- il y a 7 mois
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00:00Ok, paniquez pas, je vous montre comment on fait pour l'affirmation 5.
00:02On corrige l'exercice 1, je te laisse les rénoncer.
00:05Et on commence avec l'affirmation 1.
00:06Pour toutes les valeurs de α, les points A, B et C définissent un plan et un vecteur normal de ce plan, et J.
00:12Je vais aller assez vite, alors n'hésite pas à poser des questions en commentaire si jamais tu veux des précisions.
00:15Tout d'abord, on calcule les coordonnées du vecteur A, B et du vecteur B, C.
00:17On constate immédiatement qu'ils sont non collinéaires.
00:19Là, je n'ai aucun facteur qui me donne celui-ci, à moins que j'ai ça fois 0, et donc ça ne colle pas ici.
00:25Donc les deux vecteurs sont non collinéaires, et donc ils définissent bien un plan.
00:29Pour que j soit normal à ce plan, il faut qu'il soit normal à deux vecteurs qui engendrent le plan.
00:33Et là, il est bien normal à B, orthogonal plutôt, on dit.
00:37Par contre, il n'est pas orthogonal à B, C, puisque quand on fait le produit scalaire entre J et B, C,
00:41J a juste une coordonnée au milieu, donc ça nous fait bien 2.
00:45On a donc faux.
00:45Affirmation 2, il existe une valeur du réel α telle que les droites AC et D sont parallèles.
00:49Je mets les coordonnées du vecteur AC qui est un vecteur directeur de la droite AC,
00:52et du vecteur U qui est un vecteur directeur de la droite D d'après l'énoncé.
00:56Et ça, son système paramétré.
00:57Et on voit qu'on a relation de collinéarité si et seulement si α est égal à moins 1,
01:02puisque ici j'ai 2 qui est égal à 2 en deuxième coordonnée, le quotient vaut donc 1,
01:06donc il faut qu'α sur moins 1 vaille 1, et donc α vaille moins 1.
01:09Et quand on remplace α par moins 1, ça donne ce vecteur-là qui n'est pas collinéaire à celui-là.
01:13Pour la première coordonnée, ça donnerait α est égal à 2.
01:17Faux !
01:17Affirmation 3, une mesure de l'angle O à B est 135 degrés.
01:20On utilise la formule qui relie le cosinus d'un angle et le produit scalaire,
01:24et donc j'ai cette relation-là, je remplace par les coordonnées, je fais le calcul,
01:28moins 1 sur racine de 2, je multiplie en haut et en bas par racine de 2,
01:31ce qui fait moins racine de 2 sur 2.
01:32Et comme je ne suis pas un bolos qui connaît les valeurs de mon cercle trigonométrique,
01:35je sais que c'est plus ou moins 3π sur 4 modulo 2π,
01:38ce qui correspond bien pour une des mesures à 135 degrés.
01:41Vrai !
01:42Affirmation 4, le projeté orthogonal du point A sur la droite D est le point H de coordonnées 1, 2, 2.
01:46Première question à se poser, c'est est-ce que H appartient à D ?
01:48Parce que pour être le projeté orthogonal de quelqu'un sur D, il faut déjà être sur D.
01:53Et donc du coup, je mets les coordonnées de H égales aux valeurs du système paramétrique de D.
01:57J'en déduis T, j'ai que T vaut 0, 1 et moins 2, ce qui n'est évidemment pas possible,
02:01donc H n'appartient pas à la droite D.
02:03Faux !
02:04Et enfin, affirmation 5, la sphère de centre O et de rayon 1 rencontrent la droite D en deux points distincts.
02:09Je vous donne l'indication que la sphère de centre ω et de rayon R,
02:11c'est l'ensemble des points de l'espace situé à une distance R de ω.
02:14J'ai détaillé dans mon analyse du sujet, c'est dans le BO, mais ce n'est pas tout à fait au programme,
02:18mais on ne sait pas trop, donc oui, effectivement, c'était une petite surprise pas très agréable.
02:21Pendant les poteaux, il suffit de rester concentrés.
02:23On veut tous ceux qui sont à distance 1 du centre.
02:28La distance par rapport au centre, vous savez la calculer.
02:30C'est les points x, y, z, donc la distance au centre, c'est bien ça,
02:35tel que c'est égal à 1, donc c'est ça l'équation d'une sphère.
