00:00Ouah ! Mais c'est quoi cette fonction immonde ?
00:02On se calme, on souffle fort, ça va bien se passer, c'est pas aussi dur que ça en a l'air.
00:07Ton algébrique te fait le corriger tout de suite.
00:09Allez, je te laisse lire l'énoncé, j'attaque avec la question 1a,
00:11montrer que g' de x égale f de x pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert.
00:15Alors très important ici, on ne vous précise pas que les fonctions g et f sont dérivables dans les questions 1a et 1b,
00:22donc il faudra bien le justifier.
00:24Ainsi, g est dérivable sur 0 plus l'infini ouvert,
00:27c'est une composée de exponentielle et de la fonction qui a x associée à racine de x
00:30qui, attention, est dérivable sur 0 ouvert plus l'infini.
00:35Elle est définie en 0, mais n'est pas dérivable en 0.
00:37Donc je fais le calcul, pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert, j'ai prime de x est égale,
00:40je fais la dérivée de ce qui était dans l'exposant devant et exponentielle de la même chose.
00:45La dérivée de racine de x, d'après le cours, c'est 1 sur 2 racine de x, donc ça fait bien ceci, qui est f.
00:49Check !
00:49Même bail, on doit dériver f maintenant et trouver f'.
00:52f est donc dérivable sur 0 plus l'infini, c'est un quotient de fonction dérivable sur 0 plus l'infini.
00:57Et le dénominateur ne s'annule pas.
00:58On va montrer que g est dérivable à la question d'avant, comme f, c'est le quotient de g sur 2 racine de x.
01:04f, numérateur et g.
01:06Donc pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert, f' de x est égale, j'applique la règle de dérivation d'un quotient.
01:11Donc comme j'ai g au numérateur, la dérivée de g, ça fait f de x fois le dénominateur de racine de x,
01:17moins le numérateur exponentiel de racine de x fois la dérivée du dénominateur,
01:21la dérivée de racine de x, c'est 1 sur 2 racine de x fois 2, 1 sur racine de x.
01:24J'ai bien ceci sur 2 racine de x au carré, ce qui fait 2 fois 2 fois racine de x fois racine de x.
01:30Racine de x fois racine de x, ça fait x.
01:32Et donc on a bien 4x au dénominateur.
01:34J'arrange un peu ici, donc je mets ces deux trucs au même dénominateur, f de x fois 2 racine de x.
01:40Ça se simplifie, ça fait juste exponentiel de racine de x.
01:43Donc je le multiplie par racine de x, j'aurai racine de x exponentielle de racine de x,
01:49moins exponentielle de racine de x, le tout sur racine de x.
01:52Et donc je multiplie les dénominateurs, puisque divisé par 4x, c'est multiplié par 1 sur 4x.
01:58Et je me retrouve bien avec cette expression-là.
01:59Check.
02:00De a et b, déterminer la limite de la fonction f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
02:05Alors f, c'est cette expression-là.
02:07En 0, j'ai le numérateur qui tend vers l'exponentielle de 0,1 par continuité de la fonction qui a x associé à l'exponentielle de racine de x.
02:13Il faut bien préciser que c'est la continuité qui permet de dire que cette limite vaut ça.
02:17Et le dénominateur tend vers 0+, donc j'ai une limite finie positive sur 0+, par quotient.
02:23J'ai bien que la limite est égale à plus l'infini.
02:26Check pour cette question.
02:26Une limite infinie en une valeur finie, ça veut dire que la droite d'équation x égale 0 est une asymptote verticale à la courbe de la fonction.
02:34Propriétés de cours à connaître.
02:35Check.
02:363a, déterminer la limite de f en plus l'infini.
02:38La limite de f en plus l'infini, c'est plus l'infini par le théorème de composition et le théorème des croissances comparées.
02:43Pourquoi ?
02:44Eh bien là, si je remplace racine de x par grand x, j'ai exponentiel de grand x sur x avec grand x étant vers plus l'infini.
02:50Puisque racine de x tend vers plus l'infini quand petit x tend vers plus l'infini.
02:54Et on sait, d'après le théorème des croissances comparées, que l'exponentielle de grand x sur grand x tend vers plus l'infini, divisé par 2 strictement positif, plus l'infini.
03:02Check.
03:02Étudier les variations de f sur 0 plus l'infini, dresser le tableau et y faire figurer les limites.
03:07Alors on a que l'exponentielle de racine de x divisé par 4x racine de x est strictement positif sur 0 plus l'infini.
03:11Donc le signe et les annulations vont dépendre simplement de l'expression racine de x moins 1.
03:16On en déduit le tableau suivant.
03:17On s'annule en 1, on est négatif avant, positif après.
03:20Le racine de x est plus petit que 1 quand x est plus petit que 1, x entre 0 et 1.
03:26Et quand x est plus grand que 1, racine de x est plus grand que 1, donc ceci est positif.
03:29Je vais faire ceci comme variation avec donc la limite en 0 plus qui vaut plus l'infini, la limite en plus l'infini qui vaut plus l'infini.
