- il y a 8 mois
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00:00On corrige cet exercice de suite et de développement asymptotique que j'ai croisé sur un live de Nesrine.
00:04Si jamais vous voulez croiser ses lives sur TikTok, elle est en description.
00:07Merci à elle pour l'exercice instructif et à tous ceux qui ont participé au live.
00:11Et on attaque en gardant à l'esprit que l'objectif est de trouver un développement asymptotique de cette suite UN.
00:17Vas-y, tu peux lire l'énoncé, et moi j'attaque avec la question 1 en utilisant sa monotonie,
00:21étudie la convergence de la suite UN.
00:23Bon, tout d'abord, on note que UN est strictement positif pour toute aide antinaturelle,
00:27et tu peux le faire par récurrence, c'est très rapide, je te laisse le faire en commentaire.
00:31Soit N un antinaturel quelconque, on a que UN plus 1 moins UN est égal à UN carré,
00:35qui donc est strictement positif d'après le résultat qu'on a démontré entre guillemets juste avant.
00:39Pour rappel, c'est ça la relation de récurrence qui définit la suite UN.
00:42Et ça, ça signifie que UN est une suite strictement croissante.
00:46D'après le cours, quand une suite est strictement croissante, on n'a que deux possibilités,
00:50soit elle converge, soit elle diverge vers plus l'infini.
00:52On va supposer qu'elle converge vers une limite.
00:54Et on appelle elle cette limite.
00:56Alors la fonction qui a x associé x plus x carré est évidemment continue,
01:01et donc on peut appliquer le théorème du point fixe.
01:03Et le théorème du point fixe nous donne qu'on a cette relation pour la limite,
01:06l est égal à l plus l carré, autrement dit, l carré est égal à 0 après simplification des l,
01:12et donc l est égal à 0.
01:14Mais c'est impossible puisque UN est strictement positive et strictement croissante.
01:19On l'a démontré ici et ici.
01:21Donc on ne pourra jamais bien sûr être aussi proche de 0 qu'on veut,
01:24ça peut se démontrer avec des psilons, je te laisse le faire aussi en commentaire.
01:27Donc nécessairement, UN tend vers plus l'infini quand N tend vers plus l'infini.
01:31Check !
01:32Question 2, on pose pour tout entier naturel N,
01:35VN est égal à 1 sur 2 puissance N, LN de UN.
01:37Petit a prouvé que l'on a pour tout NP dans N carré,
01:400 strictement inférieur à VN plus P plus 1,
01:43moins VN plus P, inférieur ou égal à 1 sur 2 puissance N plus P plus 1,
01:47facteur de LN de 1 plus 1 sur UN.
01:50Soit donc NP dans N carré.
01:52On va déjà démontrer ça.
01:53On a cette première inégalité.
01:55Pourquoi ?
01:56Parce que UN plus P est strictement positif d'après ce qu'on a montré avant.
02:00Et donc je rajoute des deux côtés UN plus P carré,
02:03donc j'ai UN plus P carré plus UN plus P strictement supérieur à UN plus P carré.
02:08Je passe au logarithme et je divise par 2 puissance N plus P plus 1.
02:13Ici, le logarithme me fait sortir un facteur 2 devant le logarithme qui se simplifie,
02:17ce qui fait que j'ai tout simplement 1 sur 2 puissance N plus P LN de UN plus P qui fait VN plus P.
02:23Et de ce côté-là, cette expression-là, c'est UN plus P plus 1 et donc ça, ça devient VN plus P plus 1.
02:29Donc j'ai bien que VN plus P plus 1 est plus grand que VN plus P,
02:33ce qui correspondait à cette inégalité-là.
02:35Check !
02:36Maintenant, pour cette inégalité, je vais tout simplement écrire ça et essayer de le transformer le plus possible.
02:40On a donc ceci qui est égal à ceci.
02:43Je multiplie en haut et en bas par 2 pour avoir un N plus P plus 1 en bas
02:47et pouvoir factoriser par 1 sur 2 puissance N plus P plus 1,
02:51ce qui me fait ceci après factorisation,
02:53ce qui me fait ceci, donc je rassemble les logarithmes,
02:56donc j'ai bien ça sur sa carré,
02:57avec ce 1 sur 2 puissance N plus P plus 1 qui est en facteur.
03:01Et je vais donc remplacer le UN plus P plus 1 en utilisant la relation de récurrence
03:04qui me fait UN plus P carré,
03:06donc UN plus P c'est le terme d'avant,
03:07plus UN plus P dans le logarithme divisé par UN plus P carré avec mon facteur.
03:12Je sépare la fraction, j'ai simplification,
03:15je sépare la fraction ici, j'ai aussi simplification,
03:18ce qui me fait ceci,
03:19j'avais UN plus P carré sur UN plus P carré, ça fait bien 1,
03:21UN plus P sur UN plus P carré, j'en ai 1 qui dégage,
03:24j'ai bien 1 sur UN plus P.