02:37Comme on rencontre D, on va mettre les valeurs du système paramétrique dans l'équation de la sphère.
02:41Donc je remplace 1 plus t, 2t, moins t au carré qui fait t carré,
02:45je résous, ça me donne ceci, je factorise, j'obtiens t est égal 0 ou t est égal moins 1 tiers.
02:51Je remplace les deux valeurs dans le système paramétrique.
02:52Il me donne ces deux points et tu peux vérifier qu'ils sont bien sur la sphère
02:55puisqu'ils sont à distance 1 du centre.
02:57Check, check, n'hésite pas si tu as des questions, bisous !
03:00Mais non, ne pas dit qu'est pas, ça va bien se passer, Totoile, j'ai brillé là.
03:02On corrige ensemble l'exercice 2 du bac Asie qui est tombé le jour 1.
03:06Probabilité, lis l'énoncé et moi j'attaque, question 1, à partir des données de l'énoncé,
03:10donner les probabilités P de F et P de S sachant F.
03:13Là c'était juste de la lecture dénoncée.
03:15De A, construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.
03:19Voici l'arbre, donc il fallait en déduire celle qui n'était pas directement donnée
03:22et j'ai mis en rose celle qu'on avait dans les questions suivantes
03:24parce qu'ils disent avec les données disponibles.
03:26Il y a un 0,2 ici.
03:27Check pour l'arbre.
03:28Montrer en 2B que P de S bar sachant F bar est égal à 0,2.
03:32J'applique la définition du cours.
03:33Donc la probabilité conditionnelle, c'est la probabilité de l'intersection
03:36divisée par la probabilité de F bar, mais j'ai chacun d'entre eux.
03:39Celui-ci c'est 0,01.
03:41Je dis que 1% des joueurs ne réussissent aucun des deux tests.
03:43P de F bar, on l'a eu en complétant l'arbre, donc c'est 0,05.
03:46Et après simplification, j'obtiens bien 0,2.
03:48Check pour ça.
03:49Crois, calculer la probabilité que le joueur choisi réussisse les deux tests.
03:51L'intersection entre F et S.
03:53Et ça, en utilisant la définition de la proba conditionnelle, c'est P de F fois P de S sachant F.
03:58Et on a chacun des deux, qui était ici dans l'arbre.
04:01Donc ça nous fait cette multiplication qui donne ceci.
04:03Check également.
04:04Question 4, montrer que la probabilité que le joueur réussisse le test de sécurité
04:06vaut 0,97 arrondi au centième.
04:09On va utiliser la formule des probas totales.
04:11Et avant de faire ça, n'oubliez pas qu'il faut justifier que F et F bar forment une partition de l'univers.
04:16Et donc d'après la formule des probabilités totales, la probabilité de S, c'est la probabilité de F inter S,
04:21plus la probabilité de F bar inter S.
04:23Et j'ai chacun deux.
04:24On l'avait juste avant.
04:25Et celui-là, c'est P de S sachant F bar fois P de F bar, qui apparaît ici dans l'arbre.
04:30Il me donne 0,971, soit 0,97 arrondi au centième.
04:33Check.
04:34On sait que lorsque le joueur réussit le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication
04:38de donner une valeur approchée au centième ?
04:39Probabilité conditionnelle encore, puisqu'on a réussi le test.
04:42Donc on est dans le contexte de ça.
04:43Et donc on veut P de F sachant ça.
04:45Par définition, c'est ceci.
04:46Et donc je remplace les valeurs.
04:48Ceci.
04:48Ici, dans le calcul, j'utilise la valeur exacte, comme elle est disponible et qu'elle n'est pas trop guéguée à mettre.
04:53Et donc j'obtiens ceci arrondi au centième.
04:55Check.
04:55Je te laisse mettre pause pour lire l'énoncé.
04:57J'attaque avec la question 1 de la partie B.
04:58Exprimer l'espérance et la variance de S.
05:00N, c'est une loi binomiale de paramètre N, P.
05:02Donc on applique le cours.
05:03N fois P pour l'espérance.
05:04N fois P fois 1 moins P pour la variance.
05:06Ouvre ces deux valeurs-là.
05:07Check et check.
05:08Là, on veut une valeur approchée à 10 moins 3 près de la probabilité que S 150 soit égale à 145.
