur, 5 plus 1, plus C, la constante d'intégration, ce qui donne après simplification, X moins 1, puissance 6, sur 18, plus C.
00:18:33Next.
00:18:35Petit 4, F de X est égale à 2X, facteur de, 3X au carré moins 1, au cube, sur l'ensemble complet des réels.
00:18:42Dans la formule générale, la fonction U est celle qui est élevée à la puissance N, soit 3X au carré moins 1.
00:18:49Sa dérivée sera égale à 6X.
00:18:52Problème, F de X est égale à 2X, facteur de, 3X au carré moins 1, au cube, pas 6X, facteur de, 3X au carré moins 1, au cube.
00:19:02Pour passer de 6X à 2X, il faut diviser par 3, ou multiplier par 1 tiers.
00:19:08Reprenons la formule générale.
00:19:10F égale ici à 1 tiers, fois U prime, fois U puissance N, alors F sera égale à 1 tiers, fois U puissance, N plus 1, sur, N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:19:25Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:19:28Par conséquent, F de X est égale à 1 tiers, fois, 3X au carré moins 1, puissance, 3 plus 1, sur, 3 plus 1, plus C, la constante d'intégration, ce qui donne après simplification, 3X au carré moins 1, puissance 4, sur 12, plus C.
00:19:46Next.
00:19:47Petit 5, F de X est égale à, sinus de X, fois, cosinus de X, sur l'ensemble complet des réels.
00:19:56Un judicieux conseil, opte pour la réécriture de la fonction en, cosinus de X, fois, sinus de X, la multiplication est commutative.
00:20:05Tu verras que ça facilitera grandement la détermination de la primitive.
00:20:09Ici, pas de puissance, ce qui implique qu'elle est égale à 1.
00:20:13Le fait d'avoir modifié l'expression de la fonction permet d'avoir U de X égale à sinus de X, donc sa dérivée est égale à cosinus de X, et d'un simple coup d'œil, il est facile de voir que la fonction est de la forme U' fois U puissance.
00:20:27Reprenons la formule générale.
00:20:28F égale à U' fois U puissance N, alors grand F égale à U puissance N plus 1, sur N plus 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel non nul.
00:20:41Par conséquent, grand F de X est égale à, sinus de X, puissance, 1 plus 1, sur, 1 plus 1, plus C, la constante d'intégration, ce qui donne après simplification, sinus de X, au carré, sur 2, plus C.
00:20:55Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:21:01Exercice numéro 5, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:21:06C'est parti.
00:21:08Les fonctions de type U' sur U.
00:21:10Il y en a 4, et dans le cas où tu débats ici sans être passé par l'atelier, le lien est dans la description, voici la formule générale de primitive.
00:21:19F égale à U' sur U, alors grand F égale à N de U, plus C, la constante d'intégration.
00:21:26Je ne l'ai pas signalée par écrit car c'est normalement évident pour toi.
00:21:29La fonction Hélène implique automatiquement que U doit être strictement positif sur son domaine de définition sinon, il faudra la mettre en valeur absolue.
00:21:38Petit 1, F de X égale à 1 sur, X moins 4, sur l'intervalle 4 exclu, plus l'infini exclu.
00:21:44Sachant que X est strictement supérieur à 4, alors X moins 4 est strictement positif, ce qui est une bonne chose.
00:21:52Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur, soit X moins 4.
00:21:57Sa dérivée sera égale à 1.
00:22:01Sachant que F de X égale à 1 sur, X moins 4, ça implique que F est bien de la formule prime sur U.
00:22:07Reprenons la formule générale.
00:22:09F égale ici à U prime sur U, alors F égale à LN de U, plus C, la constante d'intégration.
00:22:17Par conséquent, F de X est égale à LN de, X moins 4, plus C.
00:22:23Next.
00:22:24Petit 2, F de X égale à 1 sur, X moins 4, sur l'intervalle moins infini exclu, 4 exclu.
00:22:31Attention, la fonction est la même que celle du petit 1, mais l'intervalle est différent.
00:22:36De ce fait, la primitive va être impactée.
00:22:40Sachant que X est strictement inférieur à 4, alors X moins 4 est strictement négatif, ce qui n'est pas une bonne chose.
00:22:46Pour remédier au problème, il faudra prendre la valeur absolue de, X moins 4, strictement positif sur l'intervalle.
00:22:55Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur, soit X moins 4.
00:23:01Sa dérivée sera égale à 1.
00:23:03Sachant que F de X égale à 1 sur, X moins 4, ça implique que F est bien de la formule prime sur U.
00:23:10Reprenons la formule générale.
00:23:11F égale ici à U prime sur U, alors F égale à ln de U, plus C, la constante d'intégration.
00:23:19Par conséquent, F de X est égale à ln de valeur absolue de, X moins 4, plus C.
00:23:26Next.
00:23:27Petit 3, F de X égale à, 2X moins 1, sur, X au carré moins X, sur l'intervalle 0 exclu, 1 exclu.
00:23:35Le signe du numérateur n'a pas d'importance ici car son expression disparaît lors du calcul de la primitive.
00:23:42Par contre, le dénominateur s'annule à ses bornes, et il est négatif en 0 et 1.
00:23:48Donc comme précédemment, il faudra le passer en valeur absolue.
00:23:52Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur, soit X au carré moins X.
00:23:57Sa dérivée sera égale à 2X moins 1.
00:24:01Sachant que F de X égale à, 2X moins 1, sur, X au carré moins X, ça implique que F est bien de la formule U prime sur U.
00:24:09Reprenons la formule générale.
00:24:12F égale ici à U prime sur U, alors F égale à ln de U, plus C, la constante d'intégration.
00:24:19Par conséquent, F de X est égale à ln de valeur absolue de, X au carré moins X, plus C, la constante d'intégration.
00:24:28Next.
00:24:29Petit 4, F de X égale à exponentielle de X, sur, exponentielle de X, plus 2, sur l'ensemble complet des réels.
00:24:37Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur, soit exponentielle de X, plus 2.
00:24:45Sa dérivée sera égale à exponentielle de X.
00:24:48Sachant que F de X égale à exponentielle de X, sur, exponentielle de X, plus 2, ça implique que F est bien de la forme U prime sur U.
00:24:57Reprenons la formule générale.
00:25:00F égale ici à U prime sur U, alors F égale à ln de U, plus C, la constante d'intégration.
00:25:07Par conséquent, F de X est égale à ln de, exponentielle de X, plus 2, plus C, la constante d'intégration.
00:25:16Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:25:19Exercice numéro 6, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:25:26C'est parti.
00:25:27Les fonctions de type U prime sur U puissance N, avec N entier naturel supérieur ou égal à 2.
00:25:33Il y en a 6, et dans le cas où tu débats qu'ici sans être passé par l'atelier, le lien est dans la description, voici la formule générale de primitive.
00:25:41F égale à U prime sur U puissance N, alors F égale à moins 1 sur N moins 1, fois U puissance N moins 1, plus C, la constante d'intégration, avec N entier naturel supérieur ou égal à 2, et une fonction non nulle.
00:25:56Petit 1, F de X est égale à 2 sur, X plus 4, au cube, sur l'intervalle moins 4 exclu, plus l'infini exclu.
00:26:05Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit X plus 4.
00:26:12Sa dérivée sera égale à 1.
00:26:14Sachant que F de X égale à 2 sur, X plus 4, au cube, ça implique que F est de la forme 2U prime sur U au cube.
00:26:22Reprenons la formule générale.
00:26:24F égale ici à 2U prime sur U puissance N, alors F égale à 2, facteur de moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:26:36Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:26:41Par conséquent, F de X est égale à 2, facteur de moins 1 sur, 3 moins 1, fois, X plus 4, puissance, 3 moins 1, plus C, la constante d'intégration,
00:26:52qui peut se réduire en moins 1 sur, X plus 4, au carré, plus C.
00:26:57Next.