03:26Et comme on a que UN plus P est plus grand que UN,
03:28vu qu'elle est strictement croissante,
03:29et bien 1 sur UN est plus grand que 1 sur UN plus P,
03:33et donc en appliquant le logarithme,
03:34j'ai que ceci est plus grand que ceci,
03:37parce qu'après je multiplie des deux côtés.
03:39Donc ceci est finalement majoré par cette expression-là.
03:42Ce qui est très exactement ce qu'on voulait démontrer ici.
03:45Check !
03:46Question B, on déduit que l'on a pour tout entier naturel K et N,
03:49cette inégalité-là.
03:51Soit K et N des entier naturels.
03:53La stratégie c'est que je vais sommer cette inégalité
03:56pour différentes valeurs de P,
03:58de sorte à obtenir ceci.
04:00Comment est-ce que je peux entuiter que je dois procéder comme ça ?
04:02Et bien ici j'ai VN plus P plus 1 moins VN plus P,
04:05et ici je dois obtenir du VN plus K plus 1 moins VN,
04:08donc là vous voyez qu'on a un écart de K plus 1 entre les deux termes,
04:11alors qu'ici ce n'était qu'un écart de 1.
04:13Donc si je somme ça pour différentes valeurs de P
04:16qui vont jusqu'à K plus 1,
04:18ou K en fait,
04:19je vais avoir un télescopage de valeurs
04:20qui va bien me donner ça et ça.
04:22Et on s'occupera de la somme des ceci
04:24et voir comment on peut le majorer par ça.
04:26Je fais donc la somme du membre gauche des 0,
04:28donc pour P variant de 0 jusqu'à K,
04:30ce qui fera 0,
04:31et je fais la somme de ce qui était au milieu
04:33pour P variant de 0 à K,
04:35pareil,
04:35et je fais la somme ici pour P variant de 0 à K
04:37de ce qui était à droite.
04:39Ici, vous notez que ça va se simplifier.
04:41Écrivez les termes explicitement.
04:42Vous voyez que quand P égale 0,
04:44ça fait VN plus 1 moins VN.
04:47Quand P égale 1,
04:48ça fait VN plus 2 moins VN plus 1.
04:52Donc les VN plus 1 se simplifient.
04:54Après vous avez VN plus 3 moins VN plus 2.
04:55Les VN plus 2 se simplifient.
04:57Et quand on va jusqu'à une valeur,
04:59c'est celui-ci qui ne se simplifie pas.
05:01Celui-ci se simplifie toujours avec celui d'avant,
05:03excepté le tout premier, le VN.
05:05Donc le tout premier, le moins VN, est ici.
05:07Et le tout dernier, quand P est égal à K,
05:10N plus K plus 1,
05:12lui ne disparaît pas.
05:13On vérifie rapidement.
05:14Là ici, on a VN plus K.
05:17Et si je le fais en K moins 1,
05:18j'ai N plus K moins 1 plus 1,
05:21donc N plus K.
05:22J'ai bien VN plus K
05:23qui se simplifie avec le moins VN plus K
05:26quand P égale K
05:27et quand P égale K moins 1.
05:29Donc le télescopage donne bien ceci.
05:31Et ici, je factorise tous les termes
05:33qui ne dépendent pas de P.
05:34Donc j'ai 1 sur 2 puissance N
05:36fois LN de 1 plus 1 sur UN.
05:39Ce qui me fait tout ça en facteur de cette somme-là
05:41pour P variant de 0 à K.
05:43Mais je reconnais la formule de sommation
05:44des termes d'une suite géométrique.
05:46Et donc j'ai bien ceci.
05:481 demi le premier terme fois 1
05:50moins la raison puissance le nombre de termes
05:52de 0 à K, j'ai K plus 1 terme
05:54sur 1 moins la raison.
05:55Je calcule et j'obtiens ceci.
05:57Et ceci est bien sûr majoré par 1,
05:59donc je suis majoré par ceci.
06:01Oui, oui, c'était exactement ce qu'on voulait.
06:03Check !
06:04Question c en utilisant sa monotonie
06:06montrait que la suite VN
06:07converte vers une limite L
06:08que l'on ne cherchera pas à calculer.
06:11Alors on nous suggère fortement,
06:12vu comment sont écrites les questions,
06:14d'utiliser ce qu'on a fait avant.
06:15Donc je vais tout simplement utiliser l'inégalité d'avant
06:17et poser N est égal à 0
06:19et j'obtiens que V0 est inférieur strict
06:21à VK plus 1
06:22qui est inférieur ou égal à V0 plus LN
06:24de 1 plus 1 sur A.
06:26Quand N égale 0, j'ai U0,
06:28et pour rappel U0 est égal à A,
06:30strictement positif.
06:31Et donc ce résultat nous montre que VN est borné.
06:34Là j'ai tous les VK qui sont bornés
06:36à partir de 1
06:37et j'ai V0 qui est plus petit que chacun d'entre eux.
06:40Donc j'ai bien que tous les VK sont bornés.
