Correction Exercice 3Sujet Bac Maths Centres Étrangers Jour 1 2025 - Étude de fonction et de Suite - Vidéo Dailymotion

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00:00Correction de l'exercice 3 qui est tombé en centre étranger, jour 1, partie A.

00:04On commence avec la question 1, tu peux lire l'énoncé, déterminer la limite de la fonction f en moins 1.

00:10Par composition, la limite de ln de x plus 1 en moins 1 moins, c'est moins l'infini,

00:14puisqu'à l'intérieur ça tend vers 0 plus.

00:17Et par continuité, la limite de moins x carré sur 25 en moins 1, c'est égal à moins 1 sur 25.

00:23Et donc par produit et addition, on a que la limite de f, c'est moins l'infini en moins 1 plus.

00:27Check.

00:27De montrer que pour toute x appartenant à l'intervalle moins 1 plus l'infini, on a que f prime de x est égal à ceci.

00:33f est dérivable sur moins 1 plus l'infini d'après l'énoncé,

00:36donc pour toute x dans cet ensemble, on a que f prime de x est égal à 4 sur x plus 1 moins 2x sur 25.

00:42Pour rappel, la dérivée de ln de u, c'est u prime sur u,

00:44donc la dérivée de u, ici x plus 1, c'est 1, 1 sur x plus 1, et j'ai le facteur 4,

00:49et x carré 2x, donc j'ai bien moins 2x sur 25.

00:52Puis je mets tout au même dénominateur, je multiplie cette fraction en haut et en bas par 25,

00:55celle-ci en haut et en bas par x plus 1, ce qui me donne ceci, je distribue, ce qui me donne bien ceci.

01:01Check.

01:013, étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle moins 1 plus l'infini,

01:05puis on déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle de 6,5.

01:09Alors les potos, je ne sais pas ce qu'il aurait arrivé, ils ont craqué,

01:11ils nous ont sorti un polynôme de degré 2 avec des racines horribles.

01:14Quoi qu'il en soit, on trouvait 804 comme discriminant,

01:16et comme racine, en appliquant la formule, on trouvait ces deux valeurs-là,

01:20qui valaient environ ceci.

01:21Celle-ci, on pouvait voir facilement qu'elle était strictement inférieure à moins 1,

01:24parce que ce truc-là, ici, est inférieur à moins 2,

01:29moins racine de 201, c'est quand même beaucoup plus petit que moins 1,

01:34si je fais passer celui-là de l'autre côté.

01:36Et pour cette racine-là, en ayant une approximation,

01:38on pouvait voir qu'on était dans l'intervalle.

01:39Vu que le dénominateur est strictement positif sur moins 1 plus l'infini,

01:42le signe de f' va dépendre du signe du numérateur,

01:45qui est un polynôme de degré 2.

01:46Et donc entre les racines x1, qui est de ce côté, et x2,

01:50je suis du signe opposé aux coefficients dominants,

01:52donc positif, puisque le coefficient dominant, c'est moins 2, qui est négatif.

01:55Et en dehors des racines, je suis bien négatif.

01:58Ici, comme on est sur une fenêtre qui ne contient pas les deux racines,

02:01on a bien ça comme signe.

02:02J'ai mis 2 et 6,5,

02:04parce que dans l'énoncé, on voulait faire apparaître les variations de f sur 2, 6,5.

02:08Je m'annule donc en x2,

02:10j'ai plus ici, moins de ce côté-là,

02:12et donc j'en déduis les variations de f,

02:14qui font croissant puis décroissant.

02:16J'ai la limite ici de la première question,

02:18je calcule cette limite-là, ici,

02:20je factorise par x²,

02:22j'ai un ln de x plus 1 sur x²,

02:24je factorise à l'intérieur du ln par x,

02:27et j'utilise la propriété du ln pour séparer.

02:29On est en plus à l'infini, donc x est strictement positif,

02:31donc ok, c'est valide comme manipulation.

02:34Je sépare les fractions,

02:35et j'ai ceci, qui va tendre vers 0,

02:36par le théorème des croissances comparées,

02:38j'ai ceci au numérateur, ça tend vers 0,

02:40puisque x tend vers l'infini,

02:41ln de 1, par composition et continuité, ça tend vers 0,

02:44sur un truc qui tend vers l'infini,

02:46le tout tend vers 0,

02:47et ça, moins 1 sur 25, fois plus l'infini,

02:50ça nous fait du moins l'infini.

