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Exemple de raisonnement par analyse synthèse avec l'exercice classique de la caractérisation des fonctions linéaires.Poly LLG ex 24 p.20 et Poly Tosel ex 36 p.7#llg #prepa #continue #fonction
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il y a 2 mois
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00:00
Pour ceux qui passent en sup ou en sp, on attaque un exercice très classique avec le 24 du poly LLG
00:04
qui apparaît aussi dans le poly de transition pour la sp de Tozel avec l'exercice numéro 36,
00:09
mais cette fois en une seule question, les grandes étapes de l'exercice 24 dans la transition vers la sup.
00:15
On a donc f une fonction continue de r dans r qui vérifie que pour tout xy dans r2,
00:20
f de x plus y est égal à f de x plus f de y.
00:23
On est dans la sous-partie du poly sur le raisonnement par analyse synthèse.
00:26
C'est un raisonnement qui est utile grosso modo quand on veut trouver des objets vérifiant une condition,
00:31
donc ici les fonctions vérifiant ceci, être continue et vérifier l'égalité.
00:35
Comme précisé dans le paragraphe d'introduction, on va dans un premier temps imaginer qu'on a une certaine solution
00:40
et trouver les propriétés de cette éventuelle solution.
00:43
On la suppose donc exister, mais ça ne veut pas dire qu'elle existe pour le moment,
00:46
ça veut juste dire que si elle existe, alors elle aura nécessairement telle ou telle propriété.
00:51
Ce qui fait qu'on va limiter sévèrement les possibilités.
00:54
Et dans la deuxième partie, la synthèse, vu qu'on a limité les possibilités,
00:59
donc parmi les solutions fournies par l'analyse, on va regarder lesquelles vont effectivement être solutions du problème initial.
01:04
Donc l'idée de l'analyse synthèse, c'est de dire en gros, on veut trouver les objets qui répondent à ce problème.
01:10
On commence partie 1 en disant, s'il existe un objet qui répond à ce problème, alors il a forcément telle caractéristique.
01:17
Et partie 2, on va simplement vérifier les objets qui ont telle caractéristique, est-ce qu'ils vont satisfaire le problème.
01:22
Et parmi ceux qui satisfont, on a toutes les solutions du problème.
01:26
On va donc supposer qu'on a une fonction continue qui vérifie ceci, et vu qu'elle vérifie ceci, on peut calculer f de 0.
01:32
Donc comme j'ai ceci pour tout x, y dans R2, je peux remplacer x et y par ce que je veux, et je vais remplacer x et y par 0.
01:41
Donc me donner que f de 0 est égal 2 fois f de 0.
01:44
Pourquoi ? Parce que j'avais f de 0 plus 0, donc f de 0 est égal à f de 0 plus f de 0, 2f de 0.
01:50
Donc j'ai bien ceci, et en retranchant f de 0, j'obtiens que f de 0 est égal à 0.
01:55
Check.
01:55
Montrez que f est impair.
01:57
Donc encore une fois, il va falloir utiliser cette propriété-là et se demander, mais c'est quoi le lien avec l'imparité ?
02:02
L'imparité, ça met en jeu du f de x et du f de moins x.
02:06
Là, j'ai du f de x, et donc je peux remplacer y par ce que je veux, puisque c'est pour tout x, y dans R2.
02:10
Et donc ça sera intelligent de remplacer y par moins x.
02:14
Ce qui me donne cette égalité, y a été remplacé par moins x, donc j'ai x moins x 0, et f de 0, on a vu juste avant que ça vaut 0.
02:20
Et donc f de x, f de y, f de moins x.
02:24
Et donc en faisant passer le f de x de l'autre côté de l'égalité, vu que c'est égal à 0,
02:27
j'obtiens que f de moins x égale moins f de x, quel que soit x dans R.
02:31
Et très précisément, la définition de l'imparité est check.
02:33
Petit b, pour n entier naturel et x dans R, calculez fn de x en fonction de n et f de x.
02:38
C'est important de bien entuiter ce qui se passe pour savoir où partir.
02:41
f n de x, ça veut dire que je rajoute x à lui-même n fois dans la fonction.
02:47
Mais on sait que la fonction sépare les additions à l'intérieur en les faisant sortir à l'extérieur.
02:51
Donc si j'ajoute x plus x plus x n fois, on s'attend à avoir du f de x plus f de x, tatata, n fois, donc n fois f de x.
02:59
Et c'est en fait précisément ce qu'on va montrer par récurrence.
03:02
Soit donc x un réel quelconque, on va poser la propriété pn comme étant f de nx est égale n fois f de x.
03:08
Et on veut démontrer pour toute n que pn est vrai.
03:10
p0 est vrai d'après ce qu'on a fait avant, puisque p0 c'est f de 0 fois xf de 0,
03:15
et c'est bien égal à 0 fois f de x, donc 0.
03:19
f de 0 est égal à 0, donc ça c'est vrai.