06:43Donc la suite VN est borné.
06:45On ne se laisse pas troubler ici,
06:46même si j'écris avec des K,
06:47ça ne change absolument rien.
06:48Et on peut donc conclure que VN est une suite convergente.
06:51Oui, rappelez-vous, on avait montré ici
06:52qu'elle était strictement croissante.
06:54Et on appelle donc grand L sa limite.
06:57Check.
06:58Question 3.
06:58On pose alors pour tout entier naturel N,
07:00TN est égal à l'exponentiel de 2 puissance N fois L.
07:02Démontrer pour là que UN est équivalent à TN en plus l'infini.
07:06Alors l'idée ça peut être de réexprimer cette équivalence-là
07:08pour voir à quoi on doit se ramener
07:10pour pouvoir démontrer ce résultat.
07:11Et en fait, si vous inversez la relation de UN,
07:14vous voyez que TN sur UN c'est égal à ceci,
07:16qui vaut ceci avec les propriétés de l'exponentiel.
07:19Donc en fait, on doit réussir à faire apparaître cette expression-là.
07:22Mais on voit qu'on n'est pas loin
07:23parce qu'on a du V quelque chose moins V autre chose
07:25et on a du 2 puissance N là.
07:27Donc il faut réussir à faire apparaître du L
07:29et garder un VN et multiplier par 2 puissance N.
07:31Mais on peut parce qu'ici on a du K
07:33et on a du K nul par ailleurs.
07:35Donc on peut faire varier ça en fonction de K
07:37et prendre la limite,
07:38faire apparaître du L et multiplier.
07:39Et c'est ce qu'on va faire.
07:41On prend donc la limite en K
07:42dans l'inégalité de B,
07:44la limite de 0, C0.
07:46J'obtiens une inégalité large
07:47en passant à la limite, attention,
07:49et donc j'ai la limite de cette expression
07:50quand K tend vers plus l'infini.
07:51On vient de montrer que ça converge vers grand L.
07:53Ça ne dépend pas de K,
07:55donc ceci est une constante.
07:57Et donc au milieu,
07:57ça va tendre vers grand L moins VN.
08:00Et ici, ça ne dépend pas de K,
08:01donc ça tend vers la même chose.
08:03Et j'obtiens cette inégalité-là
08:05en passant à la limite
08:06pour tout N entier naturel,
08:07puisqu'elle était valide déjà avant
08:09pour tout N entier naturel et tout K.
08:11Je multiplie par 2 puissance N
08:13et je passe à l'exponentiel
08:14et j'obtiens cette nouvelle inégalité.
08:16Et je remarque au milieu,
08:17j'ai bien mon TN divisé par UN
08:19qui est encadré entre 1 et 1 plus UN.
08:22Sauf qu'on a démontré
08:23que UN tendait vers plus l'infini tout à l'heure,
08:25donc ceci tend vers 0
08:26et donc tout ceci tend vers 1.
08:27Ceci tend évidemment vers 1.
08:29Et donc on applique le théorème d'encadrement
08:31et j'ai bien que la limite de TN sur UN
08:32est égale à 1,
08:33soit TN est équivalent à UN
08:35en plus l'infini.
08:36Check !
08:37Question 4,
08:38on pose alors pour tout entier naturel N,
08:40SN est égale TN moins UN.
08:42A, trouver une relation entre SN plus 1,
08:44SN et UN.
08:46Bon, bah soit N entier naturel,
08:47SN plus 1 est égale TN plus 1 moins UN plus 1
08:49et on remarque que TN plus 1 c'est ceci
08:52avec un fois 2
08:53qui peut se mettre comme exposant
08:54autour d'une exponentielle de puissance N fois L.
08:58Je remplace le UN plus 1 par ceci
09:00et donc je trouve TN carré moins UN carré moins UN
09:03parce qu'ici on a bien TN carré.
09:04Et je rappelle, j'ai exponentielle de 2 puissance N fois 2,
09:08c'est ça le puissant de la puissance fois L,
09:10ce qui me fait exponentielle de 2 puissance N L,
09:13tout ça fois 2,
09:14ce qui me fait exponentielle de 2 puissance N L,
09:16parenthèse, exposant 2,
09:18ce qui est bien TN exposant 2.
09:19Et donc je factorise en utilisant l'identité remarquable,
09:22j'ai TN carré moins UN carré moins UN,
09:24je le fais pour le TN carré moins UN carré,
09:26ce qui me donne ceci,
09:27et je remplace TN moins UN par SN
09:29et TN par SN plus UN,
09:33ce qui me donne que SN plus 1 est égale SN facteur de SN plus 2UN moins UN,
09:37plus 2UN parce que j'avais TN plus UN
09:39et TN c'est SN plus UN,
09:40donc j'ai bien SN plus 2UN.
09:42Check !
09:43B prouver que la suite SN est bornée.
09:45Très rapide, d'après la question 3,
09:47on a que UN est inférieur ou égal à TN,
09:49inférieur ou égal à UN plus 1.
