- 16/06/2025
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00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont déjà passé le bac de maths 2025.
00:04On attaque la correction du sujet Amérique du Nord tombé le jour 1.
00:07Et j'attaque avec l'exercice 1. Je vous laisse mettre pause pour bien lire l'énoncé et les données.
00:12Et on va faire la partie A.
00:13Donc question 1, recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.
00:18L'arbre est ici.
00:19Si vous êtes bien concentré, toutes les données sont ici.
00:22Donc ça, c'est ce qui apparaît sur les premières branches.
00:24Et vous avez les autres données dans les cas où on est dans A, B ou C qui apparaissent ici.
00:30Et donc ça nous donne cet arbre de probabilité.
00:32Check.
00:33Question 2, démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à 0,12.
00:38D'après l'arbre de probabilité qu'on a, passer par B et être stable, c'est le produit de ça par ça.
00:44Autrement dit, la probabilité de B multipliée par la probabilité de S sachant B.
00:49Ce que j'ai exprimé ici, ça me fait donc 0,8 fois 0,15, ce qui me fait bien 0,12.
00:54Check.
00:55Question 3, calculer la probabilité P de C inter S bar.
00:58et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
01:01Même raisonnement en utilisant l'arbre.
01:03Je vais donc à C et puis je pars à S bar.
01:06Donc j'ai le produit 0,15 fois 0,6 et donc ça me donne 0,09.
01:10Ce qui signifie en termes de pourcentage que 9% des utilisateurs vont transiter par le serveur C
01:15et avoir une connexion instable.
01:17Check.
01:18Question 4, démontrer que la probabilité de l'événement S et P de S est égale à 0,855.
01:23Les événements A, B, C forment une partition de l'univers ou un système complet d'événements.
01:28Donc d'après la formule des probas totales, j'ai que la probabilité de S et la probabilité de S inter A,
01:32plus la probabilité de S inter B, plus la probabilité de S inter C.
01:36Et donc j'ai ces probabilités-là en appliquant la même relation que ici à l'aide de mon arbre de probabilité.
01:41Donc ça fois ça, plus ça, fois ça, plus ça, fois ça, ce qui revient à la somme de tous les chemins menant à S.
01:48Ce qui me fait donc ce calcul-là.
01:49Et ce qui me donne finalement 0,855.
01:52Check.
01:52Question 5, on suppose désormais que la connexion est stable.
01:55Calculez la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.
01:58On va donner un arrondi au millième.
02:00Eh bien là, on va utiliser la formule de Bayes.
02:01Alors attention, on ne peut pas l'utiliser parce qu'elle n'est pas stricto sensu au programme de terminale,
02:05mais c'est la manip.
02:06Donc on n'a que P de B sachant S, puisqu'on est dans le contexte où on suppose que c'est stable.
02:11est égal à P de B intérès sur P de S.
02:13Et donc d'après la question 2, ça c'est ce produit.
02:16En fait, je l'ai calculé ici, c'est 0,12.
02:18Et donc j'ai 0,12 sur 0,855.
02:21D'après la question 4, et en arrondi, ça me donne 0,140.
02:25Check pour ça.
02:26Je te laisse regarder les réponses, et comme tu le vois, la suite arrive bientôt.
02:29N'hésite pas à poser tes questions en commentaire.
02:31Bisous.
02:32On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont dû utiliser bien aimé Chebyshev aujourd'hui.
02:35Oui, on attaque la correction de la partie B de l'exercice 1 du sujet 2025 tombé en Amérique du Nord, jour 1.
02:41Pour la partie A, check dans la description ou sur mon profil.
02:44Et donc je commence avec la question 1.
02:46Je te laisse bien lire l'énoncé, et petit a, on admet que x suit une loi binomiale pour préciser ses paramètres.
02:51Alors là, c'est tranquille, vu qu'on fait 50 répétitions, elle est de paramètre 50, 0,145, ça c'est la probabilité de succès.
02:57Ici, il n'y avait pas besoin de justifier, mais si jamais on vous demande de justifier,
03:00pour rappel, voici un modèle que j'avais mis, donc vous l'adaptez simplement ici avec les données de l'énoncé.
03:05Question 1b.
03:06Donnez la probabilité qu'au plus 8 connexions soient instables.
03:08On arrondit au millième.
03:10Au plus 8 instables, ça veut dire qu'on est inférieur ou égal à 8,
03:13et donc en le faisant à la calculatrice, j'obtiens environ ceci, arrondi au millième.
03:17Check.
03:18Question 2.
03:18Je te laisse mettre pause pour lire l'énoncé.
03:20Et moi, je fais le petit a.
03:21Donnez l'expression en fonction de n de la probabilité Pn qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
03:27Eh bien du coup, Pn va être égal à la probabilité que x soit supérieur ou égal à 1,
03:30puisqu'on en veut au moins une instable.
