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00:00 Bonjour, on va procéder à la correction de l'interrogation préparée sur la factorisation et un peu de développement.
00:07 Pour démarrer, exercice 1.
00:10 On vous demande de connaître les 3 identités remarquables, on les avait vues lors du chapitre 3 sur le développement.
00:16 La première identité remarquable nous dit que A+B le tout au carré c'est égal à A^2+2*A*B+B^2.
00:34 Attention, la grande erreur c'est de ne surtout pas écrire que A+B le tout au carré n'est surtout pas égal à A^2+B^2.
00:42 On l'avait vu lors du chapitre 3, on avait fait la preuve, mais attention, c'est une erreur à ne surtout pas écrire, donc je l'efface.
00:51 A+B le tout au carré c'est A^2+2*A*B+B^2.
00:56 Ensuite, la deuxième identité remarquable c'est A-B le tout au carré, c'est A^2, il y a un - ici à la place du +, -2*A*B, ça ne change pas, +B^2.
01:11 Pareil, on avait fait la preuve.
01:13 Et enfin, la troisième identité remarquable, souvent on la connaît sous la forme développée A^2-B^2.
01:19 Sa forme factorisée, on s'en est servi durant le chapitre A^2-B^2, c'est A-B*A+B.
01:27 A-B*A+B, si on développe, ça peut donner A^2-B^2.
01:31 Donc les trois identités remarquables sont à connaître par cœur.
01:37 On passe à l'exercice 2, c'est savoir si vous avez les bases du cours.
01:45 On vous dit à l'aide d'un facteur commun, factoriser, c'est-à-dire on doit obtenir une multiplication, on doit obtenir un produit,
01:51 factoriser les expressions suivantes.
01:53 Ici on veut factoriser, donc obtenir un produit.
01:56 On a 3x^2-2x, on n'a pas un produit.
01:59 Quel est le facteur commun entre 3x^2 et 2x ?
02:03 Le facteur commun c'est x, donc j'ouvre une parenthèse, x*
02:08 et dans la parenthèse, qu'est-ce que l'on doit mettre ?
02:11 x*, quel nombre donne 3x^2 ?
02:13 x*3x, ça donne 3x^2, ensuite on a le - là, - et x*2, 2x.
02:21 Si on redéveloppe, on fait ça, fois ça, x*3x, ça fait 3x^2, - x*2, -2x.
02:28 Donc la bonne réponse était x*3x-2.
02:33 Celle-là, pareil, on veut factoriser, c'est-à-dire obtenir une multiplication.
02:37 Quel est le facteur commun ?
02:39 Ici il y a un facteur commun, donc là on a du x^2 du x, c'est x, entre parenthèses,
02:44 attention, il ne faut pas se tromper.
02:46 Si on développe x, quel nombre donne x^2 ?
02:48 x*x^2, mais attention, là on a du +x, on doit rajouter, il ne faut pas l'oublier, le +1.
02:56 Attention, si on développe x*x, x^2, +x*1, 1x, ça donne x, donc attention, on ne va pas oublier le +1.
03:04 Celui-ci, le facteur commun, on a 3*x+1 + x*x+1, donc le facteur commun c'est x+1.
03:12 Donc on le met en facteur commun, x+1, fois, on ouvre une grande parenthèse,
03:19 x+1 fois quel nombre donne 3*x+1 ? C'est x+1*3.
03:26 Ensuite on a un + ici, +, et x+1 fois quel nombre donne x*x+1 ? +x.
03:33 Si on développe, on fait x+1*3, 3*x+1, +x+1*x, x*x+1.
03:40 Ensuite le d, pareil, quel est le facteur commun ?
03:44 Le facteur commun c'est x*x-7, -6*x-7, donc le facteur commun c'est x-7.
03:52 Donc on ouvre une grande parenthèse, x-7 fois, et qu'est-ce qu'on met dans la parenthèse ?
04:00 x-7 fois quel nombre donne x*x-7 ? C'est x, là on a un -, et x-7 fois quel nombre donne 6*x-7 ? 6.
04:11 Ensuite le e, ici, le facteur commun, x+2 fois x-1, -x+2 fois x+3, x+4, donc le facteur commun c'est x+2.
04:26 Donc, boum, on va le mettre en facteur commun, x+2, entre parenthèses.
04:33 On ouvre une grande parenthèse, x+2 fois quel nombre donne x+2 fois x-1 ? x-1.
04:41 Et ensuite on a un - ici, donc -, et x+2 fois quel nombre donne x+2 fois 3x+4 ? -3x-4.
04:54 Donc là, attention à l'erreur en réduisant, on a x+2 fois, la parenthèse celle-là on peut l'enlever, x-1,
05:02 mais là attention, on a un - devant une simple parenthèse, donc attention ici, quand on a un - devant une simple parenthèse,
05:09 on change les signes lorsqu'on enlève la parenthèse.
05:11 Donc le 3x devient -3x, et le -4 devient +4.
05:16 Attention ici, quand on a un - devant une simple parenthèse.
05:20 Et on arrive jusqu'au bout, donc ça se factorise en x+2, facteur de 2x-3x-2x, et -1+4+3, donc -2x+3.
05:34 Ensuite, la f, on vous demande de factoriser avec un facteur commun,
05:39 donc quel est le facteur commun entre x^3, 5x^2 et -x ? C'est x en facteur commun,
05:43 donc x, on ouvre une grande parenthèse, donc x fois quel nombre donne x^3 ?
05:49 Donc c'est x fois x^2, x fois x^2 ça fait x^3.
05:53 Ensuite il y a un -, -x fois quel nombre donne 5x^2 ? Bah c'est 5x.
05:59 Et là pareil, il ne faut pas l'oublier, il reste le -x, donc x fois quel nombre donne -x ? Bah fois -1.
06:06 Attention, pareil, ici on ne peut pas oublier le -1.
06:10 Donc là on a terminé la factorisation avec un facteur commun.
06:14 Maintenant on vous demande, deuxième technique, factoriser à l'aide de la troisième identité remarquable.