09:50Attention, il n'est pas dans l'indice, il est écarté.
09:52D'où, en soustrayant par UN,
09:54j'ai 0 inférieur ou égal à TN moins UN,
09:56inférieur ou égal à 1.
09:57Parce que oui, rappelez-vous,
09:59j'ai démontré cette inégalité-là,
10:001 inférieur ou égal à TN sur UN,
10:03inférieur ou égal à 1 plus 1 sur UN
10:04et je la multiplie par UN,
10:06ce qui me fait bien UN inférieur ou égal à TN,
10:08inférieur ou égal à UN plus 1,
10:10ce qui est ici,
10:11et donc en soustrayant UN,
10:12j'ai bien ceci.
10:13Soit ceci, check,
10:164C, c'est là que ça va se gâter,
10:18les problèmes commencent.
10:19Montrez qu'il existe un réel B tel que l'on a
10:20UN est égal à TN en plus l'infini plus B
10:23plus petit o de 1.
10:24En gros, ce que signifie cette égalité,
10:26c'est que UN moins TN est égal à B plus petit o de 1.
10:29Mais être une constante plus un petit o de 1,
10:32ça veut dire tout simplement
10:32que l'on converge vers cette constante.
10:34Donc là, on nous demande de démontrer
10:35que UN moins TN converge
10:37ou autrement dit que SN,
10:39parce qu'on a un facteur moins 1, converge.
10:41Donc si on montre que SN converge vers une limite,
10:44eh bien, l'opposé de cette limite
10:45apparaît ici dans ce développement asymptotique.
10:47Et on va utiliser cette relation,
10:49merci à Tonton 3 pour l'idée,
10:51et on la met en divisant par UN.
10:52Donc j'ai tout ça divisé par UN
10:54et je distribue la division par UN
10:56dans la parenthèse.
10:57Donc j'ai bien SN sur UN plus 2,
10:59le 2 sur UN,
10:59les UN se simplifient,
11:01moins 1 UN sur UN.
11:02Mais SN est borné.
11:04Donc d'après le théorème des gendarmes,
11:05SN plus 1 sur UN tend vers 0.
11:07Et donc nécessairement,
11:08cette égalité-là implique que
11:09tout ceci tend vers 1,
11:11puisque tout ça tend vers 0.
11:13Mais à l'intérieur de la parenthèse,
11:15ça tend aussi vers 0,
11:16ce truc-là, plus 2.
11:18Donc à l'intérieur de la parenthèse,
11:18ça tend vers 2.
11:20Et donc SN est équivalent à 1 sur ceci.
11:23Et donc SN est équivalent à 1 demi,
11:25donc SN tend vers 1 demi.
11:27Ce qui signifie que SN est égal à 1 demi
11:28plus petit O de 1.
11:30Autrement dit,
11:30TN moins UN est égal à 1 demi
11:32plus petit O de 1.
11:33Et j'isole UN,
11:34j'ai que UN est égal à TN moins 1 demi
11:35plus petit O de 1.
11:37On s'en fout du signe pour petit O de 1.
11:39B est donc égal à moins 1 demi.
11:40Check !
11:41Allez, c'était pas dans l'énoncé,
11:42mais maintenant on va voir
11:42comment pousser le développement asymptotique.
11:45On va poser la suite
11:45XN est égal à TN moins UN moins 1 demi.
11:48Comme vous l'avez noté,
11:49je mets d'un côté
11:50tous les termes du développement asymptotique.
11:52Et donc le but,
11:52c'est de trouver un équivalent de XN.
11:54Parce qu'un équivalent
11:55de tous les termes du développement asymptotique,
11:58c'est ce qui me donne
11:59le terme suivant du développement asymptotique,
12:01où j'appelle le terme suivant
12:03le développement asymptotique
12:03pousser une étape plus loin.
12:06Donc on cherche un équivalent de XN
12:07et j'écris que XN plus 1
12:09est égal à TN carré moins UN moins UN plus 1
12:11moins 1 demi.
12:13C'est cette expression-là,
12:14TN plus 1 c'est TN carré,
12:15moins UN plus 1 c'est moins UN moins UN au carré.
12:18Je reconnais presque le développement
12:19d'une identité remarquable
12:20et donc je la fais apparaître artificiellement
12:22et donc je retire le moins 1 quart
12:25qui apparaît parce que j'ai un plus 1 quart,
12:27un demi au carré.
12:28Donc il se simplifie avec ça
12:29et j'aurai bien moins UN carré,
12:31moins le double produit
12:332 fois 1 demi 1 UN.
12:34Donc j'ai bien un moins UN moins UN carré.
12:36Ce qui me fait ceci moins 3 quart
12:38et j'utilise l'identité pour factoriser,
12:39ce qui me fait ceci
12:41et mon but est de faire apparaître des XN
12:43puisque là j'exprime XN plus 1
12:44et donc je remplace ces relations
12:47en fonction de XN.
