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00:00Un peu de théorie de Galois pour changer, on va considérer ces extensions de corps.
00:04Plus précisément, en nommant L et M ces extensions, on va considérer les extensions M sur Q, M sur Q et M sur L.
00:10Et on va se demander quelles sont les extensions qui sont galoisiennes, on va décrire les groupes de Galois associés, et les extensions intermédiaires.
00:18On commence par l'extension L sur Q, et on constate assez rapidement que racine de 5 est racine de ce polynôme à coefficient rationnel,
00:25et que donc ce polynôme-là est le polynôme minimal de racine de 5 sur Q.
00:31Pourquoi est-ce que c'est le polynôme minimal ? Il est de degré 2, je ne peux pas avoir un degré plus petit qui annule racine de 5,
00:36parce que ça voudrait dire qu'on aurait un degré 1 qui annule racine de 5, ce qui équivaudrait à dire que racine de 5 est rationnelle, ce qui n'est pas vrai.
00:43Ce polynôme étant de degré 2, on a que l'extension L sur Q est de degré 2, et une base de cette extension est donnée par 1 racine de 5,
00:50ça veut dire que n'importe qui dans Q de racine de 5 s'écrit A, un rationnel fois 1, plus B, un autre rationnel, fois racine de 5.
00:58D'après le cours, une extension de degré 2 est toujours galloisienne, et vu qu'on est de degré 2, le groupe de Galois est isomorphe à Z sur 2Z.
01:05Pour la construction d'un automorphisme de L dans L qui laisse Q invariant, la seule possibilité c'est d'envoyer racine de 5 sur plus ou moins racine de 5,
01:14c'est ça qui me donne les deux automorphismes du groupe de Galois, et donc ça c'est bien isomorphe à Z sur 2Z.
01:19Et c'est d'ailleurs de là que vient cette notion de conjugué, puisque moins racine de 5 est le conjugué de racine de 5,
01:25et c'est la conception de conjugué qui généralise celle que vous avez vu pour les nombres complexes.
01:29Autrement dit, ici la conjugaison c'est le fait d'avoir un automorphisme de L dans L,
01:33qui va envoyer une racine du polynôme minimal de racine de 5 sur une autre racine de ce polynôme minimal.
01:39Comme ici il n'y a que deux racines conjuguées, l'opération de conjugaison ce sera l'application qui a racine de 5 associé moins racine de 5.
01:45Check ! On va maintenant considérer M sur Q,
01:47et pour ça on va essayer de déterminer le polynôme minimal de racine de 2 plus racine de 5 sur Q.
01:52Donc l'idée c'est d'élever au carré pour se débarrasser des racines et obtenir un polynôme en X d'un côté,
01:57qui va être égal à un rationnel et ça sera gagné.
02:00En élevant au carré j'obtiens donc que X carré est égal à 2 plus racine de 5.
02:03En retranchant 2 et en élevant à nouveau au carré j'obtiens que X carré moins 2 au carré moins 5 est égal à 0.
02:09Donc ma valeur petit X est racine de ce polynôme.
02:11Question, est-ce le polynôme minimal sur Q ?
02:14Eh bien un moyen de le savoir ça peut être de factoriser ce polynôme,
02:17donc on peut voir qu'est-ce que ça donnerait en factorisation de 2 polynômes de degré 2,
02:21et factoriser jusqu'à trouver les racines pour voir qu'une factorisation de degrés 1 et 3 n'est pas possible dans Q.
02:27Précisons déjà que X n'est pas rationnel,
02:29s'il l'était alors son carré serait rationnel,
02:32et son carré c'est 2 plus racine de 5 qui est irrationnel parce que racine de 5 est irrationnel,
02:36donc X ne peut pas être rationnel.
02:37Donc son polynôme minimal ne peut pas être de degré 1.
02:40Et en factorisant totalement le polynôme,
02:41on voit que si on a un polynôme de degré 3 qui annule petit X et donc qui divise ce polynôme-là,
02:47nécessairement il y aura donc ce facteur-là pour annuler petit X,
02:50et deux autres facteurs,
02:51et on peut vérifier que quels que soient les deux autres facteurs que l'on prend,
02:54ça ne fera jamais un polynôme à coefficient rationnel.
02:57De même si le polynôme minimal était de degré 2,
03:00alors on peut montrer que nécessairement la seule factorisation possible avec des polynômes de degré 2 c'est celle-ci.
03:05Je te laisse le faire en commentaire,
03:07et donc du coup on n'a pas de polynôme à coefficient dans Q.
03:10Le polynôme minimal de petit X sur Q, c'est bien ceci.
03:13Et ainsi on a une extension de degré 4.
03:15On peut maintenant se poser la question, est-ce que l'extension est galoisienne ?