00:26:59Petit 2, F de X égale à 1 sur, 3X moins 1, au carré, sur l'intervalle moins l'infini exclu, 1 tiers exclu.
00:27:07Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit 3X moins 1.
00:27:14Sa dérivée sera égale à 3.
00:27:15Sachant que F de X égale à 1 sur, 3X moins 1, au carré, ça implique que F est de la forme 1 tiers fois U prime sur U au carré.
00:27:25Reprenons la formule générale.
00:27:27F égale ici à 1 tiers fois U prime sur U puissance N, alors F égale à 1 tiers, facteur de moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:27:39Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:27:44Par conséquent, F de X est égale à 1 tiers, facteur de moins 1 sur, 2 moins 1, fois, 3X moins 1, puissance, 2 moins 1, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire qu'en moins 1 sur, 3 facteur de, 3X moins 1, plus C.
00:28:01Next.
00:28:02Petit 3, F de X égale à, 2X moins 1, sur, X au carré, moins X, plus 3, au carré, sur l'ensemble complet des réels.
00:28:12Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit X au carré, moins X, plus 3.
00:28:21Sa dérivée sera égale à 2X moins 1.
00:28:23Sachant que F de X égale à, 2X moins 1, sur, X au carré, moins X, plus 3, au carré, ça implique que F est bien de la forme U prime sur U au carré.
00:28:35Reprenons la formule générale.
00:28:36F égale ici à U prime sur U puissance N, alors F égale à, moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:28:48Par conséquent, F de X est égale à, moins 1 sur, 2 moins 1, fois, X au carré, moins X, plus 3, puissance, 2 moins 1, plus C, la constante d'intégration,
00:28:59qui peut se réduire en, moins 1 sur, X au carré, moins X, plus 3, plus C.
00:29:05Next.
00:29:07Petit 4, F de X égale à, X moins 1, sur, X au carré, moins 2X, moins 3, au carré, sur l'intervalle moins 1 exclu, 3 exclu.
00:29:17Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit X au carré, moins 2X, moins 3.
00:29:26Sa dérivée sera égale à 2X moins 2.
00:29:28Sachant que F de X égale à, X moins 1, sur, X au carré, moins 2X, moins 3, au carré, ça implique que F est de la forme 1 demi fois U prime sur U au carré.
00:29:39Reprenons la formule générale.
00:29:42F égale ici à 1 demi fois U prime sur U puissance N, alors F égale à 1 demi, facteur de moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:29:54Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:29:59Par conséquent, F de X est égale à 1 demi, facteur de moins 1 sur, 2 moins 1, fois, X au carré, moins 2X, moins 3, puissance, 2 moins 1, plus C, la constante d'intégration,
00:30:13qui peut se réduire en moins 1 sur, 2, facteur de, X au carré, moins 2X, moins 3, plus C.
00:30:20Next.
00:30:20Petit 5, F de X égale à 4X au carré sur, X au carré, plus 8, au carré, sur l'intervalle moins 2X, plus l'infini XQ.
00:30:30Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit X au carré, plus 8.
00:30:37Sa dérivée sera égale à 3X au carré.
00:30:41Sachant que F de X égale à 4X au carré sur, X au carré, plus 8, au carré, ça implique que F est de la forme 4 tiers fois U prime sur U au carré.
00:30:50Reprenons la formule générale.
00:30:53F égale ici à 4 tiers fois U prime sur U puissance N, alors F égale à 4 tiers, facteur de moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:31:06Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:31:09Par conséquent, F de X est égale à 4 tiers, facteur de moins 1 sur, 3 moins 1, fois, X au cube plus 8, puissance, 3 moins 1, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire en moins 2 sur, 3, facteur de, X au cube plus 8, au carré, plus C.
00:31:29Next.
00:31:29Petit 6, F de X égale à 2 sinus de X sur, cosinus carré de X, sur l'intervalle moins pi sur 2 exclu, pi sur 2 exclu.
00:31:39Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la puissance, soit cosinus de X.
00:31:47Sa dérivée sera égale à moins sinus de X.
00:31:49Sachant que F de X égale à 2 sinus de X sur, cosinus carré de X, ça implique que F est de la forme moins 2 fois U prime sur U au carré.
00:31:59Reprenons la formule générale.
00:32:01F égale ici à moins 2 fois U prime sur U puissance N, alors grand F égale à moins 2, facteur de moins 1 sur, N moins 1, fois U puissance, N moins 1, plus C, la constante d'intégration.
00:32:14Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:32:17Par conséquent, grand F de X est égale à moins 2, facteur de moins 1 sur, 2 moins 1, fois, cosinus de X, puissance, 2 moins 1, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire en 2 sur cosinus de X, plus C.
00:32:34Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:32:39Exercice numéro 7, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:32:44C'est parti.
00:32:44Les fonctions de type U prime sur racine carrée de U.
00:32:48Il n'y en a que 2, et dans le cas où tu débats qu'ici sans être passé par l'atelier, le lien est dans la description, voici la formule générale de primitive.
00:32:58F égale à U prime sur racine carrée de U, alors grand F égale à 2 racine carrée de U, plus C, la constante d'intégration.
00:33:05Je ne l'ai pas écrit sur ton écran car c'est normalement évident pour toi.
00:33:09La fonction racine carrée implique automatiquement que la fonction U doit être strictement positive sur son domaine de définition sinon, il faudra la mettre en valeur absolue.
00:33:19Petit 1, F de X égale à 2 sur racine carrée de, 2X plus 1, sur l'intervalle moins 1 demi exclu, plus l'infini exclu.
00:33:26Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la racine carrée, soit 2X plus 1.
00:33:34Sa dérivée sera égale à 2.
00:33:37Sachant que F de X égale à 2 sur racine carrée de, 2X plus 1, ça implique que F est bien de la forme U prime sur racine carrée de U.
00:33:45Reprenons la formule générale.
00:33:48F égale ici à U prime sur racine carrée de U, alors grand F égale à 2 racine carrée de U, plus C, la constante d'intégration.
00:33:56Par conséquent, grand F de X est égale à 2 racine carrée de, 2X plus 1, plus C.
00:34:02Next.
00:34:04Petit 2, F de X égale à 2X sur racine carrée de, X au carré moins 1, sur l'intervalle 1 exclu, plus l'infini exclu.
00:34:12Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve au dénominateur et sous la racine carrée, soit X au carré moins 1.
00:34:20Sa dérivée sera égale à 2X.
00:34:21Sachant que F de X égale à 2X sur racine carrée de, X au carré moins 1, ça implique que F est bien de la forme U prime sur racine carrée de U.
00:34:31Reprenons la formule générale.
00:34:34F égale ici à U prime sur racine carrée de U, alors grand F égale à 2 racine carrée de U, plus C, la constante d'intégration.
00:34:41Par conséquent, grand F de X est égale à 2 racine carrée de, X au carré moins 1, plus C.
00:34:49Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:34:54Exercice numéro 8, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:34:59C'est parti.
00:34:59Les fonctions de type U prime fois exponentielle de U.
00:35:03Il y en a 4, et dans le cas où tu débats qu'ici sans être passé par l'atelier, le lien est dans la description.
00:35:10Voici la formule générale de primitive.
00:35:12F égale à U prime fois exponentielle de U, alors grand F égale à exponentielle de U, plus C, la constante d'intégration.
00:35:20Et c'est tout.
00:35:21Petit 1, F de X égale à exponentielle de, moins X plus 1, sur l'ensemble complet des réels.
00:35:28Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve en puissance de l'exponentielle, soit moins X plus 1.
00:35:35Sa dérivée sera égale à moins 1.
00:35:38Sachant que F de X égale à une fois exponentielle de, moins X plus 1, ça implique que F est de la forme moins 1 fois U prime fois exponentielle de U.
00:35:47Reprenons la formule générale.
00:35:48F égale ici à moins 1 fois U prime fois exponentielle de U, alors grand F égale à moins 1 fois exponentielle de U, plus C, la constante d'intégration.