12:48Donc là j'ai XN
12:48et là j'ai presque XN avec d'autres trucs.
12:50Ce qui me fait XN facteur de
12:522TN moins XN moins 3 quart
12:54parce qu'ici on a bien que TN
12:56c'est égal à UN plus XN plus 1 demi.
12:59Et donc je le remplace ici.
13:01Ce qui me fait XN facteur de
13:022TN moins XN plus 1
13:04tout ça moins 3 quart.
13:06Or on sait que XN,
13:07donc XN plus 1
13:08tend vers 0
13:09puisque pour rappel
13:101 demi c'est la limite
13:11de TN moins UN.
13:13Donc ceci tend vers 0
13:14et c'est égal à ceci
13:15donc tout ceci tend vers 0
13:16et donc toute cette expression
13:18tend vers 3 quart.
13:19L'expression que j'ai développée ici,
13:20je distribue le XN
13:212XN TN
13:22moins XN carré
13:23plus XN tend vers 3 quart.
13:25Mais comme XN tend vers 0
13:26on a que XN carré
13:27et XN tend vers 0
13:28ce qui signifie bien
13:29que 2XN TN tend vers 3 quart.
13:32Autrement dit
13:32que XN est équivalent
13:33à 3 sur 8 TN
13:35puisque le quotient des deux
13:37tend vers 1.
13:37Le quotient des deux
13:38ça fera 2XN TN
13:39multiplié par 4 tiers.
13:41Mais dire que deux trucs
13:42sont équivalents
13:43c'est dire que l'un
13:44est égal à l'autre
13:45plus petit O de cet autre.
13:47Donc là j'ai prouvé
13:47que XN est égal à ceci
13:49plus petit O de 1 sur TN.
13:51On s'en fout du facteur 3 huitièmes.
13:53Et donc je remplace XN
13:54par son expression
13:55dans cette égalité
13:56et je réarrange
13:57en isolant UN
13:58et j'obtiens que
13:59UN est égal à TN
14:00moins 1 demi
14:01moins 3 sur 8 TN
14:02plus petit O de 1 sur TN.
14:04Check !
14:05Et voilà
14:05bon développement asymptotique.
14:07Et bien devine quoi ?
14:08On va continuer plus loin
14:09en posant
14:09YN est égal XN
14:11moins 3 sur 8 TN
14:12et donc trouver
14:13un équivalent de ce truc là.
14:14Donc c'est égal à ceci
14:15on cherche un équivalent.
14:17Et je vais essayer
14:17de trouver une relation
14:18de récurrence
14:18qui me permet
14:18de trouver cet équivalent.
14:19Donc YN plus 1
14:20est égal à ceci
14:22qui fait ceci
14:23avec le plus 1 pardon
14:25et donc je te laisse
14:25vérifier les calculs.
14:27J'ai ceci
14:28je remplace XN
14:29par YN
14:29plus 3 sur 8 TN
14:31facteur de tout ceci
14:32moins ceci.
14:34Or on sait que YN
14:34c'est un petit O
14:35de 1 sur TN
14:36parce que YN
14:37c'est XN moins ça
14:38donc YN
14:39c'est bien un petit O
14:40de 1 sur TN.
14:41Et ça, ça signifie
14:41que YN divisé par ça
14:43autrement dit
14:43YN fois TN
14:44tend vers 0.
14:46Et pareil au rang N plus 1
14:47mais TN plus 1
14:48c'est TN carré
14:49donc TN carré
14:49YN plus 1
14:50tend vers 0.
14:52Et donc je vais calculer
14:52TN carré YN plus 1
14:54donc je multiplie
14:55ce que je viens de trouver
14:55par TN carré
14:56ce qui me donne tout ceci
14:57ça c'est dans la parenthèse.
14:59Ce qui me donne
15:00que TN carré YN plus 1
15:01est égal à TN carré
15:02fois tout ceci
15:03soit après distribution
15:05tout ceci.
