Correction Exercice 1 Sujet Bac Amérique du Nord Jour 1 Partie B - Bienaymé Tchebychev 🐮 - Vidéo Dailymotion

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00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont dû utiliser bien-aimé Chebyshev aujourd'hui.

00:03Oui, on attaque la correction de la partie B de l'exercice 1 du sujet 2025 tombé en Amérique du Nord, jour 1.

00:09Pour la partie A, check dans la description ou sur mon profil.

00:12Et donc, je commence avec la question 1.

00:14Je te laisse bien lire l'énoncé et petit a, on admet que x suit une loi binomiale pour préciser ses paramètres.

00:19Alors là, c'est tranquille, vu qu'on fait 50 répétitions, elle est de paramètre 50, 0, 145, ça c'est la probabilité de succès.

00:25Ici, il n'y avait pas besoin de justifier, mais si jamais on vous demande de justifier,

00:28et pour rappel, voici un modèle que j'avais mis, donc vous l'adaptez simplement ici avec les données de l'énoncé.

00:33Question 1b, donnez la probabilité qu'au plus 8 connexions soient instables, on arrondit au millième.

00:38Au plus 8 instables, ça veut dire qu'on est inférieur ou égal à 8,

00:41et donc en le faisant à la calculatrice, j'obtiens environ ceci, arrondi au millième.

00:45Check.

00:46Question 2, je te laisse mettre pause pour lire l'énoncé, et moi je fais le petit a,

00:49donnez l'expression en fonction de n de la probabilité Pn qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

00:55Et bien du coup, Pn va être égal à la probabilité que x soit supérieur ou égal à 1,

00:58puisqu'on en veut au moins une instable,

01:01et on rappelle que c'est le succès de l'expérience de Bernoulli associée, être instable.

01:05Et ça, en passant au complémentaire, c'est 1 moins la probabilité que x soit égal à 0,

01:10puisque le contraire d'être supérieur ou égal à 1, c'est simplement être égal à 0 pour une variable binomiale.

01:15Et ça vaut tout simplement ceci.

01:17Check.

01:17Déterminer en justifiant la plus petite valeur de l'entier naturel n,

01:20telle que la probabilité Pn est supérieure ou égal à 0,99.

01:23Je vais donc résoudre l'inéquation Pn supérieur ou égal à 0,99,

01:27et donc j'écris l'expression 2pn,

01:28je fais passer le 0,99 côté gauche et le moins 0,855 puissance n côté droit.

01:34Donc lui prend un moins et lui perd son moins.

01:36Ici, ça fait 0,01,

01:39et ensuite j'applique le logarithme pour faire descendre la puissance n ici.

01:42Donc j'ai le logarithme néperien de 0,01 supérieur ou égal à ceci par propriété du logarithme,

01:48et je divise par le logarithme néperien de 0,855.

01:51Et attention, je ne me fais pas avoir ceci, c'est un nombre négatif,

01:56car 0,855 est strictement inférieur à 1.

01:59Donc l'inégalité dans l'autre sens, c'est que j'ai que n est supérieur ou égal à ce truc,

02:02qui vaut environ à 29,39,

02:04et donc la plus petite valeur de n supérieure à ceci, c'est n égale 30.

02:09Check.

02:09Question 3, je te laisse lire,

02:11et petit a, on nous demande l'espérance de E de Fn.

02:13Vu que Fn c'est tout simplement Xn sur n,

02:16on a que cette espérance c'est 1 sur n,

02:18espérance de Xn par linéarité de l'espérance.

02:21Or l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale c'est n fois p,

02:25donc divisé par n, ça fait bien 0,145.

02:28Check.

02:28On admet que la variance vaut ceci,

02:30et on nous demande de vérifier en petit b que cette probabilité est inférieure ou égale à 12,5 sur n.

02:35Bien le voici, tonton bien aimé !

02:37On va appliquer l'inégalité de bien aimé Chebyshev à la variable aléatoire Fn.

02:42Et comme par magie, ici on a l'espérance de Fn.

02:44Et donc la proba que la valeur absolue de Fn moins son espérance soit supérieure à 0,1,

02:49qui est bien strictement positive,

02:51c'est la variance de Fn divisé par 0,1 carré,

02:54ce qui me fait ceci, d'après l'énoncé sur n,

02:56divisé par 0,1 carré,

02:58qui fait ceci,

03:00et ceci c'est majoré par 12,5,

03:02et donc tout ça par 12,5 sur n.

03:05Check.

03:06Maintenant pour répondre à la question du commentaire à laquelle j'ai déjà répondu en vidéo,

03:09regarde dans la description sur mon profil.

03:11On peut aussi utiliser l'inégalité de concentration,

03:13mais il faut bien faire attention sur qui on l'utilise.

03:16On ne peut pas l'utiliser directement sur Fn.

03:18Comme le montre cet énoncé de cours que j'ai pris sur lycée adulte,

03:20il me faut un échantillon de variables aléatoires,

03:22et donc Mn c'est la moyenne empirique de cet échantillon.

03:26Donc vu que Fn c'est Xn sur n,

03:27et que Xn c'est une loi binomiale,

03:29Xn est une somme de variables aléatoires suivant une loi Bernoulli,

03:33donc indépendante et de même paramètre.

03:34Et donc Fn est tout simplement la moyenne empirique d'un échantillon de variables

03:39suivant une loi de Bernoulli,

03:41de paramètre d'ailleurs 0,145.

03:43Et donc ici on a bien Mn,

03:45ici on a bien l'espérance de chacun des Bernoulli,

03:49qui est donc 0,145 la proba associée.

03:52On met le 0,1 ici, 0,1 carré,

03:54on a le n,

03:55et on a la variance de Bernoulli.

03:56Ici on calcule,

03:57nous donne bien ce qui est indiqué dans l'énoncé.

03:59Donc oui, ça marchait aussi,

04:00même si c'était plus relou,

04:01parce que du coup il fallait définir les variables aléatoires

04:03qui formaient ton échantillon.

04:05Bref, question C,

04:06on a un responsable qui étudie un échantillon de 1000 connexions

04:09et qui constate que pour cet échantillon,

04:11F1000 est égal à 0,3,

04:12il soupçonne un dysfonctionnement,

04:14a-t-il raison ?

04:15Après ce qu'on a vu avant,

04:16la probabilité que F1000 moins 0,145 en valeur absolue

04:20soit plus grande que 0,1,

04:21cette proba là est plus petite que ceci,

04:23qui vaut 0,0125.

04:26Donc tomber sur un échantillon

04:27qui est écarté de cette valeur là,

04:29de plus de 0,1,

04:32c'est très improbable.

04:33Et là, si on fait la différence,

04:35on a 0,3,

04:36donc la valeur pour l'échantillon en question,

04:39moins 0,145 qui vaut 0,155,

04:42qui est supérieur à 0,1.

04:44Ça signifie que cet échantillon là,

04:46c'est un échantillon

04:47qui est très improbable d'avoir trouvé

04:50d'après l'inégalité de BT

04:51qu'on a utilisé tout à l'heure.

04:53Donc soit le gars n'a vraiment pas eu de chance,

04:55soit effectivement il y a quelque chose de suspect,

04:57on peut dire qu'il a raison.

04:58Check pour ça !

04:59Je te laisse regarder toutes les réponses

05:01et poser tes questions en commentaire.

05:02N'hésite pas si jamais tu en as.

05:03Bisous !

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