03:32Et on rappelle que c'est le succès de l'expérience de Bernoulli associée, être instable.
03:37Et ça, en passant au complémentaire, c'est 1 moins la probabilité que x soit égal à 0,
03:42puisque le contraire d'être supérieur ou égal à 1, c'est simplement être égal à 0 pour une variable binomiale.
03:47Et ça vaut tout simplement ceci.
03:49Check.
03:49Déterminer en justifiant la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que la probabilité Pn est supérieur ou égal à 0,99.
03:55Je vais donc résoudre l'inéquation Pn supérieur ou égal à 0,99.
03:58Et donc j'écris l'expression de Pn.
04:00Je fais passer le 0,99 côté gauche et le moins 0,855 puissance n côté droit.
04:06Donc lui prend un moins et lui perd son moins.
04:08Ici, ça fait 0,01.
04:10Et ensuite, j'applique le logarithme pour faire descendre la puissance n ici.
04:14Donc j'ai le logarithme népérien de 0,01 supérieur ou égal à ceci par propriété du logarithme.
04:20Et je divise par le logarithme népérien de 0,855.
04:23Et attention, je ne me fais pas avoir ceci.
04:26C'est un nombre négatif car 0,855 est strictement inférieur à 1.
04:31Donc l'inégalité dans l'autre sens, c'est que n est supérieur ou égal à ce truc qui vaut environ 99,39.
04:36Et donc la plus petite valeur de n supérieur à ceci, c'est n égale 30.
04:40Check.
04:41Question 3, je te laisse lire et petit a, on nous demande l'espérance de e de fn.
04:45Vu que fn, c'est tout simplement xn sur n, on a que cette espérance c'est 1 sur n, espérance de xn par linéarité de l'espérance.
04:53Or l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale c'est n fois p, donc divisé par n, ça fait bien 0,145.
04:59Check.
05:00On admet que la variance vaut ceci et on nous demande de vérifier en petit b que cette probabilité est inférieure ou égale à 12,5 sur n.
05:07Et le voici, tonton bien-aimé, on va appliquer l'inégalité de bien-aimé Chebyshev à la variable aléatoire fn.
05:14Et comme par magie, ici on a l'espérance de fn.
05:16Et donc la proba que la valeur absolue de fn moins son espérance soit supérieure à 0,1, qui est bien strictement positive,
05:22c'est la variance de fn divisé par 0,1 carré, ce qui me fait ceci, d'après l'énoncé sur n, divisé par 0,1 carré,
05:29qui fait ceci, et ceci c'est majoré par 12,5, et donc tout ça par 12,5 sur n.
05:37Check.
05:38Maintenant pour répondre à la question du commentaire à laquelle j'ai déjà répondu en vidéo, regarde dans la description sur mon profil.
05:43On peut aussi utiliser l'inégalité de concentration, mais il faut bien faire attention sur qui on l'utilise.
05:47On ne peut pas l'utiliser directement sur fn.
05:49Comme le montre cette énoncée de cours que j'ai pris sur lycée adulte, il me faut un échantillon de variable aléatoire,
05:54et donc mn c'est la moyenne empirique de cet échantillon.
05:57Vu que fn c'est xn sur n et que xn c'est le mois binomial, xn est une somme de variables aléatoires suivant une loi Bernoulli,
06:04donc indépendante et de même paramètre, et donc fn est tout simplement la moyenne empirique d'un échantillon de variables suivant une loi de Bernoulli,
06:12de paramètre d'ailleurs 0,145.
06:15Et donc ici on a bien mn, ici on a bien l'espérance de chacun des Bernoulli, qui est donc 0,145 la proba associée,
06:23on met le 0,1 ici, 0,1 carré, on a le n, et on a la variance de Bernoulli.
06:28Ici on calcule, nous donne bien ce qui est indiqué dans l'énoncé.
06:31Donc oui ça marchait aussi, même si c'était plus relou, parce que du coup il fallait définir les variables aléatoires qui formaient ton échantillon.
06:37Bref, question c'est, on a un responsable qui dit un échantillon de 1000 connexions,
06:41et qui constate que pour cet échantillon f1000 est égal à 0,3, il soupçonne un dysfonctionnement, a-t-il raison ?
06:47D'après ce qu'on a vu avant, la probabilité que f1000 moins 0,145 en valeur absolue soit plus grande que 0,1,
06:53cette proba là est plus petite que ceci, qui vaut 0,025.
06:58Donc tomber sur un échantillon qui est écarté de cette valeur là, de plus de 0,1, c'est très improbable.
07:05Et là si on fait la différence, on a 0,3, donc la valeur pour l'échantillon en question,
07:11moins 0,145 qui vaut 0,155, qui est supérieur à 0,1.