15:07Donc j'ai bien
15:07TN carré fois 2TN YN
15:09ce qui fait 2YN TN cube
15:11TN carré YN carré
15:12ce qui me fait
15:13YN TN au carré
15:14TN carré fois 3YN
15:16sur 4TN
15:17ce qui me fait
15:173YN TN sur 4
15:20le TN carré
15:21se simplifie avec
15:21le TN du bas
15:22donc j'ai un TN en haut
15:23plus TN carré
15:24multiplié par 3
15:26huitième TN carré
15:27avec le moins devant
15:28ce qui me fait
15:29moins 3 huitième
15:30les TN carré se simplifient
15:31plus TN carré fois YN
15:33ce qui me fait bien
15:33TN carré YN
15:35plus TN carré fois
15:363 sur 8TN
15:38ce qui me fait
15:39après simplification
15:393TN sur 8
15:40je peux rassembler
15:41le moins 9TN sur 64
15:43et le plus 3TN sur 8
15:44donc je multiplie
15:45celle-ci en haut
15:46et en bas par 8
15:46ce qui me fait
15:4724 moins 9
15:4715 sur 64
15:48et comme j'ai TN YN
15:50qui tend vers 0
15:51vu que YN est un petit
15:52taux de 1 sur TN
15:53j'ai évidemment
15:54ceci au carré
15:54qui tend vers 0
15:55j'ai ceci qui tend vers 0
15:57avec TN carré
15:58YN plus 1
15:59qui tend vers 0
15:59et donc je me retrouve
16:00avec ceci
16:01moins ceci
16:03moins ceci
16:04plus ceci
16:05plus ceci
16:06donc que j'ai rassemblé
16:07avec là
16:07qui tend vers 0
16:08soit toute cette expression
16:09qui tend vers 3 huitièmes
16:10en écrivant que tout ceci
16:12c'est 3 huitièmes
16:13plus petit o de 1
16:14en faisant passer
16:15le moins 15TN plus 64
16:17de l'autre côté de l'égalité
16:18en factorisant par
16:19YN fois TN carré
16:21et en divisant par son facteur
16:23j'obtiens que
16:24TN carré YN
16:25est égal à ceci
16:26divisé par ceci
16:27avec les étapes de calcul
16:28qui sont présentées ici
16:29donc celui-ci
16:30je le fais passer
16:31de l'autre côté
16:31il prend un signe moins
16:32donc j'ai égal à ça
16:33et ces deux-là
16:34je factorise par YN
16:35TN carré
16:36donc ici j'ai un 2TN
16:37et ici j'ai bien un 1
16:38je divise par 1
16:40plus 2TN l'égalité
16:41et je factorise par 2TN
16:43au dénominateur
16:44ce qui me fait un facteur
16:451 sur 2TN
16:46et ce qui me fait bien ceci
16:47si je distribue le 2TN
16:48j'ai bien 1 plus 2TN
16:49et je multiplie ceci
16:51par le numérateur
16:52ce qui me fait
16:52moins 15 sur 128
16:53moins 15TN
16:54les TN se simplifient
16:552 fois 64, 128
16:56plus 3 sur 16TN
16:58plus petit o de 1 sur TN
17:00petit o de 1
17:00fois 1 sur TN
17:02ça fait un petit o de 1 sur TN
17:03toujours divisé par ça
17:05ce qui est bien
17:05l'égalité que j'ai ici
17:07et ceci a une limite
17:08ça c'est 0
17:09ça c'est 0
17:09au dénominateur c'est 1
17:11et donc au numérateur
17:12c'est moins 15 sur 128
17:13et j'obtiens que
17:14TN carré YN
17:15converge vers
17:16moins 15 sur 128
17:17dit autrement
17:17YN est équivalent
17:19en plus à l'infini
17:19à moins 15 sur 128
17:20TN carré
17:21check
17:22et ainsi j'obtiens
17:24et ainsi j'obtiens le développement
17:24asymptotique
17:25UN est égal
17:25TN
17:26moins 1 demi
17:27moins 3 huitième
17:27TN
17:28plus 15 sur 128
17:29TN carré
17:29plus petit o de 1 sur TN carré
17:31check
17:32allez on est des fous furieux
17:33on s'arrête pas là
17:34on va poser
17:35ZN est égal
17:35YN plus 15 sur 128
17:37TN carré
17:38autrement dit
17:39ZN c'est TN
17:40moins UN
17:41moins 1 demi
17:41moins 3 sur 8
17:42TN
17:43plus 15 sur 128
17:44TN carré
17:45et donc l'idée
17:46c'est de chercher
17:46encore un équivalent
17:47de ZN
17:48et pour ça je vais travailler
17:49sur la relation de récurrence
17:50entre ZN plus 1 et ZN
17:52et donc j'écris ZN plus 1
17:53qui est égal à
17:54YN plus 1 plus 15
17:55sur 128
17:56TN plus 1 carré
17:57ce qui nous fait
17:58tiens toi prêt
17:58on souffle fort
17:59donc je reprends l'expression
18:01de YN plus 1
18:02j'ai 2 TN YN
18:03qui vient d'ici
18:04moins YN carré
18:06qui vient d'ici
18:07moins 3 YN
18:08moins 4 TN
18:09qui vient du
18:10moins 3 YN sur 8 TN
18:11moins 3 YN sur 8 TN
18:13donc ça fait