03:21
Hérédité, je ne fais pas la rédaction du raisonnement par récurrence au propre,
03:24
mais on veut démontrer que quand c'est vrai pour n, c'est vrai pour n plus 1.
03:28
Donc là, en partant de ça, on va arriver à du n plus 1 fois f de x.
03:31
Je vais simplement réécrire ça.
03:33
Et j'ai donc que f de n plus 1x est égal à f de nx plus x.
03:37
J'ai distribué le x.
03:39
Mais comme f sépare les additions, peu importe le réel x que j'ai et le réel y que j'ai ici,
03:44
je peux donc écrire que ceci c'est f du premier plus f du deuxième,
03:48
donc f de nx plus f de x.
03:50
Mais par hypothèse de récurrence f de nx, c'est n f de x.
03:53
Donc j'ai n f de x plus f de x, je factorise par f de x, j'ai bien n plus 1 f de x.
03:58
J'ai montré l'hérédité, j'ai montré que c'est vrai pour toute n.
04:01
Check !
04:02
Question C, soit a est égal à f de 1, montrez que pour toute x dans q, f de x est égal à a sur x.
04:08
x est un rationnel, donc il peut s'écrire comme le quotient de deux entiers,
04:11
donc p et q sont des entiers relatifs où q est un entier non nul.
04:14
Et on a que f de x est égal à f de p sur q, puisque p sur q c'est x,
04:19
mais p sur q c'est p fois 1 sur q.
04:21
Et comme j'ai démontré avant que f d'un entier fois un réel quelconque,
04:26
c'est l'entier fois f du réel, j'obtiens bien que ceci est égal à p fois f de 1 sur q.
04:32
J'ai donc à déterminer f de 1 sur q.
04:35
L'indication dans l'énoncé, on m'a donné que a est égal à f de 1,
04:38
donc il faut que je trouve un lien avec f de 1.
04:40
Et comme on sépare les additions, il faut que je trouve un lien entre des additions de 1 sur q
04:44
et d'autres choses éventuellement, et 1.
04:46
Quel est donc le lien ?
04:47
Tout simplement que 1 c'est 1 sur q plus 1 sur q plus 1 sur q,
04:51
et le 1 sur q apparaît q fois, autrement dit c'est q fois 1 sur q.
04:55
Et donc j'ai cette relation, f de 1 est égal à f de q fois 1 sur q,
04:59
ceci vaut 1, et d'après la propriété qu'on a démontré juste avant,
05:02
q étant un entier relatif, on obtient qu'on peut le sortir de f.
05:06
Alors oui, stricto sur su, on l'a montré pour les entiers naturels,
05:09
mais c'est pas dur de montrer en combinant avec l'imparité
05:11
que ce qu'on a montré avec les entiers naturels est aussi vrai pour les entiers relatifs.
05:16
Et si je divise cette relation par q, qui est bien sûr non nulle,
05:20
j'obtiens que f de 1 sur q est égal à f de 1 divisé par q,
05:23
j'ai divisé ici par q, et donc est égal à a sur q.
05:27
Je reviens donc ici, et je peux affirmer que ceci c'est égal à p fois a sur q.
05:33
Autrement dit ceci en réécrivant autrement.
05:36
Autrement dit a fois x, puisque p divisé par q, c'est égal à x.
05:40
Check !
05:41
On a bien démontré que pour tout x rationnel, f de x est égal à a fois x,
05:45
ou a c'est égal à f de 1.
05:47
Question D.
05:48
Expliquez pourquoi tout nombre réel est limite d'une suite de nombre rationnel.
05:52
Pour ceux qui passaient en spé, vous le savez,
05:53
c'est la propriété de densité des nombres rationnels parmi les nombres réels.
05:58
On sait que tout réel peut être approché par une suite de rationnels.
06:02
Je vais donner la construction intuitive qui est compréhensible niveau terminal,
06:05
et après je vais donner un exemple de suite de rationnels explicites
06:08
qui convergent bien vers un réel x donné.
06:11
Bon bah déjà, si votre nombre c'est un rationnel,
06:13
vous prenez la suite constante est égale à lui-même,
06:15
et vous avez bien une suite de rationnels qui converge vers ce nombre réel là,
06:18
qui est un rationnel.
06:19
C'est un petit peu plus intéressant quand on a des irrationnels comme pi,
06:22
dont le début du développement décimal s'écrit de cette façon là.
06:25
Et bien intuitivement, quelle suite de rationnels va converger vers pi ?
06:29
On peut prendre la suite qui est définie de cette façon.
06:31
Non, à l'étape n, j'ai en fait n décimales de pi après la virgule,
06:35
et j'ai que des zéros après.
06:37
Tous les nombres qui ont un développement décimal fini,
06:39
c'est-à-dire qui ont une infinité de zéros à partir d'un certain rang,
06:43
sont des nombres rationnels.
06:44
Donc chacun des termes de cette suite est un nombre rationnel,
06:47
et cette suite, on voit bien intuitivement qu'elle va converger vers pi.
06:51
Je vous l'ai fait par construction.
