- il y a 6 mois
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00:00Aujourd'hui, on essaie de calculer la valeur de cette somme pour le plus de nombres complexes possibles,
00:04c'est-à-dire plus précisément pour tout Z dans C privé de IZ,
00:07puisqu'on voit assez rapidement qu'on a des problèmes de définition quand Z sont I fois un entier relatif.
00:13Alors je sais, on peut faire ce calcul à l'aide du théorème des résidus,
00:15mais on va faire une méthode, pour le début du mois, un petit peu plus élémentaire,
00:19en démontrant ce résultat déjà pour des valeurs réelles,
00:21et après on va étendre à C privé de IZ à l'aide du théorème du prolongement analytique.
00:26Donc oui, la conclusion n'est pas si élémentaire, mais le début l'est.
00:28On ne se prend donc pas la tête, on commence avec Z dans R plus étoile.
00:32Et on va déjà se poser la question de savoir si ceci a un sens.
00:34Alors là, tel quel, je l'ai noté comme étant déjà la somme de la série,
00:38il faudrait le noter avec le symbole sigma et en dessous n appartenant à Z
00:42quand on parle de la série, avant de savoir si elle converge ou pas.
00:45Et on voit que la convergence de la série se résume en fait à la convergence de cette série-là.
00:50Et cette série est absolument convergente. Pourquoi ?
00:52Parce que si on prend sa valeur absolue, on obtient 1 sur n² plus z²,
00:57et ça quand n tend vers plus infini, c'est équivalent à 1 sur n².
01:00Le z est un réel strictement positif fixé.
01:04Et ça, c'est le terme général d'une série de Riemann convergente.
01:07On a la puissance α qui est strictement plus grande que 1.
01:10On a donc que cette série est absolument convergente, et donc elle est convergente.
01:14Donc la somme de cette série, c'est la somme de la série de moins l'infini à une certaine valeur,
01:19plus la somme de la série de la valeur à plus l'infini.
01:22En réécrivant tout bien avec les sommes partielles, on obtient que l'on a convergence de cette série-là.
01:27On va poser f de z est égal à cette somme-là, donc, que l'on veut trouver.
01:32Et ça, plus précisément, ça se réécrit comme ça.
01:34Parce que je prends n égale 0, donc quand n égale 0, j'ai moins 1 puissance 0,
01:39donc 1 sur z², ce qui est ce terme-là.
01:42Je peux tout réorganiser puisqu'on a absolue convergence.
01:44Et quand n est négatif, c'est pareil que quand n est positif,
01:47donc de moins 1 à moins l'infini, c'est les mêmes valeurs que de 1 à plus l'infini,
01:51donc j'ai deux fois la somme de la série de 1 à plus l'infini.
01:55Parce qu'évidemment, n et moins n ont même parité,
01:58donc le moins 1 puissance n, c'est la même chose.
02:01Et on a évidemment la même chose pour le n².
02:03Et je vais de plus poser que g de z est égal à cette expression-là,
02:06donc sans le moins 1 puissance n, pour tout z dans r plus étoile.
02:10On va essayer de trouver une relation entre f et g,
02:13et faciliter le calcul de f en passant par g.
02:15Donc f de z, c'est ce terme-là, plus 2 fois la somme que j'avais ici,
02:20que je vais séparer en paire et impaire.
02:22Absolument aucun problème, j'ai absolue convergence.
02:24Donc ici, je vais mettre les paires.
02:26J'ai des deux k pour k commençant à 1,
02:28puisqu'on commence à n égale 1, donc les paires commencent à 2.
02:31Et donc quand je remplace k par 1, j'ai bien 2.
02:34Et pour les impaires, je commence à 1,
02:35donc je vais écrire 2k moins 1 pour k par temps de 1.
02:38Quand k voit 1, ça fait 2 moins 1, 1.
02:39Donc j'ai bien 1 ici, et la première valeur, c'est n égale 1.
02:42Et donc moins 1 puissance en impaire, ça me fait bien un moins ici.
02:46Pareil, ces deux bêtises sont absolument convergentes ou convergentes,
02:49donc je peux séparer la somme.
