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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • il y a 2 mois

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Transcription
00:00Poly-LLG, on attaque le raisonnement par l'absurde avec un speedrun de correction.
00:04De tous ces exercices-là, oui, oui, reste bien concentré.
00:06Petit rappel rapide, je vais en reparler le détail en vidéo,
00:09mais le raisonnement par l'absurde, c'est quand on veut démontrer quelque chose,
00:12on suppose que le quelque chose est faux,
00:14et on arrive à une absurdité parce qu'on a fait que des étapes de raisonnement valides.
00:18Ça veut dire que la supposition que le truc qu'on voulait démontrer est fausse est fausse,
00:24et donc que le truc qu'on voulait démontrer est vrai.
00:26Vous avez des exemples ici avec racine de 2 et l'infinité des nombres premiers,
00:30lisez bien ces démonstrations pour bien comprendre ce qui se passe.
00:33La difficulté avec ce raisonnement, c'est qu'on ne sait pas toujours vraiment où on va,
00:36et on ne sait pas trop comment réussir à exhiber une absurdité.
00:39Donc pas le choix, il faut tâtonner, il faut chercher,
00:41voir quel genre de conséquences on peut tirer de notre supposition,
00:44et au bout d'un moment, on va finir par voir qu'il y a une de ces conséquences qui pose problème.
00:48C'est parti, exercice 17, j'ai cette égalité, je fais passer le C de ce côté-là,
00:51le B racine de 2 de ce côté-là, je factorise par racine de 2,
00:53et j'ai donc A moins C est égal racine de 2 fois D moins B.
00:56Je suppose par l'absurde que B est différent de D, puisqu'on veut démontrer que B est égal à D,
00:59et donc je divise par B moins D, donc j'ai A moins C sur D moins B est égal à racine de 2.
01:04Mais A, B, C et D sont des nombres rationnels,
01:06et je te laisse montrer en commentaire qu'une somme, soustraction, produit, quotient de nombres rationnels
01:10est toujours un nombre rationnel, donc j'aurai un nombre rationnel qui serait égal à racine de 2,
01:13c'est absurde d'après la démo plus haut.
01:15Donc B est égal à D, si B est égal à D, je simplifie, j'ai A est égal à C, check.
01:20Exercice 18, racine de 3 est irrationnelle.
01:21Je suppose par l'absurde que racine de 3 est égal à P sur Q.
01:24Exactement comme ici, je mets au carré, j'ai 3Q carré est égal à P carré.
01:27N'oublie pas de préciser que la fraction P sur Q est irréductible.
01:30J'ai donc 3 qui divise P carré, ce qui signifie que P est divisible par 3.
01:33Petit résultat non trivial, pareil, je te laisse démontrer en commentaire.
01:36Ce qui signifie qu'on peut réécrire cette égalité en remplaçant P par 3P prime par exemple,
01:39et donc j'ai un 9 qui apparaît, avec le 3 ça se simplifie, j'ai un 3,
01:42et donc j'ai que 3 divise Q carré, donc 3 divise Q,
01:45ce qui est absurde puisque la fraction P sur Q était irréductible.
01:47Généralisé, on peut donc faire ça pour n'importe quelle racine d'un nombre au premier.
01:51Même allons encore plus loin dans le délire, si tu adaptes bien la démonstration,
01:54tu peux démontrer que c'est valide pour n'importe quelle racine n-ième,
01:57pour n supérieure ou égale à 2, donc la racine carrée c'est la racine deuxième,
02:00mais donc racine n-ième pour n égale 3, racine troisième, etc. ça marche aussi.
02:03Et donc pour n'importe quelle racine n-ième, la racine n-ième d'un nombre au premier P
02:07est toujours un nombre irrationnel dès que n est supérieur ou égal à 2.
02:10Exercice 19, montrez que ça c'est irrationnel, on va supposer que c'est rationnel,
02:13ln de 3 sur ln de 2 est égal à P sur Q, je multiplie l'égalité par ln de 2 et par Q,
02:17me donne Q, ln de 3 est égal à P, ln de 2.
02:19En propriété du logarithme, j'ai que ln de 3 puissance Q est égal à ln de 2 puissance P,
02:23qui implique par stricte monotonie du logarithme que 3 puissance Q est égal à 2 puissance P,
02:28mais je ne l'ai pas précisé, P et Q étaient une fraction irréductible,
02:30l'égalité 3 puissance Q est égal à 2 puissance P n'est pas possible,
02:33puisqu'en P et Q sont des entiers naturels non nuls.
