00:00Question pour les craques en maths, est-il possible de trouver une fonction qui n'est ni croissante ni décroissante ?
00:04Je fais référence à l'énigme que j'avais posé dans cette vidéo.
00:07Bien sûr, la réponse à cette question est assez triviale, mais j'avais affiné le problème avec certaines contraintes telles qu'affichées à l'écran.
00:12Et je vais répondre à la première d'entre elles.
00:14Oui, une telle fonction existe et elle est donnée par celle qui est affichée à l'écran.
00:18On appelle cette fonction l'indicatrice des rationnels ou la fonction de Dirichlet.
00:21Elle vaut 1 si x est un nombre rationnel et 0 si x est un nombre irrationnel.
00:25Déjà, en l'observant bien dans les yeux, on voit intuitivement qu'elle ne peut pas être continue et ça fait un très bon exercice de sup' de le démontrer.
00:31Mais pour répondre à notre énigme, on va démontrer que cette fonction n'est ni croissante ni décroissante sur n'importe quel sous-intervalle de R.
00:38Petit rappel en rapport avec la définition de croissance et de décroissance.
00:41Pour montrer qu'une fonction n'est ni croissante ni décroissante, il suffit de trouver, entre guillemets géométriquement sur son graphe, un pic comme celui qui est affiché sur l'écran.
00:49Puisqu'un pic, de cette façon-là, qu'il soit orienté vers le haut ou vers le bas, met à défaut le fait qu'on soit ordonné toujours dans le même ordre pour les images, selon l'ordre des antécédents.
00:58Et c'est exactement ce qu'on va faire ici.
00:59Soit donc un intervalle AB ouvert avec A strictement inférieur à B.
01:03Alors d'après la densité des nombres rationnels dans les réels et donc dans cet intervalle, je peux trouver un nombre rationnel dans l'intervalle ouvert.
01:09Je vais le nommer Q1 et donc en utilisant à nouveau la densité, je peux trouver un nombre rationnel qui est dans l'ouvert formé par Q1 et B.
01:16Je vais nommer cet autre nombre rationnel Q2.
01:18Eh bien en utilisant la propriété de densité des nombres irrationnels dans l'ouvert Q1, Q2, il y a un irrationnel entre Q1 et Q2.
01:26Je vais le nommer Y et vous remarquez qu'on a réussi à fabriquer notre pic.
01:30L'image de Q1 c'est 1, l'image de Y c'est 0 et l'image de Q2 c'est 1.
01:34Notre fonction ne peut être ni croissante ni décroissante sur l'intervalle.
01:38Pourquoi ? Elle n'est pas croissante car Q1 est strictement plus petit que Y et son image est strictement plus grande que l'image de Y.
01:45Elle n'est pas non plus décroissante car Y est strictement plus petit que Q2 et l'image de Y est strictement plus petite que l'image de Q2.
01:53Ainsi grâce à la propriété de densité des rationnels et des irrationnels, j'ai réussi à montrer que quel que soit l'intervalle ouvert, ma fonction n'est ni croissante ni décroissante sur cet intervalle ouvert de R.
02:04J'ai donc bien répondu au premier problème, check !
02:07A toi de jouer pour les autres questions, est-ce que c'est possible avec la contrainte de continuité, dérivabilité et de dérivabilité à dérivé continu ?
02:14N'hésite pas à lâcher tes idées en commentaire, bisous !
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