05:12Formule théorique vaut ça et calculatrice, quoi.
05:14Et à 10 moins 3, on veut qu'au moins 94% des jouets aient réussi le test de fabrication.
05:19Donc on veut que le nombre de succès soit plus grand que 94 sur 100 fois 150.
05:23Et 141.
05:23Donc en fait, c'est cette probabilité-là qu'on évalue.
05:25Et pareil, calculatrice.
05:27Check.
05:27On introduit Fn et 3A.
05:29Calculer l'espérance et la variance de Fn.
05:31L'espérance de Fn, c'est l'espérance de ceci d'après l'énoncé.
05:33Par l'inérité de l'espérance, je fais sortir le facteur 1 sur n de l'espérance.
05:37Ce qui me donne bien ceci après simplification.
05:39Check.
05:39Veuillez pour la variance, sauf qu'il faut faire gaffe, quand j'ai un facteur dans la variance, il sort devant au carré.
05:43Un 1 sur n carré avec un n au-dessus, ça se simplifie, ça me fait 1 sur n.
05:47Et pause pour lire la question B.
05:49On a que P de i, c'est égal à cette proba qui est en fait égale à celle-ci, qui est 1 moins celle-ci, à laquelle je peux appliquer l'inégalité de BT.
05:56Après avoir résolu l'équation sur ça, je trouve n est égal à 2969.
06:00Check.
06:00N'hésite pas, si tu as des questions, à les poser en commentaire.
06:03Bisous.
06:03Ce bac tombé en asie, il était vraiment bizarre.
06:06Allez, on regarde ça, je te fais le corriger tout de suite.
06:07Exercice 3, je te laisse lire l'énoncé.
06:09J'attaque avec la question 1, calculez la valeur u2.
06:12Je réalise la relation de récurrence et je trouve 3,6.
06:15Question 2, montrer par récurrence que un est égal à 10 moins 8 fois 0,8 puissance n moins 1 pour tout n strictement positif.
06:21Initialisation, ça marche.
06:23On veut montrer que la formule est valide aussi pour n plus 1.
06:25Donc un plus 1 est égal à ceci d'après la relation par récurrence et par l'hypothèse de récurrence.
06:28Je peux remplacer un par cette expression.
06:31Je distribue le 0,8 fois 10, donc ça me fait bien 8.
06:34Et le 0,8 fois 0,8 puissance n moins 1, ça me fait 0,8 puissance n, puisque j'en avais n moins 1.
06:40Et là, j'en ai fois encore 1.
06:41Donc j'ai ça.
06:42Et ce qui me donne bien ceci.
06:43Terminer la limite de un et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
06:48On utilise l'expression qu'on a trouvée à la question précédente, donc offrant la limite de ceci.
06:52Ceci, ça tend vers 0.
06:53Pourquoi ? Parce que 0,8 y compris entre moins 1 et 1, et ça c'est une suite géométrique de raison 0,8.
06:59Donc ceci tend vers 0, par produit avec ça 0, et donc tout ça, ça tend bien vers 10.
07:03Ça veut dire que si on prend un très grand nombre de prises de médicaments, on aura environ 10 ml du médicament dans le sang.
07:09Chèque.
07:10Question 4.
07:10Soit-elle un entier naturel strictement positif ?
07:12L'équation UN supérieur ou égal à 10 admet-elle des solutions à interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice ?
07:19L'équation UN supérieur à 10, donc j'ai ceci supérieur à 10, je retranche les 10, j'ai 0 supérieur à ceci, je divise par 8 des deux côtés, je me retrouve avec 0,8 puissance n-1.
07:300,8 puissance n-1, quel que soit n strictement positif, c'est strictement positif, donc ça ne peut pas être inférieur ou égal à 0, et donc il n'y a aucune solution.
07:38L'interprétation, c'est simplement qu'on ne peut pas avoir plus de 10 ml du médicament dans le sang, quelle que soit la quantité de prise.
07:44Check pour ça, et check pour ça.
07:465 déterminer à partir de combien de prises de médicaments, la quantité de médicaments présents dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 ml, justifie la démarche.
07:53On demande en fait de résoudre cette inéquation, et donc je remplace UN par son expression d'après la question 2, je retranche 9 de chaque côté, j'ai 1 ici, je fais passer celui-là du côté droit, donc il devient positif, j'avais un moins là.