06:20 Donc ça signifie qu'on va dire qu'on a la forme développée a^2-b^2,
06:25 et donc ça se factorise en a-b fois a+b.
06:30 Et là on a bien une multiplication, donc on y va, la première, donc a c'est x^2-25,
06:35 donc a ça s'écrit x^2-5^2.
06:40 Donc là dans la formule a^2, le a c'est x et le b c'est 5.
06:46 Du coup ça se factorise en x-5 fois x+5.
06:51 Celui-ci, le b, x^2-7, ça peut s'écrire quel nombre au carré c'est x^2-...
07:01 Mais 7 c'est quel nombre au carré ?
07:04 Et bah ce qu'on avait vu c'est que 7 c'est pareil que racine de 7^2.
07:09 On sait que la racine carré et le carré ça s'annule, donc la racine carré au carré ça vaut bien 7.
07:14 Donc là notre a c'est x et notre b c'est racine de 7.
07:20 Et du coup ça ça se factorise en x-racine de 7 fois x+racine de 7.
07:27 Ensuite le c, a^2-b^2.
07:34 Donc le c ça s'écrit comment ?
07:36 9x^2 c'est quel nombre au carré ?
07:39 Attention 9x^2 c'est 3x^2-16 c'est quel nombre au carré ?
07:50 C'est 4^2.
07:52 Donc notre a c'est 3x et notre b c'est 4.
07:57 Donc ça ça se factorise en 3x-4 fois 3x+4.
08:05 Donc là il faut bien faire attention, 9x^2 c'est 3x^2 si vous voulez une preuve.
08:11 3x^2 donc c'est 3x fois 3x.
08:15 3 fois 3 = 9, x fois x, x^2.
08:19 Allez on poursuit.
08:23 36x^2-1, donc 36x^2 c'est quel nombre au carré ?
08:28 36x^2 c'est 6x^2 car 6x^2 c'est 6x fois 6x^2.
08:36 6 fois 6 = 36, x fois x, x^2.
08:39 Et 1 c'est -1^2.
08:42 1^2 ça vaut 1.
08:44 Donc là notre a c'est 6x et notre b c'est 1.
08:48 Donc ça ça se factorise en 6x-1 fois 6x+1.
08:56 Ensuite le e, donc on a déjà un nombre au carré, ça on peut l'appeler à x-2, le taux au carré c'est notre a.
09:04 a^2, x-2^2, - et 4^2.
09:08 Et 4 c'est quel nombre au carré ? C'est 2.
09:10 Donc ça c'est x-2^2-2^2.
09:15 Donc notre a c'est x-2 et notre b c'est 2.
09:19 Donc ça ça se factorise en a-b, donc x-2-2 fois x-2+2.
09:29 Et on simplifie ce qu'il y a dans la parenthèse, x-2-2.
09:34 Attention là il n'y a pas de fois entre la parenthèse, c'est un moins.
09:38 Donc x-2-2 ça donne x-4 fois x-2+2 fois x.
09:45 Donc c'est x-4 fois x et souvent on l'écrit x fois x-4.
09:50 On peut l'écrire comme ça aussi.
09:52 Donc si vous arrêtez là c'est bon mais x fois x-4 c'est mieux de l'écrire x fois x-4 de cette formule là.
09:57 Et le dernier c'est déjà écrit sous la bonne forme, a^2.
10:04 Regardez x+3, le taux au carré ça c'est notre a.
10:07 a^2- et notre b c'est x-1.
10:11 b^2 on a a^2-b^2.
10:14 Donc on y va, on n'a plus que la factorisation.
10:16 Donc grande parenthèse c'est a.
10:18 Donc x+3-x-1-b fois x+3+x-1.
10:28 a-b fois a+b.
10:31 Du coup on simplifie ce qu'il y a dans les grandes parenthèses.
10:38 Donc on y va, la première on a x+3 donc là on peut enlever la parenthèse.
10:42 Et c'est là on ne se trompe pas on a -x-1.
10:46 On n'a pas un faux entre les deux parenthèses, on n'a pas x+3 fois x-1.
10:49 On a un moins entre les deux parenthèses.
10:51 Donc là vu qu'il y a un moins devant la parenthèse, x-1,
10:55 pour enlever la parenthèse on change le signe de chaque membre.
10:58 Donc le x ça devient -x et le -1 devient +1.
11:03 Et de l'autre côté on a donc x+3, on a un plus ici donc on ne change pas les signes.
11:10 Donc + et ça reste x-1.
11:12 Quand il y a un plus pas de soucis.
11:14 Et on simplifie x-x, 0x donc 0, 3+1=4, donc f=4,
11:21 fois x+x=2x, 3-1=2.
11:26 Donc ça fait 4 fois 2x+2 et ça on peut l'écrire autrement,
11:31 on peut écrire c'est 4 fois 2x+2.
11:33 Pour enlever la parenthèse vu que ça nous manque tout seul.
11:38 Ensuite, c résout les équations suivantes,
11:41 on pensera à factoriser lorsque cela sera nécessaire.
11:44 Donc, équation numéro 1, on vous demande de résoudre -2x+1,
11:48 il y a un fois l'entre deux parenthèses, x-x+4=0.
11:53 Donc ça c'est une propriété du cours, si une multiplication est égale à 0,
11:58 forcément l'un des facteurs est égal à 0.
12:00 Donc là on écrit a fois b est égal à 0,
12:04 pour montrer qu'on connaît le cours, ça équivaut à soit a=0 ou b=0.
12:10 Donc dans notre exercice ici,
12:14 -2x+1 fois -x+4=0, ça équivaut à -2x+1=0 ou -x+4=0.
12:31 Ensuite, ce sont des équations du premier degré,
12:34 que l'on peut résoudre facilement.
12:37 On met les inconnus x d'un côté et les nombres sans x de l'autre.
12:40 Pour enlever le +1 à gauche, je vais aller vite,
12:43 pour enlever le +1 on fait -1 à gauche, -1 à droite,
12:46 donc il reste -2x=-1.