03:17Alors pour être galoisienne, elle doit vérifier deux conditions,
03:20elle doit être normale et séparable.
03:22On est sur Q, autrement dit en caractéristique 0,
03:25et donc d'après le cours en caractéristique 0,
03:27les extensions sont toujours séparables.
03:30On voit rapidement avec la factorisation de ce polynôme
03:32qu'on ne va pas être normal puisqu'on a des racines du polynôme minimal
03:37qui ne sont pas dans notre extension.
03:40Là on n'a que des réels,
03:41et ces gens-là sont des imaginaires purs et donc n'appartiennent pas à M.
03:45Du coup l'extension n'est pas galoisienne.
03:47Et enfin on va considérer l'extension M sur L.
03:50Rapidement ici qu'on a un polynôme annulateur de notre petit X à coefficient dans L.
03:55Pour rappel, et Q de racine de 5, donc ils écrivent rationnel plus autre rationnel fois racine de 5.
04:00Et donc 2 plus racine de 5, c'est bien un élément de L.
04:03Plusieurs façons de montrer que X n'appartient pas à Q de racine de 5,
04:07les degrés des extensions déjà.
04:09Ou sinon, comme les gens de Q de racine de 5 s'écrivent de cette façon avec A et B rationnels,
04:12je pose ça, je mets au carré,
04:15je remplace donc la relation de B en fonction de A,
04:18et j'obtiens que A est solution de cette équation polynomiale.
04:21Et comme j'ai la flamme de calculer, je vois sur Wolfram Alpha que ce sont tous des nombres complexes non réels,
04:25en particulier pas des rationnels.
04:27Donc ce nombre-là ne peut pas s'écrire de cette façon-là.
04:29Ce qui implique que petit X ne peut pas être racine d'un polynôme de degré 1 à coefficient dans Q racine de 5.
04:36Donc voilà notre polynôme minimal, et donc l'extension est de degré 2.
04:39D'après le cours, l'extension est bien galoisienne, puisque c'est une extension quadratique.
04:44Et de même, le groupe de galois est Z sur 2Z.
04:45Donc on aura l'isotomorphisme qui envoie soit X sur X, l'identité, soit X sur moins X.
04:51Check ! Maintenant question un petit peu plus intéressante,
04:53étant donné que M sur Q n'est pas une extension galoisienne,
04:56est-ce qu'on peut déterminer sa clôture galoisienne ?
04:59Autrement dit, le plus petit corps contenant M pour l'inclusion,
05:02et dont l'extension sur Q est galoisienne.
05:04Oui, très simple, il suffit simplement de rajouter les racines qui nous manquaient tout à l'heure
05:08pour avoir une extension normale.
05:09Et on a donc que cette extension-là est galoisienne.
05:12Pourquoi ? Je reprécise, on est en caractéristique 0, donc on est bien séparable.
05:16De plus, cette extension est le corps de décomposition de ce polynôme-là sur Q.
05:21Donc l'extension est bien galoisienne.
05:23En notant M1 cette extension, on peut remarquer que M1, c'est Q sur X sur Y,
05:29où X est ce bonhomme-là et Y est ce bonhomme-là.
05:32On a bien la double inclusion, puisque X et Y sont là-dedans,
05:36et donc M1 est inclus là-dedans.
05:38Et l'autre, parce que M1 contient QX, vu qu'il contient Q et X,
05:43et il contient Y, vu qu'il contient QX et Y,
05:46il contient le corps engendré par QX et Y.
05:50De plus, Y est solution de ce polynôme,
05:53et on note que ce coefficient-là s'écrit comme X²-4.
05:56Parce que quand je mets au carré, j'ai 2 plus racine de 5,
05:59moins 4, ça fait bien moins 2 plus racine de 5.
06:02Et je rappelle qu'une base de QX est donnée par 1XX²X³.
06:06Donc ce truc-là est bien dans QX,
06:08donc ce polynôme-là est bien à coefficient dans QX.
06:12Et donc c'est bien le polynôme minimal de Y sur QX.
06:16On ne peut pas avoir un polynôme de degré 1 à coefficient dans QX
06:19qui annule Y, vu que c'est un imaginaire pur.
06:21Et donc on a que Q2XY est une extension de degré 2 sur Q2X.
06:26Ce qui va nous permettre de connaître le degré de l'extension M1 sur Q.
06:30On savait que Q2X était de degré 4 sur Q.
06:33Et donc d'après la propriété de degré sur les extensions,
06:35j'ai que M1 sur Q, donc M1 étant Q2XY,
06:40c'est Q2XY sur QX fois Q2X sur Q.
06:45Et donc ceci, on vient de démontrer que c'est degré 2,
06:47ça c'est de degré 4, et donc le degré de cette extension est 8.
