Sur le site officiel : https://www.lycee-pierre-bourdan-maths-video.net/Les-deux-vecteurs-sont-ils-colineaires
vous pouvez poser vos questions et laisser vos commentaires.
1re question à 0:19
2me question à 2:02
3me question à 4:12
Soutien scolaire gratuit donné par les professeurs de mathématiques du lycée Pierre Bourdan de Guéret.
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ÉducationTranscription
00:00Bonjour, nous allons faire l'exercice suivant.
00:10On donne les coordonnées de deux vecteurs u et v dans un repère.
00:15Question, sont-ils collinaires ?
00:17Trois questions pour cet exercice.
00:20Rappelons la définition de deux vecteurs collinaires non nuls.
00:23Dire que deux vecteurs non nuls, u qui est égal au vecteur ab et v qui est égal au vecteur cd, sont collinaires, signifient qu'ils ont la même direction.
00:36C'est-à-dire que les droites ab et cd sont parallèles.
00:39Pour répondre à ces trois questions, nous allons procéder de différentes manières.
00:44Question a, le vecteur u a pour coordonnées 6-4 et le vecteur v a pour coordonnées 18-12.
00:51Sont-ils collinaires ?
00:53Dans le cas présent, nous allons utiliser la méthode la plus efficace pour démontrer que ces deux vecteurs sont collinaires.
01:00Vous avez différentes propriétés à votre disposition.
01:03Vous avez à votre disposition la propriété suivante.
01:06Dans un repère du plan, deux vecteurs non nuls sont collinaires, si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
01:12Vous avez également à votre disposition le théorème suivant.
01:16Deux vecteurs non nuls, u et v, sont collinaires, si et seulement si il existe un réel cas non nul,
01:23tel que le vecteur v est égal à qu'un facteur le vecteur u.
01:27Si vous utilisez la propriété, vous apercevez rapidement que les coordonnées des deux vecteurs u et v sont proportionnelles.
01:34En effet, moins 18 est égal à moins 3 fois 6 et 12 est égal à moins 3 fois moins 4.
01:41Donc les coordonnées des deux vecteurs sont bien proportionnelles et donc les vecteurs u et v sont collinaires.
01:49Si vous souhaitez appliquer le théorème, nous pouvons immédiatement écrire que le vecteur v est égal à moins 3 facteur le vecteur u.
01:59Et donc les vecteurs u et v sont collinaires.
02:02Passons à la question B.
02:03Les vecteurs u et v sont incollinaires.
02:06Nous allons utiliser une autre propriété.
02:08Dans un repère du plan, soit u et v, deux vecteurs de coordonnées respectives x, y et x prime, y prime.
02:16Alors, les vecteurs u et v sont collinaires si et seulement si leur déterminant est nul.
02:22Le déterminant des vecteurs u et v est le réel x facteur y prime moins y facteur x prime.
02:31On le note de la façon suivante.
02:34Petite remarque, ce déterminant correspond à la différence des produits en croix.
02:40Alors, pourquoi ici on privilégie ces propriétés par rapport aux deux méthodes vues à la question précédente ?
02:47Si les vecteurs sont collinaires, trouver un éventuel coefficient de proportionnalité n'est pas forcément évident.
02:54Donc, nous allons calculer le déterminant des vecteurs u et v.
02:58Le déterminant des vecteurs u et v est égal, entre parenthèses, à racine carrée de 2 moins 1, facteur de la somme de racine carrée de 2 et de 1.
03:09Moins 1 fois 1.
03:10Donc, nous avons bien fait x facteur de y prime moins y facteur x prime.
03:19Calculons maintenant cette différence.
03:21Pour le premier terme, nous allons utiliser la troisième identité remarquable qui nous dit que a moins b facteur de a plus b est égal à a au carré moins b au carré.
03:33D'où le carré de racine carrée de 2 moins 1 au carré.
03:39On n'oublie pas le deuxième terme de la différence.
03:41Et on écrit moins 1 car, bien entendu, 1 fois 1 est égal à 1.
03:47Et donc, le déterminant des vecteurs u et v est égal à 2 moins 1 moins 1 car le carré de racine carrée de 2 est égal à 2 et le carré de 1 est égal à 1.
03:59Et donc, ce déterminant est égal à 0.
04:01D'après la propriété rappelée précédemment, comme le déterminant des vecteurs u et v est nul, nous pouvons déduire que les vecteurs u et v sont collinéaires.
04:13Passons à la question C.
04:14Le vecteur u a pour coordonnée 7 moins 9 et le vecteur v a pour coordonnée 3, 2.
04:20Ces deux vecteurs sont-ils collinéaires ?
04:22Donc, à ce stade de l'exercice, vous avez deux propriétés à votre disposition et un théorème.
04:28Quelle méthode choisir ?
04:29Faut-il aller chercher un coefficient de proportionnalité ?
04:32Faut-il essayer de trouver le réel k non-nul tel que le vecteur v est égal à k facteur le vecteur u ?
04:39Ou peut-on, de nouveau, calculer le déterminant des vecteurs u et v ?
04:44Certains élèves vont privilégier le fait de montrer que les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
04:50Ce qui peut aboutir quelquefois à une rédaction qui n'est pas forcément géniale.
04:55Dans le cas présent, je vais privilégier l'utilisation de la propriété avec le déterminant.
05:01Je vous rappelle que le déterminant est donc la différence des produits en croix.
05:05La rédaction avec le déterminant des deux vecteurs est une rédaction rigoureuse et rapide.
05:12Le déterminant des vecteurs u et v est donc égal à x facteur de y prime moins y facteur de x prime.
05:21Ainsi, le déterminant des vecteurs u et v est égal à 7 fois 2 moins 9 fois 3.
05:29Ce déterminant est égal à 14 plus 27.
05:32Cette somme est égal à 41 et donc le déterminant est différent de 0 et donc les vecteurs u et v ne sont pas collinaires.
05:45Cette vidéo est terminée.
05:47Bon courage !