00:07Bonjour, nous allons faire l'exercice suivant.
00:10Soit la fonction f définie sur l'intervalle de 0 à plus infini ouvert par f de x égale x
00:19facteur de ln de x plus exponentiel de moins 1.
00:22Deux questions. Question A. Calculer f prime de x. Question B. En déduire le tableau de variation de la fonction
00:31f sur l'intervalle de 0 à plus infini ouvert.
00:35Avant de commencer la question A, posons l'intervalle grand i égale à l'intervalle de 0 à plus infini
00:43ouvert.
00:44Question A. Calculer f prime de x. Nous devons déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction.
00:52La fonction qui a x associé le nombre x est dérivable sur l'intervalle i. En effet, cette fonction est
01:01une fonction affine.
01:03D'après votre leçon, la fonction ln, c'est-à-dire la fonction du logarithme épérien, est dérivable sur son
01:10ensemble de définition,
01:12c'est-à-dire sur l'intervalle i, sur l'ensemble des réels strictement positifs.
01:17Donc la fonction qui a x associé x facteur ln de x est dérivable sur l'intervalle i comme produit
01:26de fonction dérivable sur l'intervalle i.
01:30Posons u de x égale x et v de x égale ln de x.
01:35Alors la fonction f est de la forme u fois v plus k, avec k égale exponentielle de moins 1,
01:43c'est-à-dire l'inverse du nombre e.
01:46K étant une constante, nous pouvons maintenant dire que la fonction f est dérivable sur l'intervalle i.
01:54L'ensemble de dérivabilité de la fonction f est tout simplement, ici, son ensemble de définition.
02:01Sachant que u de x égale x, u prime de x est égale à 1.
02:07Et d'après votre leçon, la dérivée de la fonction logarithme épérien est la fonction inverse.
02:15Ainsi, v prime de x est égale à 1 sur x.
02:19La fonction f étant de la forme u fois v plus k, k étant une constante,
02:26la dérivée de f est donc égale à la dérivée de u fois v.
02:30En effet, vous savez que la dérivée de fonction constante correspond à la fonction nulle.
02:36La dérivée du produit u fois v est égale à u prime fois v plus u fois v prime.
02:45Ainsi, quel que soit x appartenant à l'intervalle i,
02:50f prime de x est égale à 1, c'est-à-dire u prime de x,
02:54fois ln de x, c'est-à-dire v de x,
02:58plus x, c'est-à-dire u de x,
03:02fois 1 sur x, c'est-à-dire v prime de x.
03:06D'où f prime de x est égale à ln de x plus 1,
03:11car x fois 1 sur x, c'est-à-dire x fois son inverse,
03:16est égale à 1.
03:16Voilà pour la question A.
03:18Passons à la question B.
03:20Nous devons en déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle i.
03:27Pour déterminer le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle i,
03:31nous allons étudier le signe de sa dérivée.
03:34Pour quelle valeur de x la dérivée s'annule-t-elle ?
03:38Dans l'intervalle i, f prime de x égale 0 équivaut à ln de x plus 1 égale 0,
03:45équivaut à ln de x égale moins 1,
03:48qui équivaut à x égale exponentielle de moins 1.
03:52En effet, d'après votre leçon,
03:56pour tout réel x strictement positif,
03:59ln de x égale a équivaut à x égale exponentielle de a.
04:05Déterminons pour quelle valeur de l'intervalle la dérivée est strictement positive.
04:12f prime de x est strictement positif équivaut à ln de x plus 1 strictement supérieur à 0,
04:20équivaut à ln de x strictement supérieur à moins 1,
04:24équivaut à ln de x strictement supérieur à ln d'exponentielle de moins 1.
04:29Nous pouvons nous servir de la démarche précédente.
04:32Nous avons vu, il y a un instant,
04:34que lorsque x est égal à l'exponentielle de moins 1,
04:36ln de x égale moins 1.
04:38Et ainsi, f prime du x est strictement positif
04:41équivaut à x strictement supérieur à l'exponentielle de moins 1.
04:46En effet, d'après votre leçon,
04:48pour deux réels x, y strictement positif,
04:51ln de x strictement supérieur à ln de y
04:54équivaut à x strictement supérieur à y.
04:57Nous pouvons maintenant établir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle i.
05:04Nous allons d'abord établir le tableau de signes de la dérivée.
05:09N'oubliez pas de mettre la double barre, car 0 est une valeur interdite.
05:13La dérivée de f ainsi que la fonction f n'est pas définie en 0.
05:17Nous avons vu que la dérivée de la fonction f s'annule pour exponentielle de moins 1.
05:22Quand x est strictement supérieur à l'exponentielle de moins 1,
05:25la dérivée est strictement positive.
05:28Étant donné que nous avons tout à l'heure travaillé par équivalence,
05:31nous pouvons en déduire que la dérivée de la fonction f
05:34est strictement négative
05:36sur l'intervalle de 0 à l'exponentielle de moins 1 ouvert.
05:40Et ainsi, nous pouvons établir
05:42le centre de variation de la fonction f
05:44à partir du signe de sa dérivée.
05:47La dérivée étant strictement négative
05:49sur l'intervalle ouvert de 0 à l'exponentielle de moins 1,
05:52nous pouvons en déduire que la fonction f
05:54est strictement décroissante
05:56sur l'intervalle de 0 à l'exponentielle de moins 1,
05:59ouvert en 0 et fermé en l'exponentielle de moins 1.
06:02Et nous pouvons également en déduire,
06:04étant donné que la dérivée est strictement positive
06:07sur l'intervalle de l'exponentielle de moins 1 à plus infini ouvert,
06:12que la fonction f est strictement croissante
06:15sur l'intervalle de l'exponentielle de moins 1 à plus infini fermée.
06:18Pour terminer, déterminons l'image d'expondentiel de moins 1 par la fonction f.
06:24Nous remplaçons x par expondentiel de moins 1 dans son expression algébrique, d'où cette écriture.
06:30ln de expondentiel de moins 1 est égal à moins 1.
06:34Et ainsi, f de expondentiel de moins 1 est égal à moins expondentiel de moins 1 plus expondentiel de moins
06:411, d'où égal à 0.
06:43La question B est terminée.
06:46Une petite remarque pour cet exercice de terminale, il est tout à fait possible d'étudier pour cette fonction les
06:53limites aux bornes de son ensemble de définitions.
06:56Bon courage !
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