06:51Et d'ailleurs, une base de l'extension M1 est donnée par ceci.
06:55Pourquoi ? Parce qu'une base de Q2X sur Q est donnée par 1XX²X3.
07:01Pour rappel, d'après le cours, comme l'extension M sur Q est de degré 4
07:05et que le polynôme minimal de notre petit X est de degré 4,
07:08alors 1XX²X3 forme bien une base de Q2X sur Q.
07:13Mais Q2XY sur Q2X est de degré 2,
07:17donc n'importe qui dans l'extension s'écrit de manière unique,
07:20comme quelqu'un de QX plus quelqu'un de QX multiplié par Y,
07:25étant donné que le polynôme minimal de Y sur Q2X est de degré 2.
07:30Donc une base de Q2XY sur Q2X est donnée par 1Y.
07:34Et vu que chaque élément de Q2X est créé de manière unique,
07:37comme 1 rationnel fois 1 plus 1 rationnel fois X, etc.,
07:40j'ai bien ceci comme base de M1 sur Q.
07:42Donc notre extension est de degré 8
07:45et d'après le cours, vu que l'extension est galloisienne,
07:47le groupe de gallois est exactement d'ordre 8.
07:50Ça vient de cette propriété-là.
07:52L'ordre du groupe de gallois est inférieur ou égal au degré de l'extension
07:55et lui est égal si et seulement si l'extension est galloisienne.
07:58Mais comme on est des gros flemmards,
07:59on va se référer à ce document qui parle de la classification des groupes d'ordre 8.
08:02Et la conclusion, c'est que le théorème dit
08:04que tout groupe d'ordre 8 est isomorphe à l'un de ces groupes.
08:07Z sur 8Z, Z sur 4Z, croix Z sur 2Z,
08:11Z sur 2Z au cube,
08:12le groupe dihédral d'ordre 8
08:14et Q8, le groupe des quaternions,
08:16plus exactement le groupe quaternionien.
08:19Donc notre groupe de gallois est un de ces groupes
08:21et on va essayer de voir les propriétés
08:22de nos éléments du groupe de gallois
08:24pour essayer de trancher.
08:25On rappelle que le groupe de gallois de M1 sur Q,
08:28c'est l'ensemble des automorphismes de M1 qui sont égaux à l'identité sur Q.
08:32Vu que l'extension M1 est le corps de décomposition de ce polynôme-là sur Q,
08:36alors on sait que les automorphismes du groupe de gallois
08:39sont déterminés par leurs actions sur les racines du polynôme.
08:42Ce qui signifie que si Φ appartient à G,
08:45où j'ai nommé G le groupe de gallois de l'extension M1 sur Q,
08:48alors j'ai juste à déterminer l'image de X,
08:51puisque une autre racine c'est moins X,
08:52mais elle sera fixée par l'image de X,
08:54et l'image de Y, de même,
08:56une autre racine c'est moins Y,
08:57mais elle sera fixée par l'image de Y.
08:59Et on va donc représenter les choses
09:00avec un arbre de possibilités pour les voir plus clairs.
09:02Premier étage, je prends les valeurs possibles de l'image de X,
09:05donc à X j'associe X,
09:07X j'associe moins X,
09:08X j'associe Y,
09:09et X j'associe moins Y.
09:11Moins X, Y et moins Y étant les conjugués de X pour cette extension.
09:14Une fois que j'ai choisi l'image de X,
09:16qu'elle est égale à X,
09:17par exemple dans le premier cas,
09:18et bien Y sur qui peut être envoyé ?
09:21Il ne peut pas être envoyé sur X,
09:22puisque X est déjà l'image de X,
09:23et on est un automorphisme en particulier,
09:25on est une bijection.
09:27Et il ne peut pas être envoyé sur moins X,
09:28puisque si X est envoyé sur X,
09:30nécessairement moins X est envoyé sur moins X
09:32par propriété d'automorphisme.
09:34Donc les deux seules possibilités,
09:35c'est que Y soit envoyé sur Y,
09:37ou que Y soit envoyé sur moins Y,
09:39et ça nous fait bien deux automorphismes distincts.
09:42Exactement le même raisonnement ici,
09:43quand X est envoyé sur moins X,
09:45Y est envoyé sur Y ou moins Y,
09:47et quand X est envoyé sur Y,
09:49Y ne peut pas être envoyé sur Y,
09:51puisque Y est déjà l'image de X,
09:53et ne peut pas être envoyé sur moins Y,
09:55puisque moins Y est déjà l'image de moins X
09:56par propriété d'automorphisme.
09:58Donc nécessairement Y est envoyé sur X,
10:00ou sur moins X,
10:01même raisonnement ici.
