Comment primitiver des fonctions compliquées en terminale?La recette pas à pas en 10 étapes. Tu pourras en faire moins quand tu seras plus robuste.#primitive #fonction #terminale #integrales

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00:00Et terminal spémat, on vous voit, le bac approche et vous n'êtes pas au point sur les primitives,

00:04alors je vous ai concocté une bonne vidéo pour vous dire sur quoi vous devez être au point pour être sûr d'avoir votre bac.

00:08Déjà les intégrales de chemin, puis les intégrales sur des bords de triangle dans un ouvert convexe des nombres complexes,

00:14et bien sûr la notion d'indice par rapport à un chemin fermé.

00:17On dit merci les formules de Cauchy, parce que sans ça vous pouvez dire adieu à votre bac.

00:21C'est bon, j'ai ton attention ? Allez, c'est bon, je suis sérieux deux secondes,

00:24et je te montre ici recette pour primitiver les expressions en terminale.

00:29Parce qu'il y en a encore beaucoup d'entre vous qui galérez à trouver des primitives,

00:32alors je vous ai concocté une suite d'instructions pas à pas, très détaillées,

00:37qui vous permet à coup sûr de trouver n'importe quel primitif qu'on vous posera en terminale.

00:42Et on va appliquer cette recette avec un exemple, pour que tu puisses voir comment ça fonctionne et toi-même le reproduire.

00:47Et on va faire cet exemple-là sur l'intervalle moins 2 plus l'infini.

00:50Premier point, reconnaître la partie pertinente et la formule de primitivation,

00:55c'est en rapprochant le plus dans les opérations qui sont listées dans le cours.

00:58Pour analyser votre expression, ici on a un quotient, et au dénominateur on a une expression au cube.

01:04On va donc céder de ce tableau de primitiv, merci lycée adulte,

01:07et je regarde dans mes propositions la formule qui se rapproche le plus en fonction des caractéristiques que j'ai vues.

01:12Donc j'ai dit j'ai un quotient, ça se joue là, là, ou là, a priori, même si dans certains cas ça peut être plus subtil.

01:19Et surtout j'ai quelque chose au cube, donc j'ai une puissance qui est autre que 1.

01:23Ici j'ai une puissance 1, et là j'ai différent de 1, et là j'ai une racine.

01:28Donc si je veux un cube, c'est a priori cette expression-là qui va convenir.

01:312. Écrire la formule théorique de primitivation du cours.

01:35C'est exactement ce que je viens de faire ici.

01:373. Identifier qui joue le rôle de U dans la formule, puis N s'il y a du N.

01:42Donc le symbole ici signifie que je veux primitiver cette expression,

01:46et donc cette expression-là doit correspondre à cette expression-là.

01:49Comme on l'a dit, j'ai une fraction avec un dénominateur puissance N,

01:52donc il faut que j'identifie qui sera le U puissance N.

01:55Pour l'instant je me concentre sur ça.

01:57U, c'est le truc puissance 3, puisque j'ai U puissance N,

02:00et donc N c'est 3, et U c'est X3 plus 8.

02:03On vérifie que ça colle bien.

02:05U puissance N, ça fait X3 plus 8 parenthèse au cube.

02:08Pour l'instant c'est bon.

02:084. Calculez U' avec notre U, ce qu'on a choisi comme étant U,

02:14au sève de l'expression pour le moment.

02:16Donc ne soyez pas troublés par ça,

02:17on se concentre sur notre U ici, et on calcule U'.

02:21Si vous êtes bien au point sur vos formules de dérivation,

02:23vous avez bien que X3 se dérive en 3X2, 8 en 0,

02:27donc la dérivée de U c'est 3X².

02:295. Exprimez la primitive à l'aide de la formule théorique du cours,

02:33en remplaçant U et U' et N s'il y en a.

02:36Donc la primitive c'est toute cette expression,

02:38et je remplace.

02:39J'ai donc bien fait ce qu'il fallait dans cette expression-là,

02:42j'ai fait primitive de U' sur U,

02:44avec mon U et U', est égal,

02:46et j'ai remplacé ici par N et U.

02:48N valait 3, donc 3 moins 1, 2,

02:50j'ai bien un 2 ici, j'ai un 2 là,

02:52j'ai mon U là, j'ai mon moins ici.

02:54Cette primitive est celle qu'on obtient par application directe.

02:576. Faire apparaître la fonction que l'on a primitivée juste avant,

03:01dans l'expression de l'exercice.

03:03Donc voici l'expression de l'exercice,

03:05et moi je veux faire apparaître cette expression-là

03:07que j'ai primitivée avec le symbole en ceci,

03:10cette expression-là, je veux la faire apparaître ici.