02:50Je distribue le 2, et ici je vais factoriser par 2,
02:53qui avec un carré sort en 4.
02:55Et donc je simplifie devant pour faire un 1,5.
02:57Et donc j'ai le z qui est divisé par 2.
02:59Pourquoi ? Parce que ici, pour rappel, au dénominateur,
03:02j'ai factorisé par 4.
03:03Donc là, ça enlève le 2 ici.
03:05Et là, ça me fait un z carré sur 4.
03:07Je le fais rentrer dans le carré, ce qui fait bien z sur 2, le tout au carré.
03:10Et j'ai la deuxième somme à laquelle j'ai distribué 2, et je n'ai rien changé.
03:14Ici, je reconnais l'expression de ma fonction g appliquée en z sur 2.
03:18Puisque là, j'ai z sur 2 à l'intérieur de la variable, j'avais juste un z là.
03:22Et donc je vais essayer de transformer l'expression des impaires.
03:25J'ai donc f de z qui est égal à 1 sur z2, plus 1,5 de g de z sur 2,
03:30moins 2, la somme des impaires, c'est-à-dire la somme totale,
03:33moins la somme des paires.
03:35Je distribue le 2 à la somme totale,
03:37mais la somme totale, encore une fois, c'est notre fonction g.
03:39Et la somme des paires, c'est tout simplement g appliquée en z sur 2,
03:44fois 1 quart.
03:45Et donc je me retrouve après distribution du 2 avec moins 2g de z,
03:48plus 1,5 de g de z sur 2.
03:51Ce qui me donne la relation que f de z est égal à 1 sur z2,
03:54plus g de z sur 2, moins 2g de z.
03:57Check !
03:58Je te laisse revérifier le calcul rapidement.
04:00Maintenant, on va essayer de déterminer g sur r plus étoile.
04:02Et on va introduire pour tout z dans r plus étoile, cette fonction-là.
04:05Alors, comme tu te doutes, le choix ne sort pas de nulle part.
04:08En fait, cette fonction-là, elle a un lien avec la fonction g
04:11qui va devenir évident par la suite.
04:13On va déjà montrer que cette fonction, elle a un sens sur r plus étoile.
04:16Autrement dit, que la série,
04:17donc là, je ne l'écris pas en tant que somme,
04:18mais comme je pose la fonction, j'écris en tant que somme.
04:20Mais sinon, donc la série de termes générales, ceci,
04:23converge pour tout z dans r plus étoile.
04:26Oui, h est bien défini,
04:27car ceci, c'est égal à z² sur n² plus petit o de 1 sur n².
04:31Quand n tend vers l'infini, ceci tend vers 0,
04:33et donc je fais un développement limité à l'ordre 1.
04:36Et ceci, c'est le terme général d'une série de Riemann convergente.
04:40Et ça, c'est plus petit que le terme général d'une série de Riemann convergente.
04:43Donc pour z dans r plus étoile,
04:45on n'a que ln de tout ceci,
04:48c'est le terme général d'une série convergente.
04:50Et même absolument convergente.
04:52Mini-check.
04:53Montrons maintenant que h est dérivable sur r plus étoile.
04:56Soit a et b dans r plus étoile,
04:57a strictement inférieur à b,
04:58on va utiliser le théorème de dérivabilité d'un symbole sigma,
05:03mais en version locale,
05:05parce que directement sur r plus étoile,
05:06ce n'est pas possible.
05:07Le premier point de l'énoncé est validé d'après ce qu'on a fait avant.
05:10La série converge pour tout z dans r plus étoile.
05:15Le deuxième point, c'est de montrer que ceci converge uniformément
05:19sur l'intervalle a b.
05:20Et bien en fait, on a mieux que la convergence uniforme.
05:22On a convergence normale sur a b,
05:24puisque si on prend ça et qu'on le met entre valeurs absolues,
05:27et bien z est dans l'intervalle a b,
05:29je majore 2 modules de z par 2 a b.
05:32Et en bas, je peux minorer par a carré à la place du z carré.