07:16Ça signifie que cet échantillon là, c'est un échantillon qui est très improbable d'avoir trouvé,
07:22d'après l'inégalité de BT qu'on a utilisé tout à l'heure.
07:25Donc soit le gars a vraiment pas eu de chance, soit effectivement il y a quelque chose de suspect,
07:29on peut dire qu'il a raison.
07:30Check pour ça !
07:31Je te laisse regarder toutes les réponses et poser tes questions en commentaire.
07:34N'hésite pas si jamais tu en as, bisous !
07:36La suite ou les suites ?
07:38On corrige tout de suite l'exercice sur les suites pour le bac de maths 2025 tombé en Amérique du Nord, jour 1.
07:43Je te laisse checker l'énoncé et j'attaque avec la question 1, calculer le terme U1.
07:48Check pour U1, abusez pas les poteaux !
07:50Question 2, on a défini AN et on demande de calculer A0 et A1.
07:54Check et check !
07:55Question 2B démontrait que pour tout entier naturel N, AN plus 1 est égal 3N moins 1.
08:00Soit donc un entier naturel quelconque.
08:02AN plus 1 est égal UN plus 1 sur UN plus 1 moins 1, par définition de AN.
08:06Or UN vérifie cette relation de récurrence, c'est-à-dire que UN plus 1 est égal à 2UN plus 1 sur UN plus 2.
08:13Je remplace donc ici et au dénominateur, je mets au même dénominateur, donc j'ai moins 1, je multiplie en haut et en bas par UN plus 2 le 1,
08:22ce qui me fait moins UN moins 2, je ne me fais pas avoir, je distribue le moins, sur UN plus 2 je mets sur la même fraction,
08:28je simplifie ici et donc j'ai UN moins 1, 2UN moins UN UN, 1 moins 2 moins 1,
08:34et cette fraction est divisée par celle-ci, donc la fraction du haut est multipliée par l'inverse de celle-ci,
08:39j'ai un UN plus 2 qui passe en haut et un UN moins 1 en bas,
08:43et les UN plus 2 se simplifient pour laisser place à cette expression.
08:46Ici comme je veux du 3AN moins 1, ce que je peux faire c'est calculer d'autre part 3AN moins 1,
08:51et puis voir que c'est égal à ce que j'avais trouvé en mettant au même dénominateur.
08:55Et moi je l'ai fait directement en anticipant du coup l'expression,
08:58donc je rajoute UN et je retranche UN, ça fait plus 0, donc effectivement ça marche.
09:03Et je me retrouve ici donc avec un 3UN et un moins UN moins 1,
09:08puisqu'ici j'ai un moins UN, et si je factorise par moins j'ai un moins devant UN moins 1,
09:15donc ce qui est bien ceci, le tout sur UN moins 1, j'ai séparé les fractions.
09:19Simplification de celle-ci, ça me fait 1, et ça, ça me fait 3UN sur UN moins 1,
09:24ce qui est bien AN, et donc j'ai bien ceci.
09:27Check !
09:28Question 2C, démontré par récurrence que pour tout entier naturel,
09:31N supérieur ou égal à 1, AN est supérieur ou égal à 3N moins 1.
09:34Je fais la rédaction de la récurrence à l'arrache,
09:36mais si tu veux la rédaction détaillée, va checker sur mon profil.
09:39Donc j'initialise à 1, pardon je m'étais gouré, j'avais initialisé à 0.
09:42A1, ça vaut 5, qui est bien supérieur à 3 fois 1 moins 1, qui vaut 2.
09:48La propriété est initialisée pour N égale 1.
09:50Hérédité, soit N à un entier naturel, tel que AN soit supérieur à 3N moins 1,
09:55montrons que AN plus 1 est supérieur à 3,
09:57facteur de N plus 1 moins 1, autrement dit 3N plus 3 moins 1, 3N moins 2, pardon.
10:03Par hypothèse de récurrence, j'ai que AN est supérieur ou égal à 3N moins 1.
10:06Je multiplie l'inégalité par 3, et j'ai que 3AN est supérieur ou égal à 3 fois ça,
10:11en distribuant j'ai 9N moins 3, et je retranche 1 pour avoir ceci.
10:15Or je constate que 9N moins 4 est supérieur ou égal à 3N plus 2,
10:19car 6N est supérieur à 6, et si je rajoute 3N des deux côtés,
10:23j'obtiens bien 9N supérieur ou égal à 3N plus 6,
10:27je retranche 4 et je retrouve cette inégalité.
10:29Les deux sont bien équivalentes, quand N bien sûr est supérieur ou égal à 1.
10:33Et donc je reviens ici, cette expression c'est AN plus 1,
10:35qui est plus grand que 9N moins 4, qui lui-même est plus grand que 3N plus 2,
10:39qui est égal à 3N plus 1 moins 1.
10:42Check pour l'hérédité.