06:53
Comment maintenant on peut construire rigoureusement cette suite
06:55
quand on a x un réel donné quelconque ?
06:57
Je vais tout simplement définir la suite comme ça.
07:00
Partie entière de 10 puissance n fois x divisé par 10 puissance n.
07:03
On fait mieux que des nombres rationnels, d'ailleurs,
07:05
on a même des nombres décimaux.
07:06
Pour rappeler, un nombre décimal, c'est un entier divisé par une puissance de 10.
07:09
L'expression formalise bien la construction intuitive qu'on a faite.
07:13
Quand je fais 10 puissance n fois x,
07:15
je décale la virgule de n cran,
07:17
donc 0, je reste là,
07:19
et de 1 cran, je vais là,
07:20
et donc de temps de cran, je vais par exemple ici.
07:23
Je prends la partie entière,
07:24
ça veut dire que j'élimine tout ce qui est après la virgule,
07:27
et je prends juste l'entier.
07:28
Et je redivise par 10 puissance n,
07:30
donc l'entier,
07:31
je décale la virgule,
07:33
et donc je n'aurai bien que la partie là,
07:35
sans les décimales,
07:36
après la énième décimale.
07:38
Et il faut tout simplement montrer que cette bêtise là,
07:40
ça converge vers x,
07:41
quel que soit x réel.
07:43
Comme d'hab, avec des parties entières,
07:44
le meilleur moyen de s'en sortir,
07:45
c'est de faire des encadrements.
07:47
Et par définition de la partie entière,
07:49
la partie entière d'un truc,
07:50
c'est toujours inférieur ou égal au truc en question,
07:52
et c'est toujours supérieur au truc moins 1.
07:55
Et après avoir divisé par 10 puissance n,
07:56
j'obtiens 7 encadrements,
07:58
je passe à la limite,
07:59
1 sur 10 puissance n tend vers 0,
08:00
donc le membre gauche tend bien vers x,
08:03
le membre droit tend bien vers x.
08:05
D'après le théorème des gendarmes,
08:06
j'ai que un de x quand n tend vers l'infini,
08:08
tend bien vers x.
08:09
Donc peu importe x réel,
08:11
il existe une suite de nombres rationnels,
08:12
et même décimaux qui convergent vers x,
08:14
et un exemple est donné par ceci.
08:16
Notez que pour les nombres négatifs,
08:18
ça sera un petit peu différent,
08:19
mais ça va bien converger vers le x en question.
08:22
Par exemple, si j'avais moins pi,
08:23
ben là u0, ça serait moins 4,
08:25
u1, ça serait moins 3,2,
08:27
moins 3,15, etc.
08:30
Mais de toute façon, là,
08:31
on a démontré pour tout réel,
08:32
on a bien convergence de la suite vers x.
08:34
Check !
08:35
On nous demandait simplement d'expliquer
08:36
pourquoi un nombre réel est limite de rationnel,
08:38
donc ce n'était pas attendu niveau terminal.
08:40
Par contre, si vous passez en spé,
08:42
oui, il faut savoir faire ça.
08:43
Conclure que pour tout x dans R,
08:44
on a f de x est égal à a fois x.
08:47
Si on a été très attentif,
08:48
on voit qu'il y a une hypothèse qu'on n'a pas utilisée,
08:50
c'est le fait que f est continu de R dans R.
08:53
On va exploiter cette propriété à l'aide des limites.
08:55
Donc je vais prendre une suite de rationnels
08:56
qui convergent vers x un réel donné,
08:58
ce qui est possible d'après le point qu'on a vu avant.
09:01
Vu que pour tout n,
09:02
qn est un nombre rationnel,
09:03
j'ai que f de qn est égal à qn,
09:05
d'après ce qu'on a fait dans la question numéro c.
09:08
Eh bien là, je vais passer à la limite.
09:10
qn, ça converge vers x,
09:12
donc côté droit, ça va converger vers ax par produit.
09:16
Et donc la propriété de continuité d'une fonction,
09:18
c'est quoi ?
09:18
C'est dire que quand je prends la limite de f d'un truc
09:21
qui tend vers quelque chose,
09:22
j'aurai f de la limite du truc.
09:25
Donc ceci va tendre vers f de la limite de qn,
09:28
et la limite de qn, c'est f de x.
09:30
C'est exactement ça, la continuité.
09:32
On est bien continu sur r,
09:33
c'est-à-dire pour toute valeur x réelle.
09:35
On a bien démontré que si f vérifie donc cette propriété-là,
09:39
et en plus est continue,
09:40
nécessairement pour tout x dans r,
09:42
f de x s'écrit f de x est égal à x.
09:45
Maintenant, on va prendre toutes les fonctions comme ça,
09:47
on peut vérifier facilement qu'elles sont toutes continues,
09:49
elles sont dérivables,
09:50
et en plus en faisant x plus y,
09:52
ça se sépare, j'ai bien ax plus ay.
09:54
Donc les solutions sont bien les fonctions linéaires.
09:56
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