05:36n carré plus a carré est toujours plus petit que n carré plus z carré
05:39quand z est là-dedans.
05:41Et donc je majore en minorant le dénominateur par ceci.
05:45Et ceci, c'est équivalent à 2b sur n carré
05:47quand n tend vers l'infini.
05:48Et encore une fois, c'est le terme général d'une série de Riemann convergente.
05:52Et vous notez que ceci ne dépend pas de z.
05:54Donc on a bien montré qu'on a convergence normale sur l'intervalle.
05:56Donc convergence uniforme.
05:58Et donc on peut en conclure.
05:59Juste après avoir précisé que la dérivée de ceci, c'est ceci.
06:02J'ai ceci prime sur ceci.
06:05Et ceci prime, c'est 2z sur n carré.
06:07J'ai z carré sur n carré.
06:09Et qui me donne bien 2z sur n carré plus z carré.
06:12Je peux donc en conclure d'après le théorème de dérivabilité des séries de fonctions
06:15que cette fonction-là est dérivable sur a b pour tout a b
06:20dont R plus étoile a strictement inférieur à b.
06:22Et donc sur R plus étoile.
06:23Et donc la dérivée de la somme de la série de ceci,
06:27c'est la somme de la série de ceci.
06:29Par produit, j'en conclue que H est dérivable sur R plus étoile.
06:32H, c'est 1 sur 2z fois la somme de la série en question.
06:35Et donc la dérivée de la somme de la série,
06:37qui est égale à 2z fois H de z,
06:39elle est donnée par cette relation.
06:41Pour tout z dans R plus étoile.
06:43Check !
06:44Et ici, on note que si on simplifie par 2 et qu'on fait sortir le z,
06:47on n'a que zh prime.
06:49C'est tout simplement z fois notre fonction g.
06:52Autrement dit, j'ai ceci pour tout z dans R plus étoile.
06:55Étape suivante, maintenant, on va essayer de déterminer H pour pouvoir déterminer g.
06:59Pour tout z dans R plus étoile, on a 2z H de z qui est égal à la somme de cette série.
07:03Donc ça va se résumer en fait à calculer la somme de cette série.
07:06qui est égale au logarithme du produit infini de la même expression.
07:10Alors pour faire ça, on passe aux sommes partielles.
07:12Et comme on a des sommes partielles, c'est une somme finie.
07:14La somme du logarithme, c'est le logarithme du produit du truc.
07:18Et on vérifie bien que le produit est convergent.
07:21On passe à la limite des deux côtés de l'égalité.
07:23Et j'ai bien que ceci, c'est égal à ceci.
07:26Le produit est convergent, puisque quand on est de la forme 1 plus un truc,
07:29le produit sera absolument convergent si et seulement si le truc qui s'ajoute au 1
07:32est le terme général d'une série absolument convergente.
07:35C'est toujours le cas, d'après le critère de Riemann.
07:38Et là, je vais utiliser une formule que je reconnais,
07:40qui n'est pas triviale et que je ne vais pas démontrer dans cette vidéo.
07:42Mais lâchez un max de com' si vous voulez que je le démontre dans une vidéo dédiée.
07:46C'est que le sinus est donné par une relation de ce type-là.
07:49Plus précisément, pour tout y dans c étoile,
07:53le sinus de piy sur piy, c'est égal à le produit infini de 1 à plus infini,
07:57de 1 moins y carré sur n carré.
08:00Où la fonction sinus sur c, elle est définie comme étant
08:03l'exponentielle est x, moins l'exponentielle moins x sur 2i.
08:06Où l'exponentielle complexe est définie par sa somme sous forme de série.
08:10Et donc nous ici, on veut un plus.
08:11On va donc poser y est égal à iz,
08:14puisque la formule est valable pour tout y dans ces étoiles.
08:17Et avec z dans R plus étoile, on est bon.
08:19Et donc du coup, on n'a que sinus i pi z,
08:22donc y c'est iz, pi iz, ipiz, sur ipiz, est égal à ce produit.
08:28Donc dans le y, j'ai un iz, le i carré devient un moins,
08:30ça me fait bien plus z carré sur n carré.