10:03On a deux branches ici,
10:04quatre possibilités-là,
10:05on voit bien qu'on a huit morphismes possibles avec ça.
10:08Donc on a bien décrit tous les morphismes possibles.
10:10On va les numériter comme ça,
10:12de phi1 jusqu'à tatata phi8,
10:13phi1 étant du coup l'identité.
10:16Puisque si j'envoie X sur X et Y sur Y,
10:18vu que je m'écris de manière unique
10:20avec ceci étant une base,
10:22et bien du coup n'importe qui sera bien laissé fixe.
10:25On a nos automorphismes,
10:26mais on ne sait toujours pas c'est quoi le groupe de Galois.
10:28Et vu qu'on a toutes ces possibilités-là,
10:30cinq groupes différents,
10:31ça fait beaucoup.
10:32Donc on va essayer de trancher avec différents critères
10:34pour voir dans quel cas on est.
10:36Déjà on a les premiers qui sont commutatifs,
10:38et les seconds qui ne sont pas commutatifs.
10:40Donc on va essayer de voir si on ne peut pas mettre à défaut la commutativité,
10:43ou la démontrer,
10:44et ça nous permettra déjà de trancher.
10:45Bon, vous vous en doutez,
10:47j'ai fait des tests,
10:48et en fait on va mettre à défaut la commutativité
10:50en considérant par exemple phi5 et phi6,
10:52et je vais calculer donc phi5 rond phi6 de X,
10:55et après on va calculer phi6 rond phi5 de X,
10:58et on va pouvoir conclure.
11:00Phi5 rond phi6 de X,
11:01ça fait phi5 de phi6 de X,
11:03et si on regarde l'arbre,
11:05phi6 de X,
11:06on vient de cette branche,
11:07donc phi6 de X,
11:08ça vaut Y,
11:09donc ça me fait phi5 de Y,
11:11et je reviens ici,
11:13phi5 de Y,
11:14c'est cette branche,
11:14à Y j'associe X,
11:16donc le résultat est bien X.
11:18Cherchons maintenant phi6 rond phi5 de X,
11:20donc phi6 rond phi5 de X,
11:21c'est phi6 de phi5 de X,
11:23on regarde l'arbre,
11:24phi5 de X c'est Y,
11:26donc ça me fait phi6 de Y,
11:28et phi6 de Y,
11:30ça Y s'associe moins X,
11:31donc on obtient moins X,
11:33donc phi5 rond phi6 de X,
11:35n'est pas égal à phi6 rond phi5 de X,
11:37puisqu'on a différents résultats,
11:39X et moins X,
11:40et donc phi5 et phi6 ne commutent pas,
11:43et donc G n'est pas commutatif.
11:45Et bim, du coup,
11:47ça, ça dégage,
11:48ça, ça dégage,
11:49et ça, ça dégage.
11:50Il nous reste que ces deux groupes-là.
11:52Pour distinguer entre ces deux groupes,
11:54on va regarder une autre propriété algébrique des groupes,
11:56c'est-à-dire l'ordre des éléments du groupe.
11:58Et donc on va trouver les ordres respectifs
12:00de phi1 jusqu'à phi8.
12:02Bon déjà, phi1 est évidemment d'ordre 1,
12:04l'ordre de phi2 va dépendre donc de Y,
12:06puisqu'il fixe X,
12:08et donc si j'applique phi2 deux fois,
12:10je reviens bien sur Y,
12:11puisque j'aurai moins moins Y,
12:13et donc phi2 est d'ordre 2.
12:15Même raisonnement pour phi3 et phi4,
12:17si je l'applique une fois,
12:18du coup, je ne suis pas l'identité,
12:19mais si je l'applique deux fois,
12:20moins X, moins moins X,
12:22je retombe bien sur X ici,
12:24et Y sur Y,
12:25là, ça ne posait pas de problème,
12:26c'était lui qui le déterminait,
12:27et là, Y en moins Y,
12:29deux fois, je retombe bien sur Y.
12:30Donc tous les deux sont d'ordre 2.
12:32De même, phi5 est d'ordre 2,
12:34puisque si j'applique à X,
12:35je tombe sur Y,
12:36et si je réapplique à nouveau,
12:37l'image de Y, c'est X.
12:39Et de même, l'image de Y, c'est X,
12:41et en appliquant un X, j'obtiens Y.
12:43Donc appliquer deux fois phi5 donne l'identité,
12:46on est bien d'ordre 2.
12:47Pour phi6, on voit que si j'applique à X,
12:49je tombe sur Y,
12:50et si j'applique à nouveau phi6,
12:51je tombe sur moins X.