00:35:58Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:36:03Par conséquent, grand F de X est égale à moins 1 fois exponentielle de, moins X plus 1, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire en moins exponentielle de, moins X plus 1, plus C.
00:36:15Next.
00:36:16Petit 2, F de X égale à 2 exponentielle de, 3X moins 2, sur l'ensemble complet des réels.
00:36:23Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve en puissance de l'exponentielle, soit 3X moins 2.
00:36:30Sa dérivée sera égale à 3.
00:36:33Sachant que F de X égale à 2 fois exponentielle de, 3X moins 2, ça implique que F est de la forme 2 tiers fois U prime fois exponentielle de U.
00:36:41Reprenons la formule générale.
00:36:44F égale ici à 2 tiers fois U prime fois exponentielle de U, alors grand F égale à 2 tiers fois exponentielle de U, plus C, la constante d'intégration.
00:36:54Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:36:57Par conséquent, grand F de X est égale à 2 tiers fois exponentielle de, 3X moins 2, plus C.
00:37:05Next.
00:37:06Petit 3, F de X égale à X fois exponentielle de, moins X au carré sur 2, sur l'ensemble complet des réels.
00:37:13Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve en puissance de l'exponentielle, soit moins X au carré sur 2.
00:37:20Sa dérivée sera égale à moins X.
00:37:23Sachant que F de X égale à X fois exponentielle de, moins X au carré sur 2, ça implique que F est de la forme moins 1 fois U prime fois exponentielle de U.
00:37:33Reprenons la formule générale.
00:37:34F égale ici à moins 1 fois U prime fois exponentielle de U, alors grand F égale à moins 1 fois exponentielle de U, plus C, la constante d'intégration.
00:37:45Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:37:49Par conséquent, grand F de X est égale à moins 1 fois exponentielle de, moins X au carré sur 2, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire en moins exponentielle de, moins X au carré sur 2, plus C.
00:38:02Next.
00:38:03Petit 4, F de X égale à sinus de X fois exponentielle de cosinus de X, sur l'ensemble complet des réels.
00:38:11Dans la formule générale, la fonction U est celle qui se trouve en puissance de l'exponentielle, soit cosinus de X.
00:38:18Sa dérivée sera égale à moins sinus de X.
00:38:21Sachant que F de X égale à sinus de X fois exponentielle de cosinus de X, ça implique que F est de la forme moins 1 fois U prime fois exponentielle de U.
00:38:31Reprenons la formule générale.
00:38:33F égale ici à moins 1 fois U prime fois exponentielle de U, alors grand F égale à moins 1 fois exponentielle de U, plus C, la constante d'intégration.
00:38:43Comme en dérivation, les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:38:46Par conséquent, grand F de X est égale à moins 1 fois exponentielle de cosinus de X, plus C, la constante d'intégration, qui peut se réduire en moins exponentielle de cosinus de X, plus C.
00:38:59Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient sera ta mission de l'année.
00:39:04Exercice numéro 9, dans lequel on continue avec une autre formule de primitive.
00:39:09C'est parti.
00:39:10Les fonctions de type U prime fois, V prime rond U.
00:39:15Je rappelle que ce rond en revêt prime et U, représente une fonction composée, que j'ai abordée dans l'atelier MAN numéro 21, le lien est dans la description.
00:39:23Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
00:39:27Il n'y en a que 3, voici la formule générale de primitive que je n'ai même pas signalée dans l'atelier, mais qui découle des formules de dérivation des fonctions composées.
00:39:36Rappelle-toi de cette phrase mnémotechnique que je n'ai pas cessé de répéter dans l'atelier MAN numéro 32, ainsi que dans son TD, qui traite des fonctions dérivées.
00:39:45Si tu l'as loupée, je te conseille vivement d'aller le consulter au plus vite.
00:39:49Voici la phrase.
00:39:50La dérivée d'une fonction composée sera la dérivée du contenu, fois la dérivée du contenant, contenant le contenu.
00:39:58Et tout en bas, je te mets une version un peu moins verbeuse.
00:40:02Bref, F égale à U prime fois, V prime rond U, alors F égale à V rond U, plus C, la constante d'intégration.
00:40:10V est le contenant, U, le contenu, et si tu lis cette formule encadrée en rouge de la droite vers la gauche, avec F dérivée de F,
00:40:17tu auras la traduction mathématique de ma phrase mnémotechnique.
00:40:21Cool, n'est-il pas ?
00:40:23Et bien entendu, pourquoi ne pas rajouter un peu de challenge avec ces fonctions trigonométriques ?
00:40:29Tu pourras toujours compter sur la qualité de mes prestations, à la pointe de la pédagogie.
00:40:33Petit 1, F de X égale à cosinus de 3X, plus sinus de 2X, sur l'ensemble complet des réels.
00:40:42Pour des raisons de compréhension, et sachant aussi que la primitive d'une somme est la somme des primitives,
00:40:47je te conseille de traiter chaque fonction trigonométrique séparément.
00:40:50Et pour celles et ceux qui auraient manqué d'assiduité sur mes cours, et qui ne seraient pas encore abonnés,
00:40:56je rappelle qu'une fonction composée possède deux parties, le contenant, celle qui englobe l'autre,
00:41:01nommé V pour rester raccord avec la notation dans l'exercice, et le contenu, celle englobée, notez U.
00:41:07Soit G de X égale à cosinus de 3X.
00:41:10De ce fait, V prime de X égale à cosinus de X, donc V de X égale à sinus de X.
00:41:17U de X égale à 3X, donc U prime de X égale à 3.
00:41:22Normalement, si tu suis l'écriture générale de la formule, G de X devrait être égale à 3 cosinus de 3X.
00:41:29Comme le 3 devant le cosinus est absent, ceci implique que G est de la forme 1 tiers fois U prime fois,
00:41:34V prime rond U, alors grand G sera égal à 1 tiers fois V rond U,
00:41:38on oublie la constante d'intégration pour le moment, et comme en dérivation,
00:41:42les constantes multiplicatrices sont conservées, donc grand G de X est égale à 1 tiers fois sinus de 3X.
00:41:49Soit H de X égale à sinus de 2X.
00:41:52De ce fait, V prime de X égale à sinus de X, donc V de X égale à moins cosinus de X.
00:41:59U de X égale à 2X, donc U prime de X égale à 2.
00:42:02Normalement, si tu suis l'écriture générale de la formule, H de X devrait être égale à 2 sinus de 2X.
00:42:10Comme le 2 devant le sinus est absent, ceci implique que H est de la forme 1 demi fois U prime fois,
00:42:16V prime rond U, alors grand H sera égal à 1 demi fois V rond U,
00:42:20on oublie la constante d'intégration pour le moment et comme en dérivation,
00:42:24et les constantes multiplicatrices sont conservées,
00:42:26donc grand H de X est égale à moins 1 demi fois cosinus de 2X.
00:42:30La primitive d'une somme étant la somme des primitives,
00:42:33alors grand F de X est égale à 1 tiers fois sinus de 3X,
00:42:37moins 1 demi fois cosinus de 2X, plus C, la constante d'intégration.
00:42:42A ne pas oublier ici.
00:42:44Next.
00:42:45Petit 2, F de X égale à 3 cosinus de X,
00:42:49moins 2 sinus de 2X, plus 1, sur l'ensemble complet des réels.
00:42:53Pour faciliter la résolution, je te conseille d'opter pour la réécriture de la fonction 3 cosinus de X,
00:42:59plus 1, moins 2 sinus de 2X.
00:43:02Tu vas voir pourquoi.
00:43:04Soit G de X égale à 3 cosinus de X, plus 1.
00:43:08Par définition via les formules usuelles de primitive,
00:43:11grand G de X sera égal à 3 sinus de X, plus X,
00:43:15on oublie la constante d'intégration pour le moment.
00:43:18Soit H de X égale à moins 2 sinus de 2X.