02:35D'après l'unicité de la décomposition en facteurs premiers,
02:38j'ai que des 3 d'un côté, j'ai que des 2 de l'autre, 3 et 2 sont des noms premiers,
02:41ça n'est pas possible, absurdité.
02:43Check !
02:44Exercice 20, montrez qu'un rationnel plus un irrationnel est un irrationnel.
02:47Si ça n'était pas vrai, j'aurais rationnel plus irrationnel est égal à rationnel,
02:50et donc j'aurais qu'un irrationnel est égal à un rationnel moins rationnel,
02:52mais si tu écris 2 rationnels que tu les mets au même dénominateur,
02:55tu vois que tu obtiens encore un rationnel.
02:56Même chose pour le produit, j'ai rationnel fois irrationnel qui est égal à rationnel,
02:59en multipliant par l'inverse du rationnel, je trouve que irrationnel est égal à un produit de 2 rationnels,
03:04donc irrationnel, ce qui est absurde.
03:05La cédée des deux premières questions pour répondre à la question c,
03:08je vais prendre 1 moins racine de 2 et racine de 2,
03:10qui sont tous les deux des noms irrationnels,
03:12pourquoi ? Parce que 1 moins racine de 2,
03:131 est un rationnel, moins racine de 2 est un irrationnel,
03:16puisque racine de 2 est un irrationnel.
03:17Somme rationnelle irrationnelle fait irrationnelle,
03:19donc 1 moins racine de 2 est irrationnelle,
03:20racine de 2 est irrationnelle,
03:21donc la somme des 2 qui vaut 1 me donne bien un rationnel.
03:24Pour avoir une somme irrationnelle, je vais prendre racine de 2 et racine de 2,
03:27j'ai racine de 2 plus racine de 2 qui me fait 2 racine de 2,
03:302 racine de 2 est bien sûr un nombre irrationnel,
03:32parce que si c'était rationnel, ça voudrait dire que racine de 2 est rationnelle en divisant par 2.
03:36Produit d'irrationnel qui fait un rationnel, racine de 2 est racine de 2,
03:38racine de 2 au carré, ça fait 2 par définition, 2 est rationnel, racine de 2 est irrationnel.
03:42Produit d'irrationnel qui fait un irrationnel, on a l'exemple de l'exercice suivant,
03:45racine de 6, que l'on va démontrer dans quelques instants.
03:47Check !
03:47Pour montrer que racine de 6 est irrationnelle, on peut faire le même raisonnement que pour racine de 2,
03:51et en raisonnant, je te laisse faire les détails, on trouve donc 2 et 3 divise à la fois P et Q,
03:56puisqu'on est divisible par 6, si et seulement si, on est divisible par 2 et 3.
04:00Donc en supposant P sur Q irréductible, on obtient une absurdité.
04:03Et en déduire que racine de 2 plus racine de 3 est irrationnel,
04:06je mets ce truc au carré, donc je ne me fais pas bolosser, il y a l'identité remarquable,
04:09racine de 2 au carré, ça fait 2, racine de 3 au carré, ça fait 3, j'ai 2 plus 3, 5,
04:12et j'ai le double produit 2 fois racine de 2 fois racine de 3.
04:14D'après les propriétés de la racine, racine de 2 fois racine de 3, ça fait racine de 2 fois 3 racine de 6,
04:18donc j'ai 2 racine de 6, j'ai 5 plus 2 racine de 6,
04:21donc j'ai rationnel fois racine de 6 irrationnel qui est irrationnel,
04:25et donc j'ai un irrationnel plus un rationnel, donc 5 plus 2 racine de 6 qui est irrationnel,
04:28donc le carré de ce truc est irrationnel.
04:30Mais le carré d'un nombre rationnel est toujours rationnel,
04:33donc si le carré de ceci est irrationnel, c'est que ce nombre était irrationnel,
04:37parce que s'il était rationnel, son carré serait rationnel.
04:39Et enfin, on check pour ceci.
04:41Il me rend le temps d'écrire les détails que je n'ai pas donnés pour voir la démonstration,
04:44mais j'ai donné l'esprit général, normalement tu peux t'en tirer avec ça.
04:46Bisous !
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