12:53Donc on n'est pas sur l'identité,
12:54donc j'applique à nouveau phi6,
12:55et moins X va tomber sur moins Y,
12:57et vu que Y tombe sur moins X,
12:59moins Y va bien tomber sur moins moins X, X.
13:01Donc il faut que j'applique 4 fois phi6
13:03pour bien retomber sur mes pattes.
13:05Même chose en partant de Y,
13:07je vais de Y à moins X une application,
13:11moins X, je tombe sur moins Y,
13:13deuxième application.
13:14Troisième application,
13:15moins Y, je tombe sur X,
13:18et quatrième application,
13:20j'ai X, je tombe sur Y.
13:21Donc phi6 appliqué 4 fois à Y,
13:24revient bien sur Y.
13:25Ici, on est donc bien d'ordre 4.
13:28À partir d'ici, on peut déjà trancher,
13:29mais pour le kiff, on va terminer.
13:31Je te laisse vérifier que les deux derniers
13:32sont respectivement d'ordre 4 et 2.
13:34Et comment est-ce que ça nous permet de trancher ?
13:36Eh bien tout simplement en regardant
13:37les ordres des éléments de Q8.
13:39Pour rappel, le groupe des quaternions Q8,
13:41c'est celui-ci.
13:42C'est le sous-ensemble des quaternions
13:43munis de ces éléments-là
13:45avec la multiplication.
13:46Et on a ces règles de multiplication.
13:48I² est égal J² est égal K² est égal IJK est égal moins 1,
13:52et plein d'autres relations cheloues.
13:54Oui, mais du coup,
13:55I² est égal moins 1,
13:56J² K² aussi.
13:58Ça signifie nécessairement que
14:00IJ et K sont d'ordre 4,
14:01puisqu'il faut les élever à la puissance 4
14:03pour obtenir 1, l'élément neutre pour la multiplication.
14:06I¹ fera I,
14:07I² fera moins 1,
14:08I³ fera moins I,
14:10et I³ fera 1.
14:11Et de même pour tous les autres.
14:12Donc dans mon groupe,
14:13tout le monde excepté plus ou moins 1
14:16est d'ordre 4,
14:17ce qui ne colle pas avec ce que j'ai trouvé ici.
14:19Et donc Q8, ça dégage.
14:21Par élimination, notre groupe de Galois est nécessairement isomorphe à D4.
14:26Et on peut facilement vérifier,
14:27avec la description du groupe d'hédrale,
14:30que les ordres correspondent à.
14:31Voici les éléments,
14:32et on a cette relation SR est égal R-1.
14:36L'identité est d'ordre 1,
14:37R est d'ordre 4,
14:38R2 est d'ordre 2,
14:40R3 est d'ordre 4,
14:41du gain égal 4,
14:42ça va jusqu'à R3.
14:43S est d'ordre 2,
14:44c'est une symétrie,
14:45donc si je la fais deux fois,
14:46j'obtiens l'identité.
14:48SR est d'ordre 2 à cause de cette relation,
14:50puisque SR fois SR,
14:51c'est SRS,
14:53R-1 fois R,
14:54ce qui fait identité.
14:55Et pareil,
14:56en jouant avec la relation,
14:57j'obtiens que SR2 et SR3
14:58sont tous les deux d'ordre 2.
15:00Ainsi,
15:00j'ai éthysomorphe à D4,
15:01qui lui-même,
15:02pour précision,
15:03est isomorphe à ce produit semi-direct,
15:05d'après le cours.
15:06On n'a plus donc qu'à lister
15:07les sous-groupes de G.
15:09Et grosse flemme,
15:10donc je remercie Wikipédia
15:11d'avoir fait le travail déjà pour moi,
15:12voici la liste des sous-groupes.
15:14Donc en fait,
15:14le F illustre comment agit
15:16la transformation géométrique.
15:17Donc F associe F,
15:18ça c'est tout simplement l'identité.
15:20Ici, on voit l'identité et la réflexion,
15:22ainsi que tous les autres sous-groupes
15:24que je te laisse vérifier.
15:25Voici donc le diagramme recopié avec R et S,
15:28où j'ai choisi pour S
15:28la symétrie d'axe vertical.
15:30Pour rappel,
15:31le groupe dihédral d'ordre 8,
15:32c'est celui qui agit sur le carré.
15:33Et donc la symétrie d'axe vertical
15:35qui passe par les milieux
15:36du côté supérieur et inférieur,
15:38c'est ce que je désigne par S.
15:39R est une rotation d'angle pi sur 4.
15:41Et on a donc des cadres
15:41qui s'écrèvent de cette façon
15:42avec l'isomorphisme associé à G.
15:45Comment est-ce que je l'obtiens ?
15:45Eh bien je peux noter que,
15:46en fait,
15:47vu que c'est l'action de D4,
15:48j'ai tout simplement
15:49à tracer un carré,
15:50à numéroter les sommets
15:51avec les différentes racines.
