00:00Correction de l'exercice 4 qui est tombé en centre étranger jour 1,
00:03et on va répondre à la grande question, est-ce qu'il y avait une erreur dans l'énoncé ?
00:07Eh bien reste jusqu'au bout de la vidéo pour le savoir.
00:09On commence avec la partie A, question 1.
00:11On pose la fonction constante définie par h de t est égal 1 sur 120,
00:15montrer que h est solution de l'équation différentielle E1.
00:18h est bien sûr dérivable et on l'a dérivé, ça fait 0,
00:21et on fait 0 plus 0,48 h, ça nous fait 0,48 sur 120,
00:25qui fait bien 1 sur 250. Check.
00:27Question 2, donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle y' plus 0,48y est égal à 0.
00:33D'après le cours, on a cette formule, on n'oublie pas de préciser que k est dans R. Check.
00:37On déduit l'ensemble des solutions de l'équation différentielle E1.
00:39En vrai, on aurait pu le donner directement parce que les solutions sont au programme telles qu'elles,
00:43mais notez qu'à la question 1, on vous a donné une solution particulière.
00:47Vous avez les solutions à l'équation qu'on appelle homogène à la question 2.
00:50Donc d'après le principe de superposition, les solutions, c'est solution homogène, c'est-à-dire celle-ci,
00:56plus la solution particulière qu'on avait trouvée juste avant.
01:00Donc toutes les solutions de l'équation différentielle E1 s'écrivent de cette façon,
01:04et on précise k dans R. Check.
01:07On passe à la partie B.
01:08Je te laisse dire l'énoncé, et je commence avec la question 1.
01:11Montrez que si P est solution de l'équation différentielle E2,
01:14alors Y est solution de l'équation différentielle E1.
01:17Donc on commence le raisonnement.
01:18On suppose que P est solution de E2, montrant que Y est solution de E1.
01:22Et bien pour montrer que Y est solution de E1,
01:24j'écris simplement le membre gauche de l'équation E1,
01:27et j'espère trouver en développant le membre droit.
01:30Je remplace les Y par 1 sur P.
01:31P est strictement positif, donc différent de 0, donc c'est OK.
01:34Donc Y ici, j'ai 0,48 sur P, et j'ai la dérivée de 1 sur P.
01:38Qui me fait moins P' sur P carré, attention à ne pas se tromper sur la formule,
01:41plus 0,48 sur P.
01:43Et je remplace moins P' par P moins 120 fois P sur 250,
01:47parce que P est solution de E2.
01:48E2 c'est cette équation, et donc moins P' c'est ça multiplié par P moins 120,
01:53ce que j'ai bien mis ici.
01:54Donc j'ai tout ceci plus ceci.
01:57Les P ici se simplifient.
01:58J'obtiens P moins 120 sur 250 P plus 0,48 sur P.
02:02Ça me fait P sur 250 P qui simplifie 1 sur 250.
02:05Moins 120 sur 250 P, ça me fait moins 0,48 P qui simplifie avec celui-là,
02:10donc ça fait bien sûr 250.
02:11Et donc je conclue bien que Y est solution de E1.
02:14Check !
02:15La fameuse question 2 qui met tout le monde en sueur.
02:18On va montrer que P de T est bien de cette forme-là.
02:21Et du coup, est-ce qu'il y avait une erreur ou pas ?
02:23Suspense.
02:24Y est solution de E1, donc d'après la question 3 de la partie A,
02:27il existe une condensée telle que Y est égale C exponentielle de moins 0,48 P plus 1 sur 120.
02:33Cette expression-là est strictement positive, comme dit dans l'énoncé.
02:37Donc je peux faire 1 sur Y de T, c'est différent de 0, et donc j'ai 1 sur ceci.
02:41Et donc là, j'ai un 1 sur 120, mais je veux un 1 au dénominateur.
02:45Donc je vais multiplier en haut et en bas par 120.
02:48Du coup, ça me fait un 120 en haut, ce qui est d'ailleurs bien ce que je voulais.
02:51Et 120 fois ceci que je distribue à ça, donc 120C exponentielle moins 0,48 T plus 1, 120 sur 120.
02:58Et vu que C décrit les réels, 120C est une autre constante qui décrit aussi les réels.
03:02Et donc si je remplace 120C par une constante K, j'ai bien P de T qui s'écrit de la forme 120
03:07fois une constante exponentielle moins 0,48 T plus 1, et cette constante est dans R.
03:12Check !
03:13Donc il n'y avait pas d'erreur d'énoncer, il fallait juste faire gaffe à ce qu'on avait écrit.
03:16Et remanipulez bien l'expression pour obtenir quelque chose de la forme voulue
03:20et ne pas se laisser troubler par ce genre de calcul.
03:233. En utilisant la condition initiale, déterminez la valeur de K.
03:27P de 0 égale 30, donc on a 30 est égal à l'expression de P en 0,
03:31ce qui fait que j'ai un 0 dans l'exponentielle, donc 1, donc 120 sur K plus 1,
03:35ce qui me fait bien ceci.
03:36Je multiplie par K plus 1, je divise par 30.
03:38J'ai 4 côté gauche et 1 plus K côté gauche, pardon, et donc j'ai 4 côté droit.
03:43Et donc ça me donne K égale 3.
03:45K plus 1 égale 4, K égale 3.
03:47Check pour cette question.
03:484. Déterminer la limite de P de T et donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
03:53La limite de P de T en plus d'infini, c'est égal à 120 par composition et quotient.
03:57Pourquoi ? Parce que la limite de l'expression ici, c'est moins l'infini.
04:01Par composition, la limite de l'exponentielle de ce truc-là qui tend vers moins l'infini,
04:05ça tend vers 0, produit 0, plus 1 addition, 1, 120 sur 1 quotient, 120.
04:10Check !
04:11Et enfin, dernière question. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse 60 000 individus.
04:16On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et en minutes.
04:19Ça équivaut simplement à résoudre l'inéquation P de T strictement supérieure à 60 ou supérieure à égal, peu importe.
04:24Et donc, je replace P de T par son expression, je multiplie par le dénominateur ici et je divise par 60, ce qui me donne ceci.
04:32Je retranche 1, je divise par 3, ça me donne cette inégalité-là.
04:36J'applique le logarithme, logarithme de 1 tiers, ça fait bien moins l'in de 3.
04:39Logarithme de l'exponentielle, deux trucs, ça me fait truc.
04:41Donc, j'ai moins 0,48 T qui est strictement inférieur à moins l'in de 3, je divise par moins 0,48 qui est négatif, donc je change le sens de l'inégalité.
04:49J'ai moins l'in de 3 sur moins 0,48 inférieur strict à T et ce truc-là, c'est environ égal à 2,289.
04:56Donc, on va prendre cette bêtise-là pour l'approximation du temps qu'il faut.
04:59Et donc, j'obtiens 2 heures plus 0,289 heures que je multiplie par 60, ce qui me fait bien 17 minutes.
05:06J'ai même fait le prouveur, j'ai fait les virgules des minutes que j'ai multiplié par 60 pour obtenir le résultat en seconde.
05:12Check final.
05:13Voilà pour tout l'exercice, n'hésite pas, si jamais tu as des questions, à les poser en commentaire.
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