12:49 Et de l'autre côté, pour enlever le +4 à gauche,
12:54 on va faire -4 à gauche et -4 à droite,
12:57 donc il reste -x=-4.
13:01 Et là attention, on ne se trompe pas à la fin,
13:04 -2x=-2 fois x,
13:07 donc l'inverse de faire x-2,
13:10 c'est que l'on divise par -2 des deux côtés,
13:16 pour annuler le x-2.
13:19 Et là attention, -x, je rappelle, c'est -1 fois x,
13:24 donc qu'est-ce qu'annule un x-1, c'est qu'on divise par -1 des deux côtés.
13:29 Donc ça équivaut à x=-1 sur -2, ça vous donne 0.50,
13:37 ou x=-4/-1=1.
13:43 Donc il y a deux solutions, 0.50 et 1.
13:48 Pardon, qu'est-ce que j'ai dit ?
13:53 -4/-1, grosse faute !
13:57 Oui, attention, -4/-1 ça vaut 4,
14:00 donc il y a deux solutions, 0.50 et 4.
14:04 Il ne faut pas aller trop vite dans la résolution.
14:07 Ensuite, la deuxième.
14:11 On vous demande de résoudre 5x²-2x=0.
14:14 Donc première méthode, on met les inconnus du même côté,
14:17 on met l'x du même côté, donc x² est à gauche, -2x est à gauche,
14:21 donc on a mis l'x du même côté.
14:23 Une fois qu'on est là, on est bloqué, on a juste x² du x=0.
14:27 Ici on n'a pas de multiplication entre les deux,
14:30 on n'a pas 5x²*2x.
14:33 Donc là on est un peu bloqué,
14:35 mais vu qu'on est dans le chapitre factorisation et concept de la consigne,
14:39 on pensera à factoriser lorsque cela sera nécessaire.
14:43 Donc on est bloqué là, on se dit "on factorise, on est dans le chapitre factoriser".
14:47 Donc d'abord, première méthode, y a-t-il un facteur commun ?
14:51 Oui, y a x comme facteur commun, donc je vais factoriser par x.
14:55 Et là on se trompe pas dans la parenthèse,
14:57 x*5x=5x²-x*2=-2x=0.
15:06 Et là c'est bon, on a x*5x-2=0,
15:10 donc c'est une multiplication qui est égale à 0,
15:12 donc ça équivaut à soit x=0,
15:15 ou 5x-2=0.
15:20 Donc la première, c'est bon, x=0, c'est bon.
15:23 Ou, et de l'autre côté, on résout l'équation.
15:26 Pour enlever le -2 à gauche, je fais +2 à gauche, +2 à droite,
15:30 donc j'ai 5x=2.
15:33 Donc ça équivaut à x=0,
15:36 ou, et là pour aller un petit peu plus vite,
15:39 5x=5*x, donc l'inverse de multiplier par 5,
15:43 c'est de diviser par 5 à gauche,
15:45 et on divise par 5 à droite,
15:47 ou x=2/5.
15:50 Donc il y a deux solutions, 0 et 2/5.
15:55 Enfin, cette équation là, on a du x+1*x-2 divisé par 3,
16:02 qui est égal à 0.
16:04 Donc pour démarrer, on se dit,
16:06 ça a l'air compliqué, mais en fait pas du tout,
16:08 on se dit, qu'est-ce qui annule un divisé par 3 ?
16:11 Le divisé par 3, ce qu'il annule, c'est qu'on multiplie par 3,
16:14 donc à gauche, on a x+1*x-2 divisé par 3,
16:19 qui est égal à 0.
16:21 Ce qu'il annule un divisé par 3, c'est qu'on multiplie par 3,
16:24 donc je fais x+3 à gauche, x+3 à droite.
16:27 Du coup, le divisé par 3*3, ça s'annule,
16:30 donc il reste x+1*x-2,
16:33 qui est égal à 0*3=0.
16:36 Et là on s'est résoudus, on a x+1*x-2,
16:40 qui est égal à 0, on a une multiplication égale à 0,
16:42 donc ça équivaut soit à x+1=0,
16:46 ou x-2=0.
16:49 Et bien ça équivaut à,
16:54 donc on s'est résoudus de tête, ça,
16:56 un nombre +1 qui vaut 0,
16:58 x vaut -1, -1+1=0.
17:00 Mais si on prend notre temps pour enlever le +1 à gauche,
17:02 on fait -1 à gauche, -1 à droite,
17:04 donc x=-1,
17:06 ou un nombre -2 qui est égal à 0,
17:09 c'est que x=2, -2=0,
17:12 ou pour enlever le -2 à gauche,
17:14 je fais +2 à gauche, +2 à droite,
17:16 donc x=2.
17:18 Donc il y a deux solutions, -1 et 2.
17:21 Ensuite, question D.
17:30 On vous dit, résoudre de deux façons différentes,
17:32 l'équation suivante, x²-4=9=0,
17:35 l'une sans factoriser, et l'autre en factorisant.
17:38 Donc on y va sans factoriser,
17:40 x²-49=0.
17:42 Donc, c'est ce qu'on a vu dans le chapitre des fonctions,
17:45 avec le x²,
17:47 donc je vous rappelle la méthode,
17:49 si on ne factorise pas, on met l'x d'un côté,
17:51 les nombres sans x de l'autre,
17:53 donc pour enlever le -49 à gauche,
17:55 on fait +49 à gauche, +49 à droite,
17:57 donc on fait x-49,
18:01 donc pour enlever le -49 à gauche,
18:03 on fait +49 à gauche,
18:05 x²-49=0+49,
18:08 donc il nous reste x²=49.
18:13 Et ça, ça équivaut,
18:15 donc je vous rappelle,
18:17 l'inconnu ici, c'est x,
18:19 donc résoudre une équation,
18:21 c'est trouver toutes les valeurs qu'on peut donner à l'inconnu,
18:23 donc là, attention, à la fin, c'est x=A,
18:27 pas x², l'inconnu c'est x,
18:29 donc l'inconnu, quel nombre,
18:31 x²=49.