00:43:21De ce fait, V prime de X égale à sinus de X,
00:43:25donc V de X égale à moins cosinus de X.
00:43:29U de X égale à 2X, donc U prime de X égale à 2.
00:43:33Normalement, si tu suis l'écriture générale de la formule,
00:43:36H de X devrait être égal à 2 sinus de 2X.
00:43:39Comme il y a un moins 2 devant le sinus,
00:43:42ceci implique que H est de la forme moins 1 fois U prime fois,
00:43:45V prime rond U,
00:43:46alors grand H sera égale à moins 1 fois V rond U,
00:43:49on oublie la constante d'intégration pour le moment,
00:43:52et les constantes multiplicatrices sont conservées,
00:43:55donc grand H de X est égale à cosinus de 2X.
00:43:57La primitive d'une somme étant la somme des primitives,
00:44:01alors grand F de X est égale à 3 sinus de X,
00:44:04plus X, plus cosinus de 2X, plus C,
00:44:08la constante d'intégration.
00:44:09A ne pas oublier ici.
00:44:11Next.
00:44:13Petit 3, F de X égale à sinus de,
00:44:15pi sur 3, moins 2X,
00:44:17sur l'ensemble complet des réels.
00:44:20Réécriture de l'expression,
00:44:21V prime de X est égale à sinus de X,
00:44:24donc V de X égale à moins cosinus de X.
00:44:27U de X égale à, pi sur 3, moins 2X,
00:44:31donc U prime de X égale à moins 2.
00:44:34Normalement, si tu suis l'écriture générale de la formule,
00:44:37F de X devrait être égale à moins 2 sinus de,
00:44:39pi sur 3 moins 2X.
00:44:41Comme le moins 2 devant le sinus est absent,
00:44:44ceci implique que F est de la forme
00:44:46moins 1 demi fois U prime fois,
00:44:47V prime rond U,
00:44:48alors grand F sera égale à moins 1 demi fois V rond U,
00:44:52on oublie la constante d'intégration pour le moment,
00:44:54et les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:44:57Par conséquent,
00:44:59grand F de X est égale à 1 demi fois cosinus de,
00:45:01pi sur 3, moins 2X, plus C,
00:45:04la constante d'intégration,
00:45:06à ne pas oublier ici.
00:45:08Apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient
00:45:11sera ta mission de l'année.
00:45:13Exercice numéro 10,
00:45:14dans lequel tu vas voir comment trouver une primitive
00:45:16d'une fonction rationnelle par décomposition.
00:45:20C'est parti.
00:45:21F désigne une fonction rationnelle définie
00:45:23sur un intervalle noté grand I.
00:45:25Déterminez une primitive de F
00:45:27à l'aide de la décomposition proposée.
00:45:30Cette technique est à utiliser
00:45:32si tu te rends compte que ta fonction
00:45:33n'est pas de la forme U prime sur U,
00:45:35et ça te permettra de ne pas rester coincé
00:45:37dans la quête d'une primitive de fonction.
00:45:40Petit 1,
00:45:40F de X égale à 4X plus 5,
00:45:43sur 2X plus 1,
00:45:45sur l'intervalle moins 1 demi exclu,
00:45:47plus l'infini exclu.
00:45:49Montrez que F de X égale à A,
00:45:51plus B sur 2X plus 1.
00:45:53Expression en fonction de A et B,
00:45:56tu mets tout sur le même dénominateur,
00:45:58développement,
00:45:59réduction,
00:46:00pour obtenir
00:46:002AX plus
00:46:01A plus B,
00:46:03sur
00:46:032X plus 1.
00:46:05En partant de l'égalité,
00:46:06et par identification,
00:46:08tu auras 2A égale à 4,
00:46:09et
00:46:09A plus B
00:46:10égale à 5.
00:46:12Donc A égale à 2,
00:46:14et B à 3.
00:46:15Par conséquent,
00:46:16F de X égale à 2,
00:46:18plus 3 sur
00:46:182X plus 1.
00:46:20F est de la forme K,
00:46:22un réel,
00:46:23plus U prime sur U,
00:46:24donc F sera égale à KX,
00:46:26plus LN de U,
00:46:27plus C,
00:46:28la constante d'intégration.
00:46:30U de X égale à 2X plus 1,
00:46:32donc U prime égale à 2.
00:46:34Seulement,
00:46:35au numérateur,
00:46:36présence d'un 3.
00:46:38Ce qui implique que F est de la forme K,
00:46:40plus 3 demi fois U prime sur U,
00:46:42donc F sera égale à KX,
00:46:44plus 3 demi fois LN de U,
00:46:46plus C.
00:46:48Comme en dérivation,
00:46:49les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:46:52Remplacement par les expressions,
00:46:54et F de X égale à 2X,
00:46:56plus 3 demi fois LN de,
00:46:582X plus 1,
00:46:59plus C,
00:47:00la constante d'intégration.
00:47:02Next.
00:47:03Petit 2,
00:47:04F de X égale à,
00:47:062X au carré,
00:47:07moins 3X,
00:47:08moins 4,
00:47:09sur,
00:47:09X moins 2,
00:47:10sur l'intervalle 2 exclu,
00:47:12plus l'infini exclu.
00:47:14Montrez que F de X égale à X,
00:47:16plus B,
00:47:17plus C sur,
00:47:18X moins 2.
00:47:20Expression en fonction de A,
00:47:21B,
00:47:22et C,
00:47:22tu mets tout sur le même dénominateur,
00:47:24développement,
00:47:25réduction,
00:47:26pour obtenir,
00:47:27AX au carré,
00:47:28plus X facteur 2,
00:47:30moins 2A plus B,
00:47:31plus,
00:47:31moins 2B plus C,
00:47:33sur,
00:47:33X moins 2.
00:47:35En partant de l'égalité,
00:47:36et par identification,
00:47:38tu auras A égale à 2,
00:47:39moins 2A plus B,
00:47:40égale à moins 3,
00:47:42et,
00:47:42moins 2B plus C,
00:47:43égale à moins 4.
00:47:45Donc A égale à 2,
00:47:46B à 1,
00:47:47et C à moins 2.
00:47:49Par conséquent,
00:47:50F de X égale à 2X,
00:47:52plus 1,
00:47:52moins 2 sur,
00:47:53X moins 2.
00:47:55Pour faciliter la compréhension de la résolution,
00:47:58je vais réécrire la fonction en 2X,
00:48:00plus 1,
00:48:00plus,
00:48:01moins 2,
00:48:02sur,
00:48:02X moins 2.
00:48:03F est de la forme AX,
00:48:05plus B,
00:48:06plus U prime sur U,
00:48:07donc F sera égale à AX au carré sur 2,
00:48:10plus BX,
00:48:11plus LN de U,
00:48:12plus C,
00:48:13la constante d'intégration.
00:48:15U de X égale à X moins 2,
00:48:17donc U prime égale à 1.
00:48:19Seulement,
00:48:20au numérateur,
00:48:21présence d'un moins 2.
00:48:23Ce qui implique que F est de la forme AX,
00:48:25plus B,
00:48:26plus,
00:48:27moins 2,
00:48:27fois U prime sur U,
00:48:29donc F sera égale à AX au carré sur 2,
00:48:31plus BX,
00:48:33plus,
00:48:33moins 2,
00:48:34fois LN de U,
00:48:35plus C.
00:48:36Comme en dérivation,
00:48:38les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:48:41Remplacement par les expressions,
00:48:43et F de X égale à X au carré,
00:48:45plus X,
00:48:46moins 2 LN de,
00:48:47X moins 2,
00:48:48plus C,
00:48:49la constante d'intégration.
00:48:51Next.
00:48:52Petit 3,
00:48:53F de X égale à 1 sur,
00:48:55X moins 3,
00:48:56plus 1 sur,
00:48:57X plus 3,
00:48:58avec,
00:48:59en petit a,
00:48:59l'intervalle 3 exclu.