18:13moins 2 fois 3 YN sur 8 TN
18:17donc moins 3 YN sur 4 TN
18:18check
18:19après simplification par 2
18:20plus 15 sur 64 TN
18:22qui vient du
18:233 sur 8 TN
18:24moins 9 sur 64 TN
18:26donc je mets au même
18:26dénominateur
18:27pour rappel
18:278 fois 3 24
18:28donc j'ai 24 moins 9
18:30sur 64 TN
18:31ce qui me fait bien
18:3215 sur 64 TN
18:33moins 3 sur 8 TN carré
18:35qui vient d'ici
18:36plus YN
18:37qui est là
18:38plus 15 sur 128 TN
18:40puissance 4
18:41qui vient d'ici
18:42puisque pour rappel
18:42TN plus 1
18:43c'est TN carré
18:44et donc là dedans
18:45je vais remplacer
18:46tous les YN
18:47par des ZN
18:49moins 15 sur 128 TN carré
18:51donc j'ai 2 TN
18:52fois YN
18:53qui devient
18:532 TN
18:54fois ZN
18:55moins 15 sur 128 TN carré
18:56moins YN carré
18:57moins parenthèse ZN
18:59moins 15 sur 128 TN carré carré
19:01moins 3 YN sur 4 TN
19:03moins 3 sur 4 TN
19:04moins 3 sur 4 TN
19:04fois YN
19:05plus ZN
19:06moins 15 sur 128 TN carré
19:07plus 15 sur 64 TN
19:09plus 15 sur 64 TN
19:10moins 3 sur 8 TN carré
19:13moins 3 sur 8 TN carré
19:14plus YN
19:15plus ZN
19:16moins 15 sur 128 TN carré
19:18plus 15 sur 128 TN carré
19:20plus 15 sur 128 TN4
19:20plus 15 sur 128 TN4
19:22oui je sais c'est moche
19:23j'ai fait beaucoup d'erreurs de calcul
19:24je te laisse bien checker l'expression
19:26pour que tu vois que c'est correct
19:28or je sais que ZN
19:30c'est un petit O de 1 sur TN carré
19:31puisque ZN c'est tout ça
19:33moins UN
19:34et donc c'est bien égal
19:35à un petit O de 1 sur TN carré
19:36et donc en particulier
19:38TN carré ZN
19:38tend vers 0
19:39et donc TN4 ZN plus 1
19:41tend vers 0
19:42puisque TN plus 1 carré
19:43c'est TN4
19:44je vais donc écrire TN4 ZN plus 1
19:46TN4 ZN plus 1
19:48est égal 2 TN5 ZN
19:49qui vient de la distribution
19:51de 2 TN sur ZN
19:52moins 15 sur 64 TN cube
19:54qui vient de cette distribution
19:56sur ça
19:57donc j'ai un TN en bas
19:57et je multiplie par TN4
19:59donc ce qui me fait bien
20:00un TN5 sur TN2 TN cube
20:02moins ZN carré TN4
20:03qui vient du ZN carré
20:05multiplié par T4
20:06avec un moins devant
20:07plus 15 sur 64 ZN TN carré
20:09qui vient du double produit
20:11donc le 128 avec le 2
20:12devient 64 TN carré
20:14donc j'ai 15 ZN sur 64 TN carré
20:18fois TN4
20:19donc j'ai bien 15 ZN TN carré
20:20sur 64
20:21et j'avais un moins
20:22avec le moins ici
20:23je deviens bien un plus
20:25et ici le 15 au carré
20:27sur 128 au carré
20:28TN4 fois TN4
20:29donc les TN4 se simplifient
20:31et j'ai tout simplement
20:32le 15 au carré
20:32sur 128 au carré
20:33moins 3 ZN TN cube
20:35sur 4
20:36qui vient de moins 3
20:37sur 4 TN fois ZN
20:39donc le TN4 se simplifie
20:40avec le TN
20:41j'ai bien un TN3
20:42qui me reste
20:42plus 45 TN
20:44sur 4 fois 128
20:45qui vient de
20:46moins 3 fois moins 15
20:4845
20:494 fois 128
20:50fois TN cube
20:52et donc au dénominateur
20:53le TN cube
20:54et donc tout ça fois TN4
20:55il me reste un TN en haut
20:56plus 15 sur 64 TN cube
20:5815 sur 64 TN
21:00fois TN4
21:01donc ça se simplifie
21:01j'ai bien un TN cube
21:02moins 3 TN carré sur 8
21:04moins 3 sur 8 TN carré
21:06fois TN4
21:07les TN4 et TN2
21:08ça se simplifie
21:09j'ai bien un TN carré en haut
21:10plus 15 sur 28
21:1115 sur 28 TN4
21:13fois TN4
21:14plus ZTN4
21:16ZN fois TN4
21:17moins 15 sur 128 TN carré
21:19moins 15 TN carré
21:20sur 128
21:21fois le TN4
21:22j'ai ceux du bas
21:23qui se simplifient
21:24il m'en reste 2 en haut
21:24et donc je remarque
21:25que j'ai simplification de lui
21:26et de lui
21:27et mon égalité devient
21:29que TN4 ZN plus 1
21:30est égal 2 TN5 ZN
21:31moins TN carré ZN au carré
21:34c'est celui-ci
21:35que j'ai mis au carré
21:35plus 15 TN carré ZN sur 64
21:38plus 113 fois 15 sur 128 carré
21:41moins 3 ZN TN3 sur 4
21:43plus 45 TN sur 512
21:45moins 63 TN carré sur 128
21:46plus ZN TN4
21:48puisque tu notes
21:49que j'ai assemblé
21:50le 15 sur 128
