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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
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00:00L'exercice 13 du poly-LLG pour préparer sa rentrée en classe préparatoire,
00:03on a un exercice hyper intéressant qui montre un principe analogue à celui sur lequel se base le raisonnement par récurrence.
00:09Soit une partie de n étoile qui contient 1 et qui vérifie que pour toute n, le double de n est dans a,
00:17et deuxième propriété pour toute n dans n étoile, si un entier est dans a, n plus 1, alors l'entier précédent n est dans a.
00:23Et on veut montrer en 2b que a c'est en fait l'ensemble de tous les entiers naturels non nuls.
00:27Pourquoi est-ce que je dis que c'est analogue au principe du raisonnement par récurrence ?
00:30Tout simplement parce que le raisonnement par récurrence, ça caractérise les ensembles qui sont des sous-ensembles des entiers naturels
00:35qui contiennent le premier entier, 0 ou alors 1, ça dépend,
00:39et qui vérifient la propriété que s'ils contiennent un entier, ils contiennent le suivant.
00:43Et donc comme ils contiennent 0 ou 1 et que s'ils contiennent un entier, ils contiennent le suivant,
00:47ils contiennent celui d'après, et comme ils contiennent aussi le suivant,
00:50ils contiennent celui d'après et celui d'après, tatatatata.
00:53Et bien là on a un principe de contamination entre guillemets un petit peu différent.
00:56On va voir ce que ça donne intuitivement et puis après on va faire les démos.
00:59Bon déjà je contiens 1, mais comme pour tout n dans a, a contient le double de n,
01:04je contiens 2 puisque je contiens 1, donc je contiens 2 fois 1.
01:07Mais comme je contiens le double, je contiens 4.
01:10Mais 4 c'est 3 plus 1, or si 3 plus 1 est dans a, d'après cette propriété j'ai que 3 est dans a,
01:15donc je contiens 3.
01:16Et je peux continuer, je contiens 8, 16, etc.
01:18Et à chaque fois j'ai plus qu'à descendre pour reprendre tous les entiers que je n'avais pas entre guillemets avant.
01:25Et on voit bien qu'intuitivement on aura tout le monde.
01:27Petit a, on va donc montrer que pour tout m, 2 puissance m appartient à a.
01:31Simple raisonnement par récurrence, en utilisant cette propriété là, je te laisse faire en posant bien les choses.
01:36Montrer que a est égal à n étoiles, c'est à dire que tout entier naturel non nul appartient à a.
01:42Et bien on a démontré dans la question précédente que toutes les puissances de 2 appartiennent à a.
01:48Soit un entier naturel quelconque.
01:50Et bien pour cet entier là, j'ai nécessairement une puissance de 2 qui lui est strictement supérieure.
01:55Ou égale en vrai.
01:56Et bien d'après la propriété 2 que j'itère autant de fois que la puissance en question,
02:01j'ai nécessairement tous les entiers qui sont avant la puissance.
02:04Et comme mon entier n est inférieur ou égal à la puissance que j'ai choisi,
02:07j'ai bien que n appartient à a.
02:09J'ai montré que tout entier naturel non nul appartient à a.
02:12Donc a est égal à n étoiles.
02:14Voilà, n'hésite pas à faire la rédaction propre du raisonnement par écurrence en commentaire.
02:17Bisous !

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