00:49:01plus l'infini exclu,
00:49:03en petit b,
00:49:04l'intervalle moins 3 exclu,
00:49:053 exclu,
00:49:06et en petit c,
00:49:08l'intervalle moins infini exclu,
00:49:10moins 3 exclu.
00:49:11La fonction est de la forme U prime sur U,
00:49:14plus V prime sur V,
00:49:15ce qui implique que F sera de la forme LN de U,
00:49:18plus LN de V,
00:49:19plus C,
00:49:20la constante d'intégration.
00:49:22Donc F de X sera égale à LN de,
00:49:25X moins 3,
00:49:26plus LN de,
00:49:27X plus 3,
00:49:28plus C.
00:49:30Qui dit logarithme n'est pas rien dit automatiquement fonction contenue strictement positive.
00:49:34Si ce n'est pas le cas,
00:49:36il faut la passer en valeur absolue.
00:49:38Petit a,
00:49:39X appartient à l'intervalle 3 exclu,
00:49:41plus l'infini exclu.
00:49:43Sur cet intervalle,
00:49:45X moins 3,
00:49:46strictement positif,
00:49:47tout comme,
00:49:48X plus 3,
00:49:49donc F de X sera égale à,
00:49:51LN de,
00:49:52X moins 3,
00:49:53plus LN de,
00:49:54X plus 3,
00:49:55plus C.
00:49:56Next.
00:49:56Petit b,
00:49:58X appartient à l'intervalle moins 3 exclu,
00:50:013 exclu.
00:50:02Sur cet intervalle,
00:50:04X moins 3,
00:50:05strictement négatif,
00:50:06X plus 3,
00:50:07strictement positif,
00:50:09donc F de X sera égale,
00:50:11LN de valeur absolue de,
00:50:12X moins 3,
00:50:13plus LN de,
00:50:14X plus 3,
00:50:15plus C.
00:50:16Next.
00:50:18Petit c,
00:50:19X appartient à l'intervalle moins l'infini exclu,
00:50:21moins 3 exclu.
00:50:23Sur cet intervalle,
00:50:25X moins 3,
00:50:26strictement négatif,
00:50:27tout comme,
00:50:28X plus 3,
00:50:29donc F de X sera égale à,
00:50:31LN de valeur absolue de,
00:50:32X moins 3,
00:50:33plus LN de valeur absolue de,
00:50:35X plus 3,
00:50:36plus C.
00:50:37Next.
00:50:39Petit 4,
00:50:40F de X égale à,
00:50:41X au carré,
00:50:42plus X,
00:50:43plus 1,
00:50:44sur,
00:50:44X au carré moins 1,
00:50:45au carré,
00:50:46sur l'intervalle 1 exclu,
00:50:48plus l'infini exclu.
00:50:50Montrez que,
00:50:51F de X égale à A sur,
00:50:52X moins 1,
00:50:53au carré,
00:50:54plus B sur,
00:50:55X plus 1,
00:50:56au carré.
00:50:57Première chose à faire,
00:50:58établir la relation entre les différents dénominateurs de l'égalité.
00:51:03Par définition,
00:51:04et grâce aux identités remarquables que tu maîtrises parfaitement depuis le début du lycée,
00:51:08X au carré moins 1,
00:51:09au carré peut se factoriser en,
00:51:11X moins 1,
00:51:12fois,
00:51:13X plus 1,
00:51:14au carré,
00:51:14ce qui peut se développer en,
00:51:16X moins 1,
00:51:17au carré,
00:51:17fois,
00:51:18X plus 1,
00:51:19au carré.
00:51:20De ce fait,
00:51:21il sera facile de mettre chaque fraction de l'expression en fonction de A et B sur le même dénominateur,
00:51:26développement,
00:51:27réduction,
00:51:28et tu auras X au carré facteur de,
00:51:30A plus B,
00:51:31plus X facteur de,
00:51:322A moins 2B,
00:51:34plus,
00:51:34A plus B,
00:51:35sur,
00:51:36X au carré moins 1,
00:51:37au carré,
00:51:37égale à F de X,
00:51:39soit,
00:51:39X au carré,
00:51:40plus X,
00:51:41plus 1,
00:51:42sur,
00:51:42X au carré moins 1,
00:51:44au carré.
00:51:45En partant de l'égalité,
00:51:47et par identification,
00:51:48tu auras,
00:51:49A plus B,
00:51:50égale à 1,
00:51:502A moins 2B,
00:51:52égale à 1,
00:51:53et,
00:51:53A plus B,
00:51:54égale à 1.
00:51:55Donc A égale à 3 quarts,
00:51:57et B à 1 quart.
00:51:59Par conséquent,
00:52:00F de X égale à 3 quarts sur,
00:52:02X moins 1,
00:52:03au carré,
00:52:03plus 1 quarts sur,
00:52:05X plus 1,
00:52:05au carré.
00:52:06Certes,
00:52:07tu pourrais râner chaque fraction sur deux niveaux,
00:52:10mais je te conseille de conserver cette écriture,
00:52:12qui va te permettre de ne pas faire d'erreur.
00:52:15Par définition,
00:52:16et comme tu l'as vu dans l'exercice numéro 6,
00:52:19si G égale à U' sur U puissance N,
00:52:21alors grand G égale à moins 1 sur,
00:52:23N moins 1,
00:52:24fois U puissance,
00:52:25N moins 1,
00:52:26plus C,
00:52:27la constante d'intégration,
00:52:28avec N entier naturel supérieur ou égal à 2,
00:52:31et une fonction non nulle.
00:52:32La fonction F est de la forme 3 quarts fois U prime sur U puissance N,
00:52:37plus 1 quarts fois V prime sur V puissance N,
00:52:40donc grand F égale à 3 quarts facteur de moins 1 sur,
00:52:43N moins 1,
00:52:44fois U puissance,
00:52:45N moins 1,
00:52:46plus 1 quarts facteur de moins 1 sur,
00:52:48N moins 1,
00:52:48fois V puissance,
00:52:49N moins 1.
00:52:50Par conséquent,
00:52:52grand F de X égale à 3 quarts facteur de moins 1 sur,
00:52:552 moins 1,
00:52:56fois,
00:52:57X moins 1,
00:52:58puissance,
00:52:592 moins 1,
00:52:59plus 1 quarts facteur de moins 1 sur,
00:53:022 moins 1,
00:53:02fois,
00:53:03X plus 1,
00:53:04puissance,
00:53:052 moins 1,
00:53:06plus C,
00:53:07la constante d'intégration,
00:53:08qui peut se réduire en moins 3 sur,
00:53:104,
00:53:11facteur de,
00:53:12X moins 1,
00:53:13moins 1 sur,
00:53:134,
00:53:14facteur de,
00:53:15X plus 1,
00:53:16plus C.
00:53:16La prochaine fois qu'on te demande une primitive de ce genre de fonction,
00:53:21pense à cette technique de décomposition,
00:53:23et tu feras des miracles.
00:53:25Exercice numéro 11,
00:53:27dans lequel je vais te demander de déterminer la valeur de la constante d'intégration avec les données fournies dans l'énoncé.
00:53:33Tu vas voir, rien de bien compliqué.
00:53:36C'est parti.
00:53:37Pour les exercices suivants,
00:53:39trouver la primitive grand F de la fonction F,
00:53:41qui vérifie la condition donnée sur un intervalle,
00:53:44noté grand I,
00:53:45à préciser.
00:53:47Concernant intervalle,
00:53:48je t'en fais grâce,
00:53:49mais libre à toi de le déterminer pour chaque fonction.
00:53:52Et pour éviter que la vidéo traîne en longueur,
00:53:55déjà que,
00:53:56et rebute les élèves les moins assidus,
00:53:58je ne vais traiter que les fonctions entourées.
00:54:00Bien entendu,
00:54:01je ne t'empêche pas de faire les autres,
00:54:03bien au contraire,
00:54:04je t'incite d'ailleurs fortement à les travailler avec méthode et minutie,
00:54:08ça va probablement sauver ta moyenne au prochain devoir surveillé.