02:52Et on a bien que f est strictement croissante sur 2, 6,5,

02:55puisque x1 est strictement inférieur à 2,

02:57qui est strictement inférieur à 6,5,

02:59qui est strictement inférieur à x2.

03:00On est sur cette fenêtre-là,

03:02du tableau de variation, pour rappel, check.

03:05Question 4,

03:06on considère la fonction h qui est définie par h2x égale f2x moins x,

03:10on donne son tableau,

03:11montrer que l'équation h2x égale 0

03:12admite une x solution alpha sur l'intervalle de 6,5.

03:16On calcule h2 et h2,6,5

03:18pour avoir une idée des valeurs approximatives,

03:20on est environ à 2,23 et moins 0,13.

03:23Donc sur l'intervalle de m,

03:25on a h2x qui est supérieur à son minimum,

03:27h2,2,

03:28qui lui est strictement positif,

03:30parce que h2,2, c'est strictement supérieur à 2,

03:32qui est strictement positif.

03:33Et d'après le tableau de variation,

03:34sur l'intervalle, on a bien un minimum ici.

03:36En particulier, on ne s'annule pas sur l'intervalle de m.

03:40Maintenant, sur l'intervalle m, 6,5,

03:43on n'a que h est continue, parce qu'elle est dérivable.

03:46On a montré avant que f était dérivable d'après l'énoncé.

03:49Donc h l'est en tant que somme de deux fonctions dérivables.

03:51Elle est strictement monotone,

03:53strictement décroissante sur m, 6,5,

03:55d'après le tableau donné dans l'énoncé.

03:58Et de plus, 0 est strictement supérieur à h de 6,5,

04:02puisque c'est bien strictement négatif.

04:03Donc on est bien dans l'intervalle h de 6,5,

04:07m, qui est positif,

04:08qui vaut ceci.

04:09Donc ici, j'ai bien une valeur en appliquant le corollaire du TVI,

04:13qui est tel que j'ai 0 là.

04:15D'après le théorème de l'abéjection,

04:17notre rédaction h de x égale 0

04:18admet une unique solution sur m, 6,5,

04:21et donc sur 2, 6,5,

04:23puisqu'il n'y en a aucune sur 2m.

04:26Check.

04:27On considère le programme Python,

04:28avec les informations qui sont données que je te laisse lire,

04:30à donner les valeurs renvoyées par la commande borne 2.

04:33Arrondi au centième,

04:33ça nous renvoie 6,36 et 6,37.

04:36En fait, c'est la méthode par balayage

04:38pour se rapprocher d'une solution, d'une équation.

04:40Pourquoi ?

04:41Eh bien déjà, on définit la fonction,

04:42ensuite on définit une autre fonction,

04:43donc la fonction borne en question.

04:45On l'appelle en 2,

04:46donc on va prendre p est égal à 1 sur 10 puissance 2,

04:49donc 0,01.

04:51On part de x égale 6,

04:52et tant que f de x moins x est strictement positif,

04:56on est à peu près là pour 6,

04:58x prend la valeur x plus p.

05:00Donc je pars de 6,

05:01et je lui rajoute 0,01,

05:02donc je serai à 6,01.

05:05Je reprends l'image de ce mec-là,

05:06et je fais le test dans la condition while.

05:08Si je suis strictement positif,

05:10c'est-à-dire que je me suis un peu déplacé sur la droite,

05:13si je suis toujours strictement positif,

05:14puisque mon image a diminué,

05:16je rajoute encore p, 0,01.

05:18Donc je suis à 6,02.

05:20Et ainsi de suite, ainsi de suite,

05:21et à un moment donné,

05:22tac, tac, tac,

05:23je vais me déplacer,

05:23je vais arriver en négatif.

05:25À ce moment-là,

05:26le test ne va plus marcher,

05:27et je sors de la boucle,

05:28et cette valeur de x,

05:29ce sera la dernière qui aura été enregistrée,

05:31donc je vais afficher la valeur qui fait sortir,

05:34c'est-à-dire telle que ce truc-là est inférieur ou égal à 0,

05:37et la valeur d'avant,

05:39c'est-à-dire la dernière dans la boucle

05:41qui faisait que ceci était strictement positif.

05:43Et pour le voir,

05:44il suffit de faire un tableau de valeurs à partir de 6

05:46avec un pas 0,01,

05:48et on voit qu'ici,

05:48on passe de positif à négatif pour ça.

05:50On va interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

05:54Image positive, image négative,

05:56donc nécessairement,

05:56on n'a que lui est encadré entre ces deux valeurs.

