00:00Allez future speech, je vois que vous galérez encore sur les développements limités, et on va s'entraîner sur ces exemples tirés du cahier de calcul de Bardavid.
00:06Et donc dans la partie développement limité, on a ses prérequis, et je vais en faire un facile pour bien expliquer, mais n'hésitez pas à demander en commentaire si jamais vous voulez que j'en fasse un un petit peu plus compliqué dans la suite du cahier.
00:16On va attaquer le D à l'ordre 6 en 0 exponentiel de x multiplié par sinus de x.
00:21Tout d'abord, avant de vous jeter dans les calculs, posez-vous, réfléchissez, essayez d'anticiper.
00:25On veut de l'ordre 6, donc qu'est-ce qu'il va falloir faire pour notre exponentiel de x et notre sinus de x ?
00:30Sachant qu'ici on a un produit dont on veut le développement limité.
00:33Que pour rappel, si on connaît bien notre cours, la multiplication des développements limités, ça marche comme la multiplication des polynômes.
00:39Et bien déjà j'anticipe l'exponentiel, je vais avoir les termes dans 0, etc.
00:44Et en sinus, je vais commencer avec un terme d'ordre 1, puisque le DL de sinus de x commence à x.
00:50C'est mieux comme ça.
00:50Donc vu que je suis multiplié par le x de sinus de x, tout ce qui va être multiplié dans l'exponentiel par ce x-là va prendre un plus 100 degrés.
00:58Donc pour l'exponentiel, je ne suis pas obligé d'aller à l'ordre 6, puisque le terme d'ordre 6 de l'exponentiel va être multiplié au plus petit degré par du x,
01:08qui donc va passer à l'ordre 7, ce qui n'est pas nécessaire vu que je veux un DL à l'ordre 6.
01:12Donc l'exponentiel, je sais que je vais devoir aller à l'ordre 5, ça sera parfaitement suffisant.
01:16Et pour le sinus, je vais devoir aller à l'ordre 6, puisque là le premier terme, c'est un terme constant, donc d'ordre 0 du 1.
01:23Alors polynomialement, c'est comme si j'avais de l'ordre 5, mais le petit o, il faut bien qu'on aille jusqu'à un petit o de x6,
01:28puisque fois 1, ça va bien me faire un petit o de x6, et j'aurai tout ce qu'il me faut.
01:32Je remplace donc par mes expressions les DL en 0, ordre 5 pour l'exponentiel, et ordre 6 pour le sinus.
01:38Oui, rappelle-toi que les termes d'ordre paire du sinus valent 0.
01:41Je fais la bête distribution dans les calculs, et je dégage tout ce qui est d'ordre plus grand que 6.
01:47J'ai un premier terme, j'ai un fois tout ceci, donc je vais recopier tout ceci, pas besoin de recopier le final petit o de x6,
01:53parce que ça sera, on le mettra juste à la fin avec tous les petits o de x6 qui vont apparaître.
01:58Ça apparaît ici, ensuite je fais x fois la deuxième parenthèse, il me fait ça pour les trois premiers termes, c'est bien tout ça fois x.
02:04Et x multiplié par petit o de x6, ça fait un petit o de x7, qui est un petit o de x6, donc pas besoin de l'écrire.
02:11Je distribue le x2 sur 2 à tout ceci, ce qui me fait ces deux termes-là, j'ai le x2 sur 2 multiplié par x qui me fait bien x3 sur 2,
02:19et le x2 sur 2 multiplié par ceci qui me fait bien moins x5 sur 2 fois 6, 12.
02:23Mais x2 fois x5, ça me fait du x7, et x7 c'est un petit o de x6, puisque divisé par x6, quand x tend vers 0, ça tend bien vers 0.
02:31Donc je ne le mets pas.
02:33Et je fais toutes les autres distributions, je te laisse bien vérifier le calcul.
02:36Note ici que petit o de x1 fois x, ça fait bien un petit o de x6, donc ça rentre aussi dans le petit o de x6 final.
02:42J'obtiens finalement ceci, j'ai rassemblé les termes de même degré, j'ai mis les fractions au même dénominateur, j'ai simplifié ce qu'il fallait.
02:47Regarde bien attentivement les calculs et refais-les toi-même.
02:50Auton Wolfram est d'accord, donc tout va bien.
02:52Voilà, tu peux me dire lequel tu veux que je fasse en commentaire, bisous !
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