18:34 Donc là, on sait qu'il y a x=7,
18:36 si x=7,
18:38 7²+7=49,
18:41 ou x=,
18:44 et c'est pour ça que cette méthode
18:46 n'est pas très efficace,
18:48 parce qu'on oublie tout le temps l'autre solution,
18:50 il y a aussi ou x=-7,
18:52 en effet, -7²-7*-7,
18:55 un nombre négatif fois un nombre négatif
18:57 donne un nombre positif,
18:59 donc -7*-7=49.
19:01 Donc il y a deux solutions,
19:03 x=7 et -7.
19:05 Et si on applique l'autre méthode
19:09 en factorisant,
19:11 donc on y va, si on doit factoriser
19:13 x²-49,
19:15 est-ce qu'il y a un facteur commun ?
19:17 [inaudible]
19:19 [inaudible]
19:21 [inaudible]
19:23 Donc A²-B²,
19:25 donc x²-49, c'est x²-7²=0,
19:29 et on sait que
19:31 A²-B², ça se factorise en
19:33 x-7*x+7=0.
19:36 D'après la troisième identité remarquable.
19:38 Et là, ça, on sait le résoudre,
19:40 A*B=0,
19:42 donc ça équivaut soit à x-7=0,
19:45 ou x+7=0.
19:47 Alors c'est une équation produit nulle.
19:49 Et cette équation là, on la résout vite,
19:51 pour enlever le -7 à gauche + 7 à gauche + 7 à droite,
19:54 ou, et pour enlever le +7,
19:56 -7 à gauche -7 à droite, x=-7.
20:00 Et là, on retombe bien sur les deux solutions,
20:03 7 et -7.
20:05 Donc, l'avantage avec la méthode sans factoriser ici,
20:10 c'est que ça va plus vite, on fait x²=49,
20:12 donc il y a 7 et -7, sauf que le désavantage,
20:14 c'est que la moitié des élèves oublie la solution négative.
20:18 Alors que l'autre, c'est un peu plus long,
20:20 il faut savoir déjà factoriser,
20:22 avec la troisième identité remarquable,
20:24 mais une fois qu'on a factorisé avec la troisième identité remarquable,
20:27 là, on ne peut pas oublier la deuxième solution,
20:29 on a une équation produit nulle,
20:31 là, on n'oublie pas la seconde solution -7.
20:33 Donc ici, c'est plus rapide, mais on risque de faire de l'erreur,
20:37 une erreur, là, c'est plus lent,
20:39 mais au moins, on n'oublie pas les deux solutions.
20:42 Donc, voilà, deux méthodes au choix pour résoudre cette équation.
20:46 Allez, on continue.
20:52 Avec l'exercice 3, qui est un exercice type devoir commun.
20:58 (...)
21:03 Donc, pardon, exercice type devoir commun.
21:05 Donc, on y va, on a l'expression
21:07 a2x = 5x-10, le tout au carré, -5x-10, fois x+2.
21:12 Donc, on vous demande de développer,
21:14 ici, on ne veut pas factoriser, on veut développer et réduire.
21:16 Donc, c'est développer et réduire, c'est chapitre 3.
21:19 Donc, avant de démarrer,
21:21 si je vous écris 5 au carré, -8 fois 2.
21:25 On commence par quelle opération ?
21:27 Là, on commence par le carré,
21:29 donc, ce qui donne 25.
21:32 Mais ensuite, on fait quoi comme opération ?
21:34 On fait -8 fois 2,
21:36 ou on fait 8 fois 2, ensuite le moins ?
21:38 Eh bien, la règle de priorité, c'est qu'on commence ensuite par les multiplications.
21:41 Donc, on laisse le moins, et on fait 8 fois 2, cesse.
21:44 Donc, là, c'est pareil.
21:46 Pour savoir par quoi débuter ?
21:49 Eh bien, on a ici,
21:51 donc, on a ici,
21:53 5x-10, le tout au carré,
21:56 donc, ici, ça doit vous faire penser à la deuxième identité remarquable,
22:02 a-b, le tout au carré.
22:04 Si on reprend, c'est la deuxième identité remarquable,
22:07 a-b, le tout au carré.
22:09 Donc, là, on va démarrer par la seconde identité remarquable.
22:13 Donc, je vous rappelle que a-b, le tout au carré,
22:19 c'est a au carré,
22:21 -2 fois a fois b,
22:24 plus b au carré.
22:26 Ensuite, il y a le moins,
22:29 donc, un moins, on va se protéger,
22:31 donc, on va ouvrir une grande parenthèse,
22:33 attention, le méchant moins, comme je l'appelle.
22:35 Donc, il y a le moins, et on va faire d'abord,
22:38 ici, on a 5x-2 fois x+2,
22:41 on va faire d'abord la double distributivité.
22:50 Donc, on démarre, "développer et réduire a2x",
22:52 donc, a2x, c'est donc égal,
22:55 allez, on y va, on démarre par la seconde identité remarquable,
22:59 a-b, le tout au carré.
23:01 Donc, si on identifie le a, c'est 5x,
23:05 on a le moins, et le b, ça vaut 10.
23:08 Donc, on remplace a au carré,
23:10 donc, attention, le a, c'est 5x,
23:12 donc, hop, petite erreur à ne pas commettre,
23:14 donc, c'est 5x, le tout au carré,
23:18 moins, hop, on y va, on a 2 fois a,
23:24 donc, le a, c'est 5x,
23:26 fois b, et le b, attention, c'est 10,
23:30 donc, fois 10, plus b au carré,
23:34 donc, le b, c'est 10, plus 10 au carré.
23:38 Hop, on a fait la seconde identité remarquable.
23:41 Ensuite, on a le méchant moins, moins,
23:45 hop, moins, on ouvre une grande parenthèse,
23:50 et on va faire la double distributivité qui est ici.