21:51et le moins 15 carré
21:52sur 128 carré
21:53ce qui me fait bien ceci
21:54et j'ai également assemblé
21:55le moins 15 TN carré
21:56sur 128
21:57avec le moins 3 TN carré
21:59sur 8
21:59en mettant le même dénominateur
22:00donc j'ai multiplié ça
22:01en haut et en bas par 16
22:02ce qui fait moins 48
22:03moins 15
22:04ce qui me fait bien
22:04moins 63 TN carré
22:06sur 128
22:06et tout le reste vient
22:07de ce qu'il y avait avant
22:08je te laisse checker
22:09mais comme on l'a dit
22:10ça ça tend vers 0
22:11on reconnait que ça
22:12ça tend vers 0
22:13puisque TN carré ZN
22:14tend vers 0
22:14donc ça aussi ça tend vers 0
22:16et donc j'ai tout le reste
22:17tend vers 0
22:17c'est à dire ça
22:18plus ça
22:19moins ça
22:20plus ça
22:21moins ça
22:21plus ça
22:22et là j'ai une valeur finie
22:23ça veut dire que tout le reste
22:24tend vers l'opposé de ceci
22:25et donc tout le reste
22:26est égal à ceci
22:27plus petit o de 1
22:29je vais passer les termes
22:30qui n'ont pas de ZN
22:31de l'autre côté de l'égalité
22:32ce qui me donne
22:33moins 45 TN sur 512
22:34celui-là passe de l'autre côté
22:35avec la limite
22:36et moins 63 TN carré
22:38sur 128
22:39qui devient plus
22:4063 TN carré
22:41sur 128
22:41et là j'ai ce qui était en ZN
22:43et j'ai factorisé par ZN
22:44donc ZN fois 2 TN5
22:46qui vient d'ici
22:472 TN5
22:47moins 3 TN3 sur 4
22:49qui vient de la parenthèse
22:50plus TN4
22:52qui est bien ici
22:53et donc je divise ZN
22:54par son facteur
22:55et je factorise en haut
22:56par le terme
22:56de plus haut degré
22:57entre guillemets
22:58donc c'est du TN carré en haut
22:59c'est du TN puissance 5 en bas
23:01après simplification
23:01je me retrouve avec un 1 sur TN3
23:03de l'autre côté
23:04et ici après avoir factorisé
23:06par TN carré
23:06j'ai du TN carré en bas
23:08j'avais une constante
23:08j'ai du TN en bas
23:10j'avais un TN en haut
23:11donc en factorisant par TN carré
23:12j'ai bien un TN en bas
23:13ici
23:14j'avais un TN carré en haut
23:15donc je me retrouve
23:15avec une constante
23:16et j'ai un petit O de 1 sur TN carré
23:18puisque j'avais un petit O de 1
23:19que j'ai factorisé par TN carré
23:21dans la parenthèse
23:22ça ça tend vers 0
23:23ça ça tend vers ceci
23:24ça ça tend vers 0
23:25ça ça tend vers 0
23:26donc la parenthèse
23:28tend vers 63 sur 128
23:29la parenthèse du bas
23:31est bien la factorisation
23:32de ceci par TN5
23:34j'ai bien le 2 ici
23:35le moins 3 sur 4 TN2
23:38TN5 sur TN2 ça fait bien TN3
23:41et 1 sur TN pour le TN4
23:43et donc la parenthèse du bas
23:440, 0, 2
23:45j'ai donc 63 sur 128 sur 2
23:48fois 1 sur TN3
23:50et je trouve donc que ZN est équivalent
23:52à 1 sur TN3 fois 63 sur 256
23:54128 fois 2
23:56cet équivalent me permet donc de dire
23:58que ZN est égal à tout ça
23:59plus petit O de 1 sur TN3
24:02et donc je remplace ZN
24:03par son expression qui est égal à tout ça
24:05donc j'ai tout ça qui est égal à ceci
24:07et je fais passer UN de l'autre côté
24:09et 63 machin de l'autre côté
24:11et le petit O de l'autre côté
24:12et tadaaa
24:15tout beau tout chaud
24:16un superbe développement asymptotique
24:18à un ordre très poussé
24:19et je pense que t'as compris la méthode
24:21pour aller plus loin
24:22alors si vraiment t'es un ouf comme moi
24:23je t'invite à essayer de calculer
24:26pour voir quel est le prochain terme
24:27du développement asymptotique
24:28et à le mettre en commentaire
24:30je te laisse voir tous les calculs
24:32comme ça tu vas voir que j'ai bien douillé ma race
24:34et surtout n'hésite pas à me dire
24:35si tu as repéré une erreur
24:37parce qu'il est parfaitement possible
24:38qu'une ou plusieurs aient pu se glisser
24:39et si tu as des questions
24:40n'hésite pas à me les poser en commentaire
24:42bisous
24:42bisous
24:42et si tu as des questions
24:43bisous
24:44et donc on aura laソie
24:44hypotro
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