10:43Check pour l'initialisation, check pour l'hérédité.
10:46On fait la belle rédaction de conclusion pour dire qu'on n'a montré par récurrence
10:49que la propriété est vraie pour toute N supérieure ou égale à 1.
10:52En vrai, elle est vraie à partir de 0, mais l'hérédité se montre facilement à partir de 1.
10:57Donc là, on a montré qu'elle est héréditaire à partir de 1.
11:002D, on déduit la limite de la suite AN.
11:03Après le théorème de comparaison des limites, on a que la limite de AN est égale à plus l'infini,
11:07puisque la limite de 3N moins 1 quand N tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini par addition et produire.
11:13N tend vers plus l'infini, il faut 3 positif, plus l'infini, moins 1, tout ça, ça fait bien plus l'infini.
11:18Et comme AN est plus grand qu'un truc qui tend vers plus l'infini,
11:21le théorème de comparaison nous permet de conclure.
11:23Check pour ça.
11:233A démontrait que pour tout entier naturel N, UN est égal à AN sur AN moins 1.
11:29Soit N un entier naturel quelconque, AN est égal à UN sur UN moins 1.
11:33Je multiplie de part et d'autre par UN moins 1 et j'obtiens UN moins 1 fois AN.
11:37Donc j'ai multiplié ici, est égal à ceci fois UN moins 1.
11:41Donc j'ai simplification et j'ai bien UN tout seul.
11:44Je distribue le AN ici et donc j'ai UN fois AN moins AN est égal à UN.
11:48Et je retranche UN de chaque côté et j'ajoute AN de chaque côté.
11:52Donc celui-ci se retrouve ici en positif et celui-ci ici en négatif.
11:57Et je factorise ici par UN, ce qui me fait UN facteur de AN moins 1 est égal à AN.
12:02Et je divise par AN moins 1.
12:04AN est différent de 1 car c'est supérieur à 3N moins 1 qui lui-même est supérieur à 1 strictement.
12:10Et donc j'obtiens bien que UN est égal à AN divisé par AN moins 1.
12:14Check !
12:14En déduire la limite de la suite UN.
12:16Et bien j'ai d'après ce que je viens de démontrer à la question précédente que UN est égal à AN sur AN moins 1.
12:21Et je vais donc factoriser en bas par AN parce que je vais reproduire la même idée
12:25que pour les quotients de polynômes en factorisant par le terme de plus haut degré.
12:29Donc ici il n'y a pas de notion de degré mais je factorise par le plus fort entre guillemets.
12:34Et donc j'ai AN en facteur ici qui va simplifier avec ce AN là.
12:37Donc je me retrouve avec 1 sur 1 moins 1 sur AN.
12:40Or je sais que la limite de 1 sur AN c'est 0.
12:43Pourquoi ? Parce que d'après ce qu'on a fait avant, la limite de AN c'est plus infini.
12:47Et donc par quotient, j'ai que cette limite là donc est bien 0.
12:51Et je peux conclure que par quotient et addition, la limite de UN est égale à 1.
12:54Pourquoi ? Parce qu'au dénominateur 0 et donc là j'ai 1.
12:58Donc j'ai 1 en bas et par quotient 1 sur 1, 1.
13:01Check pour ça.
13:02Question 4, on introduit l'algorithme Python suivant et on admet qu'UN est décroissante à interpréter les valeurs de N et U renvoyées par la peine de la fonction algopée dans le contexte de l'exercice.
13:13Et bien tout simplement, ça va nous renvoyer la plus petite valeur de N pour laquelle UN est inférieur ou égal à 1 plus P.
13:19Pourquoi ? Parce qu'on démarre avec le premier terme 2 qui correspond en fait à U0 dans l'énoncé N égale à 0.
13:25Et tant qu'on est strictement plus grand que P, en fait on va incrémenter en transformant U en l'expression du terme suivant.
13:33Donc là je commence à 2, je vais prendre la valeur suivante et N prend N plus 1.
13:37Et je recommence ceci tant qu'on est plus grand que P.
13:40Donc on va faire ça, on va recommencer et donc U va prendre la valeur de UN plus 1 à chaque fois.
13:45et N la valeur de N plus 1 et on continue, on continue, on continue jusqu'à un moment où la condition ne sera plus vérifiée
13:50et on passera en dessous de P puisque la différence entre les deux va tendre vers 0 vu que U tend vers 1.
13:57Et donc on va retourner N et U, c'est-à-dire la première valeur de N pour laquelle U moins 1 est inférieur ou égal à P
14:03et le terme U correspondant.
14:06Donc check pour ça.
14:07Et enfin, donner sur justifier la valeur de N pour P est égale 0,001.
14:11À la calculatrice, j'obtiens que N égale 6 et que la valeur de U, c'est U6 avec U6 qui est environ égal à ceci.