23:54 Donc, on y va, donc, 5x fois x,
23:57 ça donne 5x au carré,
24:00 ensuite, 5x fois 2, donc, plus 10x,
24:06 ensuite, on a terminé avec le 5x,
24:09 donc, pour vous montrer ce que je fais quand on a terminé avec le 5x,
24:12 dans sa tête, ça je vous le fais dans sa tête, on l'enlève,
24:15 donc, il reste moins 10 fois x, moins 10x,
24:20 et moins 10 fois 2, moins 20.
24:25 Donc, hop, je vais remettre le 5x,
24:27 mais dans votre tête, vous devez l'enlever.
24:30 Hop, et là, c'est bon,
24:33 donc, on va remplacer tranquillement,
24:35 donc, a2x, c'est donc égal à 5x, le tout au carré,
24:38 donc, 5x fois 5x, 5 fois 5, 25,
24:42 et x fois x, x au carré,
24:44 ensuite, moins 2 fois 5x,
24:46 donc, 2 fois 5x, ça fait 10x,
24:48 10x fois 10, 100x,
24:50 donc, moins 100x, plus 10 au carré, 10 fois 10, 100,
24:56 et là, on a un moins devant une grande parenthèse,
25:01 donc, pour enlever la parenthèse, on change tous les signes à l'intérieur,
25:04 donc, le 5x carré, ça devient moins 5x carré,
25:08 le plus 10x devient moins 10x,
25:12 ce moins 10x là devient plus 10x,
25:15 et enfin, le moins 20 devient plus 20.
25:19 On change les signes,
25:20 on a un moins devant une parenthèse,
25:21 donc, pour enlever la parenthèse, on change tous les signes à l'intérieur.
25:24 Et à la fin, on simplifie et on réduit,
25:26 donc, a2x, c'est donc égal à,
25:29 les x carrés ensemble, 25x carré, moins 5x carré, ça donne 20x au carré,
25:36 ensuite, moins 100x, moins 10x, plus 10x,
25:41 donc, moins 10x plus 10x, ça fait 0,
25:44 les deux là s'amplifient,
25:45 moins 10x plus 10x, ça s'annule,
25:47 du coup, il y aura juste moins 100x,
25:50 et enfin, plus 10,
25:53 pourquoi plus 10, 10 au carré, ça vaut 100, pardon,
25:57 10 au carré, c'est 100,
25:59 donc, plus 100, plus 20, ça donne bien plus 120.
26:03 Donc, on a développé A,
26:05 A sous forme développée, c'est 20x carré, moins 100x, plus 120,
26:09 et si on veut se rassurer, on regarde la question en dessous,
26:12 on veut résoudre 20x carré, moins 100x, plus 120, égal 120,
26:15 donc, on regarde en dessous pour se rassurer.
26:18 Donc, ça, c'était développement, chapitre 3.
26:21 Ensuite, question 2, cette fois-ci, on veut factoriser,
26:25 donc, on se dit, pour factoriser, il y a deux techniques,
26:28 y a-t-il déjà un facteur commun ?
26:29 Donc, on a 5x moins 10, le tout au carré,
26:31 moins 5x moins 10, fois x plus 2,
26:33 bah oui, on a le facteur commun, 5x moins 10,
26:36 ça, on peut le réécrire autrement,
26:38 5x moins 10 au carré,
26:41 c'est donc 5x moins 10, fois 5x moins 10,
26:46 par exemple, 7 au carré, c'est 7 fois 7,
26:50 donc, 5x moins 10, le tout au carré,
26:52 c'est 5x moins 10, fois 5x moins 10,
26:54 il nous reste moins 5x moins 10, fois x plus 2.
26:59 Donc là, on identifie bien le facteur commun,
27:04 5x moins 10, il est là, et 5x moins 10, il est là,
27:07 donc, on le met en facteur commun, 5x moins 10,
27:11 on ouvre une grande parenthèse, et on y va,
27:14 5x moins 10, fois 5x moins 10,
27:19 bah, ça donne ce qu'il y a là,
27:22 si on développe 5x moins 10, fois 5x moins 10,
27:24 c'est ce qu'il y a ici,
27:26 attention, ici, il y a un moins,
27:28 et ensuite, 5x moins 10, fois x plus 2,
27:34 donne bien, 5x moins 10, fois x plus 2,
27:39 donc là, on a factorisé,
27:41 on simplifie au maximum,
27:43 donc, ça donne donc, 5x moins 10,
27:46 fois, première parenthèse, 5x moins 10,
27:52 et là, attention, il y a l'erreur,
27:54 il y a un moins devant une simple parenthèse,
27:57 donc, pour enlever la parenthèse, on change les signes intérieurs,
27:59 donc, le x devient moins x,
28:01 et le plus 2 devient moins 2,
28:04 et on simplifie, ça donne donc,
28:06 5x moins 10, fois,
28:10 donc, 5x moins x, 4x,
28:13 et moins 10, moins 2, moins 12,
28:16 donc, ça donne bien, 5x moins 10, fois 4x moins 12,
28:19 on a bien une multiplication à la fin,
28:21 et pour se rassurer, on regarde la question en dessous.
28:24 Ensuite, on va démarrer par cette équation,
28:27 c'est la plus simple,
28:28 résoudre l'équation 5x moins 10, fois 4x moins 12, égale 0,
28:31 ben, on a une équation produit nulle, égale à 0,
28:34 si a fois b est égale à 0,
28:35 donc, ça équivaut à, soit, 5x moins 10 est égale à 0,
28:39 ou, 4x moins 12 est égale à 0,
28:44 donc, pour résoudre cette équation là,
28:48 ben, on sait les faire,
28:49 pour enlever le moins 10 à gauche, plus 10 à gauche, plus 10 à droite,
28:53 ou, de l'autre côté, pour enlever le moins 12, plus 12 à gauche, plus 12 à droite,
29:00 et on termine, 5x égale 10, 5x, c'est 5 fois x,
29:08 donc, qu'est-ce qui est nul, en fois 5 ?
29:11 Et ben, c'est la division par 5,
29:13 donc, je divise par 5 à gauche, je divise par 5 à droite,
29:18 ou, 4x égale 12,
29:20 ben, qu'est-ce qui est nul, en fois 4 ?