15:53Et en fonction des transformations
15:54que j'ai sur mon arbre
15:55pour les différentes valeurs de phi,
15:57j'en déduis à quelles transformations
15:58elles correspondent dans le groupe
16:00dihédral classique.
16:01Exemple ici,
16:02on a R qui correspond à phi6.
16:04Je revets dans mon arbre.
16:05Phi6 transforme X en Y
16:07et Y en moins X.
16:09Et si je vérifie sur le carré,
16:10c'est bien la rotation d'angle pi sur 4.
16:12X est transformé en Y et Y en moins X.
16:14Et naturellement,
16:15moins X en moins Y
16:17et moins Y en X.
16:18Par propriété du morphisme de corps.
16:20De même ici,
16:21on voit que S correspond à phi5.
16:23Et phi5 transforme X en Y
16:25et Y en X.
16:26Ce qui est bien la symétrie axiale
16:28de cet axe-là vertical.
16:29X en Y,
16:30Y en X.
16:31Et donc naturellement,
16:32moins X en moins Y
16:33et moins Y en moins X
16:35par propriété du morphisme de corps.
16:37Donc d'après cette description de cours,
16:39on a juste à vérifier
16:40les ordres des éléments
16:41et la relation.
16:42Et on prouve de ce fait
16:43que G est isomorphe à D4.
16:45Je te laisse vérifier la correspondance
16:47avec l'arbre que j'ai fait juste ici.
16:49N'hésite pas si jamais tu as des questions.
16:51Et donc le diagramme
16:52avec les différents sous-groupes de D4.
16:54Et donc il faut que je trouve
16:55les extensions de corps intermédiaires
16:57qui correspondent à ce diagramme-là.
16:58Ce qui va me donner exactement
17:00ce diagramme-là,
17:01mais ne panique pas,
17:01on va expliquer comment on l'obtient.
17:03Et en fait,
17:04on l'obtient grâce au théorème fondamental
17:06de la théorie de Galois.
17:08Théorème fondamental
17:09de la théorie de Galois.
17:10J'ai L une extension galoisienne
17:12finie sur K
17:13et j'ai son groupe de Galois
17:14pour tout sous-groupage de G.
17:16On note LH,
17:17le sous-corps de L
17:18constitué des éléments fixés
17:20par chaque élément de H.
17:22Alors, premier point,
17:23L est une extension galoisienne
17:25de LH
17:26et H est son groupe de Galois associé.
17:29Autrement dit,
17:30dès que j'ai un sous-groupe,
17:30par exemple celui-ci,
17:32le corps qui lui correspond
17:34d'après la correspondance de Galois.
17:35Deuxième point,
17:36l'application qui est H associée à LH
17:38est une bijection de l'ensemble
17:39des sous-groupes de G
17:39dans l'ensemble des corps intermédiaires
17:42compris entre K et L.
17:43Eh bien, on sait que le corps L
17:45est une extension galoisienne
17:47sur ce corps-là.
17:49Et bien évidemment,
17:49le corps de base
17:50est bien inclus dans le corps intermédiaire
17:52puisque les gens du corps de base
17:53sont fixés par tout le monde
17:55dans le groupe.
17:55En particulier,
17:56ils sont fixés par tout le monde
17:57dans le sous-groupe.
17:57Donc, ils sont bien inclus
17:58dans le corps intermédiaire
17:59qui est constitué de tous ceux
18:01qui sont fixés par ceux du sous-groupe.
18:03Tous ceux du corps L.
18:05Mais comme on sait pour rappel
18:07que l'ordre du groupe de Galois
18:08est égal au degré de l'extension
18:10si et seulement si l'extension est galoisienne
18:12et que l'extension L sur LH
18:15est bien une extension galoisienne
18:16d'après le premier point,
18:18alors l'ordre de ce groupe-là
18:20me donne le degré de l'extension
18:22de ce corps-là sur ce corps-là.
18:25Et donc, je sais que ce corps-là
18:26sur ce corps-là,
18:28c'est de degré 4
18:28puisque le groupe correspondant
18:30est de cardinal 4.
18:31Mais vu que ça sur Q,
18:32on a montré avant
18:33que c'était de degré 8,
18:34d'après la propriété de degré
18:36des extensions,
18:37nécessairement,
18:38le degré de ça sur Q est 2
18:40puisque le degré de ça sur Q
18:42fois le degré de ça sur lui,
18:44ça doit donner le degré de lui sur lui
18:46qui vaut 8,
18:47sachant que lui sur lui vaut 4.
18:49Donc par le même raisonnement,
18:50je sais que tous les corps
18:51qui correspondent ici à cette ligne
18:52sont de degré 2 sur Q.