08:33Sauf que sinus i pi z sur ipiz,
08:36c'est exponentielle i, ipiz, moins exponentielle,
08:38moins i, ipiz, sur 2i fois ipiz.
08:42Les i se multiplient, j'ai un moins en bas,
08:44et ici ça se multiplie, j'ai un moins pi z,
08:46ici j'ai un plus pi z,
08:48donc j'ai exponentielle moins pi z,
08:50moins exponentielle plus pi z sur moins,
08:53ce qui se réorganise de cette façon,
08:55sur 2pi z,
08:56et ça je reconnais simplement le sinus hyperbolique.
08:59Appliqué en pi z pour tout z dans R plus étoile.
09:02Et donc étant donné que ceci est égal à ce produit,
09:05et qu'on vient de montrer que ceci est tout simplement ceci,
09:08et que ce produit est dans le logarithme égal à 2z h2z,
09:12je viens en fait bien de prouver que 2z h2z
09:14est égal au logarithme népérien de tout ceci,
09:17qui est bien strictement positif sur R plus étoile,
09:19pour tout z dans R plus étoile.
09:21Check !
09:22Petit aparté, pourquoi c'est strictement positif,
09:24dénominateur strictement positif,
09:25numérateur sinus hyperbolique,
09:27en des trucs strictement positifs,
09:28c'est toujours strictement positif,
09:30puisque ça vaut 0 en 0,
09:31sa dérivée c'est le cosinus hyperbolique à un facteur près,
09:34et le cosinus hyperbolique c'est une somme de trucs strictement positifs,
09:37donc c'est strictement positif,
09:38donc ceci c'est strictement croissant,
09:39vu qu'on a un minimum en 0 qui vaut 0,
09:42on est nécessairement strictement positif quand z est différent de 0.
09:45Mais on se rappelle qu'on avait la relation zh,
09:48le tout prime est égal à z fois g,
09:50donc g de z est égal à ce truc prime sur z,
09:53donc ça fait 1 sur 2z fois le logarithme de tout ça prime,
09:57et c'est parti,
09:58on va dériver logarithme népérien de tout ça,
10:01j'ai donc la dérivée de la fonction qui est à l'intérieur,
10:03qui me donne ceci,
10:04u prime v moins v prime u,
10:08ce qui me donne bien cette expression sur v carré,
10:10divisé par l'expression en question,
10:12puisque j'ai la dérivée d'un logarithme.
10:14La dérivée de sinus hyperbolique de pi z,
10:16c'est bien pi cosinus hyperbolique de pi z,
10:18fois le dénominateur pi z,
10:20moins la dérivée de pi z qui fait pi,
10:22fois le sinus hyperbolique de pi z.
10:24Je renverse la fraction pour arranger,
10:25donc j'ai toute cette expression là sur le sinus,
10:29et sur un pi z en bas.
10:31Pareil, je vois que j'ai un pi ici,
10:33un pi ici et un pi ici qui se simplifient,
10:35donc il me reste un pi fois z fois cosinus hyperbolique de machin,
10:39sur sinus hyperbolique,
10:40et j'ai sinus hyperbolique sur sinus hyperbolique,
10:42avec le pi et le 1 sur z,
10:43je sépare les fractions et je simplifie,
10:46ce qui me donne le facteur 1 sur 2 z,
10:47que j'avais depuis tout à l'heure,
10:48fois parenthèse pi cotangente hyperbolique de pi z,
10:52moins 1 sur z.
10:53Pour rappel, les pi se sont simplifiés,
10:54il me reste un z en bas,
10:55j'ai sinus h sur sinus h,
10:57là j'ai cos h sur sin h,
10:58c'est ça la cotangente hyperbolique.
11:01Les z se sont simplifiés,
11:02il me reste un pi en haut.
11:03Et donc en mettant tout sur une seule fraction,
11:05après avoir mis au même dénominateur,
11:06j'ai fait finalement g de z est égal à cette expression,
11:09pour tout z dans R plus étoile.
11:11Check de bg là quand même.