29:22 C'est 1 divisé par 4, donc, 4x égale 12,
29:24 pour annuler le fois 4, je divise par 4 à gauche,
29:27 et on divise par 4 à droite,
29:29 et, du coup, c'est équivalent à,
29:33 x égale 10 divisé par 5, 2,
29:36 ou, x égale 12 divisé par 4, 3,
29:39 donc, il y a deux solutions, 2 et 3.
29:44 Maintenant, prenons l'autre équation,
29:46 on vous demande de résoudre 20x carré,
29:48 moins 100x, plus 120,
29:50 donc, celle-là, est égale à 120,
29:52 donc, ce n'est pas une équation qui est égale à 0,
29:55 donc, on arrive là, ça commence à nous faire peur,
29:58 on se dit, ben, première technique,
29:59 je mets les x, les inconnus d'un côté,
30:01 les nombres sont inconnus de l'autre,
30:02 donc, pour enlever le plus 120 à gauche,
30:04 on fait, donc, moins 120 à gauche,
30:07 et moins 120 à droite,
30:08 donc, ça fait 20x carré, moins 120 à droite,
30:11 ça fait 20x carré, moins 100x, plus 120,
30:15 ben, pour enlever le moins 120,
30:17 ben, on fait moins 120 à gauche,
30:19 c'est égal à 120 moins 120,
30:21 je détaille, hein, ici,
30:23 donc, c'est équivalent à,
30:27 donc, il reste 20x carré, moins 100x,
30:30 est égal à 120 moins 120, 0.
30:33 Et une fois qu'on arrive là,
30:35 c'est comme le petit c de l'exercice 2,
30:38 on a les x d'un côté,
30:40 mais on n'a pas de multiplication,
30:41 qu'est-ce qu'on doit faire
30:42 pour obtenir une multiplication ?
30:44 On est dans le chapitre factoriser,
30:46 donc, on peut factoriser,
30:49 donc, là, il y a un facteur commun qui est x,
30:51 donc, c'est x fois, on factorise par x,
30:54 et on met quoi dans la parenthèse ?
30:56 Ben, 20x,
30:57 x fois 20x donne 20x carré, moins,
31:00 x fois quelle nombre ?
31:02 Ben, fois 100, égale, moins 100x,
31:04 et sans ces résoudre,
31:06 x fois ça, égal à 0,
31:07 ben, c'est équivalent à,
31:08 soit x est égal à 0,
31:10 ou 20x moins 100 est égal à 0.
31:14 Et là, je vais aller vite pour la résolution,
31:17 ça fait x est égal à 0, ou,
31:19 donc, pour enlever le moins 100 à gauche,
31:21 plus 100 à gauche, plus 100 à droite,
31:23 et qu'est-ce qui annule un ?
31:27 X fois 20x, on divise par 20 des deux côtés,
31:30 donc, ça équivaut à,
31:32 soit x est égal à 0,
31:33 ou x est égal à 100 divisé par 24.
31:38 Donc, il y a deux...
31:39 Stop, stop, stop, c'est complètement faux,
31:42 100 divisé par 20, ça vaut 5,
31:45 donc, les deux solutions, c'est x égale 0,
31:47 ou x égale 5, attention.
31:49 Deux solutions, on met la collade,
31:51 s égale 0 et 4.
31:53 Et 5.
31:54 Voilà, donc, il faut bien penser à factoriser.
31:58 Ensuite, on passe au dernier exercice,
32:02 avec une fonction.
32:04 Donc, on vous dit,
32:06 on considère la fonction f,
32:08 définie sur - l'infini plus l'infini,
32:11 par f(x) = 3x + 1 fois x + 3 + 3x + 1,
32:15 le tout au carré.
32:16 Donc, montrer que pour tout réel x,
32:18 f peut s'écrire sous forme développée,
32:20 f(x) = 12x² + 16x + 4.
32:23 Donc, ce qu'on vous dit,
32:24 c'est-à-dire, on part de la fonction f ici,
32:27 on développe,
32:28 et on doit tomber sur ce résultat-là.
32:30 Donc, on vous donne,
32:31 ici, le résultat que vous devez obtenir à la fin.
32:34 Donc, on part de notre fonction f,
32:36 on part de son écriture de départ,
32:38 donc au départ, on a f(x) = 3x + 1 fois x + 3 + 3x + 1,
32:49 le tout au carré.
32:51 Donc, on part de ça,
32:52 on développe,
32:53 et on doit tomber sur ce résultat-là.
32:55 Donc, pour développer,
32:57 on démarre,
32:58 il faut que l'on démarre,
33:00 on démarre,
33:01 ici, on a 3x + 1 fois x + 3,
33:03 donc on va démarrer par la double distributivité,
33:06 plus, et ici, qu'est-ce qu'on reconnaît ?
33:08 On a 3x + 1, le tout au carré,
33:10 ici, on a la première identité remarquable.