18:54Et en fait,
18:55il y a juste à trouver un élément
18:56qui n'est pas un rationnel,
18:57qui est invariant
18:58par tous ces automorphismes-là.
19:00Si j'en trouve un,
19:01en particulier,
19:01il sera de degré 2,
19:02c'est gagné,
19:03j'ai mon extension.
19:04Comment maintenant je fais
19:05pour trouver un élément
19:06qui est invariant ?
19:07On va prendre l'exemple
19:08avec ce sous-groupe-là
19:09que j'ai reproduit
19:10avec mes applications Phi
19:11et j'ai noté leurs images
19:13avec leur description
19:14sur l'image de X et Y
19:16respectivement.
19:17Je te laisse bien revérifier.
19:18Eh bien, soit j'ai l'œil
19:19et je vois rapidement
19:20quelque chose
19:21que je peux fabriquer
19:21à partir de X et Y
19:22additivement, multiplicativement
19:24qui est invariant
19:25et qui est de degré 2,
19:26soit je résous un système.
19:28Ici, on peut noter
19:29que X et Y
19:30va bien être invariant
19:30par chacun d'entre eux
19:31parce que si je fais
19:32Phi 5 de XY,
19:34eh bien, ici,
19:34j'aurai Y fois X,
19:36donc XY,
19:37moins Y fois moins X,
19:38donc XY,
19:39et pareil ici.
19:40Pas besoin, évidemment,
19:41de vérifier pour l'identité.
19:42Donc, j'ai que XY
19:43est invariant par tout ça.
19:45Mais X fois Y,
19:46ça fait I.
19:47Et I, eh bien,
19:48de degré 2 sur Q.
19:49Donc ici,
19:50nécessairement,
19:51j'ai Q de I.
19:52On va expliquer maintenant
19:53l'idée de la résolution
19:54du système
19:54avec ce groupe-là
19:55pour lequel on n'a pas
19:56de relation évidente
19:57comme ça qui saute à l'œil.
19:58Donc, j'ai reproduit
19:59le sous-groupe juste ici
20:01et l'idée, ça va être
20:01de trouver tous les Z
20:02tels que
20:03Phi de ce Z-là
20:05est égal à Z.
20:06Donc, je vais commencer
20:07par Phi 6.
20:07En fait, il faudrait pour tous,
20:08mais dans la pratique,
20:09un ou deux vont suffire.
20:11Bon, ça dépend des situations,
20:12mais ici, Phi 6 suffit.
20:13Je décompose Z
20:14dans la base,
20:15celle-ci pour rappel.
20:16J'utilise donc
20:17les propriétés de morphisme
20:18et le faire
20:18que Phi 6 de X
20:19est égal à Y
20:20et que Phi 6 de Y
20:20est égal à moins X.
20:22Et donc, avec l'écriture
20:23dans la base de Z
20:24avec donc des coefficients
20:25rationnels,
20:26j'aurai l'égalité
20:27avec ce truc-là
20:28que je vais réexprimer
20:29dans la même base.
20:30Alors, dans le calcul,
20:31vous allez vous retrouver
20:32avec des Y carré
20:33et des Y cube
20:34qu'il faut donc exprimer
20:35dans la base
20:36puisque, pour rappel,
20:37c'est eux les éléments
20:38de la base.
20:38Il faut qu'on s'exprime là-dedans.
20:40Et donc, en jouant
20:41sur la relation, par exemple,
20:42on trouve que Y2
20:42est égal à 4 moins X2.
20:44On est bien exprimé
20:45dans cette base.
20:46Y3, c'est Y fois Y2
20:47et on trouve finalement
20:48cette relation.
20:49Et donc, je fais
20:50l'identification des coefficients,
20:52je simplifie,
20:53je résous le système.
20:53Et finalement, je trouve
20:55que les gens
20:55qui sont invariants
20:56par Φ6
20:57seront d'ailleurs invariants
20:58par tous les autres
20:59puisque Φ6 génère le groupe.
21:01Ça, c'est Φ6 carré,
21:02ça, c'est Φ6 cube.
21:03Mais surtout qu'ils sont
21:04de cette forme-là
21:05avec A et H
21:06et des coefficients rationnels.
21:08Je ne m'embête pas
21:08avec le H,
21:09je le fixe égal à 0
21:10et je prends H est égal à 1.
21:12Et donc, j'obtiens
21:12que cet individu-là
21:13est laissé fixe
21:14par chacun de ces automorphismes-là.
21:17Vérifie bien les calculs.
21:19Mais si on calcule,
21:19ce bonhomme,
21:20c'est Y racine de 5
21:21et c'est bien
21:22de degré 2 sur Q.