11:12On respire un beaucoup,
11:13ça va bien se passer,
11:14on avait la relation que f de z est égal à ceci,
11:17où on se rappelle que f,
11:18c'est justement la quantité que l'on veut chercher.
11:21Et donc je réutilise cette égalité,
11:22et je remplace les g par leurs expressions,
11:25donc là on a des z sur 2 machin,
11:27et là on a des z.
11:28Je fais passer le divisé par 2 au numérateur,
11:30ce qui multiplie le numérateur par 2,
11:32et dégage le sur 2 qui était ici,
11:34donc j'ai un z fois pi,
11:35et j'avais un moins 1,
11:36donc j'ai un moins 2.
11:37Et j'ai bien que des z carrés en dénominateur,
11:40donc je mets tout sur une seule et même fraction.
11:42J'ai un 1 moins 2 moins 1,
11:44moins moins 1 plus 1,
11:46donc j'ai 1 plus 1 moins 2,
11:47tout ça, ça se simplifie.
11:48Et je me retrouve avec z pi facteur de coton h de ceci,
11:53moins coton h de ceci.
11:56Les z se simplifient,
11:57je me retrouve avec un z au lieu d'un z2 en bas.
11:59Et donc je vais remplacer dans cette expression les cotons h,
12:02ce qui me donne pi sur z,
12:03donc j'ai fait sortir le z facteur de coton h de pi z sur 2
12:06qui me donne ceci,
12:07moins coton h de pi z qui me donne ceci.
12:10On voit que ça se ressemble,
12:12donc pour faire apparaître ce dénominateur-là,
12:14je vais tout simplement multiplier par entre guillemets
12:16le conjugué du dénominateur.
12:18Et ça va me faire l'expression
12:19sa carré moins sa carré qui fait bien ceci,
12:22qui correspond en fait à l'expression du numérateur.
12:24Donc je me retrouve bien avec le numérateur au carré
12:26moins ce que j'avais avant ici,
12:29j'ai distribué le moins sur le même dénominateur
12:32avec l'identité remarquable truc moins truc,
12:34facteur de truc plus truc,
12:36c'est truc carré moins truc carré,
12:38autrement dit ceci.
12:39J'applique l'identité remarquable avec les carrés,
12:41donc j'ai ça au carré ce qui me fait pi z,
12:42pi z ça se simplifie,
12:43ça au carré ce qui me fait moins pi z
12:45avec exponentiel moins pi z ça se simplifie,
12:47et donc j'ai tout simplement le double produit qui me reste,
12:50le double produit fait 1,
12:52puisque j'ai ça fois ça,
12:54et donc j'ai ça moins ça dans les exposants,
12:57et j'ai le facteur 2,
12:58ce qui me donne tout simplement
12:59pi sur z 2 sur exponentiel pi z
13:02moins exponentiel moins pi z,
13:04et ça je reconnais bien le sinus hyperbolique,
13:07et donc je viens bien de démontrer
13:08que f de z est égal pi sur z fois sinus hyperbolique de pi z,
13:12pour tout z dans R plus étoile,
13:14check pour ça !
13:15Ok ok, on est content,
13:16on a la somme de la série sur R plus étoile,
13:19mais comme on le disait au début,
13:20nous on le voulait pour le plus de nombres complexes possibles.
13:23Question sur C privé de i z,
13:25comment on va faire ?
13:26Eh bien on va utiliser le théorème du prolongement analytique,
13:29et donc on va se concentrer sur prouver l'holomorphie des deux membres.
13:32Cette fonction-là,
13:34elle est bien holomorphes sur C privé de i z,
13:36sur C privé de i z on n'a absolument aucun problème,
13:39le dénominateur ne s'annule pas,
13:41et on a produit addition et quotient de fonctions holomorphes.