08:05Je divise par 8, donc j'ai 1 huitième plus grand que ceci, puissance n-1.
08:09J'appelais le logarithme, donc par strict croissance du logarithme, on est dans le même sens, ln de 1 huitième, ça va être n-1, la puissance des 100 de ln de 0,8.
08:16Je divise par ln de 0,8 qui est strictement négatif, attention à ne pas se faire avoir, car 0,8 est entre 0 et 1, et entre 0 et 1, le ln est strictement négatif, 0 et 1 strict.
08:25Et donc j'obtiens que n-1 est plus grand que ça, n-1 plus grand que ceci, qui vaut environ 9,319, autrement dit n-1 plus grand que 10, et donc n supérieur ou égal à 11.
08:38A partir de 11 prises, check !
08:39C'est la partie B, je te laisse lire l'énoncé, et question 1, on demande de calculer S2.
08:44C'est simple, u1 plus u2 sur 2, ce qui me fait ceci, donc 2,8, check !
08:48Montrez que pour tout entier naturel n strictement positif, u1 plus u2, ta ta ta ta ta jusqu'à un, est égal à ceci.
08:53Alors quand on voit ça, on ne panique pas, ça va bien se passer.
08:56J'écris tranquillement la somme un, donc je vais utiliser le symbole somme, et donc je remplace uk par son expression en fonction de k d'après la question 2.
09:04J'ai la somme pour k variant de 1 à n de ceci, puisque j'ai u1, ta ta ta ta ta, un, donc je vais bien de 1 à n, duk, et ça c'est uk.
09:13Par linéarité de la somme, ça va être la somme des 10 moins la somme des 8 fois ceci, puisqu'une somme d'une somme, la somme des sommes.
09:25Ça me donne deux sommes séparées, et la somme des 10, vu que j'ai n termes dans la somme, ça fait bien 10 fois n.
09:30J'ajoute 10, 10, 10, 10, n fois.
09:32Et je passe le 8 en facteur, puisque le 8 est à l'intérieur de la somme, mais il peut factoriser tout le monde.
09:38Et donc j'ai la somme de ceci, et je reconnais la somme des termes d'une suite géométrique, qui vaut 1 moins raison, nombre de termes.
09:46Donc je vais de 1 à n, je suis puissance n, sur 1 moins la raison.
09:50D'ailleurs on note que ici c'est 1, parce que k commence à 1, mais on n'a qu'à moins 1, donc on a 0,8 puissance 0, donc 1, plus 0,8 puissance 1, jusqu'à 0,8 puissance n moins 1.
10:01C'est pour ça qu'ici j'ai 1 puissance n.
10:021 moins 0,8, ça fait 0,2, 1 sur 0,2, ça fait 1 fois 5 en haut.
10:07Donc j'ai 8 fois 5, 40, et donc j'ai 40 en facteur de tout ça, j'avais le 10n devant, je distribue le 40, j'ai donc 10n moins 40, moins 40 fois 1, plus 40 fois 0,8 puissance n.
10:18Check.
10:19Question 3, calculer la limite de sn.
10:21Après la question précédente, sn c'est l'expression qu'on a trouvé juste avant, divisé par n, ce qui donne ceci.
10:26Il y a déjà la limite de 10 moins 40 sur n, c'est égal à 10, ceci, cette limite c'est 0, par addition.
10:31On a bien 10.
10:31Ensuite il faut trouver la limite de 0,8 puissance n sur n.
10:34Et bien là on va utiliser les gendarmes, 0,8 puissance n sur n, c'est compris entre 0 et 1 sur n, pourquoi ?
10:38Parce que 0,8 puissance n est compris entre 0 et 1, et je divise tout par n, 0 divisé par n ça fait 0, ça fait ça, et j'ai 1 sur n ici.
10:45Et j'ai que 0 tend vers 0 quand même tend vers l'infini, 1 sur n aussi.
10:49Donc d'après le théorème des gendarmes, j'ai bien que la limite de 0,8 puissance n sur n, c'est 0.
10:54Ainsi par addition, la limite de sn sur n est égale à 10, check.
10:584, on donne la fonction mystère écrite en Python, et donc voici la fonction.
11:02On demande dans le contexte de l'énoncé ce que représente la valeur que renvoie la fonction mystère quand on l'applique à 9.