14:17Et on précise que U5, ça vaut environ ça.
14:20Et on a bien que U6 est inférieur à 1 plus P, donc 1,001.
14:25Par contre, on a que U5 est strictement plus grand que 1,001 puisque U5, c'est 1,003 environ, enfin 2,7.
14:32Voilà, je te laisse regarder les réponses et n'hésite pas si jamais tu as des questions.
14:35Force à toi et si tu n'as pas encore passé le bac, profites-en pour bien te préparer.
14:39Bisous !
14:40On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont déjà passé le bac de maths 2025.
14:44On attaque la correction de l'exercice 3 du sujet 1 tombé en Amérique du Nord.
14:48Je laisse lire bien l'énoncé et on attaque avec l'affirmation 1.
14:51La droite D et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.
14:54L'affirmation 1 est vraie car déjà on va montrer que les droites ne sont pas parallèles
14:58et ensuite qu'elles ne sont pas séquentes.
15:00Un vecteur directeur de l'axe des ordonnées, donc l'axe OY, est donné par 0, 1, 0.
15:07Et un vecteur directeur de D est donné par –2, 0, –6.
15:10Car D a cette équation paramétrique et il suffit de prendre les facteurs de T.
15:14Ces deux vecteurs ne sont évidemment pas collinaires parce que je n'ai pas de proportionnalité entre les deux
15:18et donc les deux droites ne sont pas parallèles.
15:20D'autre part, elles ne peuvent pas avoir de point en commun puisque la droite D ne contient aucun point de l'axe OY.
15:26Parce que si c'était le cas, il faudrait que la coordonnée en X et en Z soit toutes les deux égales à 0.
15:30Ça implique que T soit égale à 3,5 et T égale à 1,3, ce qui est évidemment impossible puisque les deux sont différents.
15:37Les droites ne sont ni parallèles ni séquentes, elles sont donc bien non coplanaires.
15:40Check !
15:41Affirmation 2, le plan passant par A est orthogonal à la droite D a pour équation cartésienne X plus 3, Z plus 3 égale 0.
15:48L'affirmation est vraie. Pourquoi ?
15:49Eh bien déjà, on a que V est un vecteur directeur de la droite D.
15:53Donc tout vecteur proportionnel à V, en particulier moins 1,5 de V que j'appelle V' est aussi directeur de D.
15:59Mais comme le plan est orthogonal à la droite D, tout vecteur directeur de la droite est normal au plan.
16:04Et donc son équation cartésienne est de cette forme-là.
16:061 fois X plus 0 fois Y plus 3 fois Z plus C est égal à 0.
16:10On a bien que le plan qu'il nous donne est orthogonal à la droite D.
16:14En plus, on a que A vérifier l'équation du plan, donc A appartient à ce plan.
16:17L'affirmation 2 est donc vraie. Check !
16:19L'affirmation 3, une mesure exprimée en radian de langue géométrique BAC et pi sur 6.
16:23Faux.
16:24On va calculer le cosinus de BAC à l'aide de la formule du produit scalaire.
16:28Donc je déduis les coordonnées de C, parce que je sais que C appartient à la droite D a pour abscisse 2.
16:32Donc si l'a pour abscisse 2, ça veut dire que 3 moins de T est égal à 2.
16:35Donc que T est égal à 1,5 et donc Z est égal à moins 1.
16:39J'ai donc bien ces coordonnées pour C, ces coordonnées pour le vecteur AC et ces coordonnées pour le vecteur AB.
16:44On a les coordonnées de A et B ici.
16:46Je balance tout ça dans ma formule.
16:48Je calcule le produit scalaire et je calcule les normes ici au dénominateur, ce qui me donne ceci, ce qui me fait moins 3 sur 6, soit moins 1,5.
16:56Et le cosinus de pi sur 6, c'est racine de 3 sur 2, pas moins 1,5.
16:59L'affirmation 3 est bien fausse. Check !
17:02Et affirmation 4, la distance BH est égale à racine de 10 sur 2.
17:05C'est vrai et on va le montrer.
17:06Déjà on a que 1,03 est normal à P et donc il est collinéaire à BH.
17:10Puisque BH est aussi normal au plan vu que H est le projeté orthogonal de B sur le plan.
17:15La deuxième coordonnée est 0.
17:16Déjà on a que la deuxième coordonnée du vecteur BH est aussi 0 et donc que YH est égale à moins 4.
17:22On veut proportionnalité, donc K fois ce vecteur doit être égal à ce vecteur et donc j'obtiens ces égalités.
17:28K est égal à XH moins 5 et 3K est égal à ZH plus 1.
17:31Mais comme on est dans le plan, on vérifie cette égalité là.
17:35Donc je tiens ZH et XH égaux à ceci.
17:37Après vérification et calcul, j'ai bien que BH est égale à racine de 10 sur 2.