13:46Par contre on voit qu'on a des pôles en i z,
13:48le dénominateur vaut 0,
13:49c'est seulement si z est égal à 0,
13:51ou ceci est égal à ceci,
13:53puisque ça c'est le sinus pi z,
13:55on a une différence exponentielle,
13:56et donc les exponentielles seront égales,
13:58mais dans les complexes,
13:59dire que des exponentielles sont égales,
14:01c'est dire que l'une est égale à l'autre,
14:02plus 2k i pi k dans z,
14:06à cause de la 2i pi périodicité de l'exponentielle sur les complexes,
14:10et du fait que les seules valeurs qui font que l'exponentielle est égale à 1,
14:13ce sont justement ces valeurs-là,
14:14d'après la formule de l'air et les propriétés du cercle trigonométrique.
14:17Donc on a bien des si et seulement si,
14:19et donc je fais passer ça de l'autre côté,
14:20et donc j'ai 2pi z est égal à 2i k pi pour k dans z,
14:25et donc je simplifie par 2pi,
14:27j'ai donc z est égal à i k k dans z.
14:29Le numérateur ne s'annule évidemment pas,
14:31et donc j'ai bien que le dénominateur s'annule,
14:33si et seulement si z est égal à k pour k dans z.
14:36Donc on ne peut pas faire mieux que l'holomorphie sur c privé de iz.
14:39Maintenant on va montrer que la somme de cette série est holomorphe
14:41sur le même ensemble c privé de iz.
14:44Cette fonction-là, elle est bien holomorphe sur c privé de iz,
14:47quel que soit n dans z.
14:48Le dénominateur ne s'annule pas,
14:50constante ici selon z.
14:52Fraction rationnelle sans annulation,
14:54on est bien holomorphe sur l'ensemble.
14:55Et donc peut-être que vous êtes en train de vous douter de ce qui se passe,
14:58on va utiliser le théorème de dérivabilité complexe d'une somme,
15:02plus exactement d'une série,
15:03et on a besoin de la convergence uniforme sur tout compact de l'ouvert en question.
15:08Oui, c privé de iz est un ouvert,
15:09puisque iz est un fermé.
15:11Je prends donc un compact quelconque de c privé de iz,
15:14et je vais majorer ceci en module,
15:16donc c'est 1 sur le module de n² plus z².
15:19C'est la composée de deux fonctions continues,
15:211 sur n² plus z² qui est holomorphe,
15:24donc continue,
15:25avec le module qui est continu.
15:27Et en tant que fonction continue sur un compact,
15:29elle est bornée et atteint ses bornes.
15:32Et donc ceci est majoré par ce sup pour z
15:34dans le compact de l'expression en question,
15:37et donc il y a bien une valeur de k complexe
15:39qui réalise ce sup,
15:41d'après l'énoncé qu'on vient de citer.
15:43Et on a que ceci est équivalent à 1 sur n²,
15:45critère de Riemann convergent.
15:47Donc sur le compact k, je suis majoré par un truc
15:50dont le terme général est celui d'une série absolument convergente.
15:54Et donc je viens de démontrer que cette série pour n dans z
15:57converge normalement sur k,
15:59et donc converge uniformément sur k.
16:01J'ai holomorphie de chaque terme sur l'ouvert,
16:03j'ai convergence uniforme sur chaque compact de l'ouvert.
16:06D'après le théorème d'holomorphie d'une série,
16:08j'ai que la fonction qui a z associé,
16:11donc la somme de la série de ceci,
16:12est holomorphe sur c privé de iz.
16:15Or, R plus étoile contient des points d'accumulation.
16:19Trivial, je te laisse le faire en commentaire.
16:21Et on a égalité entre deux expressions holomorphes
16:24sur un ensemble qui contient des points d'accumulation.
16:26Donc d'après le théorème du prolongement analytique,
16:29on a en fait égalité sur tout l'ouvert c privé de iz.
16:33Et j'ai donc que la somme de cette série
16:35est égale à pi sur z sinus hyperbolique de pi z
16:38pour tout z dans c privé de iz.
16:40Super check !
16:42Donc voilà un calcul de somme pas évident évident.
16:45Si vous voulez que je fasse la méthode,
16:46à mon avis, un petit peu plus rapide avec les résidus,
16:48n'hésitez pas à le dire en commentaire.
16:50Et de même, si un point n'est pas clair,
16:52n'hésite pas à bombarder les commentaires
16:53pour poser ta question.
16:54Bisous !
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