11:09La fonction mystère n démarre à 1, puis ensuite on prend s égale 2, comme vous en doutez la première valeur de sn, donc c'est s1, n égale 1, ça c'est le rang.
11:18Et tant que s est inférieur à k, donc tant que s est strictement inférieur à 9, k c'est 9 ici, n prend n plus 1, et s prend la valeur de l'expression que j'avais en fonction de n.
11:31Donc à la première étape j'étais à n égale 1, n est devenu 2, et donc s prend la valeur pour n égale 2, donc autrement dit s2.
11:40On voit d'ailleurs que dans le code Python on a bien mis l'expression qui correspond à toute cette somme-là divisée par n.
11:45Et donc j'ai s2, je recommence la boucle, je teste si s est plus petit que 9, et si ce n'est pas le cas je recommence, donc je suis à n égale 3,
11:53et là s va être remplacé donc il va prendre la valeur s3, je teste s3, et ainsi de suite, et ainsi de suite, et à un moment donné comme s va augmenter,
12:01mais que s est croissant, et qu'elle tend vers 10, forcément à un moment donné il y a une première valeur pour laquelle on va dépasser 9.
12:08Et là on ne va pas aller dans la boucle, on va sortir et on va afficher n.
12:12Et bien ce n, ça sera le premier entier pour lequel je suis supérieur ou égal à k, ici 9.
12:18La réponse c'est que mystère nous renvoie la plus petite valeur pour laquelle sn est supérieure ou égal à n.
12:22Plus petite valeur de n.
12:23Check !
12:24Enfin 5, justifiez que cette valeur est strictement supérieure à 10.
12:27On calcule S10 qui donne cette quantité-là, qui vaut environ 6,43, et ça c'est bien strictement inférieur à 9.
12:34Tu peux multiplier par 10 l'inégalité, puis faire passer le 100 moins 40 de l'autre côté, diviser par 40, pour dire que 0,8 puissance 10 est bien plus petit que 1, puisque 0,8 est plus petit que 1, et la puissance 10 pareil.
12:44Mais vu que sn est croissante, forcément les valeurs de n qui sont inférieures ou égales à 10, donc les entiers compris entre 1 et 10, sont telles que sn est inférieur ou égal à s10, qui lui-même est strictement inférieur à 9.
12:58Donc tous les sn pour n entre 1 et 10, sont inférieurs strictes à 9.
13:02Donc mystère de 9 qui renvoie l'entier le plus petit pour lequel on est strictement supérieur à 10, ne peut pas être un de ces entiers-là, car chacun de ces entiers, on est strictement plus petit que 9, alors que pour cet entier-là, on est supérieur ou égal à 9.
13:17Alors c'était une question un petit peu inhabituelle, on a rarement ce genre de questions pour les exercices sur les suites, et notamment dans les algorithmes de seuil avec du piton.
13:25Concentrant, ça se faisait quand même bien.
13:26Je te laisse checker les notes de correction, et si jamais tu as une question, n'hésite pas à la poser en commentaire. Bisous !
13:31Ouah ! Mais c'est quoi cette fonction immonde ?
13:34On se calme, on souffle fort, ça va bien se passer, c'est pas aussi dur que ça en a l'air.
13:39Toi, l'algébrique, te fais le corriger tout de suite.
13:40Allez, je te laisse faire l'énoncé, j'attaque avec la question 1a, montrer que g'2x égale f2x pour tout x dans 0 plus infini ouvert.
13:47Alors très important ici, on ne vous précise pas que les fonctions g et f sont dérivables dans les questions 1a et 1b, donc il faudra bien le justifier.
13:55Ainsi, g est dérivable sur 0 plus l'infini ouvert, c'est le composé d'exponentielle et de la fonction qui a x associée à racine de x,
14:02qui, attention, est dérivable sur 0 ouvert plus infini.
14:06Elle est définie en 0, mais n'est pas dérivable en 0.
14:08Donc je fais le calcul, pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert, g'2x est égal, je fais la dérivée de ce qui était dans l'exposant devant et exponentielle de la même chose.
14:16La dérivée de racine de x, d'après le cours, c'est 1 sur 2 racines de x, donc ça fait bien ceci, qui est f.
14:20Check !
14:21Même bail, on doit dériver f maintenant et trouver f'.