17:40On se fait soulever par le baccalauréat de mathématiques 2025 ensemble.
17:43Le sujet tombé en Amérique du Nord, jour 1.
17:46Et pour cette fois, ça va étudier des fonctions avec l'exercice 4.
17:49On commence la partie H, je te laisse bien lire l'énoncé.
17:52Et donc moi je fais la question 1 en justifiant, associé à chacune des fonctions G et G' sa représentation graphique.
17:58Pour faire ce genre de question, il faut observer le signe de l'une des deux courbes et voir si ça correspond aux variations de l'autre.
18:05Le signe, ça va tout simplement être quand est-ce qu'on est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses.
18:09Et les valeurs d'annulation, c'est là où on croise l'axe des abscisses.
18:12Et donc par exemple pour cette courbe, vous avez un changement de signe, positif puis négatif, et donc là une annulation.
18:18Et si vous regardez l'autre courbe, vous n'avez pas de changement de variation correspondant.
18:22Par contre ici, vous êtes négatif puis positif, et donc vous avez une annulation ici.
18:27Mais si on regarde l'autre courbe, on était décroissant, et à cet endroit précisément, on devient croissant.
18:33Vous pouvez vérifier que ça colle aussi ici, avec le signe là et là.
18:36Et on peut donc en conclure que la fonction en pointillet est la dérivée de la fonction qui est tracée en trait continu.
18:44C'est-à-dire que c1 correspond à g, et c2 correspond à g', ce que j'ai synthétisé dans ce tableau.
18:49De moins l'infini à moins 2, on a que la fonction qui correspond à la courbe c2 est négative.
18:55Cette zone-là, positive puis négative, avec changement en 1.
19:00Ce qui se passe exactement ici, avec positive puis négative.
19:03Et telle variation pour c1.
19:05Check pour ça !
19:06Question 2, justifiez que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 est y est égale 2x plus 1.
19:14D'après le cours, l'équation de la tangente s'écrit de cette forme.
19:16y égale, n'oubliez pas le y, ça fait partie de l'équation,
19:20g' de 0 facteur de x moins 0 plus g de 0, puisqu'on prend la tangente au point d'abscisse 0.
19:26C'est 0 qui joue le rôle de petit a dans la formule théorique que vous avez vue,
19:30f' de a facteur de x moins a plus f de a, sauf qu'ici on a g, et ici petit a vaut 0.
19:36Sauf qu'on a g' et g qui sont tracés graphiquement, et donc on n'a plus qu'à lire sur le graphique les valeurs ici.
19:42Et donc comme pour rappel, g' correspond à c2, et bien je lis g' de 0 ici, et je vois 2.
19:49Et comme g correspond à c1, je lis g de 0 ici, et j'obtiens bien 1.
19:53Ainsi en remplaçant dans l'équation, j'obtiens bien ceci.
19:56Check pour ça, n'hésite pas à poser tes questions, et on se donne rendez-vous pour la suite. Bisous !
20:00C'est la haisse ! Je suis sûr que t'es pas au point sur les équations différentielles.
20:04T'inquiète pas, t'es-toi Djébri, viens à ta rescousse avec la correction du sujet 1,
20:08tombé en Amérique du Nord en 2025 du bac de maths.
20:12Exercice 4, partie B !
20:14Je te laisse regarder l'énoncé et je lis la première question,
20:16montrer que la fonction f0 définie pour tout nombre réel x par f0 de x,
20:21est égale à x² plus 3x, exponentielle de moins x,
20:24est une solution particulière de l'équation différentielle E.
20:27Tout d'abord, on ne précise pas que f0 est dérivable, donc il faut le justifier.
20:31Elle est dérivable sur R parce qu'elle est produit composition de polynôme exponentielle.
20:35Et donc, soit x dans R, f0 prime de x est égale,
20:39je dérive le terme ici, fois ça, plus ça, fois la dérivée de ça,
20:44formule du produit, vous ne faites pas avoir.
20:45Et donc j'ai ceci, je fais rentrer le moins dans la parenthèse
20:48et je factorise par exponentielle moins x ici.
20:51Et donc je me retrouve avec un moins x² moins 3x plus 2x plus 3,
20:55ce qui fait bien moins x² moins x plus 3, facteur de l'exponentielle x.
20:58Check !
20:59Question 2, résoudre l'équation différentielle E0, y plus y prime égale 0.
21:03Simple application de cours, on a une équation différentielle
21:06du style y prime est égale à a fois y,
21:08et l'ensemble des solutions, c'est les fonctions qui a x associent,
21:11c'est exponentielle de moins x, puisque a ici vaut moins 1,
21:15c'est appartenant à R, on n'oublie pas ça.
21:17Check !
21:18Question 3, déterminer les solutions de l'équation différentielle E.