00:54:12Petit 1,
00:54:13F de X égale à X puissance 4,
00:54:15plus 3 X au carré.
00:54:16moins 4 X,
00:54:17plus 1,
00:54:18avec grand F de 2 égale à 0.
00:54:21Les formules à appliquer pour déterminer la primitive de F sont les suivantes.
00:54:25Comme la primitive d'une somme est la somme des primitives,
00:54:28pour F égale à U plus V,
00:54:30alors grand F sera égale à grand U plus grand V,
00:54:33plus C,
00:54:33la constante d'intégration.
00:54:35Sachant que tout coefficient multiplicateur est conservé en calcul différentiel,
00:54:40pour F de X égale à K fois U de X,
00:54:43carré,
00:54:43alors grand F de X sera égale à K fois grand U de X,
00:54:47plus C,
00:54:48la constante d'intégration.
00:54:49Pour F de X égale à X puissance N,
00:54:52alors grand F de X sera égale à X puissance N plus 1,
00:54:56sur N plus 1,
00:54:58plus C,
00:54:59la constante d'intégration,
00:55:00avec N entier naturel.
00:55:03En compilant tout ça,
00:55:04la primitive de X puissance 4 sera,
00:55:06X puissance 5,
00:55:08sur 5,
00:55:09celle de 3X au carré sera X au cube,
00:55:11celle de moins 4X sera moins 2X au carré,
00:55:14et celle de 1 sera X.
00:55:16En sommant tout ça,
00:55:17grand F de X sera égale à,
00:55:19X puissance 5,
00:55:20sur 5,
00:55:21plus X au cube,
00:55:22moins 2X au carré,
00:55:24plus X,
00:55:24plus C,
00:55:25la constante d'intégration,
00:55:27qu'il ne faut pas oublier.
00:55:29Maintenant que tu as la primitive,
00:55:30il suffit de calculer grand F de 2
00:55:33et résoudre l'équation.
00:55:35Fastoche,
00:55:36tu remplaces chaque X par 2,
00:55:37tu mets tout sur le même dénominateur,
00:55:39et C est égal à moins 42 cinquième.
00:55:42De ce fait,
00:55:43grand F de X sera égale à,
00:55:45X puissance 5,
00:55:46sur 5,
00:55:47plus X au cube,
00:55:48moins 2X au carré,
00:55:50plus X,
00:55:50moins 42 cinquième.
00:55:53Next.
00:55:54Petit 3,
00:55:55F de X égale à 1 sur,
00:55:572X plus 1,
00:55:58au carré,
00:55:58avec grand F de 0 égale à 0.
00:56:01La formule à appliquer pour déterminer la primitive de F est la suivante.
00:56:06F égale à U' sur U puissance N,
00:56:08alors grand F est égale à moins 1 sur,
00:56:10N moins 1,
00:56:11fois U puissance,
00:56:12N moins 1,
00:56:13plus C,
00:56:14la constante d'intégration,
00:56:16avec N entier naturel supérieur ou égal à 2,
00:56:19et une fonction non nulle.
00:56:21U de X égale à,
00:56:222X plus 1,
00:56:23donc U prime de X égale à 2.
00:56:26Ce qui implique que F est de la forme 1 demi fois U prime sur U puissance N,
00:56:30donc grand F sera égale à 1 demi fois moins 1 sur,
00:56:33N moins 1,
00:56:34fois U puissance,
00:56:35N moins 1,
00:56:36plus C,
00:56:36la constante d'intégration.
00:56:39Comme en dérivation,
00:56:40les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:56:42Remplacement par les expressions,
00:56:45Réduction,
00:56:46et grand F de X est égale à moins 1 sur,
00:56:482 facteur de,
00:56:492X plus 1,
00:56:50plus C.
00:56:52Maintenant que tu as la primitive,
00:56:54il suffit de calculer grand F de 0 et résoudre l'équation.
00:56:58Fastoche,
00:56:59tu remplaces chaque X par 0,
00:57:00et C est égale à 1 demi.
00:57:02De ce fait,
00:57:03grand F de X sera égale à moins 1 sur,
00:57:062 facteur de,
00:57:072X plus 1,
00:57:08plus 1 demi.
00:57:10Next.
00:57:10Petit 4,
00:57:12F de X égale à sinus de,
00:57:142X moins pi sur 4,
00:57:16avec grand F de,
00:57:17pi sur 2,
00:57:18nul.
00:57:19F est de la forme U' fois sinus de U,
00:57:21ce qui implique que grand F sera égale à moins cosinus de U,
00:57:24plus C,
00:57:25la constante d'intégration.
00:57:27U de X égale à,
00:57:292X moins pi sur 4,
00:57:30alors U' de X égale à 2.
00:57:33Ce qui implique que F est de la forme 1 demi fois U' fois sinus de U,
00:57:36donc grand F sera égale à 1 demi fois moins cosinus de U,
00:57:40plus C,
00:57:41la constante d'intégration.
00:57:43Comme en dérivation,
00:57:44les constantes multiplicatrices sont conservées.
00:57:48Remplacement par les expressions,
00:57:49réduction,
00:57:50et grand F de X est égale à moins 1 demi fois cosinus de,
00:57:532X moins pi sur 4,
00:57:55plus C.
00:57:57Maintenant que tu as la primitive,
00:57:58il suffit de calculer grand F de,
00:58:00pi sur 2,
00:58:01et résoudre l'équation.
00:58:02Fastoche,
00:58:04tu remplaces chaque X par,
00:58:06pi sur 2,
00:58:06et C est égale à moins,
00:58:08racine carré de 2,
00:58:09sur 4.
00:58:10De ce fait,
00:58:11grand F de X sera égale à moins 1 demi fois cosinus de,
00:58:152X moins pi sur 4,
00:58:16moins,
00:58:17racine carré de 2,
00:58:18sur 4.
00:58:20Next.
00:58:21Petit 5,
00:58:22F de X égale à cosinus de X,
00:58:24fois sinus carré de X,
00:58:26avec grand F de,
00:58:27pi sur 2,
00:58:27égale à 1.
00:58:29F est de la forme U' fois U puissance N,
00:58:32donc grand F sera égale à U puissance,
00:58:34N plus 1,
00:58:35sur,
00:58:35N plus 1,
00:58:36plus C,
00:58:37la constante d'intégration,
00:58:39avec N entier naturel non nul.
00:58:41U de X égale à sinus de X,
00:58:43donc U' de X égale à cosinus de X.
00:58:47Comme F est bien de la forme U' fois U puissance N,
00:58:50avec N égale à 2,
00:58:51alors grand F de X sera égale à sinus de X puissance,
00:58:552 plus 1,
00:58:56sur,
00:58:562 plus 1,
00:58:57plus C,
00:58:58la constante d'intégration,
00:59:00qui peut se réduire en,
00:59:01sinus de X,
00:59:02au cube,
00:59:03sur 3,
00:59:04plus C.
00:59:05Maintenant que tu as la primitive,
00:59:07il suffit de calculer grand F de,
00:59:09pi sur 2,
00:59:10et résoudre l'équation.
00:59:12Fastoche,
00:59:13tu remplaces chaque X par,
00:59:14pi sur 2,
00:59:15et C est égale à 2 tiers.
00:59:17De ce fait,
00:59:18grand F de X sera égale à,
00:59:20sinus de X,
00:59:21au cube,
00:59:22sur 3,
00:59:23plus 2 tiers.
00:59:24Next.
00:59:26Petit 8,
00:59:27F de X égale à moins 1 sur,
00:59:293 moins X,
00:59:30avec grand F de 1 égale à 1.
00:59:32F est de la forme U' sur U,
00:59:34donc grand F sera égale à ln de U,
00:59:36plus C,
00:59:37la constante d'intégration.
00:59:39U de X égale à 3 moins X,
00:59:42donc U' de X égale à moins 1.