14:23f est donc dérivable sur 0 plus l'infini, c'est un quotient de fonction dérivable sur 0 plus l'infini, et le dénominateur ne s'annule.
14:30Ça va montrer que g est dérivable à la question d'avant, comme f, c'est le quotient de g sur 2 racines de x.
14:36f, numérateur, et g.
14:38Donc pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert, f' de x est égal, j'applique la règle de dérivation d'un quotient.
14:43Donc comme j'ai g au numérateur, la dérivée de g, ça fait f de x fois le dénominateur 2 racines de x,
14:48moins le numérateur exponentiel de racines de x fois la dérivée du dénominateur, la dérivée de racines de x, c'est 1 sur 2 racines de x fois 2, 1 sur racines de x.
14:56J'ai bien ceci sur 2 racines de x au carré, ce qui fait 2 fois 2 fois racines de x fois racines de x, racines de x fois racines de x, ça fait x,
15:04et donc on a bien 4x au dénominateur.
15:06J'arrange un peu ici, donc je mets ces deux trucs au même dénominateur, f de x fois 2 racines de x, ça se simplifie, ça fait juste exponentiel de racines de x,
15:14donc je le multiplie par racines de x, j'aurai racines de x exponentielle de racines de x, moins exponentielle de racines de x, le tout sur racines de x,
15:23et donc je multiplie les dénominateurs, puisque divisé par 4x, c'est multiplié par 1 sur 4x, et je me retrouve bien avec cette expression-là.
15:31Check !
15:32De a et b, déterminer la limite de la fonction f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
15:37Alors f, c'est cette expression-là, en 0, j'ai le numérateur qui tend vers l'exponentielle de 0, 1,
15:41par continuité de la fonction qui a x associée à l'exponentielle de racine de x, il faut bien préciser que c'est la continuité qui permet de dire que cette limite vaut ça,
15:49et le dénominateur tend vers 0+, donc j'ai une limite finie positive sur 0+, par quotient,
15:55j'ai bien que la limite est égale à plus l'infini.
15:57Check pour cette question.
15:58Une limite infinie en une valeur finie, ça veut dire que la droite d'équation x égale 0 est une asymptote verticale à la courbe de la fonction.
16:06Propriété de cours à connaître.
16:07Check !
16:083a, déterminer la limite de f en plus l'infini.
16:10La limite de f en plus l'infini, c'est plus l'infini par le théorème de composition et le théorème des croissances comparées.
16:15Pourquoi ? Eh bien là, si je remplace racine de x par grand x, j'ai l'exponentielle de grand x sur x, avec grand x étant vers plus l'infini,
16:21puisque racine de x tend vers plus l'infini quand petit x tend vers plus l'infini.
16:26Et on sait, d'après le théorème des croissances comparées, que l'exponentielle de grand x sur grand x tend vers plus l'infini,
16:31divisé par 2 strictement positif, plus l'infini.
16:34Étudier les variations de f sur 0+, dresser le tableau et y faire figurer les limites.
16:38On a que l'exponentielle de racine de x divisé par 4x, racine de x est strictement positif sur 0+, infini,
16:43donc le signe et les annulations vont dépendre simplement de l'expression racine de x moins 1.
16:47On en déduit le tableau suivant.
16:49On s'annule en 1, on est négatif avant, positif après.
16:52Racine de x est plus petit que 1 quand x est plus petit que 1, x entre 0 et 1,
16:57et quand x est plus grand que 1, racine de x est plus grand que 1, donc ceci est positif.
17:01Je fais ceci comme variation, avec donc la limite en 0+, qui vaut plus l'infini,
17:04la limite en plus l'infini qui vaut plus l'infini,
17:06et un minimum que l'on calcule en remplaçant les x par des 1, racine de 1 ça fait 1,
17:10et donc j'ai exponentielle de 1 sur 2.
17:12Il me fait bien 1 sur 2, et donc ce tableau, check.
17:15Ici c'est montrer que l'équation f de x égale 2 admet une unique solution sur l'intervalle 1 plus l'infini,
17:20et donner une valeur approchée à 10 moins 1 près de cette solution.
17:23On le sent venir gros comme une maison, ça va être une application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
17:27Donc on a que la fonction f est continue sur 1 plus l'infini, puisqu'elle est dérivable sur cet ensemble.
17:32On a montré qu'elle était dérivable sur 0 vers plus l'infini.