21:24Donc ici, j'ai bien
21:24Q de I racine de 5.
21:27Je fais exactement
21:27le même genre de bail ici
21:29et pareil ici,
21:30sauf que là,
21:31ici, à cet étage-là,
21:32ça sera plus facile
21:33puisqu'il suffira
21:34de vérifier qu'on est invariant
21:35par un automorphisme.
21:36Pas besoin de faire l'identité.
21:37Et par exemple, ici,
21:38pour S qui vaut Φ5
21:40pour rappel,
21:40comme j'ai que Φ5 de X
21:42est égal à Y
21:42et que Φ5 de Y
21:43est égal à X,
21:44je sais que X plus Y
21:46est invariant.
21:47X plus Y
21:48n'appartient pas à Q de I.
21:50Tu peux l'écrire
21:51et montrer que c'est absurde.
21:52Et on peut montrer
21:53assez facilement
21:53qu'il est annulé
21:54par un polynôme
21:55de degré 4.
21:56Donc son degré
21:56est strictement plus grand
21:58que 2
21:58puisqu'il contient ceci.
22:00Et parce que X plus Y,
22:01le tout au carré,
22:02ça fait un rationnel
22:03plus un rationnel
22:04fois I.
22:05Et donc I est bien dedans.
22:07Et il est de degré
22:08O plus 4
22:09puisque ceci
22:10qui l'engendre
22:11est annulé
22:12par un polynôme
22:12de degré 4.
22:13Et ce gars-là
22:14est bien inclus
22:15dans Q de XY.
22:16Donc nécessairement,
22:17il est de degré
22:17strictement plus grand
22:18que 2.
22:19Il est de degré
22:20inférieur ou égal à 4.
22:21et il divise ce degré-là
22:23sur Q, bien sûr.
22:24Donc il divise 8.
22:25Donc nécessairement,
22:25il est de degré 4.
22:26Et donc c'est bien
22:27lui qu'on a ici.
22:29Exactement le même
22:29raisonnement ici.
22:31Et pour le sous-groupe
22:31correspondant à ça,
22:32de la même manière,
22:33je vais constater
22:34que I et racine de 5
22:36sont tous les deux invariants.
22:38Or, ça,
22:39c'est Q de I
22:40de racine de 5.
22:41et Q de I
22:42de racine de 5
22:43sur Q de I,
22:44par exemple,
22:45c'est de degré 2.
22:46Q de I
22:46est de degré 2,
22:47donc ici,
22:48on est bien
22:48de degré 4.
22:49Et donc nécessairement,
22:50c'est le corps
22:51qui se trouve ici,
22:51puisqu'on veut
22:52un corps de degré 4
22:53qui nécessairement
22:54contient I
22:55et racine de 5.
22:56Le seul possible
22:57est celui-ci.
22:58Pour ces deux sous-groupes-là,
22:59on constate
23:00qu'on fixe
23:01respectivement
23:01X et Y
23:02et donc on a
23:03ces extensions-là
23:04qui sont bien
23:05de degré 4
23:06sur Q toujours
23:07parce que pour rappel,
23:08le polynôme minimal,
23:09c'est celui-ci
23:09qui est de degré 4
23:10et donc on a bien
23:11les bons corps ici.
23:13Et voici donc
23:13les deux diagrammes
23:14de la correspondance
23:15de Galois.
23:16Oui, j'ai oublié
23:16de préciser,
23:17mais les flèches
23:17sont des inclusions.
23:19Donc forcément,
23:19quand on s'injecte
23:20dans des corps plus gros,
23:21on a moins d'automorphisme
23:24qui nous laisse invariant.
23:25Et donc les groupes
23:26diminuent en inclusion
23:27quand les corps,
23:28eux, augmentent.
23:29Entre guillemets,
23:30mais t'as vu, t'as capté.
23:31Voilà, voilà,
23:32donc pour rappel,
23:32on a montré que M1Q de XY
23:34est la clôture galoisienne
23:36de Q de X sur Q
23:38qui a pour groupe
23:39de Galois D4
23:40le groupe dihédral
23:41d'ordre 8
23:41dont les sous-groupes
23:42sont ceci
23:43et dont les sous-corps
23:44correspondants
23:45d'après le théorème
23:46de correspondance
23:46de Galois
23:47sont ceci.
23:48Voilà,
23:49si jamais quelque chose
23:49n'est pas clair,
23:50n'hésite pas à poser
23:50ta question en commentaire
23:51et en attendant,
23:52je te fais un petit overview
23:53de toutes les notes
23:53qu'on a prises
23:54sur cette question.
23:56Pour rappel,
23:56n'hésite pas à vérifier
23:57les calculs
23:58que j'ai laissés passer
23:58sous silence.
23:59Bisous !
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