21:21Encore une fois, c'est une application de cours,
21:23l'ensemble des solutions d'après le principe de superposition,
21:27c'est les x associent les solutions homogènes
21:30plus la solution particulière que j'ai trouvée à la question 1.
21:34Et pareil, on n'oublie pas le C dans R.
21:36Check !
21:37Question 4, on admet que la fonction G décrite dans la partie A
21:39est une solution de l'équation différentielle E,
21:41déterminer alors l'expression de la fonction G.
21:43Eh bien, vu que c'est une solution d'après la question 3,
21:45elle est de cette forme-là, donc j'ai réécrit ça ici,
21:48or, d'après la partie A, pour rappel,
21:50G correspondait à la courbe C1 et vaut 1 en 0,
21:53donc j'ai G de 0 qui vaut 1,
21:56je remplace ici x par 0,
21:57donc tout ça me fait 0 fois ceci,
21:59on s'en fiche, ça fait 0,
22:00le 0 dans l'exponentielle fait un 1,
22:02j'ai donc C est égal à 1,
22:04et donc ça me donne bien ceci.
22:05Donc ma fonction G est donnée par cette expression,
22:07j'ai remplacé C par 1,
22:09et je factorise par exponentielle moins x,
22:10j'ai bien ceci.
22:12Check !
22:12Question 5, déterminer les solutions de l'équation différentielle E,
22:15dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.
22:17Déjà on précise que f est deux fois dérivable
22:19en tant que produit composé d'exponentielle et polynôme,
22:22et donc j'ai cette expression pour f,
22:24et je la dérive,
22:25et donc j'obtiens ceci,
22:27et je dérive encore une fois,
22:28et j'obtiens ceci.
22:29Je te laisse faire attention au calcul
22:30et à l'application de la formule de dérivation d'un produit.
22:33Et on admet deux points d'inflexion,
22:34c'est seulement si la dérivée seconde s'annule deux fois
22:37avec changement de signe,
22:39mais vu qu'on a une exponentielle qui est strictement positive,
22:41le signe dépend de ce facteur
22:42qui est un polynôme de degré 2,
22:44et ça, ça s'annule deux fois avec changement de signe,
22:47si et seulement si delta est strictement positif.
22:49Donc on a deux points d'inflexion,
22:50si et seulement si ça.
22:51Or delta vaut ceci,
22:53et en isolant C,
22:53j'obtiens que C est inférieur à 17 quarts.
22:56Donc toutes les solutions de cette forme-là,
22:58avec C, vérifiant ça.
22:59Check !
23:00N'hésite pas si tu as des questions en bisous !
23:01Et toi, si tu avais passé le bac sur cet exercice,
23:04est-ce que tu te serais fait doser ?
23:05On corrige ensemble le sujet 1 d'Amérique du Nord
23:07du baccalauréat de maths,
23:09exercice 4.
23:10Parti C !
23:11Je te laisse bien lire l'énoncé,
23:13et moi je lis la question 1,
23:14démontré que la limite de la fonction f en plus d'infini
23:16est égale à 0.
23:18Et bien d'après le cours,
23:19c'est une application directe du théorème
23:20des croissances comparées de l'addition des limites.
23:22On distribue le exponentiel moins x,
23:24et j'ai x carré exponentiel moins x croissance comparée
23:26ça tend vers 0.
23:273x exponentiel moins x,
23:29x exponentiel moins x croissance comparée
23:31de temps vers 0,
23:32produit par 3 ça tend vers 0.
23:33Exponentiel moins x tend vers 0.
23:35Donc j'ai une somme de 0 par addition de limite,
23:37la limite de tout ça en plus d'infini,
23:39et bien 0.
23:40Check !
23:41On admet que la fonction est dérivable sur R,
23:42on note f' prime sa dérivée,
23:44petit a, vérifiez que la dérivée vaut ceci.
23:46Donc on ne se fait pas avoir,
23:48formule de dérivation d'un produit,
23:49dérivé de ça fois ça,
23:51plus ça fois dérivé de ça.
23:52Ce qui me donne pour x dans R,
23:54ceci fois exponentiel moins x,
23:56plus ceci fois moins exponentiel moins x.
24:00Je distribue le moins,
24:01je factorise par exponentiel moins x,
24:02et je me retrouve avec moins x carré moins x plus 1,
24:04exponentiel moins x,
24:05puisque ici j'avais moins x carré moins 3x moins 2,
24:09et donc je rajoute 2x,
24:102x moins 3x moins x,
24:12et donc j'ai 3 moins 2,
24:13ce qui me fait 1.
24:14J'ai donc bien ceci.
24:15Check !
24:162b déterminer le signe de la fonction dérivé f' sur R,
24:19puis en dédire les variations de la fonction f sur R.
24:21Le signe va être donné par le polynôme de degré 2 suivant,
24:24parce que x ponctiel de moins x est strictement positif pour tout x dans R,
24:27et donc je calcule le discriminant.