00:59:44Sachant que F est bien de la forme U' sur U,
00:59:47alors grand F de X sera égale à ln de,
00:59:503 moins X,
00:59:51plus C,
00:59:52la constante d'intégration.
00:59:53Maintenant que tu as la primitive,
00:59:56il suffit de calculer grand F de 1
00:59:58et résoudre l'équation.
01:00:00Fastoche,
01:00:01tu remplaces chaque X par 1,
01:00:02et C est égale à 1 moins ln de 2.
01:00:05De ce fait,
01:00:06grand F de X sera égale à ln de,
01:00:083 moins X,
01:00:09plus 1 moins ln de 2.
01:00:12Next.
01:00:13Petit 11,
01:00:14F de X égale à X fois exponentielle de moins X au carré,
01:00:17avec grand F de racine carré de ln de 2 égale à 1.
01:00:20F est de la forme U' fois exponentielle de U,
01:00:24alors grand F sera égale à exponentielle de U,
01:00:26plus C,
01:00:27la constante d'intégration.
01:00:30U de X égale à moins X au carré,
01:00:32donc U' de X égale à moins 2X.
01:00:35F est de la forme moins 1 demi fois U' fois exponentielle de U,
01:00:38alors grand F sera égale à moins 1 demi fois exponentielle de U,
01:00:42plus C,
01:00:43la constante d'intégration.
01:00:45Comme en dérivation,
01:00:46les constantes multiplicatrices sont conservées.
01:00:49Par conséquent,
01:00:50grand F de X égale à moins 1 demi fois exponentielle de moins X au carré,
01:00:54plus C.
01:00:56Maintenant que tu as la primitive,
01:00:58il suffit de calculer grand F de racine carré de ln de 2
01:01:01et résoudre l'équation.
01:01:03Fastoche,
01:01:04tu remplaces chaque X par racine carré de ln de 2,
01:01:07et C sera égale à 5 quarts.
01:01:09De ce fait,
01:01:10grand F de X sera égale à moins 1 demi fois exponentielle de moins X au carré,
01:01:14plus 5 quarts.
01:01:16Comme quoi,
01:01:17apprendre les formules et savoir les utiliser à bon escient te permet de ne pas te retrouver bloqué dans un problème.
01:01:23Exercice numéro 12,
01:01:24dans lequel je te propose de poser les chiffres et les lettres pour venir t'amuser avec les courbes.
01:01:30C'est parti.
01:01:31On considère la fonction F,
01:01:33définie pour tout réel X,
01:01:34par F de X égale à X fois exponentielle de X.
01:01:38Une de ces trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive de la fonction F.
01:01:44Laquelle ?
01:01:45Justifier.
01:01:47Avant de partir tête baissée dans les calculs,
01:01:49analysons ce qui est mis à notre disposition.
01:01:52On a l'expression de la fonction,
01:01:54et il faut trouver la représentation graphique de sa primitive.
01:01:58Prenons le problème à l'envers.
01:02:00On veut trouver les variations de grand F,
01:02:02primitive de F,
01:02:03qui est aussi la dérivée de grand F.
01:02:05Et tu sais que pour avoir les variations d'une fonction,
01:02:09il suffit de déterminer le signe de sa dérivée.
01:02:12Quel que soit X réel,
01:02:13exponentielle de X est strictement positive.
01:02:17Par conséquent,
01:02:18F sera du signe de X.
01:02:19Donc si X inférieur ou égal à 0,
01:02:23F négative,
01:02:24donc grand F décroissante.
01:02:26Et si X supérieur ou égal à 0,
01:02:28F positive,
01:02:29donc grand F croissante.
01:02:30Maintenant,
01:02:32il faut trouver une courbe décroissante à gauche de l'axe désordonné,
01:02:35et croissante à droite.
01:02:38La seule qui correspond est la seconde,
01:02:40que j'entoure en rouge.
01:02:41Et c'est tout.
01:02:43Dans ce genre d'exercice,
01:02:45prendre le problème sous un autre angle permet de trouver la solution,
01:02:48ou du moins un début de piste pour accéder à la résolution.
01:02:50Exercice numéro 13,
01:02:53dans lequel je vais corser la difficulté
01:02:55pour te montrer comment raisonner sur un énoncé
01:02:57qui ne contient qu'un repère orthonorme et rempli de courbes.
01:03:00C'est parti !
01:03:02On a tracé la courbe CF représentative d'une fonction F
01:03:05sur l'ensemble complet des réels,
01:03:07celle de sa dérivée F'
01:03:08et celle d'une de ses primitives grand F sur R.
01:03:12Identifier ces trois courbes.
01:03:14Bref,
01:03:15il faut démêler ce sac de nœuds.
01:03:17On commence par le graphique de gauche.
01:03:19Il y a une chose très importante que tu dois avoir en tête.
01:03:24Le signe de F' donnera la variation de F,
01:03:26pour toi c'est acquis.
01:03:28Mais tu dois aussi prendre conscience
01:03:30que le signe de F donnera la variation de grand F,
01:03:33puisque F est la dérivée de grand F, primitive de F.
01:03:37Le protocole de résolution va être simple.
01:03:40Pour chaque courbe,
01:03:41tu vas déterminer le signe et les variations,
01:03:43et tu vas ensuite regarder s'il y a des intervalles identiques
01:03:46sur lesquels tu peux relier le signe d'une fonction
01:03:48avec la variation d'une autre.
01:03:50Je vais te montrer.
01:03:52Ah oui,
01:03:53je te rappelle qu'une fonction est négative
01:03:55si elle se trouve en dessous de l'axe des abscisses,
01:03:57positive si elle est au-dessus.
01:03:59Pour les variations,
01:04:00tu sais faire.
01:04:02On commence avec la C1.
01:04:04Négative pour X inférieur ou égal à 0.
01:04:08Positive pour X supérieur ou égal à 0.
01:04:10Décroissante pour X supérieur ou égal à 1.
01:04:14Croissante pour X inférieur ou égal à 1.
01:04:18On continue avec la C2.
01:04:20Négative pour X supérieur ou égal à 1.
01:04:23Positive pour X inférieur ou égal à 1.
01:04:27Décroissante pour X inférieur ou égal à 2.
01:04:30Croissante pour X supérieur ou égal à 2.
01:04:33On termine avec la C3.
01:04:35Négative pour x supérieur ou égal à moins 1
01:04:38Positive pour x inférieur ou égal à moins 1
01:04:42Décroissante pour x inférieur ou égal à 0
01:04:45Croissante pour x supérieur ou égal à 0
01:04:49Maintenant que c'est fait, il faut regarder s'il y a des intervalles identiques sur lesquels tu peux relier le signe d'une fonction avec la variation d'une autre.
01:04:57Je vais utiliser des icônes pour les mettre en évidence.
01:05:00Premier constat, les signes de la c1 sont reliés avec les variations de la c3
01:05:05Si x inférieur ou égal à 0, c1 négative et c3 décroissante
01:05:10Et si x supérieur ou égal à 0, c1 positive et c3 croissante
01:05:15Donc c1 est la dérivée de c3
01:05:18Second constat, les signes de la c2 sont reliés avec les variations de la c1
01:05:23Si x supérieur ou égal à 1, c2 négative et c1 décroissante
01:05:27Et si x inférieur ou égal à 1, c2 positive et c1 croissante
01:05:31Donc c2 est la dérivée de c1
01:05:34Si on résume, c2 est la dérivée de c1, qui est la dérivée de c3
01:05:39Reprenons les deux premières lignes en haut à droite de l'écran
01:05:43Le signe de F' donnera la variation de F
01:05:46Et le signe de F donnera la variation de F
01:05:49Traduction, F' sera la courbe pour laquelle seuls les signes auront été cochés
01:05:54F sera celle pour laquelle les signes et les variations auront été cochés
01:05:58Et F celle pour laquelle les variations seules auront été cochées
01:06:01Ça implique donc que c1 est la courbe de la fonction F
01:06:05C2 est celle de F' et c3 celle de F
01:06:08Second repère pour que tu comprennes mieux la résolution
01:06:12Et je vais répéter la procédure
01:06:14Tu sais que le signe de F' donnera la variation de F
01:06:18Pour toi c'est acquis
01:06:19Et tu as pris conscience que le signe de F donnera la variation de F
01:06:23Puisque F est la dérivée de F, primitive de F
01:06:27Le protocole de résolution est le même que pour le premier graphique
01:06:31Pour chaque courbe, tu vas déterminer le signe et les variations
01:06:35Et tu vas ensuite regarder s'il y a des intervalles identiques
01:06:38Sur lesquels tu peux relier le signe d'une fonction avec la variation d'une autre
01:06:41Je vais encore te montrer
01:06:44Ah oui, je te rappelle une nouvelle fois qu'une fonction est négative
01:06:48Si elle se trouve en dessous de l'axe des abscisses
01:06:50Positive si elle est au-dessus
01:06:51Pour les variations, tu sais faire
01:06:54On commence avec la C1
01:06:56On continue avec la C2
01:07:22Positive pour X supérieur ou égal à moins 1
01:07:25Croissante sur tout l'intervalle délimité par le repère
01:07:28On termine avec la C3
01:07:31Positive sur tout l'intervalle délimité par le repère
01:07:34Décroissante sur tout l'intervalle délimité par le repère
01:07:38Maintenant que c'est fait, il faut regarder s'il y a des intervalles identiques sur lesquels tu peux relier le signe d'une fonction avec la variation d'une autre
01:07:46Je vais utiliser une nouvelle fois des icônes pour les mettre en évidence
01:07:50Premier constat, les signes de la C2 sont reliés avec les variations de la C1
01:07:55Si x inférieur ou égal à moins 1, C2 négative et C1 décroissante
01:08:00Et si x supérieur ou égal à moins 1, C2 positive et C1 croissante
01:08:05Donc C2 est la dérivée de C1
01:08:08Second constat, le signe de la C3 est relié avec la variation de la C2
01:08:13Sur l'intervalle délimité par le repère, C3 positive et C2 croissante
01:08:18Donc C3 est la dérivée de C2
01:08:21Si on résume, C3 est la dérivée de C2, qui est la dérivée de C1
01:08:26Reprenons les deux premières lignes en haut à droite de l'écran
01:08:29Le signe de F' donnera la variation de F
01:08:33Et le signe de F donnera la variation de F
01:08:35Traduction, F' sera la courbe pour laquelle seuls les signes auront été cochés
01:08:41F sera celle pour laquelle les signes et les variations auront été cochés
01:08:44Et F celle pour laquelle les variations seules auront été cochées
01:08:48Ça implique donc que C2 est la courbe de la fonction F
01:08:51C1 est celle de F
01:08:53Et C3 celle de F'
01:08:54Maintenant, à toi d'en faire d'autres pour maîtriser avec vitesse et justette ce protocole de résolution
01:09:01Exercice numéro 14
01:09:03Le dernier de la série, enfin, dans lequel on continue de jouer avec les repères
01:09:07Mais bien plus simplement
01:09:09C'est parti
01:09:10La courbe ci-dessus définit une fonction F dérivable sur l'ensemble complet des réels
01:09:16Parmi les quatre courbes suivantes, laquelle représente une primitive de F
01:09:20Pour ce faire, il va falloir partir de la courbe de la fonction
01:09:24Et effectuer quelques lectures graphiques qui vont donner des indices pour soit éliminer une ou plusieurs courbes de primitive
01:09:30Soit pour ne choisir que l'élu
01:09:32Je rappelle que comme F est la primitive de F, ça implique forcément que F est la dérivée de F
01:09:38Donc pour avoir les variations de F, il faut le signe de F
01:09:43Ah oui, je te rappelle qu'une fonction est négative si elle se trouve en dessous de l'axe des abscisses
01:09:48Positive si elle est au-dessus
01:09:50Le tableau standard de signe de dérivée slash variation de fonction
01:09:54La fonction coupe l'axe des abscisses en 2, donc elle s'annule en ce point
01:09:58Au-dessus de OX avant 2, donc positive
01:10:01En dessous après 2, donc négative
01:10:04Grand F sera donc croissante jusqu'en 2, puis décroissante
01:10:08Et je ne sais pas si ça va être utile, mais deux tangentes sont représentées donc
01:10:13Calculons leur coefficient directeur
01:10:15Qui est aussi le nombre dérivé au point d'abscisse du point de la courbe par lequel passe cette tangente
01:10:19Pour la tangente en A, F' de 0 égale à 1
01:10:23Pour la tangente en B, F' de 1 égale à 0
01:10:27Maintenant, il te faut utiliser le tableau de variation de la fonction primitive pour le comparer avec les 4 courbes données dans l'énoncé
01:10:34Tu remarques rapidement que la C1 et la C4 ne correspondent pas aux variations du tableau, donc elles sont éliminées
01:10:42Il ne reste donc que la C2 et la C3
01:10:45Toujours dans le tableau de variation, il faut utiliser l'extrémum local
01:10:49Entouré en bleu, et le comparer avec les 2 courbes restantes
01:10:53Au point d'abscisse 2, F s'annule et Grand F possèdent un maximum
01:10:57Sachant que F est la dérivée de Grand F, ceci implique que la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 sera horizontale
01:11:04Vu que le coefficient directeur sera nul
01:11:06Malheureusement, pour la C2 comme pour la C3, ça matche
01:11:10Il va falloir trouver une information qui permet une différenciation
01:11:14Tu te rappelles que les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de F ont été calculés
01:11:20Mais ça ne te sera d'aucune utilité, car elle donne la valeur du nombre dérivé de la fonction, pas de son nombre, primitive
01:11:27Il n'empêche, tu remarques que sur les représentations graphiques C2 et C3
01:11:32La tangente à la courbe en 0 a été représentée
01:11:35Le coefficient directeur de ses droites étant le nombre dérivé en 0
01:11:39Et sachant que F est la dérivée de Grand F, ça implique qu'il faille calculer graphiquement F de 0 en utilisant le repère du haut, celui de F
01:11:47J'entoure en marron la zone à utiliser, et l'image de 0 par la fonction F sera l'ordonnée du point A, soit 2
01:11:54Ensuite, toujours par lecture graphique, mais sur les deux repères du bas
01:11:58Tu remarques que la seule courbe qui a un coefficient directeur de tangente au point d'abscisse 0 égale à 2, est la C3
01:12:05Youpi !
01:12:07Dans ce genre d'exercice, il est très important de maîtriser la lecture graphique
01:12:11Images, antécédents, coefficient directeur de droite, nombre dérivé
01:12:16Et de savoir relier des éléments en re pour établir des indices qui te permettront de résoudre ce fluido
01:12:21La forge est désormais terminée
01:12:23Des questions ?
01:12:26Un complément d'informations ?
01:12:28Rejoins-moi dans l'espace commentaire
01:12:30D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo
01:12:36A toi de forger maintenant
01:12:38Prochaine vidéo sur l'encleum
01:12:41Que la forge soit avec toi
01:12:43Stay tuned
01:12:45Tchuss !
01:12:46Tchuss !
01:12:46Tchuss !
01:12:48Tchuss !
01:12:48Tchuss !
01:12:50Tchuss !
01:12:51Tchuss !
01:12:52Tchuss !
01:12:53Tchuss !
01:12:54Tchuss !
01:12:54Tchuss !
01:12:55Tchuss !
01:12:56Tchuss !
01:12:57Tchuss !
01:12:58Tchuss !
01:12:59Tchuss !
01:13:00Tchuss !
01:13:01Tchuss !
01:13:02Tchuss !
01:13:03Tchuss !
01:13:04Tchuss !
01:13:05Tchuss !
01:13:06Tchuss !
01:13:07Tchuss !
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01:13:14Tchuss !
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