05:59Ça nous a tout simplement donné un encadrement de alpha

06:02à 10 moins 2 près, check.

06:04On passe à la partie B, question 1,

06:06je te laisse lire d'abord le début de l'énoncé,

06:08montrer par récurrence qu'on a cette inégalité pour toute n.

06:12On commence avec l'initialisation,

06:14donc on a 2 super ou égal à 2, bien sûr,

06:16on a ceci super ou égal à 2,

06:17parce que c'est environ 4,23,

06:18qui est inférieur à 6,5.

06:20Alors étant donné que les valeurs étaient cheloues,

06:22je ne sais pas exactement ce qu'on attendait des élèves,

06:24soit de le démontrer avec l'inégalité,

06:25soit de se contenter simplement des approximations.

06:27Pour le premier, avec l'inégalité, ça se faisait assez bien,

06:30puisqu'on avait quelque chose qu'on pouvait démontrer facilement.

06:33Pour le deuxième, en fait,

06:34c'était un argument qui tournait un peu en rond,

06:36puisque d'une façon ou d'une autre,

06:38il fallait quand même se ramener à une approximation.

06:40Donc bon voilà, j'ai quand même mis là

06:42pour que vous voyez une justification, entre guillemets.

06:44Mais j'ai tendance à penser qu'ici,

06:46on pouvait se contenter des approximations.

06:48On passe à l'hérédité,

06:49donc j'ai ça par hypothèse de récurrence,

06:51et j'applique F,

06:52F est croissante sur l'intervalle de 6,5,

06:54et donc j'ai toutes les images dans le même ordre.

06:58F de 2, c'est U1,

06:59comme on a dit juste avant,

07:00c'est ceci qui est supérieur à 2,

07:02donc F de 2 est plus grand que 2,

07:04qui est plus petit que F de UN qui est UN plus 1,

07:06F de UN plus 1 qui est UN plus 2,

07:08pardon, qui est plus petit que F de 6,5,

07:10qui est environ 6,37,

07:11qui est plus petit que 6,5.

07:13J'ai donc bien montré que 2 est inférieur à UN plus 5,

07:16qui est inférieur à UN plus 2,

07:16qui est inférieur à 6,5.

07:18On a montré l'hérédité,

07:19donc d'après le principe du raisonnement par écurrence.

07:21J'ai bien que pour tout N,

07:22on a cette triple inégalité.

07:25Check.

07:25En déduire que la suite UN converge vers une limite L,

07:28UN est croissante et majorée,

07:29donc d'après le théorème de la convergence monotone,

07:32UN converge.

07:33La croissance, c'est dire que UN est inférieur à UN plus 1

07:35pour tout N entier naturel,

07:37donc dans toute cette inégalité-là,

07:40on a plusieurs informations.

07:41La croissance de la suite,

07:42mais aussi le fait qu'elle est majorée,

07:43puisque pour tout N,

07:45UUN est inférieur à 6,5.

07:47Check.

07:473, on rappelle que

07:49alpha définie dans la partie A

07:51est solution de l'âge de X

07:51égale 0 sur 2, 6,5.

07:53Justifier que L est égale à alpha.

07:55On a UN qui est une suite

07:56définie par la relation de récurrence

07:57UN plus 1 est égale F de UN.

07:59On a montré à la question précédente

08:00que UN converge vers une certaine limite

08:01que l'on va nommer L.

08:032 plus F est continu

08:04sur l'intervalle de 6,5.

08:07Donc d'après le théorème du point fixe,

08:09la limite vérifie F de L égale L,

08:11autrement dit F de L moins L est égale à 0.

08:14Or on sait que cette limite

08:15est entre les mêmes valeurs que la suite UN,

08:17entre 2 et 6,5.

08:19Puisque pour rappel,

08:20UN est entre 2 et 6,5 pour toute N.

08:24Mais d'après la question 4 de la partie 1,

08:26alpha, c'est la seule solution

08:27à l'équation H de X est égale à 0

08:29dans cet intervalle.

08:31Donc nécessairement,

08:32L est égale à alpha.

08:33Et check final !

08:35Et voilà pour cet exercice 3.

08:36N'hésite pas à mettre pause

08:37et à bien écouter les arguments

08:39pour bien comprendre.

08:40Et tu peux poser tes questions en commentaire

08:42si jamais tu en as.

08:43N'hésite pas.

08:44Bon courage pour tes révisions.

08:45Bisous !

Correction Exercice 3Sujet Bac Maths Centres Étrangers Jour 1 2025 - Étude de fonction et de Suite

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