24:30Je trouve ceci comme racine,
24:31je te laisse vérifier les calculs.
24:33Celle-ci est la plus petite,
24:34celle-ci est la plus grande,
24:35et j'obtiens le tableau suivant,
24:37puisque pour rappel,
24:38le signe d'un polynôme de degré 2,
24:39c'est le signe du coefficient dominant,
24:41ici moins 1,
24:42donc négatif,
24:43à l'extérieur des racines,
24:44donc dans cette zone,
24:46et dans cette zone,
24:46donc moins,
24:48moins,
24:48et on a plus ici,
24:49et j'en déduis donc les variations de f,
24:51qui sont ceci,
24:52des croissantes,
24:53croissantes entre x1 et x2,
24:55et des croissantes de x2 à plus infini.
24:57J'ai eu la grosse flamme de calculer les images de x1 et x2.
24:59Et je complète bien mon tableau en mettant les limites,
25:02donc en plus l'infini la limite est 0,
25:03et la limite en moins l'infini est plus l'infini.
25:05Si on ne vous dit pas de ne pas mettre les limites,
25:07partez du principe qu'il faut les mettre dans le tableau.
25:09Question 3,
25:10expliquez pourquoi la fonction f est positive sur l'intervalle 0 plus l'infini.
25:13Eh bien déjà,
25:14on note que 0 est compris entre x1 et x2,
25:16puisque x1 est négative,
25:18x1,
25:18somme de négatif divisé par 2,
25:20c'est strictement négatif,
25:21et racine de 5 est plus grand que 1,
25:23puisque 1 au carré vaut 1,
25:25et racine de 5 au carré vaut 5,
25:26et 5 est plus grand que 1,
25:27par stricte croissance de la racine,
25:29racine de 5 est plus grand que ça.
25:30Donc ça, c'est strictement positif.
25:32Et f de 0 vaut 2.
25:33Le 0 est là et on est croissant.
25:35Ça veut dire que toutes les images entre 0 et x2 sont plus grandes que 2.
25:39C'est ce qu'on a ici par stricte croissance de f.
25:41Et de même, par stricte décroissance de f sur x2 plus l'infini,
25:45on a que toutes les images sont en dessous de f de x2,
25:48mais au-dessus de 0.
25:49Donc f de x est super ou égal à 0.
25:51On pourrait même mettre strict,
25:53puisqu'une fonction strictement décroissante
25:54est nécessairement au-dessus de sa limite en plus l'infini.
25:56D'où que f de x est super ou égal à 0
25:58pour toute x dans 0 plus l'infini.
26:00Check !
26:01Une autre possibilité,
26:02c'était d'étudier le signe de cette expression.
26:05Car f de x est donné par ceci,
26:06et comme l'exponentiel de moins x est strictement positif,
26:09quel que soit x dans R,
26:10le signe de f dépend du signe de ce polynôme.
26:13Et vous trouvez que les racines sont moins 1 et moins 2.
26:16Et donc on est du signe du coefficient dominant,
26:18ici 1, donc positif,
26:19après moins 1.
26:20en particulier sur 0 plus l'infini.
26:23Question 4,
26:24on note c'est la courbe représentative de la fonction f
26:26dans un repère orthogonal.
26:27On admet que la fonction F définie pour tout nombre réel x
26:30par F de x égale ceci est une primitive de la fonction f.
26:34Soit alpha un nombre réel positif,
26:36déterminez l'air A de alpha,
26:37exprimé en unitaire du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses,
26:41la courbe c'est f et les droits d'équation x égale 0, x égale alpha.
26:45Étant donné que f est positif sur l'intervalle 0 plus l'infini,
26:49l'intégrale sur tout segment inclus là-dedans
26:52correspond bien à l'air qui est sous la courbe
26:55et délimité par les droites verticales définies par ce segment.
26:59En particulier ici, sur l'intervalle 0 alpha,
27:01puisque alpha est positif,
27:03f est positif d'après la question 3,
27:05et donc cette quantité-là, c'est tout simplement cette intégrale-là.
27:09Et donc l'énoncé est super gentil,
27:11il nous donne une primitive,
27:12qu'on pourrait d'ailleurs trouver par double intégration
27:14par partie.
27:15Et en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral
27:18ou de l'analyse,
27:19on met cette primitive qu'on évalue entre 0 et alpha,
27:22ce qui nous fait ceci en remplaçant les images,
27:23attention on ne se trompe pas,
27:24on a moins cette expression-là en 0.
27:27Et donc le résultat final est ceci en unité d'air.
27:31Check !
27:32Vu d'ensemble de la partie C,
27:33voilà, n'hésite pas si jamais tu as des questions
27:34ou si tu veux que je corrige un autre exercice type BAC.
27:37Bisous !
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