03:34Et un minimum que l'on calcule en remplaçant les x par des 1, racine de 1 ça fait 1.
03:39Et donc j'ai exponentielle de 1 sur 2.
03:41Ça me fait bien e sur 2 et donc ce tableau.
03:43Check.
03:43Ici c'est montré que l'équation f de x égale 2 admet une unique solution sur l'intervalle 1 plus l'infini
03:48et donner une valeur approchée à 10 moins 1 près de cette solution.
03:51On ne s'en venir gros comme une maison, ça va être une application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
03:55Donc on a que la fonction f est continue sur 1 plus l'infini puisqu'elle est dérivable sur cet ensemble.
04:00On a montré qu'elle était dérivable sur 0 vers plus l'infini.
04:03Elle est strictement croissante sur 1 plus l'infini d'après le tableau de variation qu'on a fait en question 3b.
04:08Donc sur 1 plus l'infini on est bien strictement croissant.
04:10Et de plus 2 c'est strictement plus grand que e sur 2 parce que si je multiplie par 2 j'ai 4 qui est strictement plus grand que e.
04:17Et donc on a bien que 2 appartient à cet intervalle e sur 2 plus l'infini.
04:20D'après le théorème de la biéjection ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,
04:24l'équation f de x égale 2 admet une unique solution que je vais nommer alpha sur 1 plus l'infini.
04:28Check.
04:28Et avec les bails de la calculatrice je trouve qu'alpha est compliquée entre 4,6 et 4,7.
04:32Check again.
04:33Précision, si on applique le corollaire du TVI sur cet intervalle là on pourrait trouver une autre valeur bêta telle que c'est égal à 2.
04:39Pour info.
04:40Question 4 on pose i est égal à l'intégrale de 1,2 de f de x d x calculé i.
04:44Bon bon on écrit la valeur cette intégrale sauf que ici on a f et on sait que g est une primitive de f d'après la question 1a.
04:50Une primitive de f ça veut dire quoi ?
04:52Ça veut dire que g est une fonction dérivable dont la dérivée vaut f.
04:55Donc d'après le théorème fondamental de l'analyse je prends une primitive de f qui est donnée par g entre 1 et 2 ce qui me fait g de 2 moins g de 1.
05:04Je calcule les valeurs en remplaçant donc j'ai e de racine de 2 moins e de racine de 1 qui fait simplement e.
05:10Intégrale pas bien méchante.
05:11Check.
05:12Interprétez graphiquement le résultat.
05:13Il s'agit de l'air qui est comprise entre la droite d'équation y égale 0, l'axe des abscisses, cf, la droite d'équation x égale 1 et x égale 2.
05:21Pourquoi ? Parce que f est strictement positif sur 1, 2.
05:23Donc une intégrale là c'est une r.
05:25Attention ce n'est pas vrai si f n'est pas positif sur l'intervalle d'intégration.
05:30Check.
05:305.
05:31On admet que f est deux fois dérivable.
05:33Là on nous le donne.
05:34Cette dérivée seconde vaut ceci.
05:35Petit a en posant grand x égale racine de x.
05:38Montrez que x moins 3 racine de x plus 3 est strictement positif pour tout x de l'intervalle 0 plus infini.
05:42On fait le changement de variable et on obtient ceci.
05:45On a remplacé les racines de x par grand x.
05:47Mais il faut faire disparaître tout ce qui est petit x.
05:49Et donc là si je reprends cette égalité, je vais exprimer petit x en fonction de grand x.
05:54Donc il faut que j'élève ceci au carré.
05:56Et donc racine carré de racine carré de x ça fait petit x.
06:01Et donc petit x est égal à grand x carré.
06:03Et donc là j'ai plus qu'à remplacer ici petit x par grand x carré, racine de x par grand x.
06:08Ce qui me donne bien cette inéquation à résoudre en fonction de grand x.
06:12Je calcule le discriminant.
06:13Le discriminant est strictement négatif.
06:15Donc ce polynôme de degré 2 que j'ai bien sûr reconnu est du signe du coefficient dominant.
06:20Donc ici 1 donc positif.
06:22Partout où il est défini.
06:23C'est à dire pour tout grand x dans R.
06:25Et en particulier pour tout x dans 0 plus l'infini.
06:28Les grand x qui sont égaux à racine de petit x.
06:31Ce sont des valeurs spécifiques de tous ces grand x dans R.
06:34Mais en particulier ceci est strictement positif aussi.
06:37Check pour ceci.
06:37Et enfin question B.
06:39Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 0 plus l'infini.
06:42F seconde c'est un produit quotient de trucs strictement positifs.
06:45Exponentiel de racine de x strictement positif.
06:488x2 fois racine de x strictement positif sur 0 ouvert plus l'infini.
06:52Et ce truc là d'après la question 5a on a dit que c'était strictement positif.
06:56Donc tout ce produit sage quotient est strictement positif sur 0 plus l'infini.
07:00Donc on a bien une fonction qui est strictement convexe.
07:03Check.
07:03Voilà je te laisse regarder les notes tranquillement.
07:05N'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu en as.
07:07Bisous.
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