17:35Elle est strictement croissante sur 1 plus l'infini, d'après le tableau de variation qu'on a fait en question 3b.
17:39Donc sur 1 plus l'infini, on est bien strictement croissante.
17:42Et de plus, 2 c'est strictement plus grand que E sur 2, parce que si je multiplie par 2, j'ai 4 qui est strictement plus grand que E.
17:49Et donc on a bien que 2 appartient à cet intervalle, E sur 2 plus l'infini.
17:52D'après le théorème de la bijection ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,
17:55l'équation f de x égale 2 admet une unique solution que je vais nommer alpha sur 1 plus l'infini.
17:59Check.
18:00Et avec les bails de la calculatrice, je trouve qu'alpha est complète entre 4,6 et 4,7.
18:04Check again.
18:05Précision, si on applique le corollaire du TVI sur cet intervalle-là, on pourrait trouver une autre valeur bêta telle que c'est égal à 2, pour info.
18:12Question 4, on pose I est égal à l'intégrale de 1,2 de f de x d x calculé I.
18:16Bon bon, on écrit la valeur de cette intégrale, sauf qu'ici on a f et on sait que G est une primitive de f d'après la question 1A.
18:22Une primitive de f, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que G est une fonction dérivable dont la dérivée vaut f.
18:27Donc d'après le théorème fondamental de l'analyse, je prends une primitive de f qui est donnée par G entre 1 et 2, ce qui me fait G de 2 moins G de 1.
18:36Je calcule les valeurs en remplaçant.
18:38Donc j'ai E de racine de 2 moins E de racine de 1 qui fait simplement E.
18:42Integrale pas bien méchante, check.
18:43Interprétez graphiquement le résultat.
18:45Il s'agit de l'air qui est comprise entre la droite d'équation y égale 0, l'axe des abscisses, cf, la droite d'équation x égale 1 et x égale 2.
18:52Pourquoi ? Parce que f est strictement positif sur un 2.
18:55Donc une intégrale, là c'est une aire.
18:57Attention, ce n'est pas vrai si f n'est pas positif sur l'intervalle d'intégration.
19:01Check.
19:025, on admet que f est deux fois dérivable.
19:05Là on nous donne, sa dérivée seconde vaut ceci.
19:07Petit a, en posant grand x égale racine de x.
19:09Montrez que x moins 3 racine de x plus 3 est strictement positif pour tout x de l'intervalle 0 plus infini.
19:14On fait le changement de variable et on obtient ceci.
19:17On a remplacé les racines de x par grand x.
19:18Mais il faut faire disparaître tout ce qui est petit x.
19:21Et donc là si je reprends cette égalité, je vais exprimer petit x en fonction de grand x.
19:26Donc il faut que j'élève ceci au carré.
19:28Et donc carré de racine carré de x, ça fait petit x.
19:33Et donc petit x est égal à grand x carré.
19:34Et donc là j'ai plus qu'à remplacer ici petit x par grand x carré, racine de x par grand x.
19:39Ce qui me donne bien cette inéquation à résoudre en fonction de grand x.
19:43Je calcule le discriminant.
19:45Le discriminant est strictement négatif.
19:46Donc ce polynôme de degré 2 que j'ai bien sûr reconnu est du signe du coefficient dominant.
19:51Donc ici 1, donc positif.
19:53Partout où il est défini, c'est-à-dire pour tout grand x dans R.
19:57Et en particulier pour tout x dans 0 plus l'infini.
20:00Les grand x qui sont égaux à racine de petit x.
20:02Ce sont des valeurs spécifiques de tous ces grand x dans R.
20:05Mais en particulier ceci est strictement positif aussi.
20:08Check pour ceci.
20:09Et enfin question B, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 0 plus l'infini.
20:13F seconde, c'est un produit quotient de trucs strictement positifs.
20:17Exponentiel de racine de x, strictement positif.
20:198x2 fois racine de x, strictement positif sur 0 ouvert plus l'infini.
20:24Et ce truc-là, d'après la question 5a, on a dit que c'était strictement positif.
20:28Donc tout ce produit sage quotient est strictement positif sur 0 plus l'infini.
20:32Donc on a bien une fonction qui est strictement convexe.
20:34Check.
20:35Voilà, je te laisse regarder les notes tranquillement.
20:37N'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu en as.
20:39Bisous !
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