03:13Donc j'analyse l'expression que je veux faire apparaître ici,

03:16et l'expression que j'ai,

03:17et je vois que la distinction entre les deux,

03:19c'est qu'ici j'ai un facteur 4,

03:21et ici j'ai un facteur 3.

03:22Eh bien je vais tout simplement mettre un facteur 3,

03:25éloigner le 4,

03:26et diviser par 3 pour compenser,

03:27parce qu'il faut bien que ce soit égal à ceci.

03:30Comme ça c'est bon.

03:31Non c'est pas bon, concentre-toi,

03:33on n'a pas égalité,

03:34puisque j'ai un 3 ici et je ne l'ai pas là.

03:37Donc il faut que je divise par 3 ici,

03:39comme ça les 3 se simplifient,

03:40et j'ai bien 4x² sur ceci,

03:42ce qui correspond à mon expression ici.

03:45J'ai bien l'égalité des deux expressions,

03:47en ayant réussi à faire apparaître l'expression

03:49que je sais primitivée par application directe du cours.

03:52C'est ce qui était précisé,

03:53on doit avoir constante 100x fois expression qu'on a primitivée avant.

03:577 primitivée à l'aide de la formule de primitivation A fois U.

04:01Ici quand on dit U, U c'est tout ça.

04:03Donc ça, ça s'est primitivé en ceci,

04:05donc A fois ça va se primitiver en A fois ceci.

04:10Et mon A ici c'est ceci,

04:11donc je vais avoir comme primitif ça fois primitif de ça.

04:15Donc j'ai primitif de l'expression que je voulais primitiver dans l'exercice,

04:18qui est égal à A fois primitif de ceci,

04:21et je remplace primitif de ceci par ceci,

04:24puisque j'avais l'égalité ici en bleu,

04:26et j'obtiens A fois la primitive en question,

04:29donc 4 tiers fois ceci.

04:30Et si je la réécris bien après simplification,

04:32j'ai que la primitive de ça, c'est cette expression-là.

04:368, écrire la primitive plus C, C dans R.

04:39Donc souvent les questions ça va être de trouver

04:41toutes les primitives de l'expression 4x² sur x cube plus 8 au cube.

04:45Si on les veut toutes, et pas juste une seule,

04:48on écrit une belle phrase en disant

04:49les primitives de la fonction qui a x associé cette expression-là

04:53sont données par ceci plus C, C dans R.

04:57Si maintenant on donne une condition initiale,

04:59c'est-à-dire on vous demande de trouver la primitive

05:02qui vérifie que f de quelque chose égale autre chose,

05:05bien neuf, utiliser l'égalité des images

05:07pour obtenir une équation sur C, résoudre et trouver C.

05:10Exemple, l'énoncé me dit que je veux la primitive

05:13qui vérifie que f de 1 égale 2.

05:15Il n'y en a bien qu'une seule qui vérifie ça.

05:16Il y a une infinité de primitives,

05:18donc il faut donner toutes les primitives,

05:20mais il n'y en a qu'une seule qui vérifie cette égalité.

05:22Eh bien je prends mon expression de primitive avec le C

05:25et je remplace x par 1 et je pose ceci égal à 2.

05:29C'est l'équation qui est là et ça va me permettre de trouver C.

05:31Ce qui me donne cette égalité où j'ai remplacé x par 1

05:34et j'ai simplifié les calculs,

05:36ce qui me donne C est égal à ceci

05:37après avoir résolu l'équation d'un connu C.

05:40Et enfin, étape 10, écrire la fonction avec la valeur de C obtenue.

05:43Nous, on voulait trouver la fonction,

05:45donc la primitive qui vérifie cette condition.

05:48Et donc je reprends mon expression générale

05:49et je remplace simplement le C qui est ici

05:51par la valeur de C obtenue

05:53qui correspond à cette condition initiale.

05:56Ainsi, pour toute x dans moins 2 plus l'infini,

05:58la fonction f est donnée par la relation f de x

06:00est égale moins 2 sur 3 x cube plus 8 au carré

06:03plus 488 sur 243.

06:06Si tu l'évalues en 1, tu obtiendras bien 2

06:09et si tu la dérives, tu obtiendras bien cette fonction-là.

06:12Allez, je te laisse screen les étapes

06:13et surtout applique-les sur cet exemple.

06:16Lâche ta réponse en commentaire.

06:18Bisous !

06:19Et on n'oublie pas la condition initiale.

06:20À toi de jouer, BG !

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