33:15 Donc, on y va,
33:17 et vu qu'on a un plus,
33:18 on n'a pas besoin de mettre de parenthèse,
33:20 donc on peut démarrer,
33:21 donc on y va,
33:22 double distributivité 3x fois x,
33:25 donc 3x²,
33:27 plus 3x fois 3,
33:30 9x,
33:32 on a fini avec le 3x,
33:34 donc dans votre tête,
33:35 vous devez le cacher,
33:37 donc on le cache,
33:38 dès qu'on a fini dans sa tête,
33:41 donc il reste + 1 fois x,
33:43 1 fois x + x,
33:45 et + 1 fois 3,
33:47 + 3,
33:48 donc là, on a fait la double distributivité,
33:50 ensuite, il y a le plus qui est là,
33:52 et vu qu'il y a un plus,
33:53 on n'a pas besoin d'ouvrir
33:54 la parenthèse,
33:58 et on va faire ici la première identité remarquable,
34:04 donc on y va,
34:05 a + b, le tout au carré,
34:06 c'est donc a²,
34:08 donc c'est donc le a,
34:09 c'est donc 3x,
34:11 le tout au carré,
34:13 a²,
34:14 + 2 fois a,
34:16 donc fois 3x,
34:18 fois b,
34:19 donc fois 1,
34:21 + b²,
34:22 donc 1²,
34:24 double distributivité,
34:25 + première identité remarquable,
34:27 donc ça donne donc f(x) = 3x²,
34:31 + 9x + x,
34:33 donc ça fait + 10x + 3,
34:37 + 3x, le tout au carré,
34:39 donc 3x fois 3x,
34:40 3 fois 3,
34:41 9x, fois x,
34:42 x²,
34:43 + 2 fois 3x,
34:45 2 fois 3,
34:46 6x, fois 1,
34:47 bah + 6x,
34:48 + 1²,
34:49 ça vaut 1,
34:51 et hop, à la fin, on réduit,
34:53 donc les x² ensemble,
34:54 3x² + 9x²,
34:56 12x²,
34:58 10x + 6x + 16x,
35:02 et + 3 à + 1,
35:04 + 4,
35:05 et normalement,
35:06 on vérifie bien,
35:07 quand on tombe sur la fois
35:08 sous la forme développée,
35:09 ici, f(x) = 12x² + 16x + 4,
35:12 on a trouvé la même chose,
35:13 donc c'est bon,
35:14 on ne s'est pas trompé,
35:15 on a bien développé.
35:17 Ensuite, la question suivante,
35:19 montrez que pour tout val x,
35:21 f peut s'écrire sous forme factorisée,
35:23 et on vous donne la réponse.
35:25 Donc pareil,
35:26 on part de notre écriture de départ,
35:29 on factorise,
35:30 on vous demande la forme factorisée,
35:31 donc on factorise,
35:32 et on doit obtenir à la fin,
35:34 ce résultat-là.
35:36 Donc je parle de la fonction,
35:38 de son expression de départ,
35:39 donc 3x + 1 fois x + 3,
35:41 + 3x + 1,
35:42 le tout au carré,
35:43 et on doit factoriser.
35:45 Donc on se dit,
35:46 est-ce qu'il y a un facteur commun ici ?
35:48 Ben il y en a le 3x + 1,
35:49 facteur commun,
35:50 pour ça,
35:51 ça s'écrit 3x + 1 fois x + 3,
35:55 +,
35:56 et 3x + 1 au carré,
35:57 c'est 3x + 1 fois 3x + 1.
36:03 Et du coup,
36:04 on a bien notre facteur commun,
36:05 qui est 3x + 1,
36:07 il est en facteur commun,
36:09 donc on y va,
36:10 donc f(x) se factorise en 3x + 1,
36:15 fois, grande parenthèse,
36:18 donc 3x + 1 fois x + 3,
36:22 ça donne le résultat qu'il y a ici,
36:24 +,
36:25 hop, ici,
36:27 et du coup,
36:28 3x + 1 fois 3x + 1,
36:37 3x + 1 fois 3x + 1,
36:39 ça donne bien le résultat qu'il y a ici.
36:42 Et on simplifie ce qu'il y a dans les parenthèses,
36:44 donc ça donne f(x) = 3x + 1,
36:46 fois,
36:48 donc là, on a un plus,
36:49 donc pas besoin de changer les signes,
36:50 donc x + 3x, 4x,
36:52 et 3 + 1,
36:54 3 + 1, 4.
36:56 Et normalement,
36:57 hop,
36:58 on obtient bien ce qu'il y a écrit ici,
37:00 donc la forme factorisée,
37:01 c'est bien 3x + 1 fois 4x + 4,
37:03 et on a bien factorisé avec le facteur commun.
37:08 Ensuite, on vous dit,
37:10 en utilisant la forme la plus adaptée de f,
37:13 donc là, on a la forme développée,
37:16 et là, on a la forme factorisée,
37:20 développée en L2P.
37:28 Donc la question ici,
37:30 en utilisant la forme la plus adaptée de f,
37:32 soit la développée, soit la factorisée,
37:34 calculez l'image de 0 par f.
37:37 Donc la forme la plus adaptée,
37:38 c'est celle qui nous permet de calculer plus vite l'image de 0 par f.
37:41 On va prendre la forme développée.
37:43 Pour l'image de 0 par f,
37:45 il faut savoir que ça revient à calculer,
37:51 donc ça revient à calculer f(0),
37:56 et si on prend la forme développée,
37:57 ça va très vite penser que 0²,
37:59 ça fait 0, 12x0 = 0,
38:01 + 16x0 = 0,
38:02 donc il reste là le + 400,
38:04 on le voit à vue d'œil.
38:05 Donc f(0),
38:06 on prend la forme développée,
38:07 donc ça fait 12x0² + 16x0 = 4,
38:12 ça va très vite,
38:13 en une seconde c'est fait,
38:14 0², je le dis, ça fait 0,
38:15 12x0 = 0,
38:16 16x0 = 0,
38:17 donc il reste 4.
38:18 Donc l'image de 0 par f, c'est 4.
38:20 On prend la forme développée,
38:21 en une seconde c'est fait.
38:24 Ensuite, en choisissant la forme la plus adaptée,
38:26 calculez l'image de -1/3 par f,
38:28 donc c'est f(-1/3), l'image de -1/3.
38:32 Bon, du coup, on se dit,
38:33 si on a pris la forme développée,
38:34 on va forcément prendre la forme factorisée,
38:37 mais il faut juste comprendre
38:38 pourquoi c'est le plus rapide ici,
38:39 la forme factorisée.
38:41 F(-1/3), si on prend la forme factorisée,
38:44 donc ça fait 3 fois,
38:47 je remplace le x par -1/3,
38:49 donc -1/3 + 1,
38:54 fois 4, fois -1/3 + 4,
39:01 et ça, ça va très vite,
39:02 par 3 fois -1/3.
39:04 3 fois -1/3, ça donne -1 + 1,
39:07 ce qui donne 0.
39:08 Donc tout ça, si vous le tapez à la calculatrice,
39:11 ça vous fait 0.
39:13 3 fois -1/3, hop, il reste -1.
39:16 Et -1 + 1 = 0.
