00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont déjà passé le bac de maths 2025.
00:04On attaque la correction de l'exercice 3 du sujet 1 tombé en Amérique du Nord.
00:08Je laisse lire bien l'énoncé et on attaque avec l'affirmation 1.
00:11La droite D et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.
00:14L'affirmation 1 est vraie car, déjà on va montrer que les droites ne sont pas parallèles
00:18et ensuite qu'elles ne sont pas séquentes.
00:21Un vecteur directeur de l'axe des ordonnées, donc l'axe OY, est donné par 0, 1, 0.
00:27Et un vecteur directeur de D est donné par, moins 2, 0, moins 6.
00:30Car D a cette équation paramétrique et il suffit de prendre les facteurs de T.
00:34Ces deux vecteurs ne sont évidemment pas collinaires parce que je n'ai pas proportionnalité entre les deux
00:38et donc les deux droites ne sont pas parallèles.
00:40D'autre part, elles ne peuvent pas avoir de point en commun puisque la droite D ne contient aucun point de l'axe OY.
00:46Parce que si c'était le cas, il faudrait que la coordonnée en X et en Z soit toutes les deux égales à 0.
00:50Ça implique que T soit égal à 3 demi et T égal à 1 tiers, ce qui est évidemment impossible puisque les deux sont différents.
00:57Les droites ne sont ni parallèles ni séquentes, elles sont donc bien non coplanaires, check.
01:01Affirmation 2, le plan passant par A est orthogonal à la droite D a pour équation cartésienne X plus 3Z plus 3 égale 0.
01:08Affirmation est vraie, pourquoi ?
01:09Eh bien déjà on a que V est un vecteur directeur de la droite D.
01:13Donc tout vecteur proportionnel à V, en particulier moins 1 demi de V que j'appelle V' est aussi directeur de D.
01:19Mais comme le plan est orthogonal à la droite D, tout vecteur directeur de la droite est normal au plan.
01:24Et donc son équation cartésienne est de cette forme-là.
01:261 fois X plus 0 fois Y plus 3 fois Z plus C est égal à 0.
01:30On a bien que le plan qu'il nous donne est orthogonal à la droite D.
01:34En plus on a que A vérifie l'équation du plan, donc A appartient à ce plan.
01:38L'affirmation 2 est donc vraie, check.
01:39L'affirmation 3, une mesure exprimée en radion de langue géométrique BAC et pi sur 6.
01:43Faux.
01:44On va calculer le cosinus de BAC à l'aide de la formule du produit scalaire.
01:48Donc je déduis les coordonnées de C, parce que je sais que C appartient à la droite et A pour abscisse 2.
01:52Donc si A pour abscisse 2, ça veut dire que 3 moins de T est égal à 2.
01:55Donc que T est égal à 1 demi et donc Z est égal à moins 1.
01:59J'ai donc bien ces coordonnées pour C, ces coordonnées pour le vecteur AC et ces coordonnées pour le vecteur AB.
02:04On a les coordonnées de A et B ici.
02:06Je balance tout ça dans ma formule.
02:08Je calcule le produit scalaire et je calcule les normes ici au dénominateur.
02:11Ce qui me donne ceci, ce qui me fait moins 3 sur 6, soit moins 1 demi.
02:15Mais le cosinus de P sur 6, c'est racine de 3 sur 2, pas moins 1 demi.
02:19L'affirmation 3 est bien fausse, check.
02:21Et affirmation 4, la distance BH est égale à racine de 10 sur 2.
02:25C'est vrai, on va le montrer.
02:26Déjà on a que 1,03 est normal à P et donc il est collinaire à BH.
02:30Puisque BH est aussi normal au plan vu que H est le projeté orthogonal de B sur le plan.
02:34La deuxième coordonnée est 0, déjà on a que la deuxième coordonnée du vecteur BH est aussi 0 et donc que YH est égale à moins 4.
02:42On veut proportionnalité, donc K fois ce vecteur doit être égal à ce vecteur.
02:46Et donc j'obtiens ces égalités.
02:47K est égal à XH moins 5 et 3K est égal à ZH plus 1.
02:51Mais comme on est dans le plan, on vérifie cette égalité-là.
02:55Donc j'obtiens ZH et XH égaux à ceci.
02:57Après vérification et calcul, j'ai bien que BH est égal à racine de 10 sur 2.
Commentaires