39:18 Donc tout ce facteur là, ça donne 0,
39:20 donc il reste 0 fois ce qu'il y a dans la parenthèse ici,
39:24 donc fois un nombre.
39:26 Pas besoin de le calculer.
39:28 Donc ça donne donc 0.
39:31 Donc ça fait 0 fois 4 fois -1/3 + 4,
39:34 et ça donne donc 0.
39:36 Donc sur la copie, on rédige,
39:38 donc ça fait, hop,
39:40 3 fois -1/3 + 1 fois 4 fois -1/3 + 4,
39:43 et ça, on dit que c'est égal à 0,
39:46 car 3 fois -1/3 + 1, c'est égal à 0.
39:51 Voilà, donc 0 fois un nombre, ça donne 0.
39:56 Ensuite, on passe aux deux dernières questions.
39:59 En utilisant la forme la plus adaptée,
40:01 déterminer les antécédents de 0 par f.
40:04 Déjà, il faut savoir ce que ça veut dire,
40:06 les antécédents de 0 par f.
40:08 Donc les antécédents de 0, ça veut dire qu'on doit résoudre
40:12 f(x) qui est égal à 0.
40:18 Donc pour résoudre cette équation f(x) = 0,
40:21 faut-il mieux prendre la forme développée
40:24 ou la forme factorisée ?
40:27 Eh bien, on prend la forme factorisée.
40:29 f(x) = 0, si f, on prend la forme factorisée,
40:31 donc ça donne 3x + 1 fois 4x + 4,
40:35 qui est égal à 0.
40:37 Et ça, on sait résoudre.
40:40 On a ça, 1 fois b, qui est égal à 0,
40:43 donc ça équivaut à, ici on sait résoudre,
40:45 c'est une équation pour d'une,
40:46 soit 3x + 1 = 0,
40:48 ou 4x + 4 = 0.
40:53 Et là, je vais le résoudre vite,
40:55 j'ai déjà fait 6 ou 7 ici.
40:57 Donc pour enlever le +1, -1 à gauche, -1 à droite.
41:01 Et ensuite, pour enlever ce qu'est ce qu'il y a de nul,
41:03 on va dire x3, c'est 1 divisé par 3,
41:05 donc ça fait 3x = -1,
41:07 et ce qu'il y a de nul, 1 fois 3,
41:09 c'est qu'on divise par 3 des deux côtés,
41:12 donc ça équivaut à x = -1/3,
41:15 ou ici, de l'autre côté, ce qu'il y a de nul,
41:18 on enlève le +4, on fait -4 à gauche, -4 à droite,
41:22 et 4 fois x, ce qui est de nul, 1 fois 4,
41:25 c'est qu'on divise par 4 des deux côtés,
41:28 donc ça équivaut à x = -1/3,
41:31 ou x = -4 divisé par 4, 1.
41:34 Donc il y a deux solutions, -1/3 et 1.
41:39 Donc pour celle-là, c'est facile.
41:41 Pareil, n'allez pas trop vite,
41:43 -4 divisé par 4, ça donne -1.
41:46 Donc les deux solutions sont -1/3, attention,
41:49 et -1, c'est pas 1.
41:51 -4 divisé par 4, ça vaut -1.
41:55 Donc les deux solutions sont -1/3 et -1.
41:59 On prend la forme factorisée.
42:02 Du coup, pour la dernière, vous en doutez,
42:05 si on a pris la forme factorisée,
42:07 on va prendre la forme développée.
42:09 Donc on y va, en choisissant la forme la plus adaptée,
42:12 déterminer les antécédents de 4 par f.
42:14 Donc si on veut les antécédents de 4,
42:16 il faut résoudre f(x) = 4,
42:19 et du coup on va prendre la forme développée.
42:23 Pour factoriser, on se retrouve bloqué.
42:26 Si on prend la forme factorisée,
42:28 3x + 1 fois 4x + 4 = 4,
42:30 ça on sait pas le résoudre dans le cours,
42:32 on sait résoudre que quand c'est égal à 0.
42:34 Donc f(x) = 4, on prend la forme développée,
42:36 donc ça revient à résoudre 2x² + 16x + 4 = 4.
42:43 On prend la forme développée de f,
42:46 et une fois qu'on arrive là,
42:48 ce qu'on a déjà fait dans l'exercice précédent,
42:50 on met l'x d'un côté et les nombres sans x de l'autre,
42:52 donc pour enlever le +4 ici,
42:54 on fait -4 à gauche, -4 à droite,
42:58 donc il reste 12x² + 16x = 4 - 4 = 0.
43:07 Et pour la troisième fois ici,
43:09 on a 12x² + 16x = 0.
43:11 On a mis l'x d'un côté, mais on n'a pas de multiplication.
43:13 Comment on peut faire pour obtenir une multiplication ?
43:15 On factorise.
43:17 Donc ici on a un facteur commun qui est x,
43:19 donc ça donne x * 12x + 16 = 0.
43:25 On factorise par x,
43:27 et du coup,
43:29 c'est équivalent à quoi ?
43:31 x * 12x + 16 = 0.
43:33 Ça équivaut à soit x = 0,
43:35 ou 12x + 16 = 0.
43:39 Car cette unique notion produit nulle.
43:41 Donc ça équivaut à x = 0,
43:45 ou 12x + 16 = 0.
43:48 Pour enlever le +16 à gauche, -16 à gauche, -16 à droite,
43:52 12x = -16.
43:54 Et pour terminer, 12 * x = 1 * 12,
43:59 on divise par 12 des deux côtés.
44:01 Donc ça équivaut à x = 0,
44:05 ou x = -16/12.
44:10 Et -16/12, ça peut simplifier cette fraction.
44:14 Ça simplifie en -4/3.
44:17 Donc il y a deux solutions à cette équation,
44:21 0 et -4/3.
44:23 -16/12, ça simplifie en -4/3.
44:26 Voilà, on a terminé la correction de cette longue interrogation.
44:30 Bonne révision !
44:32 